中考数学专题复习(含答案)-全等三角形
中考数学复习《全等三角形》专题(卷1)
《全等三角形》中考复习一. 选择题1. 如图，AB=AC，点D，E分别在AB，AC上，添加下列条件，不能判定△ABE≅△ACD的是( )A.BD=CEB.∠BDC=∠BECC.∠ACD=∠ABED.BE=CD2. 如下图，在△ABC中，∠C=90∘，∠B=30∘，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N 为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC于点D．则下列说法中正确的是（）①AD是∠BAC的角平分线；②∠ADC=60∘；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3.A.①②③④B.②③④C.①②D.①②③3. 如图，若△MNP≅△MEQ，则点Q应是图中的()A.点AB.点BC.点CD.点D4. 全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设△ABC 和△A1B1C1是全等（合同）三角形，点A与点A1对应，点B与点B1对应，点C与点C1对应，当沿周界A→B→C→A，及A1→B1→C1→A1环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形如图①，若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形如图②，两个真正合同三角形都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合如图①，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转180∘如图②，下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是( )A. B. C. D.5. 对下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是（）A.把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理B.木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的原理C.将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理D.将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理6. 如图，已知∠AOB，用直尺和圆规按照以下步骤作图：①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；②画射线O′A′，以O′为圆心，OC的长为半径画弧，交O′A′于点C′③以C′为圆心，CD的长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D′④过点D′画射线O′B′根据以上操作，可以判定△OCD≅ΔO′C′D′，其判定的依据是（）A.SSSB.SASC.ASAD.HL7. 如图，在扇形OAB中，点C是弧AB上任意一点（不与点A，B重合），CD//OA交OB于点D，点I是△OCD 的内心，连结OI，BI，∠AOB=β，则∠OIB等于()A.180∘−βB.180∘−12β C.90∘+12β D.90∘+β8. 小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1，2，3，4的四块），你认为将其中的哪一块带去玻璃店，就能配一块与原来一样大小的三角形玻璃.应该带( )A.第1块B.第2块C.第3块D.第4块二. 填空题三角形具有稳定性，所以要使六边形木架不变形，至少要钉上________根木条．如图，在x、y轴上分别截取OA、OB，使OA=OB，再分别以点A、B 为圆心，以大于12AB的长度为半径画弧，两弧交于点C．若C的坐标为(3a,−a+8)，则a=________.如图，在菱形ABCD中，已知AB=4，∠ABC=60∘，∠EAF=60∘，点E在CB的延长线上，点F在DC的延长线上，有下列结论：①BE=CF；②∠EAB=∠CEF；③△ABE∼△EFC；④若∠BAE=15∘，则点F到BC的距离为2√3−2.正确序号________.如图，△ABC中，点A的坐标为(0, 1)，点C的坐标为(4, 3)，如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是________．三. 解答题如图，小明用五根宽度相同的木条拼成了一个五边形，已知AE//CD，∠A=12∠C，∠B=120∘.(1)∠D+∠E=________度；(2)求∠A的度数；(3)要使这个五边形木架保持现在的稳定状态，小明至少还需钉上________根相同宽度的木条．根据要求完成下列各题．(1)如图1，在∠AOB的内部有一点P．①过点P画直线PC//OA交OB于点C；②过点P画直线PD⊥OA，垂足为D．(2)如图2，AB⊥BF,CD⊥BF,∠1=∠2，试说明∠3=∠E在下面解答中填空．解：∵AB⊥BF,CD⊥BF（已知），∴∠ABF=∠________=90∘（________），∴AB//CD（________）∵∠1=∠2（已知），∴AB//EF（________），∴CD//EF（平行于同一条直线的两条直线互相平行），∴∠3=∠E（________）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF= BD，连接BF．(1)线段BD与CD有何数量关系，为什么？(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？请说明理由．(3)当△ABC满足________条件时，四边形AFBD是正方形？（直接写出结论，不用说明理由）一条大河两岸的A、B处分别立着高压线铁塔，如图所示．假设河的两岸平行，你在河的南岸，请利用现有的自然条件、皮尺和标杆，并结合你学过的全等三角形的知识，设计一个不过河便能测量河的宽度的好办法．（要求，画出示意图，并标出字母，结合图形简要叙述你的方案）参考答案与试题解析一. 选择题1.【答案】D【解析】欲使△ABE≅△ACD，已知AB＝AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．2.【答案】A【解析】①连接NP，MP，根据SSS定理可得△ANP≅△AMP，故可得出结论；②先根据三角形内角和定理求出∠CAB的度数，再由AD是∠BAC的平分线得出∠1=∠2=30∘，根据直角三角形的性质可知∠ADC=60∘；③根据∠1=∠B可知AD=BD，故可得出结论；④先根据直角三角形的性质得出∠2=30∘，CD=12AD，再由三角形的面积公式即可得出结论．3.【答案】D【解析】此题暂无解析4.【答案】B【解析】认真阅读题目，理解真正合同三角形和镜面合同三角形的定义，然后根据各自的定义或特点进行解答．5.【答案】B【解析】根据圆的有关定义、垂线段的性质、三角形的稳定性等知识结合生活中的实例确定正确的选项即可．6.【答案】A【解析】此题暂无解析7.【答案】B 【解析】此题暂无解析8.【答案】B【解析】本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．二. 填空题【答案】3【解析】三角形具有稳定性，所以要使六边形木架不变形需把它分成三角形，即过六边形的一个顶点作对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条．【答案】2【解析】此题暂无解析【答案】①②【解析】①只要证明△BAE≅△CAF即可判断；②根据等边三角形的性质以及三角形外角的性质即可判断；③根据相似三角形的判定方法即可判断；④求得点F到BC的距离即可判断．【答案】(4, −1)或(−1, 3)或(−1, −1)【解析】因为△ABD与△ABC有一条公共边AB，故本题应从点D在AB的上边、点D在AB的下边两种情况入手进行讨论，计算即可得出答案．三. 解答题【答案】180(2)五边形的内角和为(5−2)×180∘=540∘，由(1)可知，∠D+∠E=180∘，又∠B=120∘，∠A=12∠C.设∠A=x，则∠C=2x，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=540∘,即x+120∘+2x+180∘=540∘,解得x=80∘,∴∠A=80∘.2【解析】(1)根据平行线性质，两直线平行同旁内角互补即可得到180∘.先由AE//CD，根据平行线的性质得出∠E+∠D=180∘．再根据∠B=120∘，∠A=12∠C，设∠A=x∘，则∠C=2x∘．利用五边形的内角和为540∘列出方程x+120+2x+180=540，求解即可.根据五边形不具有稳定性，而三角形具有稳定性即可求解．【答案】解：（1）①如图，直线PC即为所求；②如图，直线PD即为所求；（2）解：∵AB⊥BF,CD⊥BF（已知），∴∠ABF=∠CDF=90∘（垂直的定义），∴AB//CD（同位角相等，两直线平行）∵∠1=∠2（已知），∴AB//EF（内错角相等，两直线平行），∴CD//EF（平行于同一条直线的两条直线互相平行），∴∠3=∠E（两直线平行，同位角相等）【解析】此题暂无解析【答案】解：(1)BD=CD．理由如下：依题意得AF // BC，∴∠AFE=∠DCE，∵E是AD的中点，∴AE=DE，在△AEF和△DEC中，{∠AFE=∠DCE，∠AEF=∠DEC，AE=DE，∴△AEF≅△DEC(AAS)，∴AF=CD，∵AF=BD，∴BD=CD；(2)当△ABC满足AB=AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下：∵AF // BD，AF=BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB=AC，BD=CD，∴∠ADB=90∘，∴四边形AFBD是矩形．AB=AC，∠BAC=90∘【解析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CD，再利用等量代换即可得证；（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知∠ADB=90∘，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB=AC．【答案】解：在河南岸AB的垂线BF上取两点C、E，使CE=BE，再定出BF的垂线CD，使A、E、D在同一条直线上，这时测得CD的长就是AB的长．如图所示：【解析】已知等边及垂直，在直角三角形中，可考虑AAS证明三角形全等，从而推出线段相等．。
2024年中考数学复习 全等三角形的六种模型全梳理(原卷+答案解析)
全等三角形的六种模型全梳理几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明三角形各种模型，或证明线段数量关系等，接来下我们针对其做出详细分析与梳理。
类型一、倍长中线模型目的：①构造出一组全等三角形；②构造出一组平行线。
将分散的条件集中到一个三角形中。
1【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE．请根据小明的方法思考：(1)如图2，由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A.SSSB.SASC.AASD.ASA(2)如图2，AD长的取值范围是．A.6<AD<8B.6≤AD≤8C.1<AD<7D.1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．【问题解决】(3)如图3，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE=EF．求证：AC=BF．2(培优)已知△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AD,BE，点F为BE中点．AD；(1)如图1，求证：BF=12(2)将△DCE绕C点旋转到如图2所示的位置，连接AE,BD，过C点作CM⊥AD于M点．①探究AE和BD的关系，并说明理由；②连接FC，求证：F，C，M三点共线．1.如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AB=2AE．2.(1)如图1，已知△ABC中，AD是中线，求证：AB+AC>2AD；(2)如图2，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，求证：AB+AC>AD+AE；(3)如图3，在△ABC中，D，E在边BC上，且BD=CE．求证：AB+AC>AD+AE．3.(1)阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB=8，AC=5，求BC边上的中线AD的取值范围．可以用如下方法：将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD，在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是；(2)问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF>EF；(3)问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=100°，以C为顶点作一个50°的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由．类型二、截长补短模型截长补短法使用范围：线段和差的证明(往往需证2次全等)3如图，在五边形ABCDE中，AB=AE，CA平分∠BCD，∠CAD=12∠BAE．(1)求证：CD=BC+DE；(2)若∠B=75°，求∠E的度数．4(培优)在△ABC中，BE，CD为△ABC的角平分线，BE，CD交于点F．(1)求证：∠BFC=90°+12∠A；(2)已知∠A=60°．①如图1，若BD=4，BC=6.5，求CE的长；②如图2，若BF=AC，求∠AEB的大小．1.如图，△ABC为等边三角形，若∠DBC=∠DAC=α0°<α<60°，则∠BCD=(用含α的式子表示)．2.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，点E、F分别在直线BC、CD上，且∠BAD．∠EAF=12(1)当点E、F分别在边BC、CD上时(如图1)，请说明EF=BE+FD的理由．(2)当点E、F分别在边BC、CD延长线上时(如图2)，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出EF、BE、FD之间的数量关系，并说明理由．3.阅读下面材料：【原题呈现】如图1，在△ABC中，∠A=2∠B，CD平分∠ACB，AD=2.2，AC=3.6，求BC的长．【思考引导】因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC=AC，连接DE．这样很容易得到△DEC≌△DAC，经过推理能使问题得到解决(如图2)．【问题解答】(1)参考提示的方法，解答原题呈现中的问题；(2)拓展提升：如图3，已知△ABC中，AB=AC，∠A=20°，BD平分∠ABC，BD=2.3，BC=2．求AD 的长．类型三、一线三等角模型应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。
中考数学复习《全等三角形》专题训练-附带参考答案
中考数学复习《全等三角形》专题训练-附带参考答案一、选择题1．下列选项中表示两个全等的图形的是（）A．形状相同的两个图形B．周长相等的两个图形C．面积相等的两个图形D．能够完全重合的两个图形2．如图，点D、E分别在线段AB、AC上，BE、CD相交于点O，AE＝AD，则不一定能使△ABE≌△ACD的条件是（）A．AB＝AC B．∠B＝∠CC．∠AEB＝∠ADC D．CD＝BE3．如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明∠CAD=∠DAB的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS4．如图△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE=65°，则∠CAF的度数为（）A．25°B．30°C．35°D．65°5．如图EF=CF，BF=DF则下列结论不一定正确的是（）A．△BEF≌△DCF B．△ABC≌△ADEC．DC=AC D．AB=AD6．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．57．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，点E，BE、CD相交于点O．∠1＝∠2，则图中全等三角形共有（）A．2对B．3对C．4对D．5对8．如图，AD 是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为12，DE =2，AB = 7，则 AC 的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题9．如图，∠ACD＝∠BCE，BC＝EC，要使△ABC≌△DEC，则可以添加的一个条件是．10．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AB=8，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=2，则△ABD的面积为．11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，若BD＝4cm，CE＝3cm则DE= cm．12．如图，把两根钢条AB，CD的中点连在一起做成卡钳，已知AC的长度是6cm，则工件内槽的宽BD是cm．13．如图，△ABC为等腰直角三角形AC=BC，若A(−3，0)，C(0，2)，则点B的坐标为.三、解答题14．如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A=50°（1）求证：△ADE≌△CDE．（2）求∠BDC度数．15．如图，已知，EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E.（1）求证：BC＝DC；（2）若∠A ＝25°，∠D ＝15°，求∠ACB 的度数.16．如图，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE.（1）求证：△ABD ≌△ACE ；（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数.17．如图，在ABC 中90C ∠=︒，BD 是ABC ∠的平分线，DE AB ⊥于点E ，点F 在BC 上，连接DF ，且AD DF =． (1)求证：CF AE =；(2)若3AE =，BF=4，求AB 的长．18．如图，∠BAD ＝∠CAE ＝90°，AB ＝AD ，AE ＝AC ，AF ⊥CB ，垂足为F ．(1)求证：△ABC ≌△ADE ；(2)求∠FAE 的度数；(3)求证：CD ＝2BF+DE ．1．D2．D3．D4．A5．C6．B7．C8．C9．AC ＝DC （答案不唯一）10．811．712．613．(2，-1)14．（1）证明：∵DE 是线段AC 的垂直平分线 ∴DA=DC ，AE=CE在△ADE 与△CDE 中：DA=DCAE=CEDE=DE∴△ADE ≌△CDE （SSS ）；（2）解：∵△ADE ≌△CDE ．∴∠DCA=∠A=50°∴∠BDC=∠DCA+∠A=100°15．（1）证明：∵∠BCE ＝∠DCA∴∠BCE +∠ACE ＝∠DCA +∠ECA即∠BCA ＝∠DCE .在△BCA 和△DCE 中{∠BCA =∠DCE AC =EC ∠A =∠E∴△BCA ≌△DCE （ASA ）（2）解：∵△BCA ≌△DCE∴∠B ＝∠D ＝15°.∵∠A ＝25°∴∠ACB ＝180°−∠A −∠B ＝140°.16．（1）证明：∵∠BAC ＝∠DAE∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC∴∠1＝∠EAC在△ABD 和△ACE 中{AB =AC ∠1=∠EAC AD =AE∴△ABD ≌△ACE （SAS ）（2）解：∵△ABD ≌△ACE∴∠ABD ＝∠2＝30°∵∠1＝25°∴∠3＝∠1+∠ABD ＝25°+30°＝55°.17．（1）证明：（1）∵90C ∠=︒∴DC BC ⊥又∵BD 是ABC ∠的平分线DE AB ⊥∴DE DC = 90AED ∠=︒在Rt AED △和Rt FCD △中∵AD DFDE DC =⎧⎨=⎩∴()Rt Rt AED FCD HL ≌△△∴CF AE =．（2）解：由（1）可得3CF AE ==∴437BC BF CF =+=+=∵DE AB ⊥∴90DEB ∠=︒∴DEB C ∠=∠∵BD 是ABC ∠的平分线∴ABD CBD ∠=∠在BED 和BCD △中∵DEB C EBD CBD BD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()BED BCD AAS ≌△△ ∴7BE BC ==∴7310AB BE AE =+=+=∴AB 的长为10．18．（1）证明：∵90BAD CAE ∠=∠=︒∴90BAC CAD ∠+∠=︒ 90CAD DAE ∠+∠=︒ ∴BAC DAE ∠=∠在△BAC 和△DAE 中∵AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()BAC DAE SAS ≌△△；（2）解：∵90CAE ∠=︒，AC=AE∴45E ∠=︒由（1）知BAC DAE ≌△△∴45BCA E ∠=∠=︒∵AF BC ⊥∴90CFA ∠=︒∴45CAF ∠=︒∴4590135FAE FAC CAE ∠=∠+∠=︒+︒=︒；（3）证明：延长BF 到G ，使得FG FB = ∵AF BG ⊥∴90AFG AFB ∠=∠=︒在△AFB 和△AFG 中∴BF GF AFB AFG AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AFB AFG SAS ≌△△∴AB AG = ABF G ∠=∠∵BAC DAE ≌△△∴AB AD = CBA EDA ∠=∠ CB=ED ∴AG AD = ABF CDA ∠=∠∴CGA CDA ∠=∠∵45GCA DCA ∠=∠=︒∴在△CGA 和△CDA 中GCA DCA CGA CDA AG AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()CGA CDA AAS ≌△△∴CG CD =∵22CG CB BF FG CB BF DE BF =++=+=+ ∴2CD BF DE =+．。
九年级数学中考专题复习全等三角形练习(有答案)
全等三角形一、单选题1．如图，若△OAD △△OBC ，且△O =65°，△C =20°，则△OAD = （ ）A ．65°B ．75°C ．85°D ．95°2．在下列四组条件中，能判定△ABC△△A′B′C′的是( )A ．AB=A′B′，BC=B′C′，△A=△A′B ．△A=△A′，△C=△C′，AC=B′C′C ．△A=△B′，△B=△C′，AB=B′C′D ．AB=A′B′，BC=B′C′，△ABC 的周长等于△A′B′C′的周长3．到三角形三个顶点距离相等的点是（ ）A ．三角形三条边的垂直平分线的交点B ．三角形三条角平分线的交点C ．三角形三条高的交点D ．三角形三条边的中线的交点4．如图所示的是已知BOA ∠，求作B O A BOA '''∠=∠的作图痕迹，则下列说法正确的是（ ）A ．因为边的长度对角的大小无影响，所以孤CD 的半径长度可以任意选取B ．因为边的长度对角的大小无影响，所以弧CD ''的半径长度可以任意选取C ．因为边的长度对角的大小无影响，所以弧E F ''的半径长度可以任意选取D ．以上三种说法都正确5．如图，在方格纸中，以AB 为一边作△ABP ，使之与△ABC 全等，从P 1，P 2，P 3，P 4四个点中找出符合条件的点P ，则点P 有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，在Rt ABC 中，90A ∠=，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，3AD =，10BC =，则BDC 的面积是（ ）A ．10?B ．15?C ．20D ．307．如图，已知AO=OB ，OC=OD ，AD 和BC 相交于点E ，则图中全等三角形有（ ）对．A．1对B．2对C．3对D．4对8．如图，某同学不小心把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃．那么最省事的办法是带（）A．带△去B．带△去C．带△去D．带△△去9．如图，点A、D、C、E在同一条直线上，AB△EF，AB=EF，△B=△F，AE=12，AC=8，则CD的长为()A．5.5B．4C．4.5D．310．工人师傅常用角尺平分一个任意角做法如下：如图所示，在△AOB的两边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC即是△AOB的平分线画法中用到三角形全等的判定方法是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．HL11．如图：△ABC是等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ△AD于Q，PQ＝4，PE＝1，则AD的长是（）A．9B．8C．7D．612．如图，已知AB＝AC，AF＝AE，△EAF＝△BAC，点C、D、E、F共线．则下列结论，其中正确的是（）△△AFB△△AEC；△BF＝CE；△△BFC＝△EAF；△AB＝BC．A．△△△B．△△△C．△△D．△△△△二、填空题13．如图，已知△1=△2，请你添加一个条件使△ABC△△BAD，你的添加条件是_______（填一个即可）。
中考数学总复习《三角形与全等三角形》专项测试卷(带有答案)
中考数学总复习《三角形与全等三角形》专项测试卷(带有答案)时间：45分钟满分：100分学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．(2023·长沙)下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )A．1，3，4 B．2，2，7C．4，5，7 D．3，3，62．(2023·凉山州)如图，点E，点F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是( )第2题图A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DECC．AB＝DC D．AF＝DE3．(2023·济宁)如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD相交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于( )第3题图A．180°－α B．180°－2αC．90°＋α D．90°＋2α4．(2023·巴中)如图，在Rt△ABC中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点D，E分别为AC，BC中点，连接AE，BD，相交于点F，点G在CD上，且DG∶GC＝1∶2，则四边形DFEG的面积为( )第4题图A．2 cm2B．4 cm2C．6 cm2D．8 cm25．(2023·浙江)如图，点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，PE∥AC交BC于点E，DF∥BC交EP于点F.若四边形CDFE的面积为6，则△ABC的面积为( )第5题图A．12 B．14 C．18 D．246．一个三角形的两边长分别是3和3，则第三边长可以是．(只填一个即可) 7．(2023·丽水)如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB.若AB＝4，则DC的长是．第7题图8．(2022·南京)在平面直角坐标系中，正方形ABCD如图所示，点A的坐标(－1，0)，点D的坐标是(－2，4)，则点C的坐标是．第8题图9．(2023·遂宁)如图，以△ABC的边AB，AC为腰分别向外作等腰直角△ABE，△ACD，连接ED，BD，EC，过点A的直线l分别交线段DE，BC于点M，N.以下说法：①当AB＝AC＝BC时，∠AED＝30°②EC＝BD ③若AB＝3，AC＝4，BC＝6，则DE＝2 3 ④当直线l⊥BC时，点M为线段DE的中点．正确的有．(填序号)第9题图10．(2023·苏州)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线．以点A 为圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF.第10题图(1)求证：△ADE≌△ADF；(2)若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数．11．(2023·大连)如图，在△ABC和△ADE中，延长BC交DE于点F，BC＝DE，AC＝AE，∠ACF＋∠AED＝180°.求证：AB＝AD.第11题图12．(2023·聊城)如图，在四边形ABCD中，点E是BC边上一点，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C.第12题图(1)求证：∠EAD＝∠EDA；(2)若∠C＝60°，DE＝4，求△AED的面积．参考答案1．(2023·长沙)下列长度的三条线段，能组成三角形的是( C)A．1，3，4 B．2，2，7C．4，5，7 D．3，3，62．(2023·凉山州)如图，点E，点F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是( D)第2题图A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DECC．AB＝DC D．AF＝DE3．(2023·济宁)如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD相交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于( C)第3题图A．180°－α B．180°－2αC．90°＋α D．90°＋2α4．(2023·巴中)如图，在Rt△ABC中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点D，E分别为AC，BC中点，连接AE，BD，相交于点F，点G在CD上，且DG∶GC＝1∶2，则四边形DFEG的面积为( B)第4题图A．2 cm2B．4 cm2C．6 cm2D．8 cm25．(2023·浙江)如图，点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，PE∥AC交BC于点E，DF∥BC交EP于点F.若四边形CDFE的面积为6，则△ABC的面积为( C)第5题图A．12 B．14 C．18 D．246．一个三角形的两边长分别是3和3，则第三边长可以是(示例)3．(只填一个即可)7．(2023·丽水)如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB.若AB＝4，则DC的长是4．第7题图8．(2022·南京)在平面直角坐标系中，正方形ABCD如图所示，点A的坐标(－1，0)，点D的坐标是(－2，4)，则点C的坐标是(2，5)．第8题图9．(2023·遂宁)如图，以△ABC的边AB，AC为腰分别向外作等腰直角△ABE，△ACD，连接ED，BD，EC，过点A的直线l分别交线段DE，BC于点M，N.以下说法：①当AB＝AC＝BC时，∠AED＝30°②EC＝BD ③若AB＝3，AC＝4，BC＝6，则DE＝2 3 ④当直线l⊥BC时，点M为线段DE的中点．正确的有①②④．(填序号)第9题图10．(2023·苏州)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线．以点A 为圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF.第10题图(1)求证：△ADE≌△ADF；(2)若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数．解：(1)证明：∵AD是△ABC的角平分线由作图知，AE ＝AF. 在△ADE 和△ADF 中 ⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AF ，∠BAD ＝∠CAD ，AD ＝AD ，∴△ADE ≌△ADF(SAS)；(2)∵∠BAC ＝80°，AD 为△ABC 的角平分线 ∴∠EAD ＝12∠BAC ＝40°由作图知，AE ＝AD. ∴∠AED ＝∠ADE∴∠ADE ＝12×(180°－40°)＝70°∵AB ＝AC ，AD 为△ABC 的角平分线 ∴AD ⊥BC.∴∠BDE ＝90°－∠ADE ＝20°.11．(2023·大连)如图，在△ABC 和△ADE 中，延长BC 交DE 于点F ，BC ＝DE ，AC ＝AE ，∠ACF ＋∠AED＝180°.求证：AB ＝AD.第11题图证明：∵∠ACB ＋∠ACF ＝∠ACF ＋∠AED ＝180°在△ABC 和△ADE 中 ⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝DE ，∠ACB ＝∠AED ，AC ＝AE ，∴△ABC ≌△ADE(SAS) ∴AB ＝AD.12．(2023·聊城)如图，在四边形ABCD 中，点E 是BC 边上一点，且BE ＝CD ，∠B ＝∠AED＝∠C.第12题图(1)求证：∠EAD＝∠EDA；(2)若∠C＝60°，DE ＝4，求△AED 的面积．解：(1)证明：∵∠B ＝∠AED ＝∠C ，∠AEC ＝∠B ＋∠BAE ＝∠AED ＋∠CED ∴∠BAE ＝∠CED 在△ABE 和△ECD 中 ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠CED ，∠B ＝∠C ，BE ＝CD ，∴△ABE ≌△ECD(AAS) ∴AE ＝ED ∴∠EAD ＝∠EDA ；(2)∵∠AED ＝∠C ＝60°，AE ＝ED ∴△AED 为等边三角形 ∴AE ＝AD ＝ED ＝4 过A 点作AF ⊥ED 于点F.第12题图∴EF ＝12ED ＝2∴AF ＝AE 2－EF 2＝42－22＝2 3 ∴S △AED ＝12ED ·AF ＝12×4×23＝4 3.。
中考数学备考专题复习 全等三角形(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题
全等三角形一、单选题（共12题；共24分）1、下图中，全等的图形有（）A、2组B、3组C、4组D、5组2、使两个直角三角形全等的条件是（）A、一锐角对应相等B、两锐角对应相等C、一条边对应相等D、两条直角边对应相等3、下列说法错误的是（）A、等腰三角形两腰上的中线相等B、等腰三角形两腰上的高线相等C、等腰三角形的中线与高重合D、等腰三角形底边的中线上任一点到两腰的距离相等4、如图，某同学把一块三角形的玻璃打破成了三块，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃，那么最省事的办法是带（）去配．A、①B、②C、③D、①和②5、长为1的一根绳，恰好可围成两个全等三角形，则其中一个三角形的最长边x 的取值X围为（）A、B、C、D、6、已知等腰三角形一腰上的高线等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个底角等于（）A、15°或75°B、15°C、75°D、150°和30°7、如图，x的值可能为（）A、10B、9C、7D、68、如图，△A BC中，AB=AC ， EB=EC ，则由“SSS”可以判定（）A、△ABD≌△ACDB、△ABE≌△ACEC、△BDE≌△CDED、以上答案都不对9、如果线段AB=3cm，BC=1cm，那么A、C两点的距离d的长度为（）A、4cmB、2cmC、4cm或2cmD、小于或等于4cm，且大于或等于2cm10、（2016•滨州）如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（）A、50°B、51°C、51.5°D、52.5°11、（2016•某某）如图，已知∠ABC=∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（）A、AC=BDB、∠CAB=∠DBAC、∠C=∠DD、BC=AD12、如图，在△ABC中，∠A=20°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是（）A、24°B、25°C、30°D、36°二、填空题（共5题；共6分）13、若△ABC≌△EFG，且∠B＝60°,∠FGE－∠E＝56°,，则∠A＝________度．14、如图，BE，CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE的依据是“________”．15、如图，△ABC≌△ADE，∠B＝100°，∠BAC＝30°，那么∠AED＝________°．16、如果△ABC 和△DEF 全等，△DEF 和△GHI 全等，则△ABC 和△GHI________全等，如果△ABC 和△DEF 不全等，△DEF 和△GHI 全等，则△A BC 和△GHI________全等．（填“一定”或“不一定”或“一定不”）17、（2016•某某）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，P 是BC 边上一动点（不含B 、C 两点），将△ABP 沿直线AP 翻折，点B 落在点E 处；在CD 上有一点M ，使得将△CMP 沿直线MP 翻折后，点C 落在直线PE 上的点F 处，直线PE 交CD 于点N ，连接MA ，NA ．则以下结论中正确的有________（写出所有正确结论的序号） ①△CMP∽△BPA；②四边形AMCB 的面积最大值为10；③当P 为BC 中点时，AE 为线段NP 的中垂线； ④线段AM 的最小值为2；⑤当△ABP≌△ADN 时，BP=4﹣4．三、综合题（共6题；共66分）18、如图，分别以Rt△ABC 的直角边AC 及斜边AB 向外作等边△ACD 及等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F ，连接DF ．(1)试说明AC=EF ；(2)求证：四边形ADFE 是平行四边形.19、已知：如图，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE=CG ，连接BG 并延长交DE 于F ．(1)求证：△BCG≌△DCE；(2)将△DC E 绕点D 顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD 是什么特殊四边形，并说明理由。
中考数学一轮复习《全等三角形》练习题(含答案)
中考数学一轮复习《全等三角形》练习题（含答案）(建议答题时间：60分钟)基础过关1. 如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DCE＝()A. ∠BB. ∠AC. ∠EMFD. ∠AFB第1题图第2题图2. (人教八上第44页11题改编)如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是()A. AB＝DEB. AC＝DFC. ∠A＝∠DD. BF＝EC3. 如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是()A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对第3题图第4题图第5题图4. 注重开放探究(2017怀化)如图，AC＝DC，BC＝EC，请你添加一个适当的条件：____________________________，使得△ABC≌△DEC.5. 如图，AB∥CF，E为DF的中点，AB＝10，CF＝6，则BD＝________.6. 如图，在△ABC中，分别以AC、BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点O，则∠AOB的度数为________．第6题图7. (2017福建)如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：∠A＝∠D.第7题图8. (2017武汉)如图，点C、F、E、B在一条直线上，∠CFD＝∠BEA，CE＝BF，DF＝AE，写出CD与AB之间的关系，并证明你的结论．第8题图9. (2017南充)如图，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别是点E、F，DE＝CF，AE＝BF，求证：AC∥BD.第9题图10. (2017重庆巴南区期中检测)如图，在四边形ABCD中，点E在对角线AC上，AB∥DE，∠ACB＝∠ADE，AB＝EA，求证：AC＝ED.第10题图11. (人教八上第44页4题改编)如图所示，已知∠1＝∠2，请你添加一个条件，证明：AB＝AC.(1)你添加的条件是________________；(2)请写出证明过程．第11题图12. (2017重庆一中期中考试)如图，AF∥DE，点B、C在线段AD上，且∠E＝∠F，连接FC、EB，延长EB交AF于点G.(1)求证：BE∥CF；(2)若CF＝BE，求证：AB＝CD.第12题图13. (2017苏州)如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O.(1)求证：△AEC≌△BED；(2)若∠1＝42°，求∠BDE的度数．第13题图14. (2017哈尔滨)已知，△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE ＝90°，连接AE、BD交于点O.AE与DC交于点M，BD与AC交于点N.(1)如图①，求证：AE＝BD；(2)如图②，若AC＝DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中四对全等的直角三角形．第14题图满分冲关1. (2017滨州)如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：(1)PM＝PN恒成立；(2)OM＋ON的值不变；(3)四边形PMON的面积不变；(4)MN的长不变，其中正确的个数为()A. 4B. 3C. 2D. 1第1题图第2题图2. (2018原创) 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC 交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF.给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF，其中正确的结论共有()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个3. (2017新疆建设兵团)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中：①∠ABC＝∠ADC；②AC与BD互相平分；③AC，BD分别平分四边形ABCD的两组对角；④四边形ABCD的面积S＝12AC·BD，正确的是________．(填写所有正确结论的序号)第3题图4. (2017温州)如图，在五边形ABCDE中，∠BCD＝∠EDC＝90°，BC＝ED，AC ＝AD.(1)求证：△ABC≌△AED；(2)当∠B＝140°时，求∠BAE的度数．第4题图5. (2017荆门)如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，点E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F.(1)求证：△ADE≌△FCE；(2)若∠DCF＝120°，DE＝2，求BC的长．第5题图6. (2017齐齐哈尔)如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD＝AD，DG＝DC，E，F分别是BG，AC的中点．(1)求证：DE＝DF，DE⊥DF；(2)连接EF，若AC＝10，求EF的长．第6题图7. (2017德阳)如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，CE ⊥AB，垂足为E，AF⊥BC，垂足为F，AF与CE相交于点G.(1)证明：△CFG≌△AEG；(2)若AB＝4，求四边形AGCD的对角线GD的长．第7题图8. (2017北京)在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P是线段BC上一动点(与点B，C不重合)，连接AP，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M.(1)若∠P AC＝α，求∠AMQ的大小(用含α的式子表示)；(2)用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．第8题图9. (2018原创)已知△ABC和△ADE都是等边三角形，点B，D，E在同一条直线上．(1)如图①，当AC⊥DE，且AD＝2时，求线段BC的长度；(2)如图②，当CD⊥BE时，取线段BC的中点F，线段DC的中点G，连接DF，EG，求证：DF＝EG.第9题图答案基础过关 1. A 2. C3. D 【解析】∵AB ＝AC ，D 为BC 中点，∴CD ＝BD ，∠BDO ＝∠CDO ＝90°，在△ABD 和△ACD 中，⎩⎨⎧AB ＝AC AD ＝AD BD ＝CD ，∴△ABD ≌△ACD (SSS )，∵EF 垂直平分AC ，∴OA ＝OC ，AE ＝CE ，在△AOE 和△COE 中，⎩⎨⎧OA ＝OCOE ＝OE AE ＝CE ，∴△AOE ≌△COE (SSS )； 在△BOD 和△COD 中，⎩⎨⎧BD ＝CD∠BDO ＝∠CDO OD ＝OD ，∴△BOD ≌△COD (SAS )；在△AOC和△AOB 中，⎩⎨⎧AC ＝ABOA ＝OA OC ＝OB，∴△AOC ≌△AOB (SSS )．4. AB ＝DE (答案不唯一)5. 4 【解析】∵AB ∥CF ，∴∠ADE ＝∠CFE ，∵E 是DF 的中点，∴DE ＝EF ，在△ADE 与△CFE 中，⎩⎨⎧∠ADE ＝∠CFEDE ＝FE∠AED ＝∠CEF，∴△ADE ≌△CFE (ASA )，∴AD ＝CF ，∵AB ＝10，CF ＝6，∴BD ＝AB －AD ＝10－6＝4.6. 120° 【解析】∵△ACD 和△BCE 均为等边三角形，∴∠DCA ＝∠BCE ＝60°，AC ＝DC ，BC ＝EC ，∴∠DCB ＝∠DCA ＋∠ACB ＝∠BCE ＋∠ACB ＝∠ACE ，∴△DCB ≌△ACE (SAS )，∴∠CDB ＝∠CAE ，∴∠AOB ＝∠DAO ＋∠ADO ＝∠DAC ＋∠CAE ＋∠ADC －∠CDB ＝∠ADC ＋∠DAC ＝120°.7. 证明：∵BE ＝CF ， ∴BC ＝EF ，在△ABC 和△DEF 中，⎩⎨⎧AB ＝DE AC ＝DF BC ＝EF，∴△ABC ≌△DEF (SSS )， ∴∠A ＝∠D .8. 解：CD ∥AB ，CD ＝AB . 证明： ∵CE ＝BF ， ∴CF ＝BE ，又∵∠CFD ＝∠BEA ，DF ＝AE ， ∴△CFD ≌△BEA (SAS )， ∴CD ＝AB ，∠C ＝∠B ， ∴CD ∥AB .9. 证明：∵DE ⊥AB ，CF ⊥AB ， ∴∠BED ＝∠AFC ＝90°， 又∵AE ＝BF ， ∴AE ＋EF ＝BF ＋EF ， ∴AF ＝BE .在△ACF 和△BDE 中，⎩⎨⎧AF ＝BE∠AFC ＝∠BED CF ＝DE，∴△ACF ≌△BDE (SAS )， ∴∠A ＝∠B ， ∴AC ∥BD .10. 证明：∵AB ∥DE ， ∴∠BAC ＝∠AED ，在△ABC 和△EAD 中，⎩⎨⎧∠ACB ＝∠ADE∠BAC ＝∠AED AB ＝EA，∴△ABC ≌△EAD (AAS )， ∴AC ＝ED .11. (1)解：∠B ＝∠C 或∠ADB ＝∠ADC 等；(2)证明：若添加的条件为∠B ＝∠C ，在△ABD 和△ACD 中，⎩⎨⎧∠B ＝∠C∠1＝∠2AD ＝AD，∴△ABD ≌△ACD (AAS )， ∴AB ＝AC ；若添加的条件为∠ADB ＝∠ADC ，在△ABD 和△ACD 中，⎩⎨⎧∠1＝∠2AD ＝AD ∠ADB ＝∠ADC，∴△ABD ≌△ACD (ASA )， ∴AB ＝AC .12. 证明：(1)∵AF ∥DE ， ∴∠E ＝∠AGE ， ∵∠E ＝∠F ， ∴∠F ＝∠AGE ， ∴BE ∥CF ； (2)∵AF ∥DE ∴∠A ＝∠D ，在△ACF 和△DBE 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠D∠F ＝∠E CF ＝BE，∴△ACF ≌△DBE (AAS )， ∴AC ＝DB ， ∴AB ＝CD .13. (1)证明：∵AE 和BD 相交于点O ， ∴∠AOD ＝∠BOE ，在△AOD 和△BOE 中，∠A ＝∠B ， ∴∠BEO ＝∠2， 又∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠BEO ， ∴∠AEC ＝∠BED ，在△AEC 和△BED 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠BAE ＝BE ∠AEC ＝∠BED，∴△AEC ≌△BED (ASA )； 解：(2)∵△AEC ≌△BED ， ∴EC ＝ED ，∠C ＝∠BDE ，在△EDC 中 ，∵EC ＝ED ，∠1＝42°， ∴∠C ＝∠EDC ＝69°， ∴∠BDE ＝∠C ＝69°.14. (1)证明：∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°， ∴AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠ACB ＋∠ACD ＝∠DCE ＋∠ACD ， ∴∠BCD ＝∠ACE ， ∴△ACE ≌△BCD (SAS )， ∴AE ＝BD ；(2)解：△ACB ≌△DCE ，△AON ≌△DOM ，△AOB ≌△DOE ，△NCB ≌△MCE . 满分冲关1. B 【解析】如解图，过点P 分别作OA 、OB 的垂线PC 、PD ，根据角平分线的性质可得PC ＝PD ，∵OP 一定，∴OC ＝OD .∵∠AOB 是定角，∠MPN 与∠AOB 互补，∴∠MPN 也为定角．∵∠CPD 与∠AOB 也互补，∴∠MPN ＝∠CPD ，∴∠MPC ＝∠NPD ，∴△MPC ≌△NPD (ASA )，∴CM ＝DN ，MP ＝NP .故(1)正确；∵OM ＋ON ＝OC ＋CM ＋OD －DN ，∴OM ＋ON ＝OC ＋OD ，∵OC ＝OD 为定长，∴OM ＋ON 为定长．故(2)正确；∵△MPC ≌△NPD ，∴S四边形MONP＝S △CMP ＋S四边形CONP＝S △NPD ＋S 四边形CONP ＝S 四边形CODP .∴四边形MONP 面积为定值．故(3)正确；∵Rt △MPC 中，MP 为斜边，CP 为直角边，∴可设MP ＝kCP ，∴PN ＝kDP ，∵∠MPN ＝∠CPD ，∴△MPN ∽△CPD ，其相似比为k ，∴MN ＝kCD ，当点M 与点C 重合，点N 和点D 重合时，MN ＝CD ，当点M 与点C 不重合，点N 与点D 不重合时，MN ≠CD ，∴MN 的长度在发生变化．故(4)错误．第1题解图2. A 【解析】∵BF ∥AC ，∴∠C ＝∠CBF ，∵BC 平分∠ABF ，∴∠ABC ＝∠CBF ，∴∠C ＝∠ABC ，∴AB ＝AC ，∵AD 是△ABC 的角平分线，∴BD ＝CD ，AD ⊥BC ，故②③正确，在△CDE 与△BDF 中，⎩⎨⎧∠C ＝∠CBF CD ＝BD ∠EDC ＝∠BDF，∴△CDE ≌△BDF (ASA )，∴DE ＝DF ，CE ＝BF ，故①正确；∵AE ＝2BF ，∴AC ＝3BF ，故④正确．故选A .3. ①④【解析】在△ABC 与△ADC 中，⎩⎨⎧AB ＝ADBC ＝DC AC ＝AC，∴△ABC ≌△ADC (SSS )，∴∠ABC ＝∠ADC ，故①正确；∵△ABC ≌△ADC ，∴∠BAC ＝∠DAC ，∠BCA ＝∠DCA ，∴AC 平分∠BAD 、∠BCD ，故③错误；又∵AB ＝AD ，∠BAC ＝∠DAC ，∴OB ＝OD ，∴AC ，BD 互相垂直，但不平分，故②错误；∵AC ，BD 互相垂重，∴四边形ABCD 的面积S ＝12AC ·BO ＋12AC ·OD ＝12AC ·BD .故④正确，综上所述，正确的结论是①④. 4. (1)证明：∵AC ＝AD ， ∴∠ACD ＝∠ADC ，∴∠BCD －∠ACD ＝∠EDC －∠ADC 即∠BCA ＝∠EDA ，在△ABC 与△AED 中，BC ＝ED ，∠BCA ＝∠EDA ，AC ＝AD ， ∴△ABC ≌△AED (SAS )； (2)解：∵△ABC ≌△AED ， ∴∠E ＝∠B ＝140°，∵五边形ABCDE 内角和为(5－2)×180°＝540°，∴∠BAE ＝540°－2×90°－2×140°＝80°. 5. (1)证明：∵点E 是CD 的中点， ∴DE ＝CE ， ∵AB ∥CF ， ∴∠BAF ＝∠AFC ，在△ADE 与△FCE 中，⎩⎨⎧∠DAE ＝∠CFE ∠AED ＝∠FEC DE ＝CE，∴△ADE ≌△FCE (AAS )； (2)解：由(1)知CD ＝2DE ， ∵DE ＝2， ∴CD ＝4，在Rt △ABC 中，点D 为AB 的中点， ∴AB ＝2CD ＝8，AD ＝CD ＝12AB . ∵AB ∥CF ，∴∠BDC ＝180°－∠DCF ＝180°－120°＝60°， ∴∠DAC ＝∠ACD ＝12∠BDC ＝12×60°＝30°， ∴在Rt △ABC 中，BC ＝12AB ＝12×8＝4. 6. (1)证明：∵AD ⊥BC ， ∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°，在△BDG 和△ADC 中，⎩⎨⎧BD ＝AD∠BDG ＝∠ADC DG ＝DC，∴△BDG ≌△ADC (SAS )， ∴BG ＝AC ，∠BGD ＝∠C ，∵∠ADB ＝∠ADC ＝90°，E ，F 分别是BG ，AC 的中点， ∴DE ＝12BG ＝EG ，DF ＝12AC ＝AF ，∴DE ＝DF ，∠EDG ＝∠EGD ，∠FDA ＝∠F AD ， ∴∠EDG ＋∠FDA ＝90°，∴DE ⊥DF ； (2)解：∵AC ＝10， ∴DE ＝DF ＝5，由勾股定理得，EF ＝DE 2＋DF 2＝5 2. 7. (1)证明：∵E 是AB 的中点，且CE ⊥AB ， ∴CA ＝CB .∵F 是BC 的中点，且AF ⊥BC ， ∴AB ＝AC ， ∴AB ＝AC ＝BC ，∴12AB ＝12BC ，∴AE ＝CF ，在△CFG 和△AEG 中，⎩⎨⎧∠CGF ＝∠AGE∠CFG ＝∠AEG CF ＝AE，∴△CFG ≌△AEG (AAS )； (2)解：如解图，连接GD ，第7题解图∵AB ＝AC ＝BC ，∴△ABC 为等边三角形，从而△CAD 也为等边三角形， ∵AF ⊥BC ，∴∠GAC ＝∠EAF ＝30°， 又∵AE ＝12AB ＝2， ∴在Rt △AEG 中，AG ＝23AE ＝433， ∵∠GAD ＝∠GAC ＋∠CAD ＝90°，∴在Rt △ADG 中，根据勾股定理得：GD 2＝AG 2＋AD 2，即GD 2＝(433)2＋42，∴GD 2＝643， ∴GD ＝833.8. 解：(1) ∵∠ACP ＝90°，∴在Rt △ACP 中，∠CAP ＋∠APC ＝90°， ∵HQ ⊥AP ,∴在Rt △HPQ 中，∠Q ＋∠HPQ ＝90°， 又∵∠APC ＝∠HPQ ，∠CAP ＝α， ∴∠Q ＝α，又∵在等腰Rt △ABC 中，∠B ＝∠BAC ＝45°， ∴∠AMQ ＝∠B ＋∠Q ＝45°＋α； (2)PQ ＝2BM .证明：如解图，连接AQ ，过点M 作MN ⊥BQ 于点N .第8题解图∵∠ACP ＝90°，CQ ＝CP ，∠CAP ＝α， ∴∠CAQ ＝∠CAP ＝α，AP ＝AQ ，PQ ＝2CP ， 又∵∠BAC ＝45°，∴∠MAQ ＝∠BAC ＋∠CAQ ＝45°＋α＝∠AMQ ， ∴AQ ＝MQ ， ∴AP ＝MQ ， 又∵MN ⊥BQ ， ∴∠ACP ＝∠QNM ＝90°.在Rt △APC 和Rt △QMN 中，⎩⎨⎧∠CAP ＝∠NQM∠ACP ＝∠QNM ＝90°AP ＝MQ，∴Rt △APC ≌Rt △QMN (AAS )， ∴CP ＝MN ，∴PQ ＝2MN ， 又∵在Rt △BMN 中，∠B ＝45°， ∴BM ＝2MN ，∴PQ ＝2BM .9. (1)解：∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，AC ⊥DE ，AD ＝2， ∴BC ＝AC ，DE ＝AD ＝2，DF ＝12DE ＝1，AF ＝CF ， ∴AF ＝AD 2－DF 2＝3， ∴AC ＝2AF ＝23，∴BC ＝23； (2)证明：连接CE ，FG ，如解图所示：第9题解图∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，点B ，D ，E 同一在一条直线上． ∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝∠AED ＝60°， ∴∠ADB ＝120°，∠BAD ＝∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，⎩⎨⎧AB ＝AC∠BAD ＝∠CAE AD ＝AE，∴△ABD ≌△ACE (SAS )，∴BD ＝CE ，∠AEC ＝∠ADB ＝120°， ∴∠CED ＝∠AEC －∠AED ＝60°， ∵CD ⊥BE ， ∴∠DCE ＝30°， ∴DE ＝12CE ，∵线段BC的中点为F，线段DC的中点为G，∴FG∥BD，FG＝12BD，∴FG∥DE，FG＝DE，∴四边形DFGE是平行四边形，∴DF＝EG.。
中考数学复习专项之三角形全等 (含答案)
30°AＢＯＣl D 第1题图C A P B D三角形全等一、选择题1、(2022年安徽省模拟六)在△ABC 与△A ′B ′C ′中，已知AB = A ′B ′，∠A =∠A ′，要使△ABC ≌△A ′B ′C ′，还需要增加一个条件，这个条件不正确的是…………【 】 A ．AC = A ′C ′ B.BC = B ′C ′ C.∠B =∠B ′ D.∠C =∠C ′．答案：B2、(2022年江苏南京一模)如图，直线上有三个正方形a b c ，，，若a c ，的面积分别为3和4，则b 的面积为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．7 答案：D3．（2022郑州外国语预测卷）如图，两个等圆⊙A 、⊙B 分别与直线l 相切于点C 、D ，连接AB 与直线l 相交于点O ，∠AOB =30°，连接AC 、BD ，若AB =4，则这两个等圆的半径为（ ） A ．21B ．1C ．3D ．2 答案：B4、（2022河南沁阳市九年级第一次质量检测） 如图，把△ABC 绕着点C 顺时针旋转30°，得到△A ′B ′C ，A ′B ′交AC 于点D ，若∠A ′DC ＝90°，则∠A 的度数是【 】A.30°B.50°C.60°D.80°C5、（2022年湖北省武汉市中考全真模拟）如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，P 为其底角平分线的交点，将△BCP 沿CP 折叠，使B 点恰好落在AC 边上的点D 处，若DA=DP ，则∠A 的度数为( ).A.20°B.30°C.32°D.36°D6、 （2022年湖北宜昌调研）如图，AC ，BD 交于点E ，AE=CE ，添加以下四个条件中的一个，其中不能使△ABE ≌△CDE 的条件是（ ） （A ）BE=DE （B ）AB ∥CD （C ）∠A=∠C （D ）AB=CDabclEABCD答案：D7、（2022年唐山市二模）在锐角△ABC 中，∠BAC =60°，BN 、CM 为高，P 为BC 的中点，连接MN 、MP 、NP ，则结论：①NP =MP ②当∠ABC =60°时，MN ∥BC ③ BN =2AN ④AN︰AB =AM ︰AC ，一定正确的有 （ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个答案：C8.（2022年上海闵行区二摸）在△ABC 与△A ′B ′C ′中，已知AB = A ′B ′，∠A =∠A ′，要使△ABC ≌△A ′B ′C ′，还需要增加一个条件，这个条件不正确的是 （A ）AC = A ′C ′； （B ）BC = B ′C ′； （C ）∠B =∠B ′； （D ）∠C =∠C ′．答案：B二、填空题1、（2022云南勐捧中学二模）如图，AB CD ，相交于点O ，AO=CO ，试添加一个条件使得AOD COB △≌△，你添加的条件是 （只需写一个）． 【答案】∠A= ∠C 、∠D= ∠B 、OD=OB （答案不唯一）2．（2022年安徽初中毕业考试模拟卷一）如图，ABC ∆为等边三角形，AQ =PQ ，PR =PS ，PR ⊥AB 于R ，PS ⊥AC 于S ，则四个结论正确的是 ．（把所有正确答案的序号都填写在横线上）①AP 平分∠BAC ；②AS =AR ；③QP ∥AR ；④BRP ∆≌△QSP ． 答案：①②③④三、解答题1、(2022年湖北荆州模拟5)（本题满分8分）将两块斜边长度相等的等腰直角三角纸板如图(1)摆放，若把图(1)中的△BCN 逆时针旋转90°，得到图(2)，图(2)中除△ABC ≌△CED 、△BCN ≌△ACF 外，你还能找到一对全等的三角形吗?写出你的结论并说明理由．AC BDO第1题答案：解：△FCM ≌△NCM ，理由如下： ∵把图中的△BCN 逆时针旋转90°， ∴∠FCN=90°，CN=CF ， ∵∠MCN=45°， ∴∠FCM=90°-45°=45°， 在△FCM 和△NCM 中∵CM=CM ，∠FCM=∠NCM ， FC=CN∴△FCM ≌△NCM （SAS ）．2、(2022年湖北荆州模拟6)（本题满分8分）如图，正方形ABCD 和BEFG 在直线AB 的同侧，连接AG 、EC ,易证AG=EC ，现在将正方形BEFG 顺时针旋转30°，那么AG=EC 还成立吗？请作出旋转后的图形，并证明你的结论. 答案：解：成立. 理由如下：在ΔABG 与ΔCBE 中，0120AB CB ABG CBE BG BE =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴ ΔABG ≌ΔCBE ∴ AG=CE3、(2022年江苏南京一模)（7分）如图， AB =AC ，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，BE 与CD 相交于点O ． (1) 求证：AD =AE ；(2) 连接BC ，DE ，试判断BC 与DE 的位置关系并说明理由． 答案：（1）证明：在△ACD 与△ABE 中， ∵∠A =∠A ，∠ADC =∠AEB =90°，AB =AC ， ∴ △ACD ≌△ABE ．…………………… 2分 ∴ AD=AE ． ……………………3分 (2) 互相平行 ……………………4分 在△ADE 与△ABC 中， ∵AD=AE ，AB=AC ，∴ ∠ADE=∠AED ,∠ABC=∠ACB ……………6分 且 ∠ADE =180－∠A =∠ABC.∴ DE ∥BC ． ……………7分第1题图第2题图第2题解答CACBB第2题图14．（2022年北京房山区一模）如图，点C、B、E在同一条直线上，AB∥DE，∠ACB=∠CDE，AC=CD．求证：AB=CD ．答案：证明：∵AB∥DE∴∠ABC=∠E ------------------------------1分∵∠ACB=∠CDE，AC=CD --------------------- --------3分∴△ABC≌△CED -------------------------4分∴AB=CD--------------------------5分5．（2022年北京房山区一模）（1）如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且B、C、D三点共线，联结AD、BE相交于点P，求证：BE = AD.（2）如图2，在△BCD中，∠BCD＜120°，分别以BC、CD和BD为边在△BCD外部作等边三角形ABC、等边三角形CDE和等边三角形BDF，联结AD、BE和CF交于点P，下列结论中正确的是（只填序号即可）①AD=BE=CF；②∠BEC=∠ADC；③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°；（3）如图2，在（2）的条件下，求证：PB+PC+PD=BE.答案：(1)证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°∴∠BCE=∠ACD∴△BCE≌△ACD（SAS）∴BE=AD--------------1分（2）①②③都正确--------------4分（3）证明：在PE上截取PM=PC，联结CM由（1）可知，△BCE≌△ACD（SAS）EDC BA第1题图ADAB∴∠1=∠2设CD 与BE 交于点G ,,在△CGE 和△PGD 中 ∵∠1=∠2，∠CGE =∠PGD∴∠DPG =∠ECG =60°同理∠CPE =60° ∴△CPM 是等边三角形--------------5分 ∴CP =CM ，∠PMC =60° ∴∠CPD =∠CME =120°∵∠1=∠2,∴△CPD ≌△CME （AAS ）---6分 ∴PD =ME∴BE =PB +PM +ME =PB +PC +PD . -------7分即PB+PC+PD=BE .6．（2022年北京龙文教育一模）已知：如图，AB ∥CD ，AB =CD ，点E 、F 在线段AD 上，且AF=DE ．求证：BE =CF ． 答案：证明: AF=DE ， ∴ AF-EF=DE –EF ． 即 AE=DF ．………………1分AB ∥CD ，∴∠A =∠D ．……2分在△ABE 和△DCF 中 ， AB =CD ， ∠A =∠D ， AE=DF ．∴△ABE ≌△DCF ．……….4分 ∴ BE =CF ．…………….5分7. （2022年北京龙文教育一模）阅读下面材料：问题：如图①，在△ABC 中， D 是BC 边上的一点，若∠BAD =∠C =2∠DAC =45°，DC =2．求BD 的长．小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△ADC 进行翻折，再经过推理、计算使问题得到解决．（1）请你回答：图中BD 的长为 ；（2）参考小明的思路，探究并解答问题：如图②，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，若∠BAD =∠C =2∠DAC =30°，DC =2，求BD 和AB 的长．FE ACDB第3题图答案：解：（1）22=BD . ……………………………… ………………………1分（2）把△ADC 沿AC 翻折，得△AEC ，连接DE ， ∴△ADC ≌△AEC .∴∠DAC =∠EAC ，∠DCA =∠ECA ， DC ＝EC . ∵∠BAD =∠BCA =2∠DAC =30°， ∴∠BAD =∠DAE =30°，∠DCE =60°.∴△CDE 为等边三角形. ……………………2分 ∴DC ＝DE .在AE 上截取AF ＝AB ，连接DF ， ∴△ABD ≌△AFD . ∴BD ＝DF .在△ABD 中，∠ADB =∠DAC ＋∠DCA =45°， ∴∠ADE =∠AED =75°，∠ABD =105°. ∴∠AFD =105°. ∴∠DFE =75°. ∴∠DFE =∠DEF . ∴DF ＝DE .∴BD ＝DC ＝2. …………………………………………………………………3分 作BG ⊥AD 于点G ， ∴在Rt △BDG 中， 2=BG . ……………………………………………4分∴在Rt △ABG 中，22=AB . ……………………………………………5分 8．（2022年北京平谷区一模）已知：如图，AB ∥CD ，AB =EC ，BC =CD . 求证：AC =ED .答案：证明：∵ AB //CD ，∴B DCE ∠=∠．………………… ………………………1分在△ABC 和△ECD 中，= =B DCE AB EC BC CD ∠∠⎧⎪=⎨⎪⎩，，， ∴ △ABC ≌△ECD ． …………………… ………………4分∴ AC =ED ．………………………… ……………………5分9．（2022年北京顺义区一模）已知：如图，CA 平分BCD ∠, 点E 在AC 上，BC EC =，AC DC =．求证：A D ∠=∠．答案：证明：∵CA 平分BCD∠∴ ACB DCE ∠=∠ ……………1分在ABC ∆和DEC ∆中∵BC EC ACB DCE AC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩……………3分 ∴ABC ∆≌DEC ∆ …………………………………………… 4分 ∴A D ∠=∠ ……………………………………………5分10．（2022年北京平谷区一模）（1）如图(1)，△ABC 是等边三角形，D 、E 分别是 AB 、BC 上的点，且BD CE =，连接AE 、CD 相交于点P . 请你补全图形，并直接写出∠APD 的度数；= （2）如图（2）,Rt △ABC 中，∠B =90°，M 、N 分别是 AB 、BC 上的点，且,AM BC =BM CN =，连接AN 、CM 相交于点P . 请你猜想∠APM = °，并写出你的推理过程.答案：解：（1）60° （2）45° ………………………………..2分 证明：作AE ⊥AB 且AE CN BM ==. 可证EAM MBC ∆≅∆. ……………………………..3分 ∴ ,.ME MC AME BCM =∠=∠∵ 90,CMB MCB ∠+∠=︒∴ 90.CMB AME ∠+∠=︒∴ 90.EMC ∠=︒∴ EMC ∆是等腰直角三角形,45.MCE ∠=︒ ……………….5分又△AEC ≌△CAN （s ， a ， s ）∴ .ECA NAC ∠=∠ ∴ EC ∥AN.∴ 45.APM ECM ∠=∠=︒…………………………………………………………………..7分EDCBA第6题图第7题图11.（2022浙江东阳吴宇模拟题）(本题12分) 如图，平面直角坐标系中，点A （0，4），B （3，0），D 、E 在x 轴上，F 为平面上一点，且EF ⊥x 轴，直线DF 与直线AB 互相垂直，垂足为H ，△AOB ≌△DEF ，设BD ＝h 。
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2014中考数学专题复习全等三角形一、选择题1.（2010 年河南模拟）如图，给出下列四组条件：①AB DE BC EF AC DF，，；===②AB DE B E BC EF，，；=∠=∠=③B E BC EF C F，，；∠=∠=∠=∠④AB DE AC DF B E，，．==∠=∠其中，能使ABC DEF△≌△的条件共有（）A．1组B．2组C．3组D．4组答案：C2.（2010年河南中考模拟题3）如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E 是斜边BC上两点，且∠DAE=450，将△ADC绕点A顺时针旋转900后，得到△AFB，连接ＥＦ，下列结论：（１）△ＡＥＤ≌△ＡＥＦ；（２）△ＡＢＥ∽△ＡＣＤ；（３）ＢＥ＋ＤＣ＝ＤＥ；（４）ＢＥ２＋ＤＣ２＝ＤＥ２．其中正确的是（）A．（2）（4） B．（1）(4)C．(2) (3) D．(1) (3)答案：B二、填空题1.（2010年山东新泰）如图，在△ABC 和△ADE 中，有以下四个论断：① AB＝AD ，② AC＝AE ，③ ∠C ＝∠E，④ BC＝DE ，请以其中三个论断为条件，余下一个论断为结论，写出一个真命题（用序号“☺☺☺⇨☺”的形式写出）： ． 答案：①②④⇨③，或 ②③④⇨①；2.（2010年浙江杭州）在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，BC ＝10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为 ． 答案：2.4三、解答题1.（2010年 河南模拟）已知：如图，已知：D 是△ABC 的边AB 上一点，CN ∥AB ，DN 交AC 于，若MA=MC ， 求证：CD=AN.证明：如图，因为 AB ∥CN所以 21∠=∠ 在AMD ∆和CMN ∆中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠CMN AMD CM AM 21第1题第1题图AMD ∆ ≌CMN ∆ CN AD =∴CN AD //又ADCN 四边形∴是平行四边形AN CD =∴2.（2010年中考模拟2）如图，在等腰梯形ABCD 中，∠C=60°，AD∥BC，且AD=DC ，E 、F分别在AD 、DC 的延长线上，且DE=CF ，AF 、BE 交于点P .（1）求证：AF=BE ；（2）请你猜测∠BPF 的度数，并证明你的结论 . 答案：（1）∵BA=AD ，∠BAE=∠ADF，AE=DF ， ∴△BAE ≌△ADF ，∴BE=AF ； （2）猜想∠BPF=120° .∵由（1）知△BAE ≌△ADF ，∴∠ABE=∠DAF .∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAE ，而AD ∥BC ，∠C=∠ABC=60°， ∴∠BPF=1203.（2010年北京市中考模拟）已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90o ，CD AB ⊥于点D,点E 在AC 上，CE=BC,过E 点作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F . 求证：AB=FC答案：证明：∵FE AC ⊥于点90E ACB ∠=，°，∴90FEC ACB ∠=∠=°。
∴90F ECF ∠+∠=°。
又∵CD AB ⊥于点D ，∴90A ECF ∠+∠=°。
∴A F ∠=∠. 在ABC △和FCE △中，A F ACB FEC BC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴ABC △≌FCE △。
∴AB FC =。
4．（2010年赤峰市中考模拟）如图，在四边形ABCD 中，AB=BC ，BF 是∠ABC 的平分线，AF∥DC ，连接AC 、CF ，求证：CA 是∠DCF 的平分线. 答案：证明∵AB=BC ，BF 是∠ABC 的平分线，∴∠ABF=∠CBF ，又∵BF=BF ， ∴△ABF ≌△CBF 。
∴AF=CF 。
∴∠ACF=∠CAF.又∵AF ∥DC ，∴∠ACF=∠ACD 。
∴CA 是∠DCF 的平分线。
5.（2010年 湖里区 二次适应性考试）已知：如图，直径为OA 的M ⊙与x 轴交于点O 、A ，点B C 、把弧OA 分为三等分，连结MC 并延长交y 轴于D （0，3）.（1）求证：OMD BAO △≌△；（2）若直线l ：y xCBA MO4 2 13 ()03D ，y kx b =+把M ⊙的面积分为二等分，求证：30k b +=． 答案：证明：（1） 连接BM ，∵OA 是直径，且B C 、把弧OA 三等分，∴1560∠=∠=°，又∵OM BM =，∴125302∠=∠=°，又∵OA 为M ⊙直径，∴90ABO ∠=°，∴12AB OA OM ==，360∠=°，∴13∠=∠，90DOM ABO ∠=∠=°，在OMD △和BAO △中，13.OM AB DOM ABO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，，∴OMD BAO △≌△（ASA ） （2）若直线l 把M ⊙的面积分为二等份， 则直线l 必过圆心M ， ∵(03)D ，，160∠=°， ∴在Rt OMD △中，3tan 603OD OM ===°， ∴(30)M ，， 把 (30)M ，代入y kx b =+得：30k b += 6.(2010年三亚市月考)如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 边上任意一点，BG ⊥CE ，垂足为点O,交AC 于点F ，交AD 于点G 。
（1） 证明：BE=AG ；y xC B A M O4 2 13 ()03D， 5 CD（2） 点E 位于什么位置时，∠AEF=∠CEB ，说明理由. 解（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形 ∴∠ABC=∠BAD=90°，∴∠1+∠3=90°， ∵BG ⊥CE,∴∠BOC=90°∴∠2+∠3=90°, ∴∠1=∠2 ………………………2分 在△GAB 和△EBC 中，∵∠GAB=∠EBC=90°,AB=BC,∠1=∠2 ∴△GAB ≌△EBC (ASA) …………4分 ∴AG=BE ………………………… 5分（2）解：当点E 位于线段AB 中点时，∠AEF=∠CEB …… 6分理由如下：若当点E 位于线段AB 中点时，则AE=BE,由（1）可知，AG=BE ∴AG=AE …………………… 7分 ∵四边形ABCD 是正方形，∴∠GAF=∠EAF=45°… 8分 又∵AF=AF,∴△GAF ≌△EAF (SAS)∴∠AGF=∠AEF ………………………………………10分 由（1）知，△GAB ≌△EBC ∴∠AGF=∠CEB,∴∠AEF=∠CEB ………………………………… 11分7.（2010年广州市中考六模）、王叔叔家有一块等腰三角形的菜地，腰长为40米，一条笔直的水渠从菜地穿过，这条水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿过菜地部分的长为15米(水渠的宽不计)，请你计算这块等腰三角形菜地的面积．1E BA O FG CD第6题图 3 2 F E DCBA答案：情况1：锐角（1）证明△ADE∽△AFC 得到CF=24 S △ABC =480 情况2：钝角（2）证明△BDE∽△BFA 得到AF=24，BC=64 S △ABC =768 8.（10年广州市中考六模）、如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上移动，但A 到EF 的距离AH 始终保持与AB 长相等，问在E 、F 移动过程中：(1)求证：∠EAF = 45o ;(2)△ECF 的周长是否有变化？请说明理由. 答案：（1） 得到∠AHE=90o ，Rt △ABE≌Rt△ABE （2） 得到∠B AE=∠HAE （3） 同理：∠D AF=∠HAF （4） 得到2∠EAF=∠BAD ，∠EAF=45o (2)△ECF 的周长是否有变化？请说明理由 （1） 不变（2） 由Rt △ABE≌Rt△ABE 得到BE=HE （3） 同理：DF=HF（4） C △ABC = CE+CF+EF=CE+CF+BE+DF=2AB9.（2010年广西桂林适应训练）已知：如图点C E B F ，，，在同一直线上，AC DF ∥,AC DF ，CE =BF ．求证：AB‖DE ． 证明：∵AC DF ∥8题图A FB EC∴F C ∠=∠ ∵CE=BF ∴CE+BE=BF+BE ∴BC=EF ∵AC=DF∴△ACB ≌△DFE ∴DEF ABC ∠=∠ ∴AB ∥DE10.（2010年黑龙江一模）如图，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，AE =EC ，CF ∥AB ．求证：AD =CF ．证明：AB CF Q ∥，A ECF ∴∠=∠．又AED CEF ∠=∠Q ，AE CE =，AED CEF ∴△≌△．AD CF ∴=．11.（2010年天水模拟）如图，△ABC 中，∠ABC=∠BAC=45°，点P 在AB 上，AD ⊥CP ，BE ⊥CP ，垂足分别为D 、E ，已知DC=2，求BE 的长。
解：∵∠ABC=∠BAC=45º ∴∠ACB=90º 又∵AD ⊥CP ，BE ⊥CP ∴BE ∥ADA BCD E F又∵∠1+∠2=90-∠3∠α=∠2+∠42∠2+∠4=90-∠3又∵2（45°-∠4）=2∠2∴90-2∠2+∠4=90-∠3∴∠4=∠3又∵AC=BC; ∠ADC=∠BEC∴△ADC△≌CEBDC=B5=212.（2010年福建模拟）如图，在□ABCD中，E、F为BC两点，且BE＝CF，AF＝DE．求证：（1）△ABF≌△DCE；（2）四边形ABCD是矩形．证明：（1）∵BE＝CF BF＝BE＋EF CE＝CF＋EF∴BF＝CE又∵在平行四边形ABCD中，AB＝CD∴△ABF≌△DEC（sss）（2）由（1）知△ABF≌△DEC ∴∠B=∠C又∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD∴∠B+∠C=180°∴∠C=90°∴四边形ABCDJ是矩形.13．（2010年广州中考数学模拟试题(四)）如图，在矩形ABCD 中，AE 平分∠DAB 交DC 于点E ，连接BE ，过E 作EF⊥BE 交AD 于E. (1)∠DEF 和∠CBE 相等吗？请说明理由：(2)请找出图中与EB 相等的线段(不另添加辅助线和字母)，并说明理由.答案：（1）相等.∵四边形ABCD 是矩形, ∴∠C=∠D=90°.∴∠BEC+∠CBE=90°.∵EF⊥BE , ∴∠BEF=90°. ∴∠DEF+∠BEC=90°. ∴∠DEF=∠CBE . （2）BE=EF.∵AE 平分∠DAB , ∴∠DAE=∠BAE . ∵AB∥CD , ∴∠BAE=∠DEA . ∴∠DAE=∠DEA . ∴AD=ED=BCA .∵∠C=∠D=90°, ∠DEF=∠CBE , ∴△DEF≌△CBE（ASA ）. ∴BE=EF .AB CD EF14.（2010年河南中考模拟题1）如图，要测量河两岸相对的两点A 、B 的距离，可以在AB 的垂线BF 上取两点B 、D ，使BC=CD ，再定出BF 的垂线DE ，使A 、C 、E 在一条直线上，这时测得DE 的长就是AB 的长。