机械制图(工程图学)平面的投影

一次换面即可。
作图关键： 1.在平面上取保留投影面平行线； 2.使新轴垂直于投影面平行线。
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1.将一般位置平面变为投影面垂直面。
例4-22换面法求△ABC 平面对V 面的倾角β。
作图分析：
一平面垂直另一平面内的一直线，则两平面垂直。
作图要点： 1.在△ABC 内取正平线，如AD ； 2.作X1⊥a’d’ ；求新投影。 新投影与X1夹角即β。
2）性质：
平面内对某一投影面的最大斜度线垂直于该平面内对相同投影面平 行的直线。
3）分类：
对H 面的最大斜度线——垂直平面内的水平线。
对V 面的最大斜度线——垂直平面内的正平线。 对W面的最大斜度线——垂直平面内的侧平线。
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4.3.5平面的辅助投影 若平面平行于投影面则其投影反映实形，如水平面。
规定：V、H、W 各面迹线分别用PV、PH、PW 表示。
V
X PX
Z PZ
Z PZ
PV
PW
PV
PX
P
PW
X
O
O PH
PH
PY Y
PYH YH
PYW YW
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4.3.2各种位置平面
根据平面在投影面体系中的相对位置不同，平面分为：特殊位置平 面和一般位置平面两种。特殊位置平面又分为投影面垂直面和投影 面平行面。 1.投影面垂直面
积聚性
Z
b'
类似性
b”
c' O
c”
a”
Xb β
YW
b”
aγ
O C c”
c YH
投影特点：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
cγ
Y
H 投影积聚为-倾斜线；
反映β和γ
V 投影和 W 投影为类似形。
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1.2正垂面 空间分析：
V 积聚性
Z
γ
A
D
X
αB
O
C
类似性
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Z
d’ (a’ ) a”
c’ (b’ ) α γ
垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面的平面称为投影面垂直 面。 投影面垂直面分为三种：
铅垂面 (⊥于H 面，∠于V 面和W 面)
正垂面 (⊥于V 面，∠于H 面和W 面)
侧垂面 (⊥于W 面，∠于H 面和V 面)
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1.1铅垂面 空间分析：
a'
Z a”
类似性
V
a'
A b'
B c'
X
βb a
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3.将一般位置平面变为投影面平行面。
例4-24 求平面△ABC 的实形和对V 面的倾角β 。 分析：
b1
求实形即将平面变换为
b′
a1d1
b′2
投影面平行面。 需两次换面。
d′ c1
a′
c′
c′2
a′2
作图要点：
X
V H
O
1.在△ABC 内取投影面平行线，
如正平线，如AD ；
∥ ∧
∥
a
c
2.作X1⊥a′d′ ；求积聚性投影；
类似性
b”
Xb
O a
d”
c”
YW
c
d
YH
Y 投影特点： V 投影积聚为-倾斜线；
反映α和γ；
H 投影和W 投影为类似形。
6
1.3侧垂面 空间分析：
Z βα
V 类似形
X Z
积聚性
β
O
YW
YH
X
O
投影特点：
α
W 投影积聚为-倾斜线； 反映α和β ；
类似形
H 投影和 V 投影为类似形。 Y
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例4-12 包含A（a，a′）作α=30°的正垂面。
两相交直线决定平面
迹线表示平面
a’
d’ b’
30°
x
d
b
a
c’ o c
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a’ PV
30°
x
o
PH
a
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例4-13 如图，已知平面的正面投影和侧面投影，求做水平投影。
1‘
2‘
4‘ 3‘
X 5‘
1
Z 1“
投影分析：
2“
侧垂面 注意：
6‘
b
c
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3.一般位置平面
倾斜于三个投影面的平面，称为一般位置平面。
a’
Z a’’
c’
V
a’
c’
Z b’
b’
o
X
A
a’’
X
b’ B
C
o c’’
a
b’’
b
a
b
c
c
Y 投影特点：
YH
c’’
b’’ YW
三个投影均是类似形。
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例 包含A（a，a’）作一般位置平面。 任作两相交直线决定一平面.
4“ 3“
V、H 投影的
5“ 6“ “类似性”。
O
YW
2
4
3
5
6
YH
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2.投影面平行面 投影面平行面--平行于某一投影面的平面。 投影面平行面分为三种：
水平面 (∥于H 面，⊥于V 、W 面) 正平面 (∥于V 面，⊥于H 、W 面) 侧平面 (∥于W 面，⊥于H 、V 面)
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在一般位置平面内可取三类投影面平行线: 水平线； 正平线； 侧平线。
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2）投影特性: 从属性(属于平面); 平行于相应投影轴。
取平面内的水平线DE（以水平线为例）
d’e’∥ox
V a' d'
b'
A D
X
a d
d’e’∥OX 轴 c‘
c' Z
a‘
e' C
d'
e'
E
B
O
c
e
b de=DE
V
X
O
实形
水平面
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若平面不平行于投影面，可通过换面法使平面平行新的投影面，进而 求得平面图形的实形，如下图铅垂面。
V
实形
X
O
X1
铅垂面
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若将一般位置平面变为投影面平行面，需要二次换面。
1.首先将一般位置平面变为投影面垂直面； 2.然后再将投影面垂直面变为投影面平行面。
d
3.作X2∥a′d′ ；求得平面实形。
b
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谢谢
例9 判断D点是否在ABC确定的平面内。
b′
k′ d′
c′ a′
x b d
k
c
a
b′ d′
1′
a′
c′
x b 1
cd a
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例4-21完成平面图形ABCD的水平投影。
c‘
b’
k’
X a‘ a
b
k
d‘ O
d
c
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5.平面内对投影面的最大斜度线 1）定义： 平面内对投影面倾角最大的直线，称为对该投影面的最大斜度线。
X
a d
Y
b’
O
c
e b
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例： 在△ABC内，求距离H面为15mm的水平线 。
b'
a' e'
f' c'
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X c
a
e
f
b
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4.平面内的点
点在平面上的几何条件： 点在平面内的一条直线上。
在平面内定点时，一般要通过包含点在平面内取辅助线求解。
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例4-19 已知ABC内一点K的正面投 影k′，求其水平投影。
机械制图(工程图学)平面 的投影
§4-3 平面的投影
PA
4.3.1.平面的表示法
1.用几何元素表示平面 ①不在同一直线上的三点；
②一直线和直线外一点； ③平行两直线； ④相交两直线； ⑤任意平面图形(三角形等)。
B a'
b'
d’
X
b
d
a
C
D c'
O c
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2.迹线表示法
迹线：平面与投影面的交线。
a’ b’ x b
a
c’
无数解!
o c
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4.3.3平面内的线和点
1.直线在平面内的几何条件 通过一平面上的两个点； 通过平面上一点同时又平行该平面上另一直线。
平行
M N
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2.平面内的一般位置直线
例1： 在平面△ABC 内作一任意直线。
b' 1’ a' X
无数解!
c' 2’
O 2c
a
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1 b
思考：在平面△ABC 内作一
水平直线DE，正平线FG。
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例2： 判断直线KL 是否在△ ABC 平面内。 L'
b'
k'
a'
X a
2’ 1’
c’
c 1
2
k
否 L
b
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3.平面内的投影面平行线
1）定义: 平面内平行于某一投影面的直线，称为平面内的投影面平行线。
涉及换面法的两个基本问题: 1.将一般位置平面变为投影面垂直面。 2.将一般位置平面变为投影面平行面。
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1.一般位置平面变为投影面垂直面 分析: 若一平面垂直另一平面内的一条直线,则两平面相互垂直。 因此，若将一般位置平面变为新投影面的垂直面，只要在该平面内取
一条保留投影面的平行线,使新投影面垂直该直线，则平面垂直新投影面。
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2.1水平面 空间分析：
Z
a’ b’ c’ a c” b” ”
O
X
YW
Z V a’ b’ c’
a
c
A
C
a ”
b”
b
YH
X
a
B o c
b
c” 投影特点：
H 投影反映实形；
V 投影和 W 投影积聚为直线； Y 积聚投影垂直于OZ 轴。
实形
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2.2正平面 空间分析：
实形 V
X
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a′
c′
c1 a1d1
d′
β b1
X
V H
b′
a
b
O
c d
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2.将投影面垂直面变为投影面平行面。
例4-23 求平面△ABC 的实形。
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2.将投影面垂直面变为投影面平行面。
例4-23 求平面△ABC 的实形。
分析： 求实形即将平面变换为
投影面平行面。
c1
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Z
X
Z
O
YW
YH
o
投影特点：
V 投影反映实形； Y H 投影和 W 投影积聚为直线；
积聚投影都垂直于OY 轴。
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2.3侧平面 空间分析：
V
X
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Z
X
O
YW
Z
实形
YH
o
投影特点：??
Y
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例1：包含点A（a，a’）作正平面。
正平面的水平投影为一条∥OX 轴的直线。
b’ a’
c’
x
o
a