椭圆各类题型分类汇总

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

椭圆经典例题分类汇总

1. 椭圆第一定义的应用

例1 椭圆的一个顶点为()02,

A ,其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程.

例2 已知椭圆

19822=++y k x 的离心率2

1

=e ,求k 的值.

例3 已知方程

1352

2-=-+-k

y k x 表示椭圆,求k 的取值范围.

例4 已知1cos sin 2

2

=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆,求α的取值范围.

例5 已知动圆P 过定点()03,

-A ,且在定圆()64322

=+-y x B :的内部与其相内切,求动圆圆心P 的轨迹方程.

2.焦半径及焦三角的应用

例1 已知椭圆

13

42

2=+y x ,1F 、2F 为两焦点,问能否在椭圆上找一点M ,使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项?若存在,则求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.

例2 已知椭圆方程()0122

22>>=+b a b

y a x ,长轴端点为1A ,2A ,焦点为1F ,2F ,P 是椭

圆上一点,θ=∠21PA A ,α=∠21PF F .求:21PF F ∆的面积(用a 、b 、α表示).

3.第二定义应用

例1 椭圆

112

162

2=+y x 的右焦点为F ,过点()

31,A ,点M 在椭圆上,当MF AM 2+为最小值时,求点M 的坐标.

例2 已知椭圆1422

22=+b

y b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ,求P 到左准线的距

离.

例3 已知椭圆15

92

2=+y x 内有一点)1,1(A ,1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点,点P 是椭圆上一点.

(1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标; (2) 求22

3

PF PA +的最小值及对应的点P 的坐标.

4.参数方程应用

例1 求椭圆13

22

=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值.

例2 (1)写出椭圆14

92

2=+y x 的参数方程;(2)求椭圆内接矩形的最大面积.

例3 椭圆122

22=+b

y a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ,若这个椭圆上总存在点P ,使

AP OP ⊥(O 为坐标原点),求其离心率e 的取值范围.

5.相交情况下--弦长公式的应用

例1 已知椭圆142

2

=+y x 及直线m x y +=. (1)当m 为何值时,直线与椭圆有公共点? (2)若直线被椭圆截得的弦长为5

10

2,求直线的方程.

例2 已知长轴为12,短轴长为6,焦点在x 轴上的椭圆,过它对的左焦点1F 作倾斜解为3

π的直线交椭圆于A ,B 两点,求弦AB 的长.

6.相交情况下—点差法的应用

例1 已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点,M 为

AB 中点,OM 的斜率为0.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程.

例2 已知椭圆1222=+y x ,求过点⎪⎭

⎝⎛2121,P 且被P 平分的弦所在的直线方程.

例3 已知椭圆1222=+y x ,(1)求过点⎪⎭

⎫ ⎝⎛2121,P 且被P 平分的弦所在直线的方程; (2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程;

(3)过()12,

A 引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程; (4)椭圆上有两点P 、Q ,O 为原点,且有直线OP 、OQ 斜率满足2

1-

=⋅OQ OP k k , 求线段PQ 中点M 的轨迹方程.

例4 已知椭圆13

42

2=+

y x C :,试确定m 的取值范围,使得对于直线m x y l +=4:,椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称.

例5 已知)2,4(P 是直线l 被椭圆

19

362

2=+y x 所截得的线段的中点,求直线l 的方程.

椭圆经典例题分类汇总

1.椭圆第一定义的应用

例1 椭圆的一个顶点为()02,

A ,其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程. 分析:题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置.

解:(1)当()02,

A 为长轴端点时,2=a ,1=b , 椭圆的标准方程为:11

42

2=+y x ; (2)当()02,

A 为短轴端点时,2=b ,4=a , 椭圆的标准方程为:

116

42

2=+y x ; 说明:椭圆的标准方程有两个,给出一个顶点的坐标和对称轴的位置,是不能确定椭圆的横竖的,因而要考虑两种情况.

例2 已知椭圆

19822=++y k x 的离心率2

1

=e ,求k 的值. 分析:分两种情况进行讨论.

解:当椭圆的焦点在x 轴上时,82+=k a ,92=b ,得12

-=k c .由2

1

=e ,得4=k . 当椭圆的焦点在y 轴上时,92

=a ,82

+=k b ,得k c -=12

由21=

e ,得4191=-k ,即4

5-=k . ∴满足条件的4=k 或4

5

-=k .

说明:本题易出现漏解.排除错误的办法是:因为8+k 与9的大小关系不定,所以椭圆的焦点可能在x 轴上,也可能在y 轴上.故必须进行讨论.

例5 已知方程

1352

2-=-+-k

y k x 表示椭圆,求k 的取值范围. 解:由⎪⎩

⎨⎧-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<

∴满足条件的k 的取值范围是53<

说明:本题易出现如下错解:由⎩⎨

⎧<-<-,

03,

05k k 得53<

相关文档
最新文档