八年级数学全等三角形中考数学题专题练习

八年级数学全等三角形中考数学题专题练习
1.如图，四边形ABCD是平行四边形，△AB’C和△ABC关于AC所在的直线对称，AD和B’C 相交于点O．连结BB’. (1)请直接写出图中所有的等腰三角形（不添加字母）； (2)求证：△A B’O≌△CDO.
【答案】（1）△ABB′, △AOC和△BB′C. （2）在平行四边形ABCD中，AB = DC,∠ABC = ∠D
A
D
1 4
E
3
F 2
解：（1）∵四边形 ABCD 是正方形
B
C
G
24题图
∴AB=AD
在△ABE 和△DAF 中
2 1
AB
DA
4 3
∴△ABE≌△DAF-----------------------4 分
（2）∵四边形 ABCD 是正方形
∴∠1+∠4=900
∵∠3=∠4
∴∠1+∠3=900
∴∠AFD=900----------------------------6 分
A
∴△AED≌△AFD（SAS）. 解法二：添加条件：∠EDA＝∠FDA，
E F
证明：在△AED 与△AFD 中， ∵∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，∠EDA＝∠FDA，B
D
C
∴△AED≌△AFD（ASA）.
12、如图，四边形 ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线 BD（不含 B 点） 上任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60°得到 BN，连接 EN、AM、CM. ⑴ 求证：△AMB≌△ENB； ⑵ ①当 M 点在何处时，AM＋CM 的值最小； ②当 M 点在何处时，AM＋BM＋CM 的值最小，并说明理由；
6、 如 图 ， 已 知 矩 形 ABCD 中 ， E 是 AD 上 的 一 点 ， F 是 AB 上 的 一 点 ， EF⊥ EC， 且 EF=EC，DE=4cm，矩形 ABCD 的周长为 32cm，求 AE 的长．
【关键词】全等三角形的判定与性质、矩形的性质
【答案】解：在 Rt△AEF 和 Rt△DEC 中， ∵EF⊥CE， ∴∠FEC=90°，
E B
D
C
∴ ∠E=90°=∠ADB． ………………… 2 分
∵ AB 平分 DAE ，
∴ ∠1=∠2．……………………… 3 分 在△ADB 和△AEB 中，
A
AD
21
E
B BE
D
CC
F
ADB E,
1
2,
AB AB,
∴ △ADB≌△AEB．………………………… 4 分 ∴ AD=AE．……………………… 5 分
在正方形 ABCD 中， AD∥BC
∴∠1=∠AGB=300
在 Rt△ADF 中，∠AFD=900 AD=2
∴AF= 3 DF =1----------------------------------------8 分
由(1)得△ABE≌△ADF ∴AE=DF=1
∴EF=AF-AE= 3 1 ------------------------10 分
∴∠AEF+∠DEC=90°，而∠ECD+∠DEC=90°， ∴∠AEF=∠ECD． 又∠FAE=∠EDC=90°．EF=EC ∴Rt△AEF≌Rt△DCE． AE=CD． AD=AE+4． ∵矩形 ABCD 的周长为 32 cm， ∴2（AE+AE+4）=32． 解得， AE=6 （cm）．
A
E
D
第 23 题图 3
第 23 题图 4
【答案】(1) 证明：如图 1，∵ 四边形 ABCD 为正方形， ∴ AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°， ∴ ∠EAB+∠AEB=90°. ∵ ∠EOB=∠AOF＝90°, ∴ ∠FBC+∠AEB=90°，∴ ∠EAB=∠FBC， ∴ △ABE≌△BCF ， ∴ BE=CF． (2) 解：如图 2,过点 A 作 AM//GH 交 BC 于 M， 过点 B 作 BN//EF 交 CD 于 N,AM 与 BN 交于点 O/， 则四边形 AMHG 和四边形 BNFE 均为平行四边形， ∴ EF=BN,GH=AM， ∵ ∠FOH＝90°, AM//GH，EF//BN, ∴ ∠NO/A=90°, 故由(1)得, △ABM≌△BCN， ∴ AM=BN， ∴ GH=EF=4． (3) ① 8．② 4n．
10、(1) 如图 1,在正方形 ABCD 中,点 E,F 分别在边 BC, CD 上,AE,BF 交于点 O,∠AOF＝90°. 求证：BE＝CF.
(2) 如图 2,在正方形 ABCD 中,点 E,H,F,G 分别在边 AB, BC,CD,DA 上,EF,GH 交于点 O,∠FOH＝90°, EF ＝4.求 GH 的长.
【关键词】利用角边角判定三角形全等和三角形全等的性质
【答案】证明：∵ AB∥DE，
∴∠ABC =∠DEF.
……………………………………………1 分
∵ BE=CF，
∴BE+CE= CF+CE，即 BC=EF.
……………………………………2 分
在△ABC 和△DEF 中，
又∵∠ACB =∠DFE，
∴△ABC≌△DEF.
∴ CAE BAE 30 , CAF DAF 30 .
∴ EAF CAE CAF 60 .……9 分 又∵AE=AF ∴ AEF 是等边三角形. ……10 分
3、已知：如图，四点 B、E、C、F 顺次在同一条直线上， A、D 两点在直线 BC 的同侧，BE＝CF，AB∥DE， ∠ACB＝∠DFE． 求证：AC＝DF．
由轴对称知AB′= AB，∠ABC = ∠AB′C ∴AB′= CD, ∠AB′O = ∠D 在△AB′O 和△CDO中， AB 'O D AOB ' COD AB ' CD. ∴△AB′O ≌△CDO
2、已知: 如图, 菱形 ABCD 中, E、F 分别是 CB、CD 上的点，BE=DF. (1)求证:AE=AF. (2)若 AE 垂直平分 BC，AF 垂直平分 CD， 求证: △AEF 为等边三角形. 【关键词】三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定与性
②如图，连接 CE，当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时，
A
D
E
N
M
AM＋BM＋CM 的值最小. ………………9 分
理由如下：连接 MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，
∴AM＝EN.
∵∠MBN＝60°，MB＝NB，
∴△BMN 是等边三角形.
∴BM＝MN.
∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM.
根据“两点之间线段最短”，得 EN＋MN＋CM＝EC 最短
F
B
C
第 20 题图
18 如图，已知 BE⊥AD，CF⊥AD，且 BE＝CF．
(1)请你判断 AD 是△ABC 的中线还是角平分线？请证明你的结论． A
（2）连接 BF、CE，若四边形 BFCE 是菱形，则△ABC 中应
添加一个条件 【关键词】 【答案】（1）AD 是△ABC 的中线
F
B
C
D
E
理由如下：∵ＢＥ⊥ＡＤ，ＣＦ⊥ＡＤ，∴∠ＢＥＤ＝∠ＣＦＤ＝９０°
第 23 题图 1
第 23 题图 2
(3) 已知点 E,H,F,G 分别在矩形 ABCD 的边 AB,BC,CD,DA 上，EF,GH 交于点 O, ∠FOH＝90°,EF＝4. 直接写出下列两题的答案： ①如图 3,矩形 ABCD 由 2 个全等的正方形组成,求 GH 的长； ②如图 4,矩形 ABCD 由 n 个全等的正方形组成,求 GH 的长(用 n 的代数式表示).
3 x＋x）2＝
2
3 1 .
2
2
解得，x＝ 2 （舍去负值）.
∴正方形的边长为 2 .
质 【答案】证明：(1)∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB=AD,∠B=∠D. ……1 分
又∵BE=DF，∴ ABE ≌ ADF . ……3 分 ∴AE=AF. …… 4 分
(2)连接 AC, ∵AE 垂直平分 BC，AF 垂直平分 CD，∴AB=AC=AD. ……6 分 ∵ AB=BC=CD=DA , ∴ △ ABC 和 △ACD 都 是 等 边 三 角 形. ……7 分
求作： 答案：已知：线段 a、h 求作：一个等腰△ABC 使底边 BC=a，底边 BC 上的高为 h 画图（保留作图痕迹图略）
9、如图,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，点 G 是 BC 延长线上一点，连结 AG，点
E、F 分别在 AG 上，连接 BE、DF，∠1=∠2 ， ∠3=∠4.
（1）证明：△ABE≌△DAF； （2）若∠AGB=30°，求 EF 的长.
又∵ＢＥ＝ＣＦ，∠ＢＤＥ＝∠ＣＦＤ ∴△ＢＤＥ≌△ＣＦＤ（ＡＡＳ）
（２）ＡＢ＝ＡＣ或∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ或ＡＤ⊥ＢＣ或ＡＤ平分∠ＢＡＣ
7．一次函数 y= 4 x+4 分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点，在 x 轴上取一点，使△ABC 为等腰 3
三角形，则这样的的点 C 最多有
个．
答案：4
8、画一个等腰△ABC，使底边长 BC=a，底边上的高为 h（要求：用尺规作图，保留作图 痕迹，写出已知，求作，不写作法和证明）. 已知：
⑶ 当 AM＋BM＋CM 的最小值为 3 1时，求正方形的边长.
A
D
【答案】解：⑴∵△ABE 是等边三角形，
N
E M
∴BA＝BE，∠ABE＝60°. ∵∠MBN＝60°，
B
C
∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.
即∠BMA＝∠NBE.
又∵MB＝NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS）.
⑵①当 M 点落在 BD 的中点时，AM＋CM 的值最小.
∴当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时，AM＋BM＋CM 的值最小，即等于 EC 的长.
⑶过 E 点作 EF⊥BC 交 CB 的延长线于 F，
∴∠EBF＝90°－60°＝30°.
设正方形的边长为 x，则 BF＝ 3 x，EF＝ x .
2
2
在 Rt△EFC 中，
∵EF2＋FC2＝EC2，
∴（ x ）2＋（
………………………来自百度文库…………………3 分
∴ AC=DF .
………………………………………4 分
4．已知：如图，AB=AC，点 D 是 BC 的中点，AB 平分 DAE ，
AE BE ，垂足为 E．
A
求证：AD=AE．
证明：∵ AB=AC，点 D 是 BC 的中点， ∴ ∠ADB=90°． ………………… 1 分 ∵ AE⊥AB，
第 23 题图 1
N M
O′
第 23 题图 2
11、如图，已知 AD 是△ABC 的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使△AED≌
△AFD，需添加一个条件是：_______________，并给予证明.
【答案】解法一：添加条件：AE＝AF，
证明：在△AED 与△AFD 中，
∵AE＝AF，∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，
5、（1）如图，点 B、E、C、F 在一条直线上，BC=EF，AB∥DE，∠A=∠D。
求证：△ABC≌△DEF。
A
D
B
E
C
F
（2）如图，在矩形 OABC 中，点 B 的坐标为（－2，3）。画出矩形 OABC 绕点 O 顺时针 旋转 90°后的矩形 OA1B1C1,并直接写出的坐标 A1、B1、C1 的坐标。