二次函数常见模型

中考数学二次函数压轴题基本题型

在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A（-3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求这个二次函数的关系解析式；

长度型：（2）点M为直线AC上方抛物线上一动点，过M点作MN∥y轴交直线AC于点N,当点M的坐标为多少时，线段MN有最大值，并求出其最大值；

M

y

C

N

A B

O

（3）点M为直线AC上方抛物线上一动点，过M点作MN∥y轴交直线AC于点N,作ME⊥AC于点E，当

点M的坐标为多少时，△MEN的周长有最大值，并求出其最大值；

y

M

C

E

x

A N B

O x

面积型：（4）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P△

，使ACP的面积最大？若存在，求出

点P的坐标；若不存在，说明理由

变式：点P是直线AC上方的抛物线上一动点，使△ACP的面积为整数的点P有几个，并说明理由；

y

P

C

A B

O x

（5）点Q是直线AC下方的抛物线上一动点，是否存在点Q，使S 不存在，说明理由ACQ

=10若存在，求出点Q的坐标；若

y

C

A B

O x

（6）点Q是直线AC下方的抛物线上一动点，是否存在点Q，使3S

ACQ =2S

ACO

？若存在，求出点Q的坐

标；若不存在，说明理由

y C y C

A B A B

O x O x

变式：抛物线上是否存在点P，使S

OPC =S

OP A

，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由

y

C

y

C

A B A B

O x O x

特殊三角形存在性：（7）在平面直角坐标系中，是否存在点Q△

，使BCQ是等腰直角三角形？若存在，求出

点Q的坐标；若不存在，说明理由

y

C

A B

O x

（8）在抛物线的对称轴上是否存在点Q△使BCQ是等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；（等腰三角形：两圆一线）

y C y

C

y

C

A B A B A B

O x O x O x

（9）在抛物线的对称轴上是否存在点Q△

，使ACQ为直角三角形；若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；

y C y

C

y

C

A B A B A B

O x O x O x 几何最值型：（10）在抛物线的对称轴上是否存在点Q△

，使BCQ的周长最小；若存在，求出点Q的坐标与

周长最小值；若不存在，说明理由

y

C

A B

O x

A

y

C（11）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，AQ CQ最大；若存在，求出点Q

的坐标；若不存在，说明理由；

B

O x

（12）若D为OC的中点，P是抛物线对称轴上一动点，Q是x轴上一动点，当P、Q两点的坐标为多少时四边形CPQD的周长最小？并直接写出四边形CPQD周长的最小值；

y C y C

P

D D

A A

Q O x O x

（

相似存在性：13）点Q是坐标轴上一动点，是否存在点Q，使以点B、O、Q为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；

y C y C

A B A B

O x O x

（14）点Q是抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；

y C y C

A B A B

O x O x

角度问题：（15）抛物线上是否存在的点Q，使∠QCA=45°，若存在，求出Q点的坐标；若不存在，说明理由；

y

C

A B

O x （16）抛物线上是否存在的点Q，使∠QCA=∠OCB，若存在，求出Q点的坐标；若不存在，说明理由；

y C y C

A B A B

O x O x

（ *变式：抛物线上是否存在的点 Q ，使∠QCA +∠OCB =45°， 若存在，求出 Q 点的坐标；若不存在，说明理 由；

y

C

y

C

A

B

A

B

O

x

O

x

（17）在抛物线的对称轴上是否存在点 Q 到直线 BC 的距离与到 x 轴的距离相等？若存在求出点 Q ，若不存

在 请说明理由；(在抛物线的对称轴上是否存在点 Q ， 使⊙Q 与 x 轴和直线

y

C

A

B

BC 都相切？)

O

x

特殊四边形存在性问题： 18）点 M 为抛物线上一动点，过 M 点作 MN ∥y 轴交直线 AC 于点 N ,当以 O 、C 、

M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由；

y

y

M

C

C

N

A

B

A

B

O

x O

x

（19）点 M 为抛物线上一动点，在 x 轴上是否存在点 Q ，使以 A 、C 、M 、Q 为顶点的四边形是平行四边形？ 若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由；

y

C

y

C

y

C

A

O

B

x

A

O

B

x

A

O

B

x