西安交通大学概率论上机实验

[公司名称]
Matlab 上机实验
尾号为7（题号5、8、9、12、16）
第五题
题目
通过血检对某地区的
N 个人进行某种疾病普查。

有两套方案：方案一是逐
一检查；方案二是分组检查。

那么哪一种方案好？若这种疾病在该地区的发病率为0.1；0.05；0.01，试分析评价结果。

分析
方案一需要检验N 次。

方案二：
假设检验结果阴性为“正常”、阳性为“患者”，把受检者分为k 个人一组，把这k 个人的血混合在一起进行检验，如果检验结果为阴性，这说明k 个人的血液全为阴性，因而这k 个人总共只要检验一次就够了；如果结果为阳性，要确定k 个人的血液哪些是阳性就需要逐一再检查，因而这k 个人总共需要检查k+1次。

因此方案二在实施时有两种可能性，要和方案一比较，就要求出它的平均值（即平均检验次数）。

假设这一地区患病率（即检查结果为阳性的概率）为p ，那么检验结果为阴
性的概率为，这时k 个人一组的混合血液是阴性的概率为，是阳性的
概率为，则每一组所需的检验次数是一个服从二点分布的一个随机变量，
下面的问题是，怎样确定k 的值使得次数最少？ 由以上计算结果可以得出：当，即
时，方案二就
比方案一好，总得检验次数为Y=。

当p=0.1时，用matlab 画出上述函数的图像： for i=1:1:10
1q p =-k q 1k q -ξ()1(1)11k k k
E q k q k kq ξ=⨯++⨯-=+-1k
k kq k +-p 1
1,k k kq q k f f
()1k N
k kq k +-⨯
k(i)=i;
y(i)=(1+k(i)-k(i)*0.9^k(i))/k(i); end plot(k,y)
可以看出，当k=4的时候最小，故此时每组人数应该取为4。

同理计算p=0.05和p=0.01时的总平均检验次数，可以得到k 取5和32的时候最小。

假设N=10000时，使用matlab 计算两种方法的平均检验次数。

P=0.1，k=4时，使用下列算式计算 k=4
y=(1+k-k*0.9^k)/k*10000
得到平均为5939次；
P=0.05，k=5时，平均为4262次； P=0.01，k=32时，平均为3063次。

综上，采用合适的分组数时分组可以显著减少检验次数。

12345678910
0.5
0.6
0.7
0.80.9
11.1
1.2
第八题
题目
从2000年起，乒乓球比赛由每局21分制改为11分制，单打由5局3胜制改为7局4胜制。

每位运动员和教练员都切身感受到新赛制的特点：比赛胜负的偶然性增加了；优秀运动员取胜的把握性减少了；比赛的观赏性提高了。

试就优秀运动员取胜的概率赋不同的值（至少三个值），从理论上验证这种感受。

分析
用随机数来模拟每一球获胜的情况，分别模拟21分制和11分制的过程。

当模拟次数足够多是，可近似看成概率。

代码
p=x;%x为所用优秀运动员取胜概率
sum1=0;
sum4=0;
for i=1:10000
sum2=0;
sum3=0;
for j=0:6
a=0;
b=0;
while ~((a==11&&b<10)||(b==11&&a<10)||(a>9&&b>9&&a-
b==2)||(a>9&&b>9&&b-a==2))
p1=rand(1,1);
if p>p1
a=a+1;
else
b=b+1;
end
end
if a>b
sum2=sum2+1;
else
sum3=sum3+1;
end
if (sum2==4)||(sum3==4)
break
end
if sum2==4
sum1=sum1+1;
end
sum5=0;
sum6=0;
for j=0:4
a=0;
b=0;
while ~((a==21&&b<20)||(b==21&&a<20)||(a>19&&b>19&&a-b==2)||(a>19&&b>19&&b-a==2))
p1=rand(1,1);
if p>p1
a=a+1;
else
b=b+1;
end
end
if a>b
sum5=sum5+1;
else
sum6=sum6+1;
end
if (sum5==3)||(sum6==3)
break
end
end
if sum5==3
sum4=sum4+1;
end
end
sum1=sum1/10000
sum4=sum4/10000
结果
p=0.55
sum1 =
0.8516
sum4 =
0.9217
p=0.6
0.9837 sum4 =
0.9979 p=0.65 sum1 =
0.9994 sum4 = 1
第九题
题目
（1）利用随机数发生器分别产生1000;500;100=n 个服从正态分布
()1,6N 的随机数，每种情形下各取组距为2、1、0.5作频率直方图
（2）固定数学期望05.0=μ，分别取标准差03.002.001
.0；；=σ，绘制正态分布密度函数的图形
（3）固定标准差02.0=σ，分别取数学期望为07.005.003.0；；=μ，绘制
正态分布密度函数的图形
分析
利用matlab 分别画出频率直方图和正态分布密度函数的图形
代码
（1）
N=[100 500 1000]; D=[2 1 0.5]; for j=1:3
y=normrnd(6,1,N(j),1); ymin=min(y); ymax=max(y); for k=1:3
d=(ymax-ymin)/D(k);
x=linspace(ymin,ymax,d);
yy=hist(y,x);
yy=yy/length(y);
figure;
hist(y,d);
grid;
xlabel('频率分布直方图');
end
end
（2）
clear all;
x=[-0.5:0.001:0.5]';
y1=[];
mul=[0.05 0.05 0.05];
sigmal=[0.01 0.02 0.03];
for i=1:length(mul)
y1=[y1,normpdf(x,mul(i),sigmal(i))]; end
plot(x,y1);
xlabel('(a)正态分布密度函数的图形');
grid;
（3）
clear all;
x=[-0.1:0.001:0.15]';
y1=[];
mul=[0.03 0.05 0.07];
sigmal=[0.02 0.02 0.02];
for i=1:length(mul)
y1=[y1,normpdf(x,mul(i),sigmal(i))]; end
plot(x,y1);
xlabel('(a)正态分布密度函数');
grid;
结果
（1）
频率分布直方图
频率分布直方图
频率分布直方图
频率分布直方图
频率分布直方图
频率分布直方图
频率分布直方图
频率分布直方图
频率分布直方图
（2）
(a)正态分布密度函数的图形（3）
第十二题
题目
作出当
50,30,20,10,5 n 时t 分布的密度函数图形，并在同一坐标
系下作出标准正态分布的密度函数图象。

对比图形说明当n 大于多少时用标准
正态分布近似t
分布误差比较合理
分析
利用matlab 分别画出正态分布和t 分布的图像，其中正态分布取标准正态，t 分布一次增大n 值，在统一坐标系下画出，即可比较其拟合情况。

代码
x=-10:0.01:10; p1x=tpdf(x,5); p2x=tpdf(x,10); p3x=tpdf(x,20); p4x=tpdf(x,30); p5x=tpdf(x,50); hx=normpdf(x,0,1); plot(x,p1x,'+b'); hold on ;
plot(x,p2x,'+c');
(a)正态分布密度函数
hold on;
plot(x,p3x,'+g');
hold on;
plot(x,p4x,'+k');
hold on;
plot(x,p5x,'+m');
hold on;
plot(x,hx,'*r');
legend('n=5','n=8','n=10','n=12','n=15','N');
结果
第十六题
题目
选择三种常见随机变量的分布，计算它们的期望与方差（参数自己设定）。

分析
（1）均匀分布：EA = 5; DA = 3
分析：EA(X) = 5 = (2+8)/2 = (a+b)/2；DA(X) = ()
12
2
82
-
= 3 =
()
12
2
a
b-
,所以得出
初步结论即：E(X) = (a+b)/2,D(X) = () 12
2
a
b-
;
（2）正态分布：EB = 1 ; DA = 4
分析：EB(X) = 0 = u；DB(X) = 4 = 22= 2σ,所以得出初步结论即：E(X) = u;
D(X) = 2σ;
（3）泊松分布：EC = 4 ; DC = 4
分析：EC(X) = 4 = λ；DC(X) = 4 = λ,所以得出初步结论即：E(X) = λ= D(X).代码
（1）均匀分布：
程序：
clc,clear;
a=2；b=8; %输入数据
[EA,DA]=unifstat(a,b)
（2）正态分布：
程序：
clc,clear;
a=1；b=4; %输入数据
[EB,DB]=normstat(a,b)
（3）泊松分布：
程序：
clc,clear;
a=4; %输入数据
[EC,DC]=poisstat(a)
结果
（1）
EA =
5
DA =
3
（2）
EB =
1
DB =
16
（3）
EC =
4
DC =
4
总结
1.实验过程中，发现对Matlab中的命令函数不熟悉，导致一些不必要的麻烦。

所以以后
必须在实验之前做好充分准备，熟悉实验。

2.对于Matlab软件的Help应用不熟悉，不能充分利用Help帮助文件解决问题。

3.通过实验学会了Matlab中对随机数的运用，使的可以通过模拟的方式解决实际问题。