因式分解讲义 适合 基础的
因式分解经典讲义(精)
第一章分解因式【知识要点】1 .分解因式(1)概念：把一个化成几个的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。
(2 )注意：①分解因式的实质是一种恒等变形，但并非所有的整式都能因式分解。
②分解因式的结果中，每个因式必须是整式。
③分解因式要分解到不能再分解为止。
2•分解因式与整式乘法的关系整式乘法是_____________________________________________________ ___分解因式是_____________________________________________________ ___所以，分解因式和整式乘法为________ 系。
3•提公因式法分解因式(1 )公因式：几个多项式____________ 因式。
(2 )步骤：①先确定____________,②后____________________ 。
(3)注意：①当多项式的某项和公因式相同时，提公因式后该项变为1。
②当多项式的第一项的系数是负数时，通常先提出“”号。
4•运用公式法分解因式(1 )平方差公式：_____________________________(2 )完全平方公式：____________________________注：分解因式还有诸如十字相乘法、分组分解法等基本方法，做为补充讲解内容。
【考点分析】考点一：利用提公因式法分解因式及其应用【例1】分解因式：【随堂练习】1 .分解因式：,、小34“23小22（1） 2x y 10x y 2x y32(1) 4m 16m 26 m(2) 2x(y z) 3(y z)2(3)x(x y)(x y) x(x y)(4)(3a 4b)(7a 8b) (11a 12b)(7a 8b)号，再提公因式 2m ；（ 2）题的公因式为 y z ；(3) 题的公因式为 x(x y) ;答案：(1) 2m(2m 28 »m13)；(3)2xy(x y);【例:2】(1 ）已知x y 5, xy 6 ,(2 ?）已知ba 6,ab7,解析：(1) 题：2x2y 2 x y 22xy(x（2）题：a|2bab2a b(a答案：(1) 60(2)42（4）题的公因式为7a 8b 。
因式分解ppt讲义
整式乘法 整式乘法 因式分解
(5).2πR+ 2πr= 2π(R+r)
因式分解
下列代数式从左到右旳变形是因式分解吗？
（1） a2 a a(a 1)
Байду номын сангаас
是
（2）(a 3)(a 3) a2 9
不是
（3）4x2 4x 1 (2x 1)2
不是
（4）x2 3x 1 x(x 3) 1
（5） x2 1 x( x 1 ) x
阐明
• 本课是在学生学习了整式乘法旳基础上，研究对整 式旳一种变形即因式分解，是把一种多项式转化成 几种整式相乘旳形式，它与整式乘法是互逆变形旳 关系．
你能发觉这两组等式之间 旳联络和区别吗? 它们旳左 右两边有何特点？
a(a+1)=__a_2+_a_____
a2+a=( a ) ( a+1)
(a+b)(a-b)=__a_2_-_b_2____ a2 - b2= ( a+b) ( a-b )
a2-2ab+b2=(a-b)2
十字相乘法
要点: 一拆(拆常数项), 二乘(十字相乘),
三验(验证十字相乘后旳和是否等于一次项.
x2 px q
x
a
x
b
x2+Px+q=(x+a)(x+b),其中p=a+b,q=ab
一般环节与注意点
1 一般环节: 先提公因式,再利用公式或十字相乘,后分组分 解,最终是重新整顿再分解.
注意： 1、要分解到不能再分为止，括号内合并同 类项后注意把数字因数提出来。
2、因式分解旳成果是连乘式。 3、因式分解旳成果里没有中括号。
初中因式分解讲义
初中因式分解讲义因式分解是初中数学中相当重要的一个概念，它是解决多项式问题的关键步骤。
通过因式分解，我们可以将一个多项式拆分成更简单的乘积形式，从而更好地理解和解决问题。
本讲义将介绍初中因式分解的基本方法和应用，帮助同学们系统地学习和掌握这一知识点。
一、因式分解的基本概念因式分解是指将一个多项式拆分成若干个乘积形式的过程。
在因式分解中，我们将多项式中的每一个项称为因式，拆分后的乘积形式称为因式分解式。
因式分解的结果应满足两个条件：1）拆分后的每个因式之积等于原多项式；2）每个因式都不能再进行继续拆分。
二、因式分解的基本方法1. 公因式提取法公因式提取法是指将多项式的公因式提取出来，并将多项式拆分成公因式与括号内的乘积形式。
通过公因式提取法，我们可以简化多项式的计算过程和展开过程。
举例说明：多项式7x+14可以进行公因式提取，提取公因式7后，原多项式可以写成7(x+2)，这就是因式分解的结果。
2. 分组分解法分组分解法是指将多项式的项进行适当的分组，然后利用公式或特定规律进行因式分解。
举例说明：多项式x²+xy+2x+2y可以进行分组分解，将x²+xy作为一组，并将2x+2y作为另一组。
然后，在第一组中提取公因式x，第二组中提取公因式2，最终得到因式分解式为x(x+y)+2(x+y)，即(x+2)(x+y)。
三、因式分解的应用因式分解在初中数学中有广泛的应用。
下面我们介绍几个典型的应用场景。
1. 最大公因数和最小公倍数在求最大公因数和最小公倍数的过程中，因式分解是非常有帮助的方法。
通过将两个数分别进行因式分解，然后提取公因式并相乘，我们可以得到它们的最大公因数；同时，将两个数进行因式分解，然后取分解式的所有因子的乘积，我们可以得到它们的最小公倍数。
2. 方程的解法在解一元二次方程和一元三次方程时，因式分解也经常被使用。
通过将方程进行因式分解，可以将原方程转化成更简单的乘积形式，从而更容易求解。
分解因式基础讲义(2014)
第一讲：分解因式的四种方法（讲义）一、知识点睛1. _________________________________________叫做把这个多项式分解因式．2. 分解因式的四种方法（1）提公因式法需要注意三点：①___________________________；②___________________________； ③___________________________． （2）公式法两项通常考虑____________，三项通常考虑____________． 运用公式法的时候需要注意两点：①___________________________；②___________________________． （3）分组分解法多项式项数比较多常考虑分组分解法，首先找__________，然后再考虑____________或者_____________． （4）十字相乘法十字相乘法常用于二次三项式，其原理是：2()()()x p q x pq x p x q +++=++3. 分解因式是有顺序的，记住口诀：“____________________”；分解因式是有范围的，目前我们是在_______范围分解因式． 二、精讲精练1. 下列由左到右的变形，是分解因式的是________________．①222233x y x y -=-⋅⋅；②2(3)(3)9a a a +-=-；③22+1()()1a b a b a b -=+-+； ④222()mR mr m R r +=+； ⑤2()x xy x x x y -+=-； ⑥24(2)(2)m m m -=+-；⑦2244(2)y y y -+=-．2. 分解因式（提公因式法）：（1）2212246a b ab ab -+；（2）32a a a --+；（3）2()()abc b c +-+； （4）()(1)()(1)a b m b a n -+---；（5）22()()x x y y y x ---；（6）1mm x x -+．3. 分解因式（公式法）：（1）249x -；（2）216249x x ++；（3）2244x xy y -+-；（4）229()()m n m n +--；（5）22(3)2(3)(43)(43)x y x y x y x y +-+-+-；（6）2(25)4(52)x x x -+-；（7）228168ax axy ay -+-；（8）44x y -；（9）4221a a -+；（10）22222()4a b a b +-．4. 分解因式（十字相乘法）：（1）243x x ++；（2）22x x --；（3）26x x +-； （4）2310x x --； （5）223x x -++；（6）221x x +-（7）2232x xy y +-；（8）2221315x xy y ++； （9）3228x x x --；（10）42712x x -+；（11）42627x x --．5. 分解因式（分组分解法）：（1）2105ax ay by bx -+-；（2）255m m mn n --+； （3）22144a ab b ---；（4）22699a a b ++-； （5）2299ax bx a b +--；（6）22244a a b b -+-．6. 用适当的方法分解因式：（1）222816a ab b c -+-（2）22344xy x y y --；（3）22(1)12(1)16a a ---+；（4）(1)(2)12x x ++-；（5）2(2)8a b ab -+； （6）222221x xy y x y -+-++．【参考答案】 知识点睛1．把一个多项式化成几个整式的积的形式．2．（1）①公因式要提尽；②首项是负时，要提出负号；③防止漏项．（2）平方差公式，完全平方公式．①能提公因式的先提公因式；②找准公式中的a 和b ． （3）公因式；平方差公式，完全平方公式． 3．一提二套三分四查；有理数． 精讲精练 1．④⑥⑦．2．（1）6(241)ab a b -+；（2）2(1)a a a -+-；（3）()(21)b c a +-；（4）()()a b m n -+；（5）3()x y -；（6）1(1)m x x -+．3．（1）(23)(23)x x +-；（2）2(43)x +；（3）2(2)x y --；（4）4(2)(2)m n m n ++； （5）29(2)x y -； （6）(25)(2)(2)x x x -+-；（7）28()a x y --；（8）22()()()x y x y x y ++-；（9）22(1)(1)a a +-；（10）22()()a b a b +-． 4．（1）(1)(3)x x ++；（2）(2)(1)x x -+；（3）(3)(2)x x +-；（4）(5)(2)x x -+；（5）(3)(1)x x --+；（6）(21)(1)x x -+； （7）(32)()x y x y -+； （8）(5)(23)x y x y ++；（9）(4)(2)x x x -+；（10）2(3)(2)(2)x x x -+-；（11）2(3)(3)(3)x x x ++-． 5．（1）(5)(2)x y a b --；（2）()(5)m n m --；（3）(12)(21)a b a b --++； （4）(33)(33)a b a b ++-+； （5）()(31)(31)a b x x ++-； （6）(2)(22)a b a b -+-． 6．（1）(4)(4)a b c a b c -+--； （2）2(2)y x y --； （3）2(5)(3)a a --； （4）(2)(5)x x -+； （5）2(2)a b +；（6）2(1)x y --．分解因式的四种方法（随堂测试）1. 下列分解因式正确的是（ ）A ．32(1)a a a a -+=-+ B ．2422(2)a b a b -+=- C ．224(2)a a -=-D ．2221(1)a a a -+=-2. 分解因式：（1）2242x x -+；（2）232x x ++；（3）2x y y -； （4）22224a ab b c -+-．【参考答案】1．D2．（1）22(1)x -；（2）(1)(2)x x ++；（3）(1)(1)y x x +-；（4）(2)(2)a b c a b c -+--．分解因式的四种方法（作业）1. 下列从左到右的变形，是分解因式的是（ ）A ．232393x y z x z y =⋅B ．25(2)(3)1x x x x +-=-++C ．22()a b ab ab a b +=+D ．211x x x x ⎛⎫+=+⎪⎝⎭2. 把代数式322363x x y xy -+分解因式，结果正确的是（ ）A ．(3)(3)x x y x y +-B ．223(2)x x xy y -+C ．(3)x x y -D ．23()x x y -3. 分解因式：（1）22363a b ab ab +-；（2）()()y x y y x ---；（3）2441a a -+；（4）256x x -+；（5）2168()()x y x y --+-；（6）41x -；（7）222(1)4a a +-；（8）25210ab bc a ac --+；（9）223(2)3m x y mn --；（10）2ab ac bc b -+-（11）2222a b a b -++；（12）2(2)(4)4x x x +++-；（13）321a a a +--； （14）2244a a b -+-；（15）222221a ab b a b ++--+；（16）228x x --；（17）226a ab b --；（18）2231x x -+；（19）32412x x x --；（20）2()()2x y x y +++-；（21）4254x x -+；（22）(1)(2)6x x ---．【参考答案】 1．C 2．D3．（1）3(21)ab a b +-； （2）()(1)x y y -+； （3）2(21)a -；（4）(2)(3)x x --；（5）2(4)x y --；（6）2(1)(1)(1)x x x ++-； （7）22(1)(1)a a +-； （8）(5)(2)a c b a --； （9）3(2)(2)m x y n x y n -+--；（10）()()a b b c --；（11）()(2)a b a b +-+；（12）2(2)(1)x x ++；（13）2(1)(1)a a +-；（14）(2)(2)a b a b +---； （15）2(1)a b +-； （16）(2)(4)x x +-； （17）(3)(2)a b a b -+； （18）(21)(1)x x --；（19）(2)(6)x x x +-；（20）(2)(1)x y x y +++-； （21）(1)(1)(2)(2)x x x x +-+-； （22）(4)(1)x x -+．第 6 页 共 6 页第二讲：分解因式综合应用（讲义）一、知识点睛1．_____________、_________、__________、___________是分解因式的四种基本方法，换元、添项拆项是复杂多项式进行分解因式的常用技巧，通过对复杂多项式的处理，最终都转化为___________________．①换元：当多项式中的某一部分________________时，我们会___________将其替换，从而简化式子的形式．②添项拆项：其目的是使多项式能够用__________________进行分解因式，这种方法技巧性强，需要充分关注多项式的__________________．2．分解因式是简化运算的常用手段，其应用主要有以下几个 方面：①数值计算；②代数式的化简求值；③复杂方程的处理． 二、精讲精练 1.分解因式．（1）222(2)7(2)8x x x x +-+-；（2）22(42)(46)4x x x x -+-++； （3）(1)(3)(5)(7)15a a a a +++++；（4）(1)(2)(3)(4)24x x x x -----； （5）22423a b a b -+++；（6）326116x x x +++；（7）44x +；（8）31x +；（9）398x x -+； （10）376m m -+．2.32322013220132011201320132014-⨯-=+-_________________． 3.2211120132014++=________________． 4.在日常生活中经常需要密码，如取款、上网等．有一种用“分解因式”法产生的密码，方便记忆．例如：对于多项式44x y -，分解因式的结果是22()()()x y x y x y -++，若取9x =，9y =，则各个因式的值分别是：0x y -=，18x y +=，22162x y +=，于是可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式324x xy -，取10x =，10y =时，写出一个用上述方法产生的密码_____________．5.基本事实：若ab =0，则0a =或0b =．对于方程220x x --=，可通过分解因式，化为(2)(1)0x x -+=，由基本事实得，20x -=或10x +=，即方程的解为2x =或1x =-．利用上述基本事实，可求得方程220x x -=的解为______________．6.若2222()(1)20x y x y ++--=，则22x y +=_____________．7.已知a ，b 是实数，且2220x a b =++，4(2)y b a =-，则x ，y 之间的大小关系是（ ）A ．x y ≤B ．x y ≥C ．x y <D ．x y >7. 若22228440a b ab a b -+++=，则201332b a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．8. 已知a ，b ，c 分别是三角形的三边长，且满足222166100a b c ab bc --++=，则2b a c --=____________．9. 阅读下面的学习材料：已知多项式322x x m -+有一个因式是21x +，求m 的值． 解法：设3222(21)()x x m x x ax b -+=+++， 则323222(21)(2)x x m x a x a b x b -+=+++++，比较系数得，21120a a b b m +=-⎧⎪+=⎨⎪=⎩，解得，11212a b m ⎧⎪=-⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，∴12m =．根据以上学习材料，解答下面的问题．已知多项式3245x x mx +++有因式1x +，求m 的值．10. 对于多项式32510x x x -++，如果我们把2x =代入此多项式，发现多项式325100x x x -++=，这时可以断定多项式中有因式2x -（注：把x a =代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式x a -），于是我们可以把多项式写成：322510(2)()x x x x x mx n -++=-++．（1）式子中m =_______，n =_______；（2）以上这种分解因式的方法叫试根法，用试根法将多项式3221310x x x ---分解因式．11. 将下图中的1个正方形和3个长方形拼成一个大长方形，并观察这4个图形的面积与拼成的大长方形的面积有什么关系．你能据此将2()x p q x pq +++分解因式吗？xxqpqpx12. （1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用这样的硬纸片拼成一个新的矩形，如图2．1a 1aa 11a 1a图1 图2①用两种不同的方法，计算图2中矩形的面积；②由此，你可以得到一个等式为______________________． （2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示，ba ba图3①请用拼图的方法推出一个完全平方式，并画出你的拼图；②请用拼图的方法推出22252a ab b ++分解因式的结果，并画出你的拼图．【参考答案】知识点睛1．提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，基本方法． ①重复出现，设元． ②分组分解法，式子结构． 精讲精练1．（1）2(2)(4)(1)x x x -++； （2）4(2)x -；（3）2(2)(6)(810)a a a a ++++；（4）2(5)(510)x x x x --+；（5）(1)(3)a b a b ++-+；（6）(1)(2)(3)x x x +++； （7）22(22)(22)x x x x ++-+； （8）2(1)(1)x x x +-+； （9）2(1)(8)x x x -+-；（10）(1)(2)(3)m m m --+．2．201120143．2014120132014-4．101030（答案不唯一）5．0x =或12x = 6．2 7．B 8．4-或4 9．0 10．m 的值为8 11．（1）3-，5-（2）(1)(2)(5)x x x ++- 12．拼成的大长方形如图所示，q xpx原来4个图形的面积与拼成的大长方形的面积相等．2()()()x p q x pq x p x q +++=++13．（1）①图2中矩形的面积为2(1)a +或221a a ++②22(1)21a a a +=++（2）①222()2a b a ab b +=++，拼图略；②(2)(2)a b a b ++，拼图略．第 10 页 共 10 页分解因式综合应用（随堂测试）1.把下列各式分解因式． （1）332x x -+；（2）(1)(2)(3)(4)24x x x x ++++-．2.若2222450a b ab a a -+-+=，则201422a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．3. 用试根法将多项式32584x x x +++分解因式．【参考答案】1．（1）2(1)(2)x x -+； （2）2(5)(510)x x x x +++．2．2 3．2(1)(2)x x ++分解因式综合应用（作业）1.把下列各式分解因式．（1）222()8()12x x x x +-++；（2）22(24)(22)9x x x x -+--+++； （3）(1)(2)(3)(4)24x x x x -+-++；（4）32256x x x +--； （5）31x -；（6）3234x x +-；（7）222241x y x y xy +---．4. 方程2230x x --=的解为______________________．5. 若222200121620a b c a b c +++=++，则222a b c +-=_____．6. 若a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足222a b c ab bc ac ++=++，则△ABC 的形状是_______________________．7. 若a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足3222230a a b ab ac bc b -+-+-=，则△ABC的形状是_____________________________．8. 已知多项式3210x mx nx -++有因式2x -和1x +，求m 的值．9. 已知关于x 的多项式23x x m ++分解因式以后，有一个因式为32x -，试求m 的值，并将此多项式分解因式．10. 用试根法将多项式32252x x x ---分解因式．11. 对于一个图形，通过不同的方法计算其面积时，可得到一个数学等式，例如由图1可得到2232(2)()a ab b a b a b ++=++．ba bbaba ab ba图1 图2请根据上述内容解答下列问题：（1）由图2可得到的一个数学等式为___________________；（2）请用拼图的方法推出2223a ab b ++分解因式的结果，并 画出你的拼图．分解因式基础讲义（2014） 第 11 页 共 11 页听课笔记 【参考答案】1．（1）(1)(2)(2)(3)x x x x -+-+；（2）4(1)x -；（3）2(2)(3)(8)x x x x -++-；（4）(1)(2)(3)x x x +-+；（5）2(1)(1)x x x -++；（6）2(1)(2)x x -+；（7）(1)(1)x y xy x y xy -++---． 2．1x =-或3x =3．04．等边三角形5．等腰三角形或直角三角形6．m 的值为67．m 的值为2-，232(32)(1)x x x x +-=-+ 8．(1)(2)(21)x x x +-+9．（1）22252(2)(2)a ab b a b a b ++=++；（2）2223(2)()a ab b a b a b ++=++，拼图略．。
因式分解讲义(适合0基础的)
因式分解知识网络详解：因式分解的基本方法：1、提公因式法——如果多项式的各项有公因式，首先把它提出来。
2、运用公式法——把乘法公式反过来用，常用的公式有下列五个：平方差公式()()22a b a b a b -=+-； 完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±； 3、分组分解法——适当分组使能提取公因式或运用公式。
要灵活运用“补、凑、拆、分”等技巧。
4、十字相乘法——))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ 【课前回顾】1．下列从左到右的变形，其中是因式分解的是（ ）（A ）()b a b a 222-=-（B ）()()1112-+=-m m m（C ）()12122+-=+-x x x x （D ）()()()()112+-=+-b ab a b b a a2．把多项式－8a 2b 3＋16a 2b 2c 2－24a 3bc 3分解因式，应提的公因式是()，（A ）－8a 2bc （B ）2a 2b 2c 3（C ）－4abc （D ）24a 3b 3c 33．下列因式分解中，正确的是（）（A ）()63632-=-m m m m （B ）()b ab a a ab b a +=++2（C ）()2222y x y xy x --=-+-（D ）()222y x y x +=+4．下列多项式中，可以用平方差公式分解因式的是（）（A ）42+a （B ）22-a （C ）42+-a （D ）42--a5．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是()．（A ）4x 2－1（B ）4x 2＋4x －1（C ）x 2－xy ＋y 2D ．x 2－x ＋6．若942+-mx x 是完全平方式，则m 的值是（）（A ）3（B ）4（C ）12（D ）±12 经典例题讲解：提公因式法：提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。
它的理论依据就是乘法分配律例：22x y xy -()()p x y q y x ---()()x a b y a b +-+变式练习：1．多项式6a 3b 2－3a 2b 2－21a 2b 3分解因式时，应提取的公因式是()A.3a 2bB.3ab 2C.3a 3b 2D.3a 2b 22．如果()222332x y mx x n -+=--，那么（）A ．m=6，n=yB ．m=-6，n=yC ．m=6，n=-yD ．m=-6，n=-y3．()()222m a m a -+-，分解因式等于（）A ．()()22a m m --B ．()()21m a m --C ．()()21m a m -+D ．以上答案都不能4．下面各式中，分解因式正确的是()A.12xyz －9x 2.y 2=3xyz(4－3xy)B.3a 2y －3ay+6y=3y(a 2－a+2)C.－x 2+xy －xz=－x(x 2+y －z)D.a 2b+5ab －b=b(a 2+5a)5．若a+b=7,ab=10,则22ab b a +的值应是（）A ．7B ．10C ．70D ．176.因式分解1．6x 3－8x 2－4x2．x 2y(x －y)+2xy(y －x)3.()()x m ab m x a +-+4.()()()x x x --+-212运用公式法：把我们学过的几个乘法公式反过来写就变成了因式分解的形式： 平方差：)b a )(b a (b a 22-+=-完全平方：222)b a (b 2ab a ±=+±立方和：)b ab a )(b a (b a 2233+-+=+立方差：)b ab a )(b a (b a 2233++-=- 例1.把下列各式分解因式：（1）x 2－4y 2（2）22331b a +- （3）22)2()2(y x y x +--(4)442-+-x x例2．（1）已知2=+b a ，利用分解因式，求代数式222121b ab a ++的值 （2）已知0136422=+--+b a b a ，求b a +。
人教版 八年级数学 因式分解讲义 (含解析)
第9讲因式分解知识定位讲解用时：5分钟A、适用范围：人教版初二，基础一般；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习因式分解。
在初中重大比赛和考试中直接考因式分解的题很少，但要用到因式分解的题却很多，很多人解题拿不下就是因为因式分解不过关。
中学代数主要做好3件事情：恒等变形与计算、分类讨论、数形结合，因式分解是恒等变形的基础，是个极为重要的工具，因此本节课要好好学习并掌握。
知识梳理讲解用时：20分钟课前回顾整式的乘法回顾：（1）单项式×单项式（2）单项式×多项式a（b+c）=ab+ac（3）多项式×多项式（a+b）·（c+d）=ac+bc+ad+bd乘法公式回顾:1、平方差公式：（a+b）·（a-b）=a²-b²2、完全平方公式：（a±b）²=a²±2ab+b²幂的计算回顾：(m,n都是整数)(m,n都是整数)()n n nab a b=⋅(n是整数)m n m na a a-÷=（m、n都是整数且a≠0）nmnm aaa+=⋅mnnm aa=)(上一节我们已经学习了整式的乘法，知道可以将几个整式的乘积化为一个多项式的形式.先来做一个简单的复习吧三、十字相乘法：要点：一拆（拆常数项），二乘（十字相乘），三验（验证十字相乘后的和是否等于一次项）举例：x²+x-6x -2x 3 (-2x)+3x=x对于一般地：四、分组分解法：分组分解法指通过分组分解的方式来分解提公因式法和公式分解法无法直接分解的因式，分解方式一般分为“1+3”式和“2+2”式.例如：ax+ay+bx+by=（ax+ay）+（bx+by）=a（x+y）+b（x+y）=（a+b）（x+y）因式分解过程的一般步骤和注意点：1、一般步骤：先提公因式，再运用公式法或者十字相乘法，后分组分解，最后是重新整理再分解.2、注意点：在分解因式的时候要注意各个因式是否还能继续分解，直到每一个因式都不能继续分解为止.课堂精讲精练【例题1】分解因式：2（n﹣2）+m（2﹣n）= ．【答案】（2﹣m）（n﹣2）【解析】直接提取公因式（n﹣2）进而分解因式即可．解：原式=2（n﹣2）﹣m（n﹣2）=（2﹣m）（n﹣2）．故答案为：（2﹣m）（n﹣2）．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．教学建议：关键是看出题目中的公因式，注意互为相反数的式子提一个负号即可. 难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习1.1】因式分解：3x2﹣18x= ．【答案】3x（x﹣6）【解析】直接找出公因式进而提取得出答案．解：3x2﹣18x=3x（x﹣6）．故答案为：3x（x﹣6）．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．教学建议：先找数字的最大公约数，再找含相同字母的最低次幂.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习1.2】分解因式8x2y﹣2y= ．【答案】2y（2x+1）（2x﹣1）【解析】首先提取公因式2y，再利用平方差公式分解因式得出答案．解：8x2y﹣2y=2y（4x2﹣1）=2y（2x+1）（2x﹣1）．故答案为：2y（2x+1）（2x﹣1）．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．教学建议：先找数字的最大公约数，再找含相同字母的最低次幂.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题2】因式分解：m²-n²= .9x2﹣4= ．【答案】(m+n)(m-n) (3x﹣2)(3x+2)【解析】直接利用平方差公式分解因式得出即可．解：m²-n²=(m+n)(m-n).9x2﹣4=（3x﹣2）（3x+2）．故答案为：（3x﹣2）（3x+2）．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了公式法分解因式，熟练应乘法公式是解题关键．教学建议：注意看到平方数，并且是异号的情况想到用公式法中的平方差公式计算.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习2.1】分解因式：x2﹣9y2【答案】（x+3y）（x﹣3y）【解析】直接利用平方差公式分解因式即可．解：原式=（x+3y）（x﹣3y）．故答案为：（x+3y）（x﹣3y）．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．教学建议：注意看到平方数，并且是异号的情况想到用公式法中的平方差公式计算.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习2.2】因式分解：9﹣p2= ．【答案】（3﹣p）（3+p）【解析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．解：9﹣p2=（3﹣p）（3+p）．故答案为：（3﹣p）（3+p）．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．教学建议：注意看到平方数，并且是符号异号的情况想到用公式法中的平方差公式计算.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题3】分解因式：x2﹣x+1= ．【答案】（x﹣1）2【解析】直接利用完全平方公式a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2把多项式分解即可．解：原式=（x﹣1）2．故答案为：（x﹣1）2．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握完全平方公式a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2．教学建议：注意看到有3项，2项是平方和的形式且符号同号，另1项是乘积的2倍的形式想到用公式法中的完全平方公式计算.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习3.1】因式分解：﹣x2﹣y2+2xy= ．【答案】﹣（x﹣y）2【解析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．解：原式=﹣（x2+y2﹣2xy）=﹣（x﹣y）2．故答案为：﹣（x﹣y）2．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．教学建议：注意看到有3项，2项是平方和的形式且符号同号，另1项是乘积的2倍的形式想到用公式法中的完全平方公式计算.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习3.2】分解因式：m2+2mn+n2= ．【答案】（m+n）2【解析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．解：m2+2mn+n2=（m+n）2．故答案为：（m+n）2．讲解用时：1分钟解题思路：此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．教学建议：直接套用完全平方公式计算.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题4】因式分解：x2﹣4x+3= ．【答案】（x﹣1）（x﹣3）【解析】把3写成﹣1×（﹣3），又﹣1﹣3=﹣4，所以利用十字相乘法分解因式即可．解：x2﹣4x+3=（x﹣1）（x﹣3）．故答案为：（x﹣1）（x﹣3）．讲解用时：2分钟解题思路：本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．教学建议：学会画十字相乘法图示.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习4.1】如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n．（以上长度单位：cm）（1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为；（2）若每块小矩形的面积为10cm2，四个正方形的面积和为58cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．【答案】（1）（m+2n）（2m+n）；（2）42cm.【解析】（1）根据图象由长方形面积公式将代数式2m2+5mn+2n2因式分解即可；（2）根据正方形的面积得出正方形的边长，再利用每块小矩形的面积为10厘米2，得出等式求出m+n，进一步得到图中所有裁剪线（虚线部分）长之和即可．解：（1）2m2+5mn+2n2可以因式分解为（m+2n）（2m+n）；故答案为：（m+2n）（2m+n）；（2）依题意得，2m2+2n2=58，mn=10，∴m2+n2=29，∵（m+n）2=m2+2mn+n2，∴（m+n）2=29+20=49，∵m+n＞0，∴m+n=7，∴．图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为42cm．讲解用时：4分钟解题思路：此题主要考查了因式分解的应用、列代数式以及完全平方公式的应用，根据已知图形得出是解题关键．教学建议：观察图形，学会十字相乘法分解因式.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题5】分解因式：m2﹣25+9n2+6mn．【答案】（m+3n+5）（m+3n﹣5）【解析】首先分组，进而利用完全平方公式以及平方差公式分解因式得出答案．解：原式=（m2+6mn+9n2）﹣25=（m+3n）2﹣25=（m+3n+5）（m+3n﹣5）．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了分组分解法分解因式，正确分组是解题关键．教学建议：学会运用分组分解法来解题.难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习5.1】因式分解：a2﹣2ab+b2﹣1．【答案】（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）【解析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解，前三项a2﹣2ab+b2可组成完全平方公式，可把前三项分为一组．解：a2﹣2ab+b2﹣1，=（a﹣b）2﹣1，=（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了非负数的性质和分组分解法分解因式，用分组分解法进行因式分解的难点是采用两两分组还是三一分组．本题前三项可组成完全平方公式，可把前三项分为一组．教学建议：学会运用分组分解法来解题.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题6】因式分解（1）ax2﹣16ay2（2）﹣2a3+12a2﹣18a（3）（x+2）（x﹣6）+16（4）a2﹣2ab+b2﹣1．【答案】（1）a（x+4y）（x﹣4y）（2）﹣2a（a﹣3）2 （3）（x﹣2）2；（4）（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）.【解析】（1）先提取公因式，然后利用平方差公式（2）先提取公因式，然后利用完全平方公式（3）先展开，然后利用完全平方公式（4）先分组，然后再利用完全平方公式和平方差公式．解：（1）原式=a（x2﹣16y2）=a（x+4y）（x﹣4y）（2）原式=﹣2a（a2﹣6a+9）=﹣2a（a﹣3）2（3）原式=x2﹣4x+4=（x﹣2）2（4）原式=（a﹣b）2﹣1=（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）讲解用时：3分钟解题思路：本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用提取公因式法与公式法，本题属于基础题型．教学建议：熟练掌握因式分解的几种方法并熟练运用.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习6.1】将下列多项式因式分解（1）8x2﹣4xy（2）3x4+6x3y+3x2y2（3）a2﹣ab+ac﹣bc【答案】（1）4x（2x﹣y）；（2）3x2（x+y）2；（3）（a﹣b）（a+c）．【解析】（1）提取公因式4x即可得；（2）先提取公因式3x2，再利用公式法分解可得；（3）利用分组分解法，将a2﹣ab、ac﹣bc分别作为一组提取公因式后，再分解可得．解：（1）原式=4x（2x﹣y）；（2）原式=3x2（x2+2xy+y2）=3x2（x+y）2；（3）原式=a（a﹣b）+c（a﹣b）=（a﹣b）（a+c）．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式法、公式法和分组分解法因式分解．教学建议：熟练掌握因式分解的几种方法并熟练运用.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题7】已知xy=﹣3，满足x+y=2，求代数式x2y+xy2的值．【答案】﹣6【解析】将原式提取公因式xy，进而将已知代入求出即可．解：∵xy=﹣3，x+y=2，∴x2y+xy2=xy（x+y）=﹣3×2=﹣6．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．教学建议：先因式分解，再求代数式的值.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习7.1】已知ab=﹣2，a﹣b=3，求a3b﹣2a2b2+ab3的值.【答案】﹣18【解析】本题要求代数式a3b﹣2a2b2+ab3的值，而代数式a3b﹣2a2b2+ab3恰好可以分解为两个已知条件ab，（a﹣b）的乘积，因此可以运用整体的数学思想来解答．解：a3b﹣2a2b2+ab3=ab（a2﹣2ab+b2）=ab（a﹣b）2当a﹣b=3，ab=﹣2时，原式=﹣2×32=﹣18，故答案为：﹣18.讲解用时：3分钟解题思路：本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．教学建议：先因式分解，再求代数式的值.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018课后作业【作业1】分解因式：2m2﹣m= ．【答案】m（2m﹣1）【解析】直接把公因式m提出来即可．解：2m2﹣m=m（2m﹣1）．故答案为：m（2m﹣1）．讲解用时：1分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业2】因式分解（1）m2﹣4n2（2）2a2﹣4a+2．【答案】（1）（m+2n）（m﹣2n）；（2）2（a﹣1）2【解析】根据因式分解法即可求出答案．解：（1）原式=（m+2n）（m﹣2n）（2）原式=2（a2﹣2a+1）=2（a﹣1）2讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业3】因式分解：（1）3a（x﹣y）﹣5b（y﹣x）（2）x6﹣x2y4．【答案】（1）（x﹣y）（3a+5b）；（2）x2（x﹣y）（x+y）（x2+y2）【解析】根据因式分解法即可求出答案．解：（1）原式=（x﹣y）（3a+5b）（2）=x2（x4﹣y4）=x2（x2﹣y2）（x2+y2）=x2（x﹣y）（x+y）（x2+y2）讲解用时：3分钟难度： 4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业4】已知a+b=2，ab=2，求a2b+ab2的值．【答案】4【解析】首先提公因式ab，进而分解因式得出答案．解：∵a+b=2，ab=2，∴a2b+ab2=ab（a+b）=2×2=4．讲解用时：2分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业5】我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A可以用来解释a2+2ab+b2=（a+b）2，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．（1）图B可以解释的代数恒等式是；（2）现有足够多的正方形和矩形卡片（如图C），试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形（每两块纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使该矩形的面积为2a2+3ab+b2，并利用你所画的图形面积对2a2+3ab+b2进行因式分解．【答案】（1）2a2+2ab=2a（a+b）；（2）2a2+3ab+b2=（2a+b）（a+b）.【解析】（1）根据正方形面积求出即可；（2）画出图形，即可得出答案，根据图形和矩形面积公式求出即可．解：（1）2a2+2ab=2a（a+b），故答案为：2a2+2ab=2a（a+b），（2）如图所示：2a2+3ab+b2=（2a+b）（a+b）．讲解用时：4分钟难度：4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018。
因式分解-讲义
因式分解(一)-一般方法多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数；(8)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7．例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8．例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．1．(2)x10+x5-2；(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．2．(1)x3+3x2-4；(2)x4-11x2y2+y2；(3)x3+9x2+26x+24；(4)x4-12x+323．3．(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1；(2)x4+7x3+14x2+7x+1；(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1；(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20．4、(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2= ；(2)x2-y2+5x+3y+4= ；(3)xy+y2+x-y-2= ；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2= ;(5)2x2-7xy-22y2-5x+35y-3= .因式分解(二)--求根法分解因式我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根，则必有p是a0的约数，q是a n的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例1 分解因式：x3-4x2+6x-4．例2 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．练习二1．用双十字相乘法分解因式：(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3；(2)x2-xy+2x+y-3；(3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2．2．用求根法分解因式：(1)x3+x2-10x-6；(2)x4+3x3-3x2-12x-4；(3)4x4+4x3-9x2-x+2．3．用待定系数法分解因式：(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20；(2)x4+5x3+15x-9．。
第4讲 因式分解 讲义
八升九数学精品（第4讲 讲义）因式分解专题一 因式分解的意义把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做因式分解. (1)因式分解专指多项式的恒等变形,即等式的左边必须是多项式.(2)因式分解的要求:分解的结果要以积的形式表示;每个因式必须是整式;因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.(3)因式分解与整式乘法是互逆变形.如果把整式乘法看做是一个变形过程,那么多项式的因式分解就是它的逆过程;如果把多项式的因式分解看做是一个变形过程,那么整式乘法就是它的逆过程.下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是 ( ) A.x 2-x-2=x(x-1)-2 B.(a+b)(a-b)=a 2-b 2C.x 2-4=(x+2)(x-2)D.x 2-)1)(1(12yx y x y -+=【针对训练1】 ①若mx+A 能分解为m(x-y+2),则A= . ②下列式子是因式分解的是 ( )A.x(x-1)=x 2-1B.x 2-x=x(x+1)C.x 2+x=x(x+1)D.x 2-x=(x+1)(x-1) 专题二 提公因式法我们把多项式中各项都含有的相同因式,叫做这个多项式的公因式.如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种因式分解的方法叫做提公因式法.把下列各式因式分解: (1)3x+x 3; (2)7x 3-21x 2; (3)8a 3b 2-12ab 3c+ab; (4)-24x 3+12x 2-28x.【针对训练2】 把2a(x-y)+6b(y-x)因式分解.【基础巩固】1.把多项式4a 2b+10ab 2分解因式时,应提取的公因式是 .2.因式分解:x 2-3x= .3.分解因式:12x 3y-18x 2y 2+24xy 3= · . 【能力提升】4.把下列各式因式分解.(1)3x 2y-6xy (2)5x 2y 3-25x 3y 2(3)-4m 3+16m 2-26m (4)15x 3y 2+5x 2y-20x 2y 3.专题三 公式法运用平方差公式因式分解: 64(a-b)2-4(a+b)2.【针对训练3】 ①分解因式: 81(a+b)2-4(a-b)2.②尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积:(1)x 2-25= ; (2)9x 2-y 2= ; (3)9m 2-4n 2= .运用完全平方公式因式分解:(a+b)2+10(a+b)+25.【针对训练4】①因式分解:x3y3-2x2y2+xy.②把下列完全平方式因式分解:(1)x2+14x+49;(2)(m+n)2-6(m+n)+9.③分解因式:(a-b)2-4b2= .④分解因式:a3b-4ab= .专题四因式分解的应用39992+3999能被4000整除吗?【针对训练5】计算:1998+19982-19992.将一条400 cm长的金色彩带剪成两段,恰好可用来镶嵌两张大小不同的正方形壁画的边(不计算接头处),已知两张壁画的面积相差4000 cm2.这条金色彩带应剪成多长的两段?【针对训练6】王师傅铸造了如右图所示的一种零件,在边长为10 cm的正方形内部有四个大小不同的圆,它们的直径分别为 1 cm,2 cm,3 cm,4 cm,他想知道阴影部分的面积,请你帮他算一算(π取3.14).专题五易错点对分解因式的方法掌握得不够彻底例7.分解因式:36x2-36x+9.例8.分解因式:9a2-4b2.例9.分解因式:-3m2n+6mn-3n.例10.分解因式:21a2-ab+21b2.。
初中数学因式分解讲义
数学学科辅导讲义a 1a 2c 2c 1a 1c 2 + a 2c 1在二次三项式2(0)ax bx c a ++≠中，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即12a a a =⨯，常数项c 可以分解成两个因数之积，即12c c c =⨯，把1a ，2a ，1c ，2c 排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到1221a c a c +，若它正好等于二次三项式2ax bx c ++的一次项系数b ，即1221a c a c b +=，那么二次三项式就可以分解为两个因式11a x c +与22a x c +之积，即21122()()ax bx c a x c a x c ++=++．四．分组分解法分组分解方法比较灵活，其关键在于分组要适当，它的分组原则是：①分组后能直接提取公因式；②分组后能直接运用公式。
五．换元法将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，用一个新字母替代它，从而简化运算过程，分解后要注意将字母还原．例如，4223x x --，设2x y =，则原式223y y =--()()31y y =-+，最后再换回来就是()()2222331y y x x =--=-+．六．拆、添项（选讲）将多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个符号相反的项，使得便于用分组分解法进行分解因式．例如：()()()()2244222224444222222x x x x x x x x x x +=++-=+-=+++-．典型例题题型一：提取公因式例1、 3322222491421a bc a b c ab c +-在分解因式时，应提取的公因式是（ ） A ． 27abcB ． 227ab cC ． 2227a b cD ． 337a bc例2、 若实数a 、b 满足a+b=5，a 2b+ab 2=-10，则ab 的值是（ ） A ． -2B ． 2C ． -50D ． 50变式1、分解因式：（1）324x x y - （2）324(1)2(1)q p p -+-（3）22x y xy - （4）22x xy -(5)(2x ＋y)(2x －y)＋(2x ＋y) 2题型二：公式法例1、若多项式x 2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m 的值可以是（ ） A ． 4B ． -4C ． ±2D ． ±4变式1、分解因式：（1）48610369b x c y - （2）22(2)(2)x y x y +--（3）8881x y - （4）()()223223a b a b +-+（5）16x 4-1 （6）x 2+4x-9y 2+4（7）x 2-4xy+4y 2+6xz-12yz+9z 2题型三：十字相乘例1、把下列多项式因式分解（1）21232x x ++ （2）2109x x ++ （3）2568x x +- （4）26525x x --变式1、（1）2532x x -- （2）2310x x -- （3）22273x xy y -+ （4）22675x xy y --题型四：分组分解法典型例题1、把下列多项式因式分解（1）23442x x x -+- （2）24263a ab a b +++ （3）2244a b a b -+-（4）22944a ab b --- （5）2221693025m a ab b -+- （6）22194m n mn -++变式1、把下列多项式因式分解（1）224484a b a b ab +-+- （2）222xy xz y yz z --+- （3）题型三 换元法典型例题1、分解因式：（1） （2）题型四 拆项填项法典型例题、分解因式：()()224341256x x x x -+--+2(3)5(3)14p p ----441x+随堂检测1.多项式4x2﹣4与多项式x2﹣2x+1的公因式是（）A．x﹣1B．x+1C．x2﹣1D．（x﹣1）2 2. 如图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式_________．3.分解因式：（1）2249a b-（2）24162516a y b-+4．分解因式：(1)9x2－(2x－y)2；(2)(2x＋y)2－(x－2y)2；(3) 9(a＋b)2－16(a－b)2；(4) 9(3a＋2b)2－25(a－2b)2．5．分解因式：(1)x4－16；(2)(a＋b)4－(a－b)4．32265 x x x +--42471 x x-+6．利用因式分解计算：(1)492－512；(2)22201120122010-．7、在计算（x ＋y ）（x －2y ）－my （nx －y ）（m 、n 均为常数）的值时，把x 、y 的值代入计算，粗心的小晨和小红把y 的值看错了，但结果都等于9．细心的小敏把正确的x 、y 的值代入计算，结果恰好也是9．为了探个究竟，她又把y 的值随机地换成了2006，结果竟然还是9．根据以上情况，请你求出m 、n 和x 的值.8观察：2325331⨯=⨯+⨯2426442⨯=⨯+⨯填空：=⨯+⨯7553___________ =⨯+⨯8664___________ ...用含有n 的代数式表示你的猜想：___________________________ 请说明猜想的正确性：课后练习作业1、如图，从边长为（a ＋4）cm 的正方形纸片中剪去一个边长为()1a +cm 的正方形(0)a >，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（ ） A ．22(25)cm a a +；B ．2(315)cm a +；C ．2(69)cm a + ；D ．2(615)cm a +作业2、下列运算正确的是 （ ） A. 22222)(n mn m n m ++=--B. 12)1(422++=+a a a C.()2222b ab a b a ++=+-D.221200420032005-=⨯。
因式分解法ppt课件
(1)提公因式法：am+bm+cm= m(a+b+c)
;
( 2)公式法：a²-b²= (a+b)(a-b) ,a²±2ab+b²= (a± b)²
(3)十字相乘法 X
)(x
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛， 那么物体经过xs 离地面的高度(单位：m) 为10-4.9x².
解 ：(1) x(x-4)=2-8x
方程整理，得x²+4x=2,
配方，得x²+4x+4=6, 即(x+2)²=6 开平方，得x+2=± √6,
解得x
=-2+√6,x₂=-2-√6.
解 ：(2) x²-4x=0
分解因式，得x(x-4)=0, 所以x=0 或x-4=0, 解得x=0,x₂=4.
解：(3)2 x(x+4)=1
解得
,X
₂
解 ：2(x-3)²=x²-9,
2(x-3)²=(x-3)(x+3) (x-3)[2(x-3)-(x+3)]=0 (x-3)[x-9]=0 x₁=3,x₂=9.
练习6 按要求解一元二次方程.
(1)x(x-4)=2-8x
(配方法) .
(2)x²-4x=0
(因式分解法).
(3)2x(x+4)=1 (公式法) .
元
先配方，再用直接开平方法降
二 配方法 次 方
次
适用于全部
一
程 公式法
直接利用求根公式
元二次方程
的 方
先使方程一边化为两个一次因
法
因式分解法
式乘积的形式，另一边为0,适用于部分一
因式分解ppt课件
方式.
完全平方式的条件：(1)多项式是二次三项式；(2)首末
两项是两个数(或式子)的平方且符号相同，中间项是这
两个数(或式子)的积的2 倍，符号可以是“＋”，也可以
是“－”.
感悟新知
知5－讲
2. 完全平方公式
两个数的平方和加上(或减去)这两个数
的积的2 倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
即：a2±2ab＋b2＝(a±b)2 .
知4－讲
3. 运用平方差公式分解因式的步骤
一判：根据平方差公式的特点，判断是否为平方差，若负
平方项在前面，则利用加法的交换律把负平方项放在后面；
二定：确定公式中的a和b，除a和b是单独一个数或字母外，
其余不管是单项式还是多项式都必须用括号括起来，表示
一个整体；三套：套用平方差公式进行分解；四整理：将
(2)确定另一个因式，另一个因式即多项式除以公因式所
得的商；
(3)写成积的形式.
感悟新知
知3－讲
特别解读
1. 提公因式法实质上是逆用乘法的分配律.
2. 提公因式法就是把一个多项式分解成两个因式的积的形
式，其中的一个因式是各项的公因式，另一个因式是多
项式除以这个公因式所得的商.
感悟新知
知3－练
例 5 把下列多项式分解因式：
感悟新知
例 3 仔细阅读下面例题，解答问题：
知1－练
例题：已知把x2－4x＋m分解因式后有一个因式是x
＋3，求其另一个因式及m的值.
解：设另一个因式为x＋n，则x2－4x＋m＝(x＋3)(x
＋n)，即x2－4x＋m＝x2＋(n＋3)x＋3n.
＝－，
＋＝－，
所以
解得
＝－.
人教版初二数学上册 因式分解 讲义
因式分解知识点一、因式分解的概念把一个多项式化为若干个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解因式分解：多项式 = 整式1 × 整式2 × 整式3 × ……例1、下列变形属于因式分解的有______________________①ab+ac=a(b+c) ②x 2+2x+1=(x+1)2 ③a 2-b 2=(a+b)(a-b) ④(a+b)(a-b)=a 2-b 2⑤x 2+6x-9=(x-3)(x+3)+6x ⑥6ab=2a.3b ⑦)1(12x x x x +=+ ⑧))(24())(42(m n a b n m b a --=--1、下列变形属于因式分解的有______________________①x 2-2=(x+1)(x-1)-1 ②4x 2-9y 2=(2x+3y)(2x-3y) ③2a(b+c)=2ab+2ac ④16x 2y 3=2xy.8xy 2 ⑤x 2+4x+4=(x+2)2 ⑥x 2-6x+9=(x+3)22、下列变形属于因式分解的有______________________①xy 2+xz=x(y 2+z) ②6xy+2y 2=2y(3x+y) ③)1(12a a a a -=- ④x 2-8x+16=(x-4)2 ⑤a 2-4a+4=a(a-4)+4 ⑥(a+1)(a-1)=(1+a)(-1+a)知识点二、提公因式法提公因式法其实就是运用乘法分配律a(b+c)=ab+ac来变形例1、分解因式：ab+ac 例2、分解因式：4a2+10ab 例3、分解因式：2ab2-6a2b2+4a3b21、分解因式①xy-x2②mx-my ③2m+2 ④a2x+ax2+a⑤12m2n+18mn ⑥8a3b2-12ab3c ⑦3a2b2-15a3b3-12a2b2c ⑧3xy2-6x2y+9xy例4、分解因式：6p(p+q)-4q(p+q) 例5、分解因式：2(a-3)2-a+3 例6、分解因式：2(a-b)2+3(b-a)①2b(x-3)+3a(x-3) ②m 2(x-2)+m(x-2) ③x(x-y)-y(x-y)④2x(x-2)-2+x⑤6(x-5)+2y(5-x) ⑥-6(x-y)2-3y(y-x)2知识点三、公式法1、完全平方公式a 2+2ab+b 2=(a+b)2a 2-2ab+b 2=(a-b)22、平方差公式a 2-b 2=(a+b)(a-b)例1、分解因式422b ab a ++例2、分解因式229124y xy x ++ 例3、分解因式-x 2+9y 2①x 2+2xy+y 2 ②a 2-4a+4 ③-x 2+2xy-y 2④1+4a+4a 2⑤412++x x ⑥2292416y xy x +-例3、(a+b)2+2(a+b)y+y 2例4、(a 2b-c)2-4(a 2b-c)+42、分解因式①x 2+2x(4a-b)+(4a-b)2②-9a 2+6a(a-b)-(a-b)2 ③16-8(x-y)+(x-y)2例5、分解因式：a2-4 例6、分解因式：9x2-16y2例7、分解因式：-x2+9y3、分解因式①a2-25 ②x2-y2③9-x2④49x2-y2z2⑤16m4n2-25p2⑥x2-6 ⑦3-4y2⑧-x2+1 ⑨-x2+4y2⑩2241ba+ -例7、分解因式：(3a+2b)2-(a-b)24、分解因式①(x-1)2-9 ②4(x-2)2-1 ③(x+2y)2-(2x-y)2。
初中因式分解讲义
初中因式分解讲义一、什么是因式分解?在代数学中，当一个多项式可以写成几个乘积的形式时，我们将其称为因式分解。
这个过程可以简化多项式的计算和求解。
二、因式分解的基本原则在进行因式分解时，我们需要遵循以下基本原则：1. 最大公因数原则：寻找多项式中的最大公因数，将其提取出来，作为分解的一部分。
2. 求和差化积原则：利用求和差化积的方法，将多项式中的和差变为积，从而进行因式分解。
3. 公式转换原则：利用特定的公式，将多项式进行转换，以便于进行因式分解。
三、因式分解的方法1. 提取公因式法提取公因式法是最常用的因式分解方法之一。
当多项式的各项有公因子时，可以将这个公因子提取出来，并将剩余的部分进行因式分解。
例如：将3x+6分解为3(x+2)2. 公式转换法公式转换法利用特定的公式将多项式进行转换，然后进行因式分解。
例如：将a²-b²分解为(a+b)(a-b)3. 分组分解法当一个多项式中含有四项及以上，并且无法直接进行其他方法的因式分解时，可以尝试使用分组分解法。
例如：将2x²+6x+3分解为(x+1)(2x+3)四、因式分解的应用因式分解在代数中有广泛的应用，可用于求解方程、简化分式、化简根式等。
它是解决复杂代数问题的重要工具。
五、练习题1. 将4x²-9y²分解。
2. 将6a³b-15ab²分解。
3. 将x³+y³分解。
4. 将3x³-27y³分解。
六、总结因式分解是代数学中重要的概念和工具，通过提取公因式、公式转换和分组分解等方法，能够简化多项式的计算和求解。
掌握因式分解的方法和应用，对于初中代数学习至关重要。
希望以上初中因式分解讲义能帮助你更好地理解和掌握因式分解的知识和技巧。
如果需要更多的练习或进一步讨论，请随时提问。
整式与因式分解--知识讲解(基础)
整式与因式分解—知识讲解（基础）【考纲要求】1.整式部分主要考查幂的性质、整式的有关计算、乘法公式的运用，多以选择题、填空题的形式出现；2.因式分解是中考必考内容，题型多以选择题和填空题为主，也常常渗透在一元二次方程和分式的化简中进行考查.【知识网络】【考点梳理】考点一、整式1.单项式数与字母的积的形式的代数式叫做单项式．单项式是代数式的一种特殊形式，它的特点是对字母来说只含有乘法的运算，不含有加减运算．在含有除法运算时，除数(分母)只能是一个具体的数，可以看成分数因数．单独一个数或一个字母也是单项式．要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．2.多项式几个单项式的代数和叫做多项式．也就是说，多项式是由单项式相加或相减组成的．要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式．（4）把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．3.整式单项式和多项式统称整式．4.同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项．5.整式的加减整式的加减其实是去括号法则与合并同类项法则的综合运用．把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变.如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.6.整式的乘除①幂的运算性质：②单项式相乘：两个单项式相乘，把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．③单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：④多项式与多项式相乘：一般地，多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：平方差公式：完全平方公式：在运用乘法公式计算时，有时要在式子中添括号，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.⑤单项式相除：两个单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．⑥多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的有理数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即m n p m n p a a a a ++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.（3）公式()=m n mn a a的推广：(())=m n p mnp a a (0≠a ，,,m n p 均为正整数) （4）公式()=⋅n n n ab a b 的推广：()=⋅⋅n nn n abc a b c (n 为正整数).考点二、因式分解1.因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解．2.因式分解常用的方法（1）提取公因式法：)(c b a m mc mb ma ++=++（2）运用公式法：平方差公式：))((22b a b a b a -+=-；完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+±（3）十字相乘法：))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++3.因式分解的一般步骤（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法；（4）最后考虑用分组分解法及添、拆项法.要点诠释：（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到每个因式都不能再分解为止．（4）十字相乘法分解思路为“看两端，凑中间”，二次项系数a 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.【典型例题】类型一、整式的有关概念及运算1．若3x m+5y2与x3y n的和是单项式，则n m=．【答案】1 4【解析】由3x m+5y2与x3y n的和是单项式得3x m+5y2与x3y n是同类项，∴532mn+=⎧⎨=⎩解得22mn=-⎧⎨=⎩， n m=2-2=14【点评】本题考查同类项定义结合求解二元一次方程组，负整数指数幂的计算.同类项的概念为：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式.举一反三：【变式】若单项式是同类项，则的值是( )A、-3B、-1C、D、3【答案】由题意单项式是同类项，所以，解得，，应选C.2．下列各式中正确的是( )A. B.a2·a3=a6 C.(-3a2)3=-9a6 D.a5+a3=a8【答案】A；【解析】选项B为同底数幂乘法，底数不变，指数相加，a2·a3=a5，所以B错；选项C为积的乘方，应把每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，(-3a2)3=-27a6，所以C错；选项D为两个单项式的和，此两项不是同类项，不能合并，所以D错；选项A为负指数幂运算，一个数的负指数幂等于它的正指数幂的倒数，A正确.答案选A. 【点评】考查整数指数幂运算.举一反三：【变式1】下列运算正确的是 ( )A． B． C． D．【答案】A.2-3=18；42=；C.235a a a=正确；D.325a a a+=. 故选C.【高清课程名称： 整式与因式分解 高清ID 号：399488关联的位置名称（播放点名称）：例1-例2】【变式2】下列运算中，计算结果正确的个数是( )．(1)a 4·a 3＝a 12； (2)a 6÷a 3＝a 2； (3)a 5＋a 5＝a 10；(4)(a 3)2＝a 9； (5)(－ab 2)2＝ab 4； (6)⋅=-22212xxA ．无B ．1个C ．2个D ．3个【答案】A.3．利用乘法公式计算：(1)(a+b+c)2 (2)(2a 2-3b 2+2)(2-2a 2+3b 2)【答案与解析】(1)(a+b+c)2可以利用完全平方公式，将a+b 看成一项，则(a+b+c)2=[(a+b)2+2(a+b)c+c 2]=a 2+2ab+b 2+2ac+2bc+c 2=a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc.(2)(2a 2-3b 2+2)(2-2a 2+3b 2)两个多项式中，每一项都只有符号的区别，所以，我们考虑用平方差公 式，将符号相同的看作公式中的a ，将符号相反的项，看成公式中的b ，原式=[2+(2a 2-3b 2)][2-(2a 2-3b 2)]=4-(2a 2-3b 2)2=4-4a 4+12a 2b 2-9b 4. 【点评】利用乘法公式去计算时，要特别注意公式的形式及符号特点，灵活地进行各种变形. 举一反三：【变式】如果a 2+ma+9是一个完全平方式，那么m=______.【答案】利用完全平方公式：(a ±3)2=a 2±6a+9. m=±6.类型二、因式分解4．（2015春•兴化市校级期末）因式分解（1）9x 2﹣81（2）（x 2+y 2）2﹣4x 2y 2（3）3x （a ﹣b ）﹣6y （b ﹣a ）（4）6mn 2﹣9m 2n ﹣n 3．【思路点拨】（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法；（4）最后考虑用分组分解法及添、拆项法.【答案与解析】解：（1）原式=9（x 2﹣9）=9（x+3）（x ﹣3）；（2）原式=（x 2+y 2+2xy ）（x 2+y 2﹣2xy ）=（x+y ）2（x ﹣y ）2；（3）原式=3（a ﹣b ）（x+2y ）；（4）原式=﹣n （9m 2+n 2﹣6mn ）=﹣n （3m ﹣n ）2．【点评】把一个多项式进行因式分解，首先要看多项式是否有公因式，有公因式就要先提取公因式，再看是否还可以继续进行分解，是否可以利用公式法进行分解，直到不能进行分解为止.举一反三：【高清课程名称： 整式与因式分解 高清ID 号：399488关联的位置名称（播放点名称）：例3（1）-（2）】【变式】（2015春•陕西校级期末）分解因式：（1）（2x+y ）2﹣（x+2y ）2（2）﹣8a 2b+2a 3+8ab 2．【答案】解：（1）原式=[（2x+y ）+（x+2y ）][（2x+y ）﹣（x+2y ）]=3（x+y ）（x ﹣y ）；（2）原式=2a （a 2﹣4ab+4b 2）=2a （a ﹣2b ）2．5．若x y mx y 2256-++-能分解为两个一次因式的积，则m 的值为（ ）A. 1B. -1C. ±1D. 2【思路点拨】对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法.【答案】C.【解析】解：()()x y mx y x y x y mx y 225656-++-=+-++- -6可分解成()-⨯23或()-⨯32，因此，存在两种情况：（1）x+y -2 （2）x+y -3x-y 3 x-y 2 由（1）可得：m =1，由（2）可得：m =-1.故选择C.【总结升华】十字相乘法分解思路为“看两端，凑中间”，二次项系数a 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.举一反三：【变式】因式分解：6752x x --=_______________.【答案】()()67521352x x x x --=+-类型三、因式分解与其他知识的综合运用6．已知a、b、c 是△ABC的三边的长,且满足: a2+2b2+c2-2b(a+c)=0,试判断此三角形的形状.【思路点拨】式子a2+2b2+c2-2b(a+c)=0体现了三角形三边长关系，从形式上看与完全平方式相仿，把2b2写成b2+b2，故等式可变成2个完全平方式，从而得到结论．【答案与解析】解: a2+2b2+c2-2b(a+c)=0a2+b2+ b2+c2-2ba-2bc=0(a-b) 2+(b-c) 2=0即: a-b=0 , b-c=0，所以a=b=c.所以△ABC是等边三角形.【总结升华】通过对式子变化，化为平方和等于零的形式，从而求出三边长的关系．。
因式分解ppt课件
因式分解
根据左面的算式填空: (1) 3x2-3x=_______ (2) m2-16=__________ (3) y2-6y+9=______ (4) ma+mb-mc=
归纳小结
想一想 因式分解与整式乘法有什么关系？
整式积的形式 整式乘法
整式乘法 因式分解
互逆运算
多项式 因式分解
典例精析
例1 若多项式 ax+B可分解为a(x+y)，则B等于( )
第四章 因式分解
第一节 因式分解
温故知新
一、用简便方法计算
（1）66×42- 42×6
（2）16.9× 1 +15.1× 1
8
8
探索一：因式分解的概念
993-99能被100整除吗？
乘法对加法分配律Βιβλιοθήκη 逆用解：993-99=99×992-99×1 =99×(992-1) =99×9800 =99×100×98
8
8
5.若多项式2x2+mx+n分解因式的结果为(2x-2)(x+3) 求m，n的值。
能力提升
6:仔细阅读下面的例题,并解答问题
例题:已知二次三项式x2-4x+m有一个因式为x十3，求另
一个因式及m的值
解:设另一个因式为x+n,则x2-4x+m=(x+3)(x+n)
即:x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n.
在这里，解决问题的关键是把 一个数式化成几个数的积的形式。
所以，993-99能被100整除. 想一想: 993-99还能被哪些整数整除?
探索一：因式分解的概念
议一议 你能尝试把
七年级下-数学-因式分解-讲义
定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式因式分解的意义与整式乘法的关系：互逆提取公因式法：)(c b a m mc mb ma ++=++因式分解的主要方法 平方差公式：()()b a b a b a -+=-22 因式分解 公式法完全平方公式：()2222b ab a b a +±=±因式分解的一般步骤：先看能否用提取公因式，再看能否用公式法因式分解的应用4.1 因式分解知识点：一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫分解因式。
考点①:判断因式分解。
关键：1、等式右边是几个整式乘积的形式2、是否分解彻底；3、用整式乘法来检验因式分解的正确性。
例1：下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（）A. ()2132-22+-=+x x x B. ()()111222-+=-+xy xy xy y x C. ()x x y xy y x -=-2233 D. ()()y x y x y x 32329422++-=+- 例2：检验下列因式分解是否正确.(1) ()()1212122+-=-a a a(2) ()()3393-+=-x x x x x(3) ()()3824112++=+-m m m m(4) ()()y x y x y xy x +-=-+2222 考点②：已知因式或其中一个因式，求原多项式的系数。
关键：1、将因式的乘积用整式乘法做化简，再与原多项式一项一项对比。
2、若只知一个因式，则将另一个因式设为类似mx-n 的形式，再与已知因式相乘做化简，最后与原多项式对比。
例1：若()()43--x x 是多项式122+-ax x 分解因式的结果，则a 的值是______. 例2：若()3-x 是多项式122+-ax x 分解因式的结果，则a 的值是______. 例3：若()3-x 是多项式a x x +-72分解因式的结果，则a 的值是______.例4：甲、乙两名同学分解因式b ax x++2时，甲看错了b ，分解结果为()()42++x x ；乙看错了a ，分解结果为()()91++x x ，则.____=-b a考点③：将考点②反过来，已知原多项式和它的因式分解的其中一个因式，求另一个因式.例1：()ab aby abx ab 749147-=+--，括号里应填（）A ． y x 721++- B. y x 72-1+- C. y x 7-2-1 D. y x 721-+例2：已知将122-+x x 因式分解得到的一个因式是()3-x ，另一个因式是_________.考点④：利用因式分解简单计算.例1：（1）2012012- （2）223565-4.2 提取公因式法知识点一：公因式1. 一般地，一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式.2. 多项式各项的公因式应是各项系数的最大公约数与各项都含有的相同字母的最低次幂的积.知识点二：提取公因式法3. 如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行因式分解，这种方法叫做提取公因式法。
因式分解讲义
A、－4m(2m2－3m) B、－4m(2m2＋3m－1)
C、－4m(2m2－3m－1) D、－2m(4m2－6m＋2)
14、把多项式－2x4－4x2分解因式，其结果是（）
A、2(－x4－2x2) B、－2(x4＋2x2) C、－x2(2x2＋4) D、－2x2(x2＋2)
7、a2－4(a－b)2=(__________)·(__________)
8、a(x＋y－z)＋b(x＋y－z)－c(x＋y－z)= (x＋y－z)·(________)
9、16(x－y)2－9(x＋y)2=(_________)·(___________)
10、(a＋b)3－(a＋b)=(a＋b)·(___________)·(__________)
例8已知 ，求 的值.
说明将所求的代数式变形，使之成为 的表达式，然后整体代入求值.
例9已知 ， ，求 的值.
说明这类问题一般不适合通过解出 、 的值来代入计算，巧妙的方法是先对所求的代数式进行因式分解，使之转化为关于 与 的式子，再整体代入求值.
三、巩固练习
一、填空题
1.分解因式： .
2.分解因式： .
11、x2＋3x＋2=(___________)(__________)
12、已知x2＋px＋12=(x－2)(x－6)，则p=_______.
三、解答题
1、把下列各式因式分解。
(1)x2－2x3(2)3y3－6y2＋3y
(3)a2(x－2a)2－a(x－2a)2(4)(x－2)2－x＋2
(5)25m2－10mn＋n2(6)12a2b(x－y)－4ab(y－x)
2、用提提公因式法分解因式5a(x－y)－10b·(x－y)，提出的公因式应当为（）
初中因式分解讲义
第一讲 因式分解初步及应用1. 因式分解把一个多项式分解成几个整式之积的形式叫做多项式的因式分解。
因式分解是多项式乘法的逆向变形。
因式分解的常用方法：提取公因式，公式法，十字相乘法，分组分解法，配方法。
常用公式：； 222)(2b a b ab a ±=+±；；2222)(222c b a ca bc ab c b a ++=+++++；))((3222333ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++；；=+nnba 。
2. 因式分解简单应用利用因式分解解决计算、求值、解方程及证明问题，解题时主要是把所研究的问题转化为因式分解问题。
对于较复杂的数值计算可利用字母代换的方法加以简化。
【例题】1. 提取公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，把这个因式提出来，作为多项式的一个因式，再用这个因式去除这个多项式，把所得的商作为另一个因式，这种因式分解的方法叫做提取公因式。
提公因式法是因式分解中的首选方法，不能提公因式或者提公因式后再选择其它方法。
公因式的取法为：①系数取各项整数系数的最大公约数（第一项系数为负，一般提出负号）。
②字母取各项的相同字母（有时为多项式）。
③字母的指数取相同字母的最低指数。
例1、 分解下列因式：（1）ma+mb; (2)m(a-b)+n(b-a); (3)3423222102a b a b a b--+。
解析: (1)m(a+b); (2)(m-n)(a-b) ;(3) ()3423222222102251a b a b a b a babb --+=-+-。
例2、分解下列各式：（1）322222)(18)(24)(12a b xy a b y x b a xy -+--- ； （2）)()()(222cb ca c bc b ab ac ab a --+-++-+。
解析：（1）)3342()(6)(18)(24)(122322222b a xy y b a xy a b xy a b y x b a xy +---=-+---（2）2222)()()()(c b a cb ca c bc b ab ac ab a -+=--+-++-+。
第四章因式分解基础讲义(基础)
因式分解重点学习1.因式分解的定义2.提公因式法及公式法分解因式3.因式分解法综合运用（因式分解判断三角形、换元法常规、换元法平均数法）知识精讲1.因式分解的概念定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。
注意三原则1 分解要彻底2 最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-32x +x=-x(3x-1)）2.提取公因式法公因式的定义：我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
公因式的确定：（1）符号: 若第一项是负号则先把负号提出来（提出负号后括号里每一项都要变号）（2）系数：取系数的最大公约数；（3）字母：取字母（或多项式）的指数最低的；（4）所有这些因式的乘积即为公因式；提公因式法分解因式：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式的乘积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
3.公式法平方差公式：完全平方公式： 一个多项式化成几个整式的积的形式8x 2y 3=2x 2·4y 3一个多项式化成几个整式积的形式x-1=x(1―1x )一个多项式化成整式积的形式X 2-x-2=x(x-1)-2 (x+1)(x-1)=x 2-1考点1：因式分解的概念例题1：下列各式从左到右的变式中，属于因式分解的是（） A. a (x +y )=ax +ay B. x 2−2x +1=x (x −2)+1C . 6ab=2a ·3b D. x 2−1=(x +1)(x −1) 定义易错点提取经典例题考点2：提公因式法例题2：因式分解（1）a2x2―ax (2)-6abc-14a2b3+12a3b(3)8ab(x-y)2―4a(y-x)4(4)m(m-n)3+n(n-m)5考点3 整体思想例题3：（x-y）2-（y-x）因式分解的结果是（）A.（y-x）（x-y）B.(x-y)(x-y-1)C.(y-x)(y-x-1)D.(x-y)（y-x-1）超长材料阅读题阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(1+x)]=(1+x)2(1+x)=(1+x)3（1）上述分解因式的方法是（），共应用了（）次。
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因式分解知识网络详解：因式分解的基本方法：1、提公因式法——如果多项式的各项有公因式，首先把它提出来。
2、运用公式法——把乘法公式反过来用，常用的公式有下列五个：平方差公式 ()()22a b a b a b -=+-； 完全平方公式 ()2222a ab b a b ±+=±； 3、分组分解法——适当分组使能提取公因式或运用公式。
要灵活运用“补、凑、拆、分”等技巧。
4、十字相乘法——))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++【课前回顾】1．下列从左到右的变形，其中是因式分解的是（ ）（A ）()b a b a 222-=- （B ）()()1112-+=-m m m（C ）()12122+-=+-x x x x （D ）()()()()112+-=+-b ab a b b a a2．把多项式－8a 2b 3＋16a 2b 2c 2－24a 3bc 3分解因式，应提的公因式是( )，（A ）－8a 2bc （B ） 2a 2b 2c 3 （C ）－4abc （D ） 24a 3b 3c 33．下列因式分解中，正确的是（ ）（A ）()63632-=-m m m m （B ）()b ab a a ab b a +=++2（C ）()2222y x y xy x --=-+- （D ）()222y x y x +=+4．下列多项式中，可以用平方差公式分解因式的是（ ）（A ）42+a （B ）22-a （C ）42+-a （D ）42--a5．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是( )．（A ）4x 2－1 （B ）4x 2＋4x －1 （C ）x 2－xy ＋y 2 D ．x 2－x ＋12 6．若942+-mx x 是完全平方式，则m 的值是（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）12 （D ）±12经典例题讲解：提公因式法：提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。
它的理论依据就是乘法分配律例：22x y xy - ()()p x y q y x --- ()()x a b y a b +-+变式练习：1．多项式6a 3b 2－3a 2b 2－21a 2b 3分解因式时，应提取的公因式是 ( )A.3a 2bB.3ab 2C.3a 3b 2D.3a 2b 22．如果()222332x y mx x n -+=--，那么（ ）A ．m=6，n=yB ． m=-6， n=yC ．m=6，n=-yD ． m=-6，n=-y3．()()222m a m a -+-，分解因式等于（ ）A ．()()22a m m --B ．()()21m a m --C ．()()21m a m -+D ．以上答案都不能4．下面各式中，分解因式正确的是 ( )A.12xyz －9x 2.y 2=3xyz(4－3xy)B.3a 2y －3ay + 6y=3y(a 2－a+2)C.－x 2+xy －xz=－x(x 2+y －z)D.a 2b + 5ab －b=b(a 2 + 5a)5．若a+b=7,ab=10,则22ab b a +的值应是（ ）A ．7B ．10C ．70D ．176.因式分解 1．6x 3－8x 2－4x 2．x 2y(x －y) + 2xy(y －x)3.()()x m ab m x a +-+4.()()()x x x --+-212运用公式法：把我们学过的几个乘法公式反过来写就变成了因式分解的形式：平方差：)b a )(b a (b a 22-+=- 完全平方：222)b a (b 2ab a ±=+±立方和：)b ab a )(b a (b a 2233+-+=+ 立方差：)b ab a )(b a (b a 2233++-=-例1. 把下列各式分解因式：（1）x 2－4y 2 （2）22331b a +- （3）22)2()2(y x y x +-- (4)442-+-x x例2．（1）已知2=+b a ，利用分解因式，求代数式222121b ab a ++的值（2）已知0136422=+--+b a b a ，求b a +。
变式练习： 1．下列各式中不能运用平方差公式的是（ ）A ．22b a +-B ．22y x --C ．22249y x z +-D ．2242516p n m -2．分解因式(),424c b a --其中一个因式是（ ）A ．c b a +-22B ．c b a 222--C ．c b a 222-+D ．c b a 222++3． x x 212+--分解因式后的结果是（ ）A ．不能分解B ．()21-xC ．()21+-xD ．()21--x4．下列代数式中是完全平方式的是（ ）①442--x x ②442++-x x ③1392++x x④4122++ab b a ⑤2224y xy x ++ ⑥2291624x y xy +-A ．①③B ．①②C ．④⑥D ．④③5．k －12xy 2+9x 2是一个完全平方式，那么k 的值为（ ）A ．2B ．4C ．2y 2D ．4y 46．若()16322+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于（ ）A ．－5B ．7C ．－1D ．7或－17.因式分解1．14-x 2．36122+-x x3．m m 321912-+ 4．9)(24)(162+-+-b a b a十字相乘法：对于二次项系数为1的二次三项式))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++方法的特征是“拆常数项，凑一次项”例1 把下列各式分解因式：（1）1522--x x ； （2）2265y xy x +-．例2 把下列各式分解因式：（1）3522--x x ； （2）3832-+x x ．对应练习：1．如果))((2b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( )A ．abB ．a ＋bC ．－abD ．－(a ＋b )2．如果305)(22--=+++⋅x x b x b a x ，则b 为 ( )A ．5B ．－6C ．－5D ．63．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为 ( )A ．10和－2B ．－10和2C ．10和2D ．－10和－24．不能用十字相乘法分解的是( )A ．22-+x xB ．x x x 310322+-C ．242++x xD ．22865y xy x --5．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是( )A ．20)(13)(22++-+y x y xB ．20)(13)22(2++-+y x y xC ．20)(13)(22++++y x y xD ．20)(9)(22++-+y x y x6．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )． a ＝__________，b ＝__________．7.因式分解(1)a 2－7a+6 (2) 2384a a -+ (3) 2576x x +-(4) 261110y y -- (5) 2252310a b ab +- (6) 222231710a b abxy x y -+(7) 22712x xy y -+ (8) 42718x x +-(9) 22483m mn n ++ (10) 53251520x x y xy --分组分解法：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22a b a b -+-没有公因式，又不能直接利用分式法分解例1 分解因式（1）22x ax y ay --+ （2）432416x x x -+-（3）22244x xy y a -+- （4）27321a b ab a -+- 例2 分组后能直接运用公式的因式分解。
（1）22194m mn n +-+ （2）2242x x y y --+ 对应练习：1．242ax bx ay by +--=（ ）+（ ）= + = 。
2．22222222263a x b x a y b y +++=（ ）+（ ）= + = 。
3．2222x a ab b ---=（ ）－（ ）= 。
4.（1）277x x x -+- （2）22323x y xy x y ++++（3）1ab a b +-- （4）22x y ax ay -++ 自检自测：一、填空题：1、322236129xy y x y x -+中各项的公因式是__________。
2、分解因式=-x x 422___________________________； =-942x ____________________。
=+-442x x ； ()()49142++-+y x y x =____________________。
3、若 , ),4)(3(2==-+=++b a x x b ax x 则。
二、选择题：1、下列各式从左到右的变形，是因式分解的是：（ ）A 、x x x x x 6)3)(3(692+-+=+-B 、()()103252-+=-+x x x xC 、()224168-=+-x x xD 、()()()()2332-+=+-x x x x2、下列多项式，不能运用平方差公式分解的是（ ）A 、42+-mB 、22y x --C 、122-y xD 、()()22a m a m +--3、下列各式可以用完全平方公式分解因式的是（ ）A 、2242b ab a +-B 、4142+-m m C 、269y y +- D 、222y xy x -- 4、把多项式()()a p a p -+-112分解因式的结果是（ ）A 、()()p p a +-21 B 、()()p p a --21 C 、()()11--p a p D 、()()11+-p a p 5、若2249y kxy x +-是一个完全平方式，则k 的值为（ ）A 、6B 、±6C 、12D 、±126、()()y x y x +--22是下列哪个多项式分解的结果（ ）A 、224y x - B 、224y x + C 、224y x -- D 、224y x +- 7、若=+=-=+22,1,3b a ab b a 则（ ）A 、－11B 、11C 、－7D 、7三、把下列各式分解因式(1)22x -4x （2）c b a c ab b a 233236128+- (3) a 2－9b 2 (4)228168ay axy ax -+- （5）2224)1(a a -+（6）m mn n m 222--+ （7）x 2 +6x- 27 （8）9+6(a+b)+（a ＋b ）2。