蛛网模型(差分方程)汇总

n
x1 (k 1) bi xi (k ) (设至少1个bi>0) i 1
x i
1
(k
1)
s i
x i
(k),
i
1,2,,
n
1
b1
s 1
b2 0
bn1 0
bn
0
x(k) [x1(k), x2 (k),xn (k)]T
~按年龄组的分布向量
L
s2
0
x(k 1) Lx(k)
x(k) Lk x(0)
设x1偏离x0
x1 y1 x2 y2 x3
xk x0 , yk y0
xk x0 , yk y0
P1 P2
P3 P0
P P P P
1
2
3
0
P0是稳定平衡点
P0是不稳定平衡点
y
f
y2 P3
yy30 y1
P2
g
y
P4 曲线斜率
P0 | K f || K g | y0
P1
0 x2 x0 x3 x1 x
~ 商品数量减少1单位, 价格上涨幅度 xk1 x0 ( yk y0 )
~ 价格上涨1单位, (下时段)供应的增量
~ 消费者对需求的敏感程度 小, 有利于经济稳定
~ 生产者对价格的敏感程度 小, 有利于经济稳定
1 经济稳定
结果解释
经济不稳定时政府的干预办法
1. 使 尽量小，如 =0
y
g
需求曲线变为水平 y0 以行政手段控制价格不变
0
2. 使 尽量小，如 =0 y
供应曲线变为竖直
靠经济实力控制数量不变
0
f
x g
f
x0
x
模型的推广 生产者管理水平提高 xk1 h( yk )
• 生产者根据当前时段和前一时 段的价格决定下一时段的产量。
xk 1
h
y k
y k 1
2
设供应函数为
生产者的供应关系 供应函数 xk 1 h( yk ) 增函数
y
f
g
y0
P0
0
x0
yk g (xk 1)
f与g的交点P0(x0,y0) ~ 平衡点 一旦xk=x0，则yk=y0,
xk+1,xk+2,…=x0, yk+1,yk+2, …=y0
x
蛛 网 模 型 yk f (xk ) xk1 h( yk ) yk g(xk1)
4) x(k) ck x*, x* [1, s1, s1s2 ,, sn1 ]T
xi1(k ) si xi (k ), i 1,2,, n 1
0
sn1 0
预测任意时段种群
~Leslie矩阵(L矩阵)
按年龄组的分布
稳定状态分析的数学知识
• L矩阵存在正单特征根1，
k
1
,
k
2,3,n
特征向量
x*
1,
s1
1
,
s1s2
2 1
, ,
s s s
T
12
n1
n1 1
• 若L矩阵存在bi, bi+1>0, 则 k 1, k 2,3,, n
x* 1, s1, s1s2 ,s1s2 sn1 T
~ 各年龄组种群 数量不变
稳态分析
3）=1时 Lx* x* x* 1, s1, s1s2,s1s2 sn1 T
b1 b2 bn1 bn
s 1
0
0
0
L
s2
0
0
sn1 0
b1 b2s1 bns1s2 sn1 1
~ 1个个体在整个存活 期内的繁殖数量为1
1, 2~特征根，即方程 22 0 的根
平衡点稳定，即k, xkx0的条件:
1, 2
1
1,2
( )2 8
4
平衡点稳定条件 2
1, 2
2
比原来的条件 1 放宽了
2 按年龄分组的种群增长
• 不同年龄组的繁殖率和死亡率不同 • 以雌性个体数量为对象 • 建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律
lim x(k ) cx*
k
k
1
1) x(k) ck x* ~ 种群按年龄组的分布趋向稳定，
x*称稳定分布, 与初始分布无关。
2) x(k 1) x(k) ~ 各年龄组种群数量按同一
xi (k 1) xi (k) 倍数增减， 称固有增长率
与基本模型 x(k 1) Lx(k) 比较
3）=1时 x(k 1) x(k) cx*
xk 1
x 0
[( y k
y k
1)/2源自y] 0需求函数不变 y y (x x )
k
0
k
0
2xk2 xk1 xk 2(1)x0 , k 1,2,
二阶线性常系数差分方程
x0为平衡点 研究平衡点稳定，即k, xkx0的条件
模型的推广
2x x x 2(1)x
k2
k 1
k
0
方程通解 xk c11k c2k2 x0 (c1, c2由初始条件确定)
假设与建模
• 种群按年龄大小等分为n个年龄组，记i=1,2,… , n • 时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记k=1,2,… • 第i 年龄组1雌性个体在1时段内的繁殖率为bi • 第i 年龄组在1时段内的死亡率为di, 存活率为si=1- di
假设 与
建模
xi(k)~时段k第i 年龄组的种群数量
1 市场经济中的蛛网模型
供大于求
价格下降
现 象
数量与价格在振荡
增加产量
价格上涨
减少产量 供不应求
描述商品数量与价格的变化规律
问 题 商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定
当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定
蛛网模型
xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格
消费者的需求关系 需求函数 yk f (xk ) 减函数
0
P3 f
g P4
P2
P0 | K f || K g
P1
x0
x
方程模型 yk f (xk )
在P0点附近用直线近似曲线
yk y0 (xk x0 ) ( 0)
xk 1 h( yk )
xk1 x0 ( yk y0 ) ( 0)
x x (x x )
k 1
0
k
0
x x ( )k (x x )
k 1
0
1
0
1 ( 1/ )
1 ( 1/ )
xk x0 xk
P0稳定 | K f || K g | P0不稳定| K f || K g |
方程模型与蛛网模型的一致 K f 1/ Kg
结结果果解解释释
考察 , 的含义
xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格
yk y0 (xk x0 )
且
lim
k
x(k )
1k
cx* , c是由bi, si, x(0)决定的常数
解 释
x(k) Lk x(0) L对角化 L P[diag(1,n )]P1
Lk P[diag(1k ,kn )]P1 P的第1列是x*
lim
k
x(k)
1k
Pdiag(1,0,0)P1x(0)
cx*
稳态分析——k充分大 种群按年龄组的分布