复变函数论自考试卷

∫
+∞
0
x2 dx ． ( x 2 + 1)( x 2 + 4)
26. 求将单位圆 z < 1 共形变换成单位圆 ω < 1 的线性变换 ω = L( z ) ，使合条件
1 1 π L( ) = 0 ， arg L ′( ) = − ． 2 2 2
五、证明题
（其中 27 题 7 分，28、29 每小题 8 分，共 23 分）
（
19. 所 谓 围 线 ， 就 是 任 意 一 条 首 尾 相 接 的 闭 曲 线 ． ） 20.若函数 f ( z ) 在单连通区域 D 内连续， 且沿 D 内的任一围线 C 的积分为零， 则 f ( z)
在 D 内解析． （ ） 21. 一 切 在 实 轴 上 成 立 的 恒 等 式 ， 在 z 平 面 上 也 成 立 ． （ ）
∞
D. sin z =
(−1) n z 2 n +1 ∑ n = 0 ( 2 n + 1)!
∞
8.函数 A.１
z2 + 9 在零点 z = 3i 的阶数是 z4
B.２ C.３ D.４
（
）
9. f ( z ) , g ( z ) 分别以 z = a 为 m 阶极点及 n 阶极点，则 z = a 是 f ( z ) ⋅ g ( z ) 的极点， 其阶数为 （ ）
）
B. f ( z ) =
1 z
=
B. e
1− 2 x
)
A. e
x
C. e
−2 x
D.１ ( )
5. Ln( −i ) = A. −
π i 2
B. −
π i + 2kπ i （ k 为整数） C. π i 2
是整函数． B. f ( z ) = Re z
z
D. π i + 2kπ i （ k 为整数） （ ）
3π + 2kπ （ k 为整数） 4 3π D. − + 2kπ （ k 为整数） 4
B. 不是单值函数． C. ω = Lnz D. ω = z （
2
）
3.下列函数中， 在 z 平面上处处解析的函数是 A. f ( z ) = sin z 4. e
i −2 x
（ C. f ( z ) = z D. f ( z ) = z Re z (
6.下列函数中 A. f ( z ) = z
C. f ( z ) = e + i
D. f ( z ) =
1 z
（ ）
7.下列函数展成的幂级数中收敛半径为１的是 A.
∞ 1 = ∑ zn 1 − z n =0
B. e =
z
zn ∑ n = 0 n!
∞
C. cos z =
(−1) n z 2 n ∑ (2n)! n =0
D.
1 (3 − 2i ) 13
．
13.函数 f ( z ) 在区域 D 内解析的充要条件是 14.若 a 为围线 C 内一点，则
∞
∫
C
dz = z−a
．
15.复数项级数
∑a
n =0
n
收敛的必要条件为
．
16.函数
z 按 z − 1 的幂展开后的级数的收敛范围为 z+2
．
三、判断题 （每小题 2 分，共 10 分） 你认为正确的在题后括号内划“√” ，反之划“×” 17.若 f ( z ) 在 z 0 点连续，则 f ′( z 0 ) 存在． 18.若 f ( z ) 在 z 0 点解析， 则 f ( z ) 在 z 0 点必连续， 反之不一定成立． （ （ ） ）
m = M = A ，从而 f ( z ) = A ， z ∈ D ． ……………………6 分
又由 f ( z ) 解析知， f ( z ) 在 D 内恒为一常数，与题设矛盾，故 f ( z ) 在 D 内至少有一个 零点． …………………………………………8 分 29. 证明 令 f ( z ) = − az n ， ϕ ( z ) = e z 显然 f ( z ) 及 ϕ ( z ) 均在 z < 1 内解析，在 z ≤ 1 连续，又在 z = 1 上 ………………2 分
sin sin
∫
C
π z 4 dz = z 2 −1
π z 4 ∫ z −1 = 12 ( z + 1)( z − 1) dz ……………………4 分
sin sin
=∫
z −1 =
1 2
π z 4 z + 1 dz z −1
⎡ π ⎤ ⎢ sin 4 z ⎥ = 2π i ⎢ ⎥ …………………………………6 分 ⎢ z +1 ⎥ ⎢ ⎥ z =1 ⎣ ⎦ sin = 2π i
3 3
27.判断函数 f ( z ) = 2 x + 3iy 在 z 平面上的可微性和解析性．
28. 设 D 是周线 C 的内部， f ( z ) 在区域 D 内解析，在闭域 D = D + C 上连续，其模
f ( z ) 在 C 上为常数，试证：若 f ( z ) 不恒等于一个常数，则 f ( z ) 在 D 内至少有一个零点．
24. 解
2
π 4 =
2 π i ……………………7 分 2 1 < 1 ，利用公式得 z
在 1 < z < +∞ 内，这时有
z +1 1 ⎛ 2 ⎞ = 2 ⎜1 + ⎟ …………………………………………2 分 z −1⎠ z ( z − 1) z ⎝
2
⎛ ⎞ ⎜ 1 ⎜ 2 1 ⎟ ⎟ ………………………………………4 分 = 2 1+ ⋅ 1⎟ z z ⎜ 1− ⎟ ⎜ z⎠ ⎝ = 1 z2 ⎡ 2 ∞ ⎛ 1 ⎞n ⎤ ⎢1 + ⋅ ∑ ⎜ ⎟ ⎥ …………………………………6 分 ⎢ ⎣ z n=0 ⎝ z ⎠ ⎥ ⎦
均不在 x 轴上，其中只有两个一阶极点 z = i 和 z = 2i 在上半平面上，且
Re s f ( z ) =
z =i
z2 ( z + i )( z 2 + 4)
=
z =i
i 6
=
z2 Re s f ( z ) = 2 z =2i ( z + 1)( z + 2i )
由定理知
z =2i
i ……………………4 分 −3
则由最大模及最小模原理知， f ( z ) 在 D 内既不能达到最大值又不能达到最小值； …3 分 但由于 f ( z ) 在 D = D + C 上连续知 f ( z ) 必在 D 上达到最大值与最小值．因此， ，故知 f ( z ) 只能在边界 C 上达最大值 M 和最小值 m ，又已知 z ∈ C 时 f ( z ) = A （常数）
四、计算题
（每小题 7 分，共 35 分）
22.计算积分
∫
1
−1
z dz ，积分路径是下半单位圆周．
sin
23.计算积分
∫
C
π z 4 dz ， C : z − 1 = 1 ． 2 z 2 −1
24.将函数
z +1 在圆环 1 < z < +∞ 内展为罗朗级数． z ( z − 1)
2
25.计算积分
ϕ ( z ) = e z = e Re z ≤ e z = e < a = − az n = f ( z ) ……………………4 分
由儒歇定理在 z < 1 内 f ( z ) = − az n 与 f ( z ) + ϕ ( z ) = e − az 有相同多个零点，而
z n
f ( z ) = − az n 在 z < 1 内有唯一一个 n 重零点 z = 0 ，故方程 e z − az n = 0 在单位圆 z < 1
五、证明题 （其中 27 题 7 分，28、29 每小题 8 分，共 23 分）
3 3
27. 证明∵ u ( x, y ) = 2 x ， v( x, y ) = 3 y
2 2
∴ u x = 6 x , u y = 0, v x = 0, v y = 6 y …………………………………4 分 显 然 u x , u y , vx , v y 在 z 平 面 上 处 处 连 续 且 仅 当
复变函数
试卷五
（供数学教育专业使用）
一、单项选择题 （每小题 2 分，共 24 分） 在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案， 并将其前面的代码写在题干后面的括号 内．不选、错选或多选者，该题无分． 1. Arg ( −1 − i ) = ． （ ）
3π 4 3π C. − 4
A. 2.下列函数中， A. ω = z B. ω = z
π
2π
= ∫ e iθ d (iθ ) = e iθ
π
2π
2π
π
…………………………………………6 分
= e i 2π − e iπ = 1 − (−1) = 2 …………………………………………7 分
π z 4 在圆域 z − 1 < 1 内解析，在 z − 1 ≤ 1 上连续， z = 1 在圆 23. 解 ∵ f ( z ) = z +1 2 2 1 z − 1 < 内，由柯西积分公式得……………………………………2 分 2
29.试证：当 a > e 时，方程 e − az = 0 在单位圆 z < 1 内有 n 个根．
z
n
试卷五参考答案
一、单项选择题 （每小题 2 分，共 24 分） 1.D 2.C 3.A 4.C 5.B 6.C 11.C 12.C 二、填空题 （每小题 2 分，共 8 分） 7.A 8.B 9.C 10.B
13. u ( x, y ), v( x, y ) 在 D 内可微且满足 C . − R. 条件 16. z − 1 < 3 三、判断题 （每小题 2 分，共 10 分） 17.× 18.√ 19.× 20.√ 四、计算题 （每小题 7 分，共 35 分） 22. 解 下半单位圆周的方程为
14. 2π i
2 x ± 3 y = 0 时 满 足 C. − R. 条 件
u x = v y ， u y = −v x ，从而 f ( z ) 只在直线 2 x ± 3 y = 0 上可微，由于不存在 f ( z ) 的可微
邻域，故 f ( z ) 在 z 平面上处处不解析． …………………………………………7 分 28. 证明 用反证法，假设 f ( z ) 在 D 内无一零点，因 f ( z ) 解析且不恒等于一个常数，
11.方程 z − 5 z − 2 z + 1 = 0 在单位圆 z < 1 内根的个数为 A.１ B.３ C.５ D.8
12. 3 + 2i 关于单位圆周 z = 1 的对称点是 A. 3 − 2i 二、填空题 B. − 3 + 2 i （每小题 2 分，共 8 分） C.
（
）
1 (3 + 2i ) 13
A. m 10.下列函数中，
3
B. n
C. m + n 不是 z 平面上的调和函数． B. u ( x, y ) = sin x
2
D. m ⋅ n （ ）
A. u ( x, y ) = x − 3 xy
2
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C. u ( x, y ) = x + xy − y
8 5
D. u ( x, y ) = x （ ）
15. Lim a n = 0
n →∞
21.×
z = e iθ ， π ≤ θ ≤ 2π ……………………2 分
∴ dz = ie dθ ，起点 − 1 = e ，终点 1 = e 于是有
iθ iπ i 2π
即起点对应 θ = π ，终点对应 θ = 2π ，
∫
1
−1
z dz = i ∫ e iθ e iθ dθ …………………………………………4 分
=
∞ 1 1 …………………………………………7 分 + 2 ∑ 2 n+3 z n =0 z
25. 解
∫
+∞
0
x2 1 +∞ x2 dx = ∫ dx ……………………2 分 2 −∞ ( x 2 + 1)( x 2 + 4) ( x 2 + 1)( x 2 + 4)
又 f ( z) =
z2 是有理函数，且分母的次数比分子的次数高 2 次，四个极点 ( z 2 + 1)( z 2 + 4)
∫
+∞
0
x2 1 +∞ x2 dx = dx 2 ∫− ∞ ( x 2 + 1)( x 2 + 4) ( x 2 + 1)( x 2 + 4)
= 1 ⋅ 2π i [ Re s f ( z ) + Re s f ( z )] ………………6 分 z =i z = 2i 2
i i π = π i ( − ) = ……………………7 分 6 3 6 1 26. 解 将单位圆 z < 1 共形变换成单位圆 ω < 1 且使 z = 变成 ω = 0 的线性变换为 2 1 z− 2 = e iβ 2 z − 1 ……………………3 分 ω = e iβ 1 2− z 1− z 2 1 π β = arg L ′( ) = − ……………………………6 分 2 2 2z − 1 故所求线性变换为 ω = i …………………………………………7 分 z−2