电介质物理_徐卓、李盛涛-第十二讲 复介电常数及电介质的频域响应、克拉莫-科略尼克关系式

E 实际电介质的总电流密度为： j i 0 r E 第一项为能位移电流密度，或称无功电流密度，第二项为有功电流密度。 上式也可表示为： j E 则复电导率可表示为： i 0 r
E 与电场 E 的关系为： D 实际介质中电位移 D 0 r
与E 不同相，位相相差 δ,这个相位角是由电介 从以上的讨论可见, D 引起的。 质中有功电流密度分量 E E " ' tg r r 耗角正切可表示为： ' 0 r' E 0 r
或： 则：
D Dei D (cos i sin ) E E E
r
0 r'
D cos E
0 r"
D sin E
'
tg r" r'
在交变电场中的电介质，复介电常数的实部 r 随频率变化，这种现象 在介质理论中称“弥散”现象，这种现象的本质，在于电极化的建立需要 一个过程，由于极化的惯性或滞后性，在不同频率电场中，极化可能来不 及响应或完全来不及响应电场的变化。



g ( )e it d

在时域响应中： pr (t ) 0 ( s ) 0 f ( y) E (t y)dy
对上式极化时域响应的卷积进行付立叶变换：
F [ f ( y )] f ( )
0 0
F [ E ( x)] E ( )
0
F [ f ( y ) E (t y )dy] e it { f ( Fra Baidu bibliotek ) E (t y )dy}dt f ( y ){ e it E (t y )dt}dy f ( y )e iy { e i (t y ) E (t y )dt}dy
0

当 0 ，即恒定电场时，要求： r' (0) ( 1) ( s )0
0

f ( y )dy s 1
r' (0) ( s ) f ( y )dy s
r" (0) r" (0) 0
E D 0 r
j j i 0 r E r 0
与E 同相位， j 与 j 相差 倍，其与电场相位差仍为 D 0 r 2
，也是非损耗
性无功的能位移电流密度，因为在电场方向上没有电流，故没有损耗， 这是位移电流特点之一。
给电容器充以实际电介质（极性电介质或弱电导性的，或两者兼有） 电介质内部产生热量，其内部有能量损耗，电流与电场的位相不会恰是π
3.原子、离子或电子的振动所产生的共振效应 在红外到紫外的光频范围内，光在介质中传播的相速及介质折射率 n 依赖于频率变化，称之色散现象。根据电磁场理论，色散的存在同时 伴随着能量的耗散，色散总是同时存在吸收。 内层电子具有 10 19 Hz 的临界频率（x 射线范围） ，高于 10 19 Hz ，材料不 出现极化效应，此时 r 0 ，频率低于内层电子的共振频率，电子受电磁 场中的电分量作用，使材料极化 r 1 。 若电磁场的频率低于价电子的共振频率（ 10 14 ~ 10 15 Hz ） ，从紫外 （ 0.1m ）到达红外（ 1m ）的光谱范围，价电子参与电介质的极化。 同一类型 的“ 共振 ”过 程在 分子 内和 晶体 内的 原子 振动 频率下 （ 10 12 ~ 10 13 Hz ）也会发生，如果频率低于原子共振频率，则出现一种新 型作用，即恢复力不是弹性，具有粘滞性特点，这一特点与能量损耗有 关。
， 为介质的等效电导率. /2，存在一个在电场方向的有功电流分量 E
这种能量损耗是由电荷运动造成的，其中包括自由电荷和束缚电荷，实际 电介质并不是理想的绝缘体，其内部存在或多或少地自由电荷，自由电荷 在电场作用下定向迁移，形成能电导电流—漏导电流，漏导电流与电场频 率无关。束缚电荷移动时，可能发生磨擦或非弹性碰撞，从而损耗能量， 形成等效的有功电流分量，它与电场频率有关。
2

2
0
D0 cos t sin E0 cos tdt

2
D0 E0 sin
用复介电常数来表示介质损耗：
D 0 cos 0 E0
' r
r"
D0 sin 0 E0
j i 0 r E (i 0 r' 0 r" ) E
第一项与电场相差 相位，为无功分量。
2
" 第二项与电场同相位，为损耗分量或有功分量， r 0 为等效电导率，交变
电场下，介质单位时间单位体积内耗散的能量为：
W
" 2 0 r E 0 2
" "
在交变电场下，介质消耗的能量与 r 成正比， r 称损耗因子。 用 tg 来表征交变电场中损耗特性，具有两个优点：
r" ( ) ( s ) f ( y ) sin( y )dy
0
( ) ( s ) f ( y ) cos(y )dy
' r 0

r" ( ) r" ( ) ( s ) f ( y) sin( y)dy
二 电介质极化的频域响应 、Kramers—Kroning 关系式
1. 电介质极化的频域响应 频域响应就是以频率作参变量，极化响应是频率的函数，可以通过 时间函数 g (t ) 作付立叶变换获得：
F [ g (t )] g ( ) g (t )e it dt

逆变换：
g (t ) 1 2
' P 与介电常数 r 与频率无关，在频率不太高时，介质中
2 当电场变化频率超过一定限度时，电介质中的慢极化（约10 ~ 10 s ） 来不及建立而产生极化滞后现象，介质的极化强度 P 滞后于电场 E，将消 耗一部分能量，形成介质损耗。这部分由慢极化产生的介质损耗是电介质
4 9
在交变电场中产生的介质损耗的主要部分。 tg 在一定频率下，当频率增 加时而增大，出现最大值，这种现象称“反常分散” ，这是由于慢极化—弛 豫极化所致。
0

( ) ( s ) f ( y )e iy dy
r 0

可见，在交变场下，电介质极化率和介电常数是角频率的复数函数。 注意到 e iy cos(y) i sin( y) r ( ) r' ( ) i r" ( ) 于是： r () r' () ir" () r' ( ) ( 1) ( s ) f ( y ) cos(y )dy 其中 0
P( ) 0 ( 1) E ( ) Pr ( ) 0 [( 1) ( s ) f ( )]E ( ) 0 r ( ) E ( )
D( ) 0 r ( ) E ( )
其中：
r ( ) ( 1) ( s ) f ( )
位移电流密度为：
j0 dD0 e it i 0 E dt
j0 i 0 E 写成相量 为： 它与电场相位差为 π/2，在电场方向上无电流，没有损耗。
若两极间填充理想电介质，它与真空的唯一区别为其相对介电常数 εr，其相关物理量为真空的εr倍： C r C0
e it r 0 D 0 r E
r ( ) ( s ) f ( )
r ( ) r ( ) 1
iy 弛豫函数 f ( y ) 的傅立叶变换为： f ( ) 0 f ( y)e dy

则：
r ( ) ( 1) ( s ) f ( y )e iy dy
介质损耗： 2 介质在直流电场中，单位体积单位时间所消耗的能量为： W 0 E
2 静电场中电介质单位体积中存储的能量为 Ws s E ，其中 0 与 s 是直流静电场
1 2
的电介质特性参数。 在交变电场中，存在与频率有关的介电特性参数：复电导率与复介电常数。 设在平板电容器上加上电场： E E0 cos t 介质损耗功率，即单位时间单位体积中损失的能量可表示为： 1 T 2 D W j Edt E dt 0 0 T 2 t D 与 E 存在 δ 位角， D D0 cos(t ) D0 cos t cos D0 sin t sin 其中 D0 cos 与 E 具有相同相位， D0 sin 与 E 具有 π/2 的相位差。
以上结果表明： 0

f ( y )dy 1
f ( y ) 是衰减因子（decay factor） ，它描述突然除去外电场后，介质极
化衰减的规律以及迅速加上恒定外电场时前后极化趋向于平衡态的规律。 由于介质中电矩的运动需要时间，极化响应显得落后于迅速变化的外电 场而似乎具有一点惯性，同时，弛豫过程中微观粒子间的能量交换在宏 观方面将表现为一种损耗，用复介电常数的虚部 r 从宏观方面描述介电
实际介质的位移电流密度为： j 对比上面两个位移电流密度公式
dD E i 0 r E dt
则复介电常数刻表示为： r r
i
0
r' i r"
' 实部 r r ( ) 称电容项 " 虚部 r 0 称损耗项 ' 它们都依赖与频率，只有当 0 ， r 才是静态介电常数。 全电流密度与位移电流密度之间形成 δ 角，称为介质损耗角。
则： j
D D0 sin t cos D0 cos t sin t
2
上式第一项与电场 E 的相位差是 ，这部分不会引起介质中的能量损 耗；第二项与电场 E 同相位，会引起能量损耗 ：
W
其中 sin cos 称功率因数，δ 称介质损耗角，φ 称为功率因数角。 当 D 与 E 之间在时间上没有可观察的相位角，δ=0，则 W = 0。极化强度 与交变电场同相位，极化过程不存在滞后现象，亦就是极化完全来得及 跟电场变化，不存在交流电场下由极化引起的损耗。
第十三讲 复介电常数及电介质 的频域响应、克拉莫-科略尼克关系式
一复介电常数
在讨论电介质极化弛豫特性时，需引入复介电常数 r 的概念。以一平 行板电容器为例，真空电容为：
C0
0 A
d
eit ， 加交变电场 E E0 cos t 或 E 0 极板上自由电荷面密度为： e it ， 0 0E 0E
' tg ⑴. 值可以和介电常数 r 同时直接测量，且一般只需来用通用的电桥法和振谐
法测量； ⑵.
tg 值与测量试样大小与形状均无关，为电介质自身属性。
介质损耗的机制，主要有三种： 1 介质不是理想绝缘体，不可避免地存在漏电导，产生漏导损耗 ： 10 tg 1.8 10 0 r' 2 f 0 r' f r 漏导引起的介质损耗 tg 与频率 f 成反比，高频下电介质不会出现发 热严重。极化强度 微弱导电产生的漏电电流在损耗中占主要地位。
0 0 0 0
f ( y )e iy dy e ix E ( x)dx f ( ) E ( )
0 0
由上面的推导可见，卷积的傅立叶变换等于积分号内二个函数傅立叶变换的乘 积，故极化的频域响应如下：
Pr ( ) 0 ( s ) f ( ) E ( )