圆锥曲线与方程

圆锥曲线与方程 专题1、椭圆

考点1、椭圆的定义：

椭圆的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a （大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。 特别提示：

椭圆的定义中特别要注意条件c a 22>，否则规矩不是椭圆。当c a 22=时，动点的轨迹是两定点间的线段；当c a 22<时，动点的轨迹不存在。 必备方法： 1、掌握椭圆定义的集合语言表述有助于增强驾驭数学符号语言的能力，椭圆的集合语言表述如下：|}|2,2|||||{2121F F a a MF MF M P >=+= 若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a +=。

2、一般地，遇到与椭圆的焦点距离有关的问题都可以考虑用椭圆的定义解决。 典例导悟：

例1、已知)0,1(1-F ，)0,1(2F 是椭圆C 的两个焦点，过2F 且垂直于x 轴的直线交C 于A 、B 两点，且3||=AB ，则C 的方程为（ ）

A 、122

2=+y x B 、12322=+y x C 、13422=+y x D 、14522=+y x 例2、已知点)0,3(M ，直线)3(+=x k y 与椭圆14

22

=+y x 相交于A 、B 两点，则ABM ∆的周长为（ ）

A 、4

B 、8

C 、12

D 、16

例3、设椭圆)0(1:22

22>>=+b a b

y a x C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是C 上的点，

212F F PF ⊥，o 3021=∠F PF ，则C 的离心率为（ ）

A 、

63 B 、31 C 、2

1

D 、33 考点2、椭圆的标准方程： 1、椭圆的标准方程：

（1）焦点在x 轴上时：22

221x y a b

+= （0a b >>）

（2）焦点在y 轴上时：122

22=+b

x a y （0a b >>）

2、在椭圆的标准方程中，都有0a b >>，且2

2

2

b a

c =-。 必备方法：

1、给出椭圆方程

122=+n

y m x 时，判断椭圆焦点的位置的方法是：椭圆的焦点在x 轴上时n m >⇔；椭圆的焦点在y 轴上时n m <⇔，这是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方法。 2、在求解椭圆问题时，首先要判断焦点1F 、2F 的位置，这是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型，而方程中的两个参数a 、b 确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件。

3、当焦点的位置不能确定时，椭圆方程可设为12

2=+n

y m x （0>m ，0>n 且n m ≠） 典例导悟：

例1、已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为)0,1(F ，离心率等于

2

1

，则C 的方程是（ ） A 、

14322=+y x B 、13

422=+y x C 、12422=+y x D 、1342

2=+y x 例2、已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b

y a x C 的离心率为23。双曲线12

2=-y x 的渐近线与

椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为（ ）

A 、12822=+y x

B 、161222=+y x

C 、141622=+y x

D 、15

202

2=+y x 例3、对于常数m 、n ，“0>mn ”是“方程12

2

=+ny mx 的曲线是椭圆”的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件

C 、充分必要条件

D 、既不充分也不必要条件 考点3、椭圆的几何性质： 必备方法：

1、在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目中给出的椭圆的几何特征，建立关于参数c 、a 、b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围。

2、椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦、余弦定理。

3、涉及直线与椭圆相交问题，常将直线方程与椭圆方程联立方程组，消元转化为一元二次方程，然后结合判别式、根与系数关系（a b x x -

=+21，a

c

x x =21）解题。

标准方程

)0(122

22>>=+b a b

y a x

)0(122

22>>=+b a b

x a y

简 图

范 围 b y a x ≤≤||,|| b x a y ≤≤||,|| 顶点 ),0(),0,(b a ±±

)0,(),,0(b a ±±

对称轴 x 轴，y 轴 对称中心

坐标原点O 焦点坐标 )0,(c ±

),0(c ±

轴 长轴长为a 2，短轴长为b 2 焦距 c F F 2||21= 离心率

a

c

e =

（10<

2

2

2

b a

c =- 焦点三角形

2

tan

2

21α

b S PF F =∆ （α=∠21PF F ）

弦长公式

212

212212

2

12214))[(11(4))[(1(||y y y y k

x x x x k P P -++=-++= 典例导悟：

例1、设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若21PF F ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ） A 、

22 B 、2

1

2- C 、22- D 、12- 例2、已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若2ABF ∆是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）

A 、

33 B 、32 C 、22 D 、2

3