正多边形有关的证明及计算

题
知
例 解
求解.
能 提
·
举
升
一
作
反
三
业
基 【自主解答】(1)延长PO交QR于E，交BC于F，连接OR，
课
础
时
梳 ∵△PQR为正三角形，∴∠POQ=120°，
训
理
练
· 预
∵OP=OQ,∴∠OPQ=∠OQP=30°，
· 基
习
础
点 同理∠OPR=30°，∴∠OPQ=∠OPR.
达
睛
标
精 ∵PR=PQ，∴PE⊥QR，
基
课
础 梳
∴四边形AGDF是平行四边形．
时 训
理
练
· ∴∠1=∠2=∠3=∠4=36°,∠GDB=∠C=180 =A72°,
·
预
2
基
习 点
∴∠5=∠GDB-∠4=36°.同理∠6=36°
础 达
睛
标
∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=∠6.
精
题 例
∴ D»E E»F F»G ， G»H H»D
·
举
升
一 利用等分圆周的方法可以作圆内接正多边形.
作
反
三
业
基
课
础
时
梳
训
理 ·
1.下列命题中正确的有 ( )
练 ·
预
基
习 点
①各边相等的三角形是正三角形；②各角相等的多边形是正
础 达
睛
标
多边形；③各边相等的多边形是正多边形；④各边相等的圆
精 题
内接多边形是正多边形；⑤各角相等的圆内接多边形是正多
知
例
· 基
习 点
切(我们称T1，T2分别为圆O的内接正六边形和
础 达
睛
标
外切正六边形).
精
题 例
(1)设T1，T2的边长分别为a，b，圆O的半径为r,求r∶a及
知 能
解
· r∶b的值;
提
举
升
一 反
(2)求正六边形T1，T2的面积比S1∶S2的值.
作
三
业
基 础
【解析】(1)连接圆心O与T1的6个顶点，可得6个全等的正
算其周长或面积时，需要利用正多边形外接圆的半径、边心
精
题 距，把正多边形分割成n个或2n个直角三角形，结合勾股定
例
知 能
解
· 理及方程的思想来解决问题.
提
举
升
一
作
反
三
业
基
课
础
时
梳
训
理 ·
3.(2010·宿迁中考)如图,平面上两个正方形与正五边形都
练 ·
预
基
习 有一条公共边， 则∠α等于_____°.
课 时
梳
训
理 三角形.
练
·
·
预 习
∴r∶a=1∶1.
基 础
点
达
睛 连接圆心O与T2相邻的两个顶点，可得以
标
精 ⊙O半径为高的正三角形.
题
知
例 解 ·
∴( )b2+r2=b2.得r=
2
b3,∴r∶b=
2
∶23.
举
能 提 升
一 反 三
(2)S1

6
1 2

r

3r3 3 22
r2 ,S2

6
1 2
举
升
一 反
并会用相关知识解决实际问题.
作
三
业
基
课
础
时
梳
训
理
练
·
·
预
基
习
础
点
达
睛
标
精 题
知
例
能
解
提
·
举
升
一
作
反
三
业
基
课
础
时
梳
训
理
练
·
·
预
基
习
础
点
达
睛
标
精 题
知
例
能
解
提
·
举
升
一
作
反
三
业
基
课
础
时
梳
训
理
练
·
·
预
基
习
础
点
达
睛
标
精 题
知
例
能
解
提
·
举
升
一
作
反
三
业
基
课
础
时
梳
训
理
练
·
·
预
基
习
础
点
达
睛
标
精 题
知
题
知
例
能
解
提
·
举
升
一
作
反
三
业
基 础
【解析】连接OF、OB、OC，由题意可知△BDF为正三角形，
课 时
梳
训
理 如图，设⊙O的半径为r，
练
·
·
预 习
则 OM 1 r，BM r2 (1 r)2 3 r.
基 础
点
2
2
2
达
睛 ∴FM=r+1 r=3 r.BD=2BM=3r.
标
精
22
题 例 解
达 标
精 BC∥QR，⊙O的半径为4.
题
知
例 (1)求∠AOQ；
能
解
提
·
举 (2)求△PQR与四边形ABCD的周长.
升
一
作
反
三
业
基
课
础
时
梳
训
理
练
·
·
预 【思路点拨】求解∠AOQ的度数，关键是求出圆内接正多边 基
习
础
点 睛
形的中心角，正多边形周长的计算，在多边形的外接圆的半
达 标
精 径、边心距和边长的一半构成的直角三角形中利用勾股定理
∴ ×1 r×3
22
= 3r .∴1r2=43(取正值),
· 且△BOC为正三角形.∴正六边形的边长等于4.
知 能 提
举
升
一 反
答案:4
作
三
业
基
课
础 梳
4.(2010·晋江中考)将一块正五边形纸片(图①)做成一个底
时 训
理
练
· 面仍为正五边形且高相等的无盖纸盒(侧面均垂直于底面，
·
预
基
习
础
点 见图②)，需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图①中
标
精 题
弦BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，
知
例
能
解 求证：五边形AEBCD是正五边形.
提
·
举
升
一
作
反
三
业
基
课
础
时
梳
训
理
练
· 预
【思路点拨】
· 基
习
础
点
达
睛
标
精 题
知
例
能
解
提
·
举
升
一
作
反
三
业
基
课
础 梳
【自主解答】∵△ABC为等腰三角形，∠BAC=36°，
时 训
理
练
· ∴∠ABC=∠ACB=72°.又∵BD、CE分别平分∠ABC，∠ACB， ·
知 能
解
· ∴五边形DEFGH是正五边形．
提
举
升
一
作
反
三
业
基
课
础
时
梳
训
理
练
·
·
预
基
习
础
点
达
睛
标
精 题
知
例
能
解
提
·
举
升
一
作
反
三
业
基 础
一、选择题（每小题4分，共12分）
课 时
梳
训
理 1.（2010· 河北中考）如图，两个正六边形的边长均为1， 练
·
·
预
基
习 其中一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上， 础
题
知
例 又∵BC∥QR，∴PE⊥BC.
能
解
提
· 举
∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴PE⊥AD，
升
一
作
反 ∵∠OAD=45°，
三
业
∴∠AOP=45°，∴∠AOQ=120°－45°=75°.
基
课
础
时
梳
训
理
练
· (2)连接OC，由(1)的计算可知，
·
预
基
习 点
OE=1
2
OR=2,∴ER

OR2 OE2 2 3,QR 4 3,
能
解 ·
边形.
提
举
升
一 (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
作
反
三
业
基
课
础
时
梳
训
理 【解析】选B.判断一个多边形要紧扣定义，同时注意三角形
练
·
·
预 习
的特殊性，根据等边对等角，所以各边相等的三角形的各角
基 础
点
达
睛 也相等，故①正确；②、③不符合定义，如矩形满足各角相
标
精 题
等，菱形满足各边相等，但都不是正多边形；由正多边形和
·
预
正多边形的边数为偶数时，既是轴对称图形又是中
基
习
础
点 睛
心对称图形，它的对称中心就是正多边形的中心；边数为奇
达 标
精 数时，只是轴对称图形，但不是中心对称图形.
题
知
例
能
解
提
·
举
升
一
作
反
三
业
基
课
础
时
梳
正多边形有关的证明及计算
理
训 练
·
·
预 【例2】如图，△PQR是⊙O的内接正三角
基
习
础
点 睛
形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，
睛
础 达 标
∴△PQR的周长是 12 3
精
题 例
设FC的长为x，则x2+x2=42，解得2x=2 ,
知 能
解 ·
∴四边形ABCD的周长为8 2 .
提
举
升
一
作
反
三
业
基
课
础
时
梳
训
理
练
·
解决正多边形的有关计算，首先要辨清正多边形的
·
预
基
习 点
边长、半径、边心距、中心角等概念及它们之间的关系；计
础 达
睛
标
点击进入相应模块
基
课
础
时
梳
训
理
练
·
·
预
基
习
础
点
达
睛
标
精 题
知
例
能
解
提
·
举
升
一
作
反
三
业
基
课
础
时
梳
训
理
练
·
·
预
基
习 点
础
1.掌握正多边形的相关概念，会依据圆的性质证明 达
睛
标
一个多边形是正多边形，并会利用等分圆周的方法画正多边
精
题 例
形.
知 能
解 ·
2.会进行与正多边形有关的角度、周长、面积等方面的计算， 提
知
例
n
能
解 ·
一个内角= (n 2) 180 .
提
举
n
升
一 反
所以中心角+内角=360 (n 2) 18,故0 选 1B80．
n
n
三
作 业
基
课
础
时
梳 理
2.下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
训 练
·
·
预
() 基
习
础
点
达
睛 (A)正六边形
(B)平行四边形
标
精 (C)正五边形

r

2
3r 3

2
3r2,S∶1 S2 3∶4.
作 业
基
课
础
时
梳
训
理
练
·
·
预 习
与正多边形有关的实际问题，关键是根据题意正确
基 础
点
达
睛 地抽象出数学模型，并借助多边形的知识加以解决.多边形
标
精 题
的有关计算，其要点是抓住边心距、半径、边长之间的关系.
知
例
能
解
提
·
举
升
一
作
反
三
业
基
课
础
时
梳
训
理
练
·
·
预
基
习
础
点
达
睛
标
精 题
知
例
能
解
提
·
举
升
一
作
反
三
业
基
课
础 1.正多边形一边所对的中心角与该正多边形的一个内角的关 时
梳
训
理 ·
系是 ( )
练 ·
预
基
习 (A)两角互余
(B)两角互补
础
点
达
睛 (C)两角互余或互补
(D)不能确定两角的关系
标
精
题 【解析】选B.因为正多边形的中心角为 360,
基
课
础
时
梳
训
理
练
·
·
预
基
习
础
点
达
睛 则∠1=60°，∠2=45°，∠3=30°，
标
精 题 例
对于正三角形，r3

1 2
R，
知 能
解 · 举
a3 2
R2 (1 R)2 2
3R.
提 升
一 反 三
对于正方形,r4= 12a4,∴R2=( a124)2+( a124)2,∴a4= R.2
达
睛
标
的四边形ABCD，则∠BAD的大小是_____度.
精 题
知
例
能
解
提
·
举
升
一
作
反
三
业
基
课
础
时
梳
训
理 ·
【解析】先求出正六边形的每一个内角的度数
练 ·
预 习
C 5 218又0在四10边8.形ABCD中的∠ADC=∠ABC
基 础
点
5
达
睛 =90°,所以∠BAD的度数为360°-108°-90°×2=72°.
标
精 题
答案：72
知
例
能
解
提
·
举
升
一
作
反
三
业
5.如图，等腰△ABC的顶角∠A=36°,⊙O和底边相切于中点D，
基
课
础
时
梳 并过两腰的中点G、F，又和两腰相交于点H、E．求证：五边 训
理
练
· 形DEFGH是正五边形．
预
· 基
习
础
点
达
睛
标
精 题
知
例
能
解
提
·
举
升
一
作
反
三
业
【证明】连结DG和DF．由题意，得
知
例
能
解 圆的关系可知：弦相等→弧相等→多边形为正多边形，故④
提
·
举 一
正确.⑤不正确，如：圆内接矩形就不是正多边形.故选B.
升 作
反
百度文库
三
业
基
课
础 2.已知⊙O,半径为2 cm,求作⊙O的内接正八边形.
梳
时 训
理
练
· 【解析】(1)如图所示，作直径AC.
·
预
基
习 点
(2)作AC的中垂线BD交⊙O于B，D两点.
知
例 长度为8条边长的和，所以周长为8.
能
解
提
·
举
升
一
作
反
三
业
基
课
础
时
梳
训
理
练
· 2.半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长的 ·
预
基
习 点
比是（ ）
础 达
睛
标
（A）1∶ 2∶ 3
(B) 3∶ 2∶1
精 （C）3∶2∶1
题
（D）1∶2∶3
知
例
能
解
提
·
举
升
一
作
反
三
业
【解析】选B.设圆的半径为R，如图
础
点
达
睛
标
【解析】正五边形的一个内角的度数为
精
题 例 解 ·
5 2 180 108，
5
所以∠α=360°－108°－180°=72°.
知 能 提
举
升
一 答案：72
作
反
三
业
基
课
础 梳
4.如图，有一个圆O和两个正六边形T1，T2.T1
时 训
理
练
· 预
的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和圆O相
题
(D)等边三角形
知
例 解
【解析】选A.所有的正多边形都是轴对称图形，但只有正偶
能 提
·
举 数边形同时又是中心对称图形．故选A．
升
一
作
反
三
业
基
课
础
时
梳
训
理
练
· 预
3.如图所示，已知正六边形ABCDEF内接
· 基
习
础
点 睛
于⊙O，图中阴影部分的面积为12 3，
达 标
精 则正六边形的边长为_____.
础 达
睛
标
(3)连接AD，作AD的中垂线交A»D 于M点.
精
题 例
(4)同法作出 A»B,B»C的,C»中D 点分别为E，F，G.
知 能
解 ·
(5)依次连接A，E，B，F，C，G，D，M，即得正八边形.即 提
举
升
一 反
正
作
三
业
八边形AEBFCGDM即为所求作的⊙O的内接正八边形.
基
课
础
时
梳
训
理
练
·
点
达
睛 则这个图形（阴影部分）外轮廓线的周长是 （ ）
标
精 题
知
例
能
解
提
·
举 一
（A）7
（B）8
（C）9
（D）10
升 作
反
三
业
基
课
础
时
梳
训
理
练
·
·
预 【解析】选B. 如图所示，根据题意得，正六
基
习
础
点 睛
边形的每个内角均为120°，所以图中空白的
达 标
精 两个三角形为等边三角形，故图形的外轮廓的
题
预
基
习 点
∴∠ABD=∠CBD=∠BCE=∠ACE=36°.
础 达
睛
标
∴ A»D C»D B»C B»E A»E.
精
题 例
∴AD=CD=BC=BE=E¼BADE, B¼CA 3A»D∴.∠EAD=∠AEB.
知 能
解
· 同理：∠EBC=∠BCD=∠CDA=∠DAE.∴五边形AEBCD是正
例
能
解
提
·
举
升
一
作
反
三
业
基
课
础
时
梳
训
理
练
·
·
预
基
习
础
点
达
睛
标
精 题
知
例
能
解
提
·
举
升
一
作
反
三
业
基
课
础
时
梳
训
理
练
·
·
预
基
习
础
点
达
睛
标
精 题
知
例
能
解
提
·
举
升
一
作
反
三
业
基
课
础
时
梳
训
理
正多边形的定义、相关概念及画法
练
·
·
预 习
【例1】已知：如图，△ABC是⊙O的
基 础
点
达
睛 内接等腰三角形，顶角∠BAC=36°，
提
举
升
一 反
五边形.
作
三
业
基
课
础
时
梳
训
理 ·
正多边形的判定方法由定义可知，须从两个方面进
练 ·
预
基
习 行证明：(1)各角相等；
础
点
达
睛 (2)各边相等，二者缺一不可.与圆有关的正多边形的判定，
标
精 题
证明的途径是根据等弧所对的弦相等，所对的圆周角也相等.
知
例
能
解 正多边形的性质除边、角的相等关系之外，还有其对称性等. 提