北师大版 平行关系的判定
高中数学 直线与平面平行的判定课件 北师大版必修2
A H D F G C
CD、AD的中点。试指出图中满足
线面平行位置关系的所有情况。
解：由EF//GH//AC,得
由BD//EH//FG，得 （4）BD//平面EFGH; （5）EH//平面BCD; （6）FG//平面ABD.
D1 B1 E D C O B C1
提示：要证BD1//平面
AEC即要在平面AEC内找
一条直线与BD1平行.根据
A1
已知条件考虑应该怎样作
辅助线?
A
归纳小结
1.判定直线与平面平行的方法：
（1）定义法：直线与平面没有公共点则线面平行； （2）判定定理：（线线平行
a b F与平面BCD的位置关系.
B
解：连结BD.∵AE=EB,AF=FD
∴EF∥BD（三角形中位线性质） EF 平面BCD BD 平面BCD EF// 平面BCD FE//BD
小结：判断线面平行，先找线线平行
变式:
如图，在空间四边形ABCD中，E、F分 AE AF 别为AB、AD上的点，若 ，则EF EB FD EF//平面BCD 与平面BCD的位置关系是_____________.
§5.1.1
直线与平面平行的判定
a
α
复习提问
直线与平面有什么样的位置关系？
1.直线在平面内——有无数个公共点； 2.直线与平面相交——有且只有一个公共点； 3.直线与平面平行——没有公共点。
a a
a
A
a //
a
a A
动手做做看
将课本的一边AB紧靠桌面，并绕AB转动， 观察AB的对边CD在各个位置时，是不是都 C D 与桌面所在的平面平行？
七年级数学下册课件(北师大版)平行线的性质
3 如图，在平行线a，b 之间放置一块直角三角板，三角板的 顶点A，B 分别在直线a，b上，则∠1＋∠2的值为（ A ）
A．90° B．85° C．80° D．60°
4 如图，AB∥CD，点E 在线段BC 上，若∠1＝40°，
∠2＝30°，则∠3的度数是( A ) A．70° B．60° C．55° D．50°
2.3平行线的性质
第1课时
复
习
回
顾
平
条件
行
线 同位角相等
的 内错角相等 判 定 同旁内角互补
结论 两直线平行
猜想：交换它们的条件与结论，是否成立？
两直线平行
同位角相等 内错角相等 同旁内角互补
知识点 1 “同位角”的性质
探究 如图，利用坐标纸上的直线，或者用直尺和三
角尺画两条平行线a∥b，然后， 画一条截线c 与这两条平行线
1 如图所示，AB∥CD，AC∥BD. 分别找出与∠1相等或互补的角.
解：如图，与∠1相等的角有∠3， ∠5，∠7，∠9，∠11，∠13，∠15； 与∠1互补的角有∠2，∠4，∠6，∠8，∠10，∠12， ∠14，∠16.
2 如图所示，要在一条公路的两侧铺设平行管道，已知 一侧铺设的角度为120°，为使管道对接，另一侧铺设 的角度大小应为( D ) A．120° B．100° C．80° D．60°
总结
解决学具操作题，关键是要掌握学具作为几何 图形具有的性质特征，以及学具作为特殊图形中特 殊内角的度数．
例2 如图，将一张长方形的纸片沿EF 折叠后，点D，C 分 别落在D′，C ′位置上，ED ′与BC 的交点为点G，若 ∠EFG＝50°，求∠EGB 的度数．
北师大版八年级数学(上)第七章 平行线的证明 第4节 平行线的判定
B．∠2＝∠4
C．∠A＝∠5
D．∠ABC+∠C＝180°
解：A、∠1＝∠3 可知 AB∥CD，不能判断 AD∥BC，故 A 错误；
B、∠4＝∠2 能判断 AD∥BC，故 B 正确；
C、∠A＝∠5 可知 AB∥CD，不能判断 AD∥BC，故 C 错误；
平行线的判定定理1：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等,那么 这两条直线平行.
简已述知为：知：如内图识错,∠点角1和相∠等2，是两直直线线a，平b行被.直线c截出的内错角，且∠1=∠2.
求证：a// b. 证明：∵∠1=∠2（已知），
∠1=∠3（对顶角相等）， ∴∠3=∠2（等量代换）. ∴a//b（同位角相等，两直线平行）.
解：A、∵∠A＝∠BDF，∴DF∥AC，错误；
B、∵∠1＝∠3，∴DF∥AC，错误；
C、∵∠2＝∠4，∴DE∥BC，正确；
D、∵∠A+∠ADF＝180°，∴DF∥AC，错误；故选：C．
例 2：已知：如图，在△ABC 中，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为 D，F，∠1＝∠2．
求证：DE∥BC．
证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，∴∠AFE＝∠ADB＝90°，∴EF∥BD，∴∠1＝∠EDB，
当∠3＝∠4 时，可知是 DE 和 AC 被 AB 所截得到的内错角，可得 DE∥AC，故 C 可以；
当∠2+∠A＝180°时，是一对同旁内角，可得 DE∥AC；故 D 可以；故选：B．
练习：如图，下列四个条件中，能判断 DE∥BC 的是（ ）
A．∠A＝∠BDF
B．∠l＝∠3
C．∠2＝∠4
D．∠A+∠ADF＝180°
练习：四边形 ABCD 中，∠A＝∠C＝90°，BE、DF 分别是∠ABC、∠ADC 的平分线．求证：
【全国百强校】江西省鹰潭市第一中学高一数学课件：北师大版 必修二 1.5.1平行关系的判定(共20张PPT)
【课例名称：《平行关系的判定》(第一课 时）】 【学段：高中】
【学科：数学】 【年级：高一】 【版本：北师大版（必修二）】
知识回顾: 在空间中直线与平面有几种位置关系？
线在面外
α
位置关系
符号表示 交点个数
a
a
α
A
a
α
线在面内
相交
平行
a
无数个
a ∩α =A
一个
a //α
0个
定理运用:
例3 空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD的中点， 求证：EF//平面BCD.
证明：连接BD 在ABD中,E, F分别是
AB, AD的中点, EF//BD EF 平面BCD
BD 平面BCD EF // 平面BCD
A
E F D B
C
分析：解决此题的关键是 能在平面BCD内找(作)一 条与直线EF平行的直线.
问题概括：
如何用语言表述（或定义）直线与平面平行呢？
定义：一条直线和一个平面没有公共点，
叫做直线与平面平行.
a
(a //α)
A
B
新知探究： 怎样判定直线与平面平行呢？ 根据定义，判定直线与平面是否平行，只 需判定直线与平面有无公共点.但是直线是无限 延伸的，平面是无限延展的，用有无公共点来 判断不大方便，因此有必要寻找一个便捷、可 行的判断直线和平面平行的方法.
变式训练:
(2)在例3基础上，若H
成立
CH CG HB GD BC, G DC, H , G满足 _______
(1)若将例3条件改为：AE : EB AF : FD, 结论成立吗？
条件; 使得HG // 平面ABD，此时，E, F , H , G共面吗？
平行线的判定++平行线的性质++知识考点梳理(课件)2024-2025学年北师大版数学八年级上册
∴EF∥BC（同旁内角互补，两直线平行）.
又 ∵AD∥BC，
∴EF∥AD（平行于同一条直线的两条直线平行）；
7.4 平行线的性质
重
难
题
型
突
破
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（2）由（1）知∠FCB=38°，又 CE 平分∠FCB，
∴∠BCE=
∠FCB=19°（角平分线的定义）.
在同一平面内，垂直于
同一条直线的两条直线
如图，∵b⊥a，c⊥a，
∴b∥c
平行
其他
方法
如 图 ，∵a ∥b，a ∥c，
平行于同一条直线的
两条直线平行
∴b∥c
7.3 平行线的判定
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归纳总结
考
点
要判断两条直线是否平行，首先要观察图形中与要判断
清
单 的两条直线有关的同位角、内错角、同旁内角的关系，这是
7.3 平行线的判定
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［解析］汽车行驶的方向不变，则汽车拐弯前与拐弯后
重
难
题 的行驶路线互相平行，如图所示.先右转后左转的两个角是
型 同位角，根据同位角相等，两直线平行，可知选项 D 正确
突
破 ．
［答案］ D
7.3 平行线的判定
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变式衍生 如图，已知∠1＝90°，为保证两条铁轨平
重
难
∵∠1=60°（已知），∠ABC=∠1（对顶角相等），
∴∠ABC=60°（等量代换）.
∵∠2=120°（已知），
∴∠ABC+∠2=180°，
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．
∵∠2+∠BCD=180°（平角的定义），
北师大版七下数学2.2.2探索直线平行的条件教案
北师大版七下数学2.2.2探索直线平行的条件教案一. 教材分析《北师大版七下数学》2.2.2探索直线平行的条件是学生在学习了直线、射线、线段的基本概念后，进一步研究直线平行的性质。
这部分内容是整个初中数学的重要基础，对于学生理解几何图形、解决实际问题具有重要意义。
通过本节课的学习，学生将掌握直线平行的判定方法，为后续学习平行线的性质打下基础。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力，他们对直线、射线、线段有了初步的认识。
但部分学生在理解概念和定理时，仍存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师要关注学生的个体差异，引导他们通过观察、操作、思考、交流、归纳等途径，发现并理解直线平行的条件。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握直线平行的判定方法，能够运用平行线的性质解决简单问题。
2.过程与方法：培养学生观察、操作、思考、交流的能力，提高空间想象能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极进取的精神。
四. 教学重难点1.重点：直线平行的判定方法。
2.难点：理解直线平行条件的推导过程，能够灵活运用平行线的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入直线平行的概念，激发学生学习兴趣。
2.启发式教学法：引导学生观察、操作、思考，发现直线平行的判定方法。
3.合作学习法：分组讨论，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
4.巩固练习法：通过适量练习，巩固所学知识，提高运用能力。
六. 教学准备1.教具：直尺、三角板、多媒体课件。
2.学具：每人一份直线平行的实验器材。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如操场上的跑道、书桌上的直线等，引导学生回顾直线、射线、线段的概念，为新课学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）呈现直线平行的实验，让学生观察、操作，引导他们发现直线平行的条件。
3.操练（10分钟）分组讨论，让学生用自己的语言描述直线平行的条件，并进行实验验证。
北师大版高中数学高一必修2学案平行关系的判定
§5平行关系5.1 平行关系的判定问题导学1．对平行关系的理解活动与探究1判断下列给出的各种说法是否正确？(1)如果直线a和平面α不相交，那么a∥α；(2)如果直线a∥平面α，直线b∥a，那么b∥α；(3)如果直线a∥平面α，那么经过直线a的平面β∥α；(4)如果平面α内的两条相交直线a和b与平面β内的两条相交直线a′和b′分别平行，那么α∥β.迁移与应用1．下列叙述中，正确的是()．A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥αB．若直线a在平面α外，则a∥αC．若直线a∥b，直线bα，则a∥αD．若直线a∥b，bα，那么直线a平行于平面α内的无数条直线2．两个平面平行的条件是()．A．一个平面内的一条直线平行于另一平面B．一个平面内有两条直线平行于另一平面C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D．一个平面内任何一条直线平行于另一个平面1．要全面、深刻地理解线面平行、面面平行的判定定理，运用这两个定理证明问题或判断分析结论是否正确时，一定要紧扣两个定理的条件，忽视条件，很容易导致判断错误．2．在判断一些命题的真假时，要善于列举反例来否定一个命题，要充分考虑线线关系、线面关系、面面关系中的各种情形，以对一个命题的真假作出合理的判断．2．直线与平面平行的判定活动与探究2如右图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M∈AD1，N∈BD，且D1M=DN，求证：MN ∥平面CC1D1D．迁移与应用1．如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，Q是PA的中点，求证：PC∥平面BDQ.2．如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E，F分别为AB，SC的中点．求证：EF∥平面SAD．证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线．把握几何体的结构特征，合理利用几何体中的三角形的中位线，平行四边形对边平行等平面图形的特点找线线平行关系是常用方法．3．平面与平面平行的判定活动与探究3如图，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD．求证：平面MNQ∥平面PBC．迁移与应用如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是CB，CD，CC1的中点．求证：平面AB1D1∥平面EFG.证明面面平行的基本思想是将面面平行转化为线面平行，其基本步骤是：线线平行⇒线面平行⇒面面平行．但必须注意的是：在其中一个面内找到的两条直线必须是相交直线，且这两条相交直线都与另一个平面平行时，这两个平面才平行．当堂检测1．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是()．A．一定平行B．一定相交C．平行或相交D．以上都不对2．A，B是不在直线l上的两点，则过点A，B且与直线l平行的平面的个数是()．A．0B．1C．无数D．以上三种情况均有可能3．梯形ABCD中，AB∥CD，ABα，CDα，则直线CD与平面α的位置关系是__________．4．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，E，F分别是PB，PC的中点．证明EF∥平面PAD．5．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点．求证：平面AMN∥平面EFDB．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.课前预习导学预习导引1．(1)一条直线平行预习交流1提示：直线a平面α是指a∥α或a与α相交．预习交流2提示：不正确．不符合线面平行的判定定理，只有当直线l在平面α外，且与平面α内的一条直线平行时，直线l才与平面平行．预习交流3提示：(1)线面平行的判定定理表明可以通过直线间的平行，推证直线与平面平行．这是处理空间问题的一种常用方法，即将直线与平面的平行关系转化为直线与直线的平行关系，把空间问题平面化．(2)线面平行的判定定理在使用时三个条件缺一不可：①直线a不在平面α内，即aα；②直线b在平面α内，即bα；③两条直线a，b平行，即a∥b.2．(1)两条相交直线预习交流4提示：不一定，平面α与平面β相交或平行．预习交流5提示：一定平行．由直线与平面平行的判定定理知，平面α内的两条相交直线与平面β都平行，再由面面平行的判定定理可得α∥β.课堂合作探究问题导学活动与探究1思路分析：按照线面平行、面面平行的定义及判定定理对每个命题进行分析判断，得出其是否正确．解：(1)不正确．当直线a和平面α不相交时，可能有aα，不一定有a∥α；(2)不正确．当直线b∥a时，如果bα，则有b∥α，如果bα，则没有b∥α；(3)不正确．当a∥α时，经过直线a的平面β可能与α平行，也可能与α相交；(4)正确．由线面平行的判定定理，知a∥β，b∥β，且a，bα，a与b相交，所以必有α∥β.迁移与应用1．D解析：当a∥b，bα时，不论a∥α还是aα，a都平行于平面α内的无数条直线，故选项D正确．2．D解析：因一个平面内任何一条直线平行于另一个平面，可在这个平面内选两条相交直线，则这两条相交直线都与另一平面平行，由平面与平面平行的判定定理可得两个平面平行．活动与探究2思路分析：要证MN∥平面CC1D1D，只需证明MN平行于平面CC1D1D 中的一条直线即可．证明：方法一：连接AN并延长，交直线CD于E，连接D1E.∵AB ∥CD ， ∴AN NE ＝BN ND ⇒AE NE ＝BD ND. ∵BD ＝AD 1，且D 1M ＝DN ， ∴AE EN ＝AD 1MD 1. 在△AD 1E 中，MN ∥D 1E ， 又MN平面CC 1D 1D ，D 1E平面CC 1D 1D ，∴MN ∥平面CC 1D 1D .方法二：过点M 作MP ∥AD ，交DD 1于P ，过点N 作NQ ∥AD 交CD 于点Q ，连接PQ ， 则MP ∥NQ ，在△D 1AD 中，MP AD ＝D 1MD 1A .∵NQ ∥AD ，AD ∥BC ， ∴NQ ∥BC .在△DBC 中，NQ BC ＝DNDB，∵D 1M ＝DN ，D 1A ＝DB ，AD ＝BC ，∴NQ ＝MP . ∴四边形MNQP 为平行四边形，则MN∥PQ.而MN平面CC 1D1D，PQ平面CC1D1D，∴MN∥平面CC1D1D.迁移与应用1．证明：连接AC交BD于O，连接QO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O为AC的中点．又Q为PA的中点，∴QO∥PC.显然QO平面BDQ，PC平面BDQ，∴PC∥平面BDQ.2．证明：作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点．连接AG，FG12CD，又CD AB，且E为AB的中点，故FG AE，四边形AEFG为平行四边形．∴EF∥AG.又∵AG平面SAD，EF平面SAD，∴EF∥平面SAD.活动与探究3思路分析：在平面MNQ内找到两条相交直线与平面PBC平行，条件中给出了线段比相等，故可利用平行线截线段成比例的性质证得线线平行，再转化为线面平行，然后根据面面平行的判定定理证明．证明：在△PAD中，∵PM∶MA＝PQ∶QD，∴MQ∥AD.又∵AD∥BC，∴MQ∥BC.∵MQ平面PBC，BC平面PBC，∴MQ∥平面PBC.在△PBD中，∵BN∶ND＝PQ∶QD，∴NQ∥PB.∵NQ平面PBC，PB平面PBC，∴NQ∥平面PBC.∵MQ∩NQ＝Q，∴平面MNQ∥平面PBC.迁移与应用证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连接BD，∵DD1∥B1B，DD1＝B1B，∴四边形DD1B1B为平行四边形，∴D1B1∥DB.∵E，F分别为BC，CD的中点，∴EF∥BD，∴EF∥D1B1.∵EF平面EFG，D1B1平面EFG，∴D1B1∥平面EFG.同理AB1∥平面EFG.∵D1B1∩AB1＝B1，∴平面AB1D1∥平面EFG.当堂检测1．C2．D3．平行4．证明：在△PBC中，∵E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC.∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD，∴EF∥AD.又∵AD平面PAD，EF平面PAD，∴EF∥平面PAD.5．证明：如图所示，连接MF.∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点，且四边形A1B1C1D1为正方形，∴MF∥A1D1，且MF＝A1D1.又∵A1D1＝AD，且AD∥A1D1，∴MF＝AD，且MF∥AD.∴四边形AMFD是平行四边形，∴AM∥DF.又DF平面EFDB，AM平面EFDB，∴AM∥平面EFDB.同理可证，AN∥平面EFDB.又AN，AM平面AMN，AM∩AN＝A，∴平面AMN∥平面EFDB.。
平行线的判定--北师大版
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等， 那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
格推 式理
A 1= A （已知）
B---C---//--A--D--
（同位角相等，两直线平行）
D
B 1
C
如图①，∠１和∠Ｃ是同位角吗？ 如图②，∠１和∠２是同位角吗
① ②
１．测量∠１和∠３（或者∠２和∠４） 若∠１＋∠３＝１８０°（或∠２＋∠４＝１８０°）
则两边缘平行
１．２．３．
平行线的判定
；/ MES软件 ；
啪声挥开.她发出一声轻微痛呼,握住手腕.“华华！”忽然从旁边林子里窜出一人,快步来到康荣荣身边扶着她の手仔细端详,“你手没事吧？”“没事,这是旧伤.”康荣荣挣开,看他一眼,“辉哥,你怎么来了？不是出远差吗？”赖正辉眉头深锁,“现在交通发达,去哪儿都快.”眼神复杂地 看着一脸漠然の陆羽,用半开玩笑の轻松语气道,“陆陆,这玩笑开不得,看,有人生气了.”陆羽转头一看,神情冷淡の柏少华正站在她身边不远,目光清冷地盯着自己.“我没说过,是她自己说の.”她冷静地解释一句.康荣荣忙点头,“确实是我说の,对不起,我们只是开个玩笑,你们别当真.” 有了之前の那番话,如今不管她承不承认,在大家心里已经认定是陆羽说の.这一点康荣荣清楚,陆羽也明白,所以多说无益.柏少华拄着拐杖慢慢来到她跟前,在他冷漠の注视下,不知怎の,一股委屈涌上心头,陆羽秀眉轻颤,眼眶微热.为这事哭太糗了.她忙收回目光准备离开,一只长臂挡住她の 路,随即腰间被两只手掌箍住往上一提,她已经坐在栏杆边.柏少华站在她跟前,与她目光平衡对视,搂着她の腰,一手抚上她の脸庞抹去眼底の委屈.“我知道不是你,别哭.”温声说罢,手掌伸至她の后脑勺,倾身上前吻住她紧抿の唇瓣.这次不再是轻尝,而是尽可能地辗转
探索直线平行的条件(第一课时)七年级数学下册课件(北师大版)
B．∠2 + ∠4 = 180°
C．∠3 = ∠4
D．∠1 + ∠4 = 180°
）
【详解】∵ ∠3 = ∠4，∴ ∥ （同位角相等，两直线平行），故选：．
4．如图，已知直线a、b、c，若∠1＝∠2＝60°，且∠2＝∠3，则图中平行线组数为（
A．0
B．1
C．2
D．3
【详解】解：∵∠1＝∠2＝60°，∴a∥b，
∵∠2＝∠3，∴b∥c，∴a∥c，故选：D．
）
课堂练习 （利用同位角判定两条直线平行）
5．如图，下列四个图中∠1 = ∠2，不能判断不能判定//的是（
A．
B．
C．
D．
）
课堂练习 （考查平行公理的推论）
6．如图， ∥ ， ∥ ，则点P，C，Q在一条直线上，理由是（ ）．
A．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
顶角。
对顶角的性质： 对顶角相等。
补角的定义： 如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角(简称互补）。
补角的性质： 同角或等角的补角相等。
余角的定义： 如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角(简称互余）。
余角的性质： 同角或等角的余角相等。
情景导入
如图，装修工人正在向墙上钉木条。如果木条b与墙壁边缘
垂直，那么木条a与墙壁边缘所夹角是多少度时，才能使木条a
与木条b平行？
木条a与墙壁的边缘也垂直时，才能使木条a与木条b平行。
探索与思考
直线AB、CD与EF相交，构成八个角，如图所示，
问题一：八个角中哪些是邻补角、哪些是对顶角？
邻补角：
对顶角：
问题二：观察图中∠1和∠5，它们具有怎么的位置关系？
北师大版八年级数学上册《平行线的性质》平行线的证明
,
∴AD∥BE(
).
,即∠
栏目索引
=∠
,
答案 BAE;两直线平行,同位角相等;BAE;等量代换;∠1;∠2;BAE; DAC;DAC;内错角相等,两直线平行
4 平行线的性质
栏目索引
6.如图7-4-6,已知∠1+∠2=180° ,∠A=∠C,DA平分∠FDB,试证明∠3= ∠4.
图7-4-6
4 平行线的性质
栏目索引
解析 (1)∵四边形ABCD为长方形,∴AD∥BC, ∴∠1+∠2=180° , ∵∠1=110° ,∴∠2=70° . (2)由折叠的性质得∠D'=90° , 若D'C'∥BC,则有∠EGF=∠D'=90° , ∵AD∥BC, ∴∠2=∠EGF=90° , 则当∠2等于90度时,D'C'∥BC.
图7-4-8
4 平行线的性质
证明 ∵AD⊥BC,EF⊥BC(已知), ∴∠ADC=∠EFD=90° (垂直的定义), ∴AD∥EF(同位角相等,两直线平行), ∴∠3=∠BAD(两直线平行,内错角相等), ∠DAC=∠E(两直线平行,同位角相等), ∵AD平分∠BAC(已知), ∴∠BAD=∠DAC(角平分线的定义), ∴∠E=∠3(等量代换).
4 平行线的性质
栏目索引
3.(2016四川资阳安岳期末) 是大众汽车的标志图案,其中蕴涵着许多 几何知识.如图,已知BC∥AD,BE∥AF.
(1)∠A与∠B相等吗?请说明理由; (2)若∠DOB=135° ,求∠A的度数.
4 平行线的性质
栏目索引
解析 (1)相等.理由:因为BC∥AD(已知),所以∠B=∠DOE(两直线平行, 同位角相等).因为BE∥AF(已知),所以∠A=∠DOE(两直线平行,同位角 相等),所以∠A=∠B(等量代换). (2)因为BC∥AD(已知),所以∠B+∠DOB=180° (两直线平行,同旁内角互 补),又因为∠DOB=135° ,所以∠B=180° -135° =45° ,又∠A=∠B,所以 ∠A=45° .
平行线的判定PPT课件(北师大版)
定理：内错角相等，两直线平 行.
•新知探 究
小明用下面的方法作出了平行线，你认为他的
作法对吗？为什么？
•新知探 究
D F 45°
C
B 小明的作法可用右上图表示：
45°
A
E
∠CFE=45°，∠BEF=45°，
则∠CFE= ∠BEF，
而∠CFE=与∠BEF是内错角，且这两个角相等，
第7章 平行线的证明
7.3 平行线的判定
•复习导 入
判别两条直线平行有哪些方法呢？
u 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平 行线. u 两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互 相平行. u 同位角相等，两直线平行. u 内错角相等，两直线平行. u 同旁内角互补，两直线平行.
•复习导 入
平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，
如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
这一定理可简单地写成： 定理：同旁内角互补，两直线平 行.
•探究新 知
（1）已给的公理、定义和已经证明的定理可 以作为根据，用来证明新的结论.
（2）证明过程中，有些上面的步骤刚刚得到 的条件，可以省略（即不用重复写已经得到的）.
（3）证明中的每一步推理都要有根据，不能 “想当然”.这些根据可以是已知条件，也可以是定 义、公理、已经学过的定理.
•探究新 证明命题知的一般步骤：
（1）根据题意画出图形(若已给出图形，则可省略)； （2）根据题设和结论，结合图形，写出已知和求证； （3）经过分析，找出已知推出求证的途径，写出证 明过程； （4）检查证明过程是否正确完善.
因此可知： CD∥AB.
•新知探 两条直究线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，
北师大八年级数学下册第七章7.3平行线的判定和性质综合应用
B
C
∴AB∥CD（同旁内角互 补，两直线平行） 你能说明AD∥BC吗？
如图甲所示
∵ ∠ADE＝ ∠DEF（已知）
∴ AD ∥ EF （内错角相等，两直线平行 ） 又∵ ∠EFC+ ∠C= 180 ° ∴ EF ∥ BC （ 同旁内角互补，两直线平行 ） ∴ AD ∥
BC
。
（平行于同一条直线的两条直线互相平行 ）
练习
1、观察右图并填空： (1)∠1 与 ∠4 是同位角; (2) ∠5 与 ∠3 是同旁内角; (3) ∠1 与 ∠2 是内错角;
m
2
n
3 5
a b
1
4
2、当图中各角满足下列 条件时,你能指出哪两条直线 平行? n (1) ∠1 = ∠4; a∥b. (2) ∠2 = ∠4; l∥m. (3) ∠1 + ∠3 = 180; l∥n .
m
l
4
a
2
1 3
b
看图填空：
C D
1
A 2
（1）如右图，∵∠1＝∠2
∴ AC∥ DE ，
3
E
( 内错角相等，两直线平行 )
∵∠2＝ ∠4 或 ∵∠3＋∠4＝180° ∴DE∥ FG ，( 同旁内角互补，两直线平行) ∴AC∥FG.
4 F
∴DE∥ FG（同位角相等，两直线平行）
B
G
看图填空：
(2)如右图，∵ ∠2=（ ∠4 ） A
C
A
B
（变式训练二）如果 AB∥CD ，且 ∠ B=∠D ， 你能推理得出AD∥BC吗？
题组训练（5） 1 B E G 3 4D C2 F H
A
如图，∠1= ∠2=45 °，∠3=70 °， 则∠4等于 （ B ） （A）70 ° （B）110 ° （C）45 ° （D）35°
专题2.3 平行线的性质-重难点题型(举一反三)(北师大版)(解析版)
专题2.3 平行线的性质-重难点题型【北师大版】【题型1 两直线平行同位角相等】【例1】（2021春•环江县期末）如图，a∥b，∠1＝60°，则∠2的大小是（ ）A．60°B．80°C．100°D．120°【解题思路】根据同位角相等，两直线平行即可求解．【解答过程】解：如图：因为a∥b，∠1＝60°，所以∠3＝∠1＝60°．因为∠2+∠3＝180°，所以∠2＝180°﹣60°＝120°．故选：D．【变式1-1】（2021秋•长沙期中）如图，点D，E分别在∠ABC的边BA，BC上，DE⊥AB，过BA上的点F（位于点D上方）作FG∥BC，若∠AFG＝42°，则∠DEB的度数为（ ）A．42°B．48°C．52°D．58°【解题思路】根据FG∥BC，得∠DBE＝∠AFG＝42°，由DE⊥AB，得∠BDE＝90°，由∠DEB＝180°﹣∠DBE﹣∠BDE即可解答．【解答过程】解：∵FG∥BC，∠AFG＝42°，∴∠DBE＝∠AFG＝42°，∵DE⊥AB，∴∠BDE＝90°，∴∠DEB＝180°﹣∠DBE﹣∠BDE＝180°﹣42°﹣90°＝48°．故选：B．【变式1-2】（2021春•萝北县期末）如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1＝65°，那么∠2的度数为（ ）A．15度B．30度C．25度D．65度【解题思路】利用平行线的性质可得∠3的度数，再利用平角定义可得∠2的度数．【解答过程】解：∵a∥b，∴∠1＝∠3＝65°，∵∠4＝90°，∴∠2＝180°﹣90°﹣65°＝25°，故选：C．【变式1-3】（2021•临沭县模拟）如图，已知AB∥CD，∠A＝56°，∠E＝18°，则∠C的度数是（ ）A．32°B．34°C．36°D．38°【解题思路】设AE与CD交于点O，由AB∥CD，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠DOE的度数，再利用三角形内角和，即可求出∠C的度数．【解答过程】解：设AE与CD交于点O，如图所示：∵AB∥CD，∠A＝56°，∴∠DOE＝∠A＝56°．∵∠DOE＝∠C+∠E，∠E＝18°，∴∠C＝∠DOE﹣∠E＝56°﹣18°＝38°．故选：D．【题型2 两直线平行内错角相等】【例2】（2021春•宁阳县期末）如图，CD是∠ACB的平分线，∠ACB＝82°，∠B＝48°，DE∥BC．求∠EDC和∠BDC的度数．【解题思路】由平分线的性质可得∠BCD的大小，又由平行线及三角形内角和定理可得∠EDC和∠BDC 的大小．【解答过程】解：∵CD是∠ACB的平分线，∠ACB＝82°，∴∠DCB＝∠ACD＝41°，又∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠DCB＝41°，在△BCD中，∵∠B＝48°，∠DCB＝41°，∴∠BDC＝180°﹣48°﹣41°＝91°．∴∠EDC和∠BDC的度数分别为41°、91°．【变式2-1】（2021春•沂水县期末）如图，AB∥CD，BD⊥CF，垂足为B，∠ABF＝35°，则∠BDC的度数为（ ）A．25°B．35°C．45°D．55°【解题思路】根据BD⊥CF，得到∠DBA＝90°﹣∠ABF＝55°，根据AB∥CD，即可得∠BDC的度数．【解答过程】解：∵BD⊥CF，∴∠DBF＝90°，∵∠ABF＝35°，∴∠DBA＝90°﹣∠ABF＝55°，∵AB∥CD，∴∠BDC＝∠DBA＝55°．故选：D．【变式2-2】（2021秋•凤山县期中）如图，若要使l1与l2平行，则l1绕点O至少旋转的度数是（ ）A．38°B．42°C．80°D．138°【解题思路】根据平行线的性质，可以得到若要使l1与l2平行，则∠1和∠2相等，再根据∠2的度数和图形中原来∠1的度数，从而可以得到若要使l1与l2平行，则l1绕点O至少旋转的度数．【解答过程】解：若l1与l2平行，则∠1和∠2相等，∵∠2＝42°，∴∠1＝42°，∴若要使l1与l2平行，则l1绕点O至少旋转的度数是80°﹣42°＝38°，故选：A．【变式2-3】（2021•中原区校级开学）填空：（将下面的推理过程及依据补充完整）如图，已知：CD平分∠ACB，AC∥DE、CD∥EF，求证：EF平分∠DEB．证明：∵CD平分∠ACB（已知），∴∠DCA＝ ∠DCE （角平分线的定义），∵AC∥DE（已知），∴∠DCA＝（ ∠CDE ），∴∠DCE＝∠CDE（等量代换），∵CD∥EF（ 已知 ），∴ ∠DEF ＝∠CDE（ 两直线平行，内错角相等 ），∠DCE＝∠BEF（ 两直线平行，同位角相等 ），∴ ∠DEF ＝ ∠FEB （等量代换）．∴EF平分∠DEB（ 角平分线的定义 ）．【解题思路】根据平行线的性质和平行线的判定及等量代换等来完成解答即可．【解答过程】证明：∵CD平分∠ACB（已知），∴∠DCA＝∠DCE（角平分线的定义），∵AC∥DE（已知），∴∠DCA＝∠CDE（两直线平行，内错角相等），∴∠DCE＝∠CDE（等量代换），∵CD∥EF（已知），∴∠DEF＝∠CDE（两直线平行，内错角相等），∠DCE＝∠FEB（两直线平行，同位角相等），∴∠DEF＝∠FEB（等量代换），∴EF平分∠DEB（角平分线的定义）．故答案为：∠DCE；∠CDE，已知，∠DEF，两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；∠DEF；∠FEB；角平分线的定义．【题型3 两直线平行同旁内角互补】【例3】（2021春•椒江区期末）如图，AB∥CD，AB∥GE，∠B＝110°，∠C＝100°．∠BFC等于多少度？为什么？【解题思路】由AB∥CD，AB∥GE得CD∥GE，根据两直线平行，同旁内角互补得到∠B+∠BFG＝180°，∠C+∠CFE＝180°，而∠B＝110°，∠C＝100°，可以求出∠BFG和∠CFE，最后可以求出∠BFC．【解答过程】解：∠BFC等于30度，理由如下：∵AB∥GE，∴∠B+∠BFG＝180°，∵∠B＝110°，∴∠BFG＝180°﹣110°＝70°，∵AB∥CD，AB∥GE，∴CD∥GE，∴∠C+∠CFE＝180°，∵∠C＝100°．∴∠CFE＝180°﹣100°＝80°，∴∠BFC＝180°﹣∠BFG﹣∠CFE＝180°﹣70°﹣80°＝30°．【变式3-1】（2021秋•北碚区校级期末）如图，AB∥CD，CD∥EF，∠1＝∠2＝60°，∠A和∠E各是多少度？它们相等吗？【解题思路】先根据AB∥CD得出∠A的度数，再由CD∥EF求出∠E的度数，进而可得出结论．【解答过程】解：∵AB∥CD（已知），∴∠A＝180°﹣∠1＝180°﹣60°＝120°（两直线平行，同旁内角互补）．∵CD∥EF（已知），∴∠E＝180°﹣∠2＝180°﹣60°＝120°，∴∠A＝∠E．∴∠A和∠E都是120度，它们相等．【变式3-2】（2021•怀宁县模拟）如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边上，若∠β＝85°，则α等于（ ）A．155°B．145°C．135°D．125°【解题思路】直接利用平行线的性质以及含有30°角的直角三角板的特征进而得出答案．【解答过程】解：如图：根据题意得∠2＝60°，∠β＝85°，∵∠2＝60°，∠1+∠2+∠β＝180°，∴∠1＝180°﹣∠2﹣∠β＝180°﹣60°﹣85°＝35°，∵AB∥CD，∴∠α+∠1＝180°，∴∠α＝180°﹣∠1＝180°﹣35°＝145°．故选：B．【变式3-3】（2021春•汉阳区期中）如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝3∠BCF，∠ACF ＝20°，（1）求∠DAC的度数．（2）求∠FEC的度数．（3）当∠B为多少度时，∠BAC＝3∠B？并说明此时AB与AC的位置关系．【解题思路】（1）直接利用角平分线的定义结合平行线的性质得出答案；（2）利用已知得出EF∥CB，进而得出答案；（3）利用∠BAC＝3∠B，利用平行线的性质得出∠B＝30°，即可得出答案．【解答过程】解：（1）∵CE平分∠BCF，∴设∠BCE＝∠FCE＝x，∵∠DAC＝3∠BCF，∴∠DAC＝6x，∵AD∥BC，∴∠DAC+∠BCA＝180°，∴6x+2x+20°＝180°，∴x＝20°，∴∠DAC＝120°；（2）∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥CB，∴∠FEC＝∠BCE＝20°；（3）当∠B＝30°时，∵AD∥BC，∴∠DAB＝∠B，又∵∠BAC＝3∠B，∴∠DAC＝4∠B＝120°，∴∠B＝30°，∴∠BAC＝90°，∴AB⊥AC．【题型4 平行线的判定与性质的综合应用】【例4】（2021春•江油市期中）如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，已知∠1＝∠2＝50°，GM平分∠HGB交直线CD于点M，则∠GMD＝（ ）A．120°B．115°C．130°D．110°【解题思路】求出∠BGM，根据平行线的判定得出AB∥CD，根据平行线的性质推出∠3＝∠BGM，利用补角的定义即可得出答案．【解答过程】解：如图，∵∠1＝50°，∴∠BGF＝180°﹣∠1＝130°，∵GM平分∠BGF，∴∠BGM=12∠BGF＝65°，∵∠1＝∠2＝50°，∴AB∥CD，∴∠3＝∠BGM＝65°，∴∠GMD＝180°﹣∠BGM＝180°﹣65°＝115°，故选：B．【变式4-1】（2021春•五华区期末）如图，∠1＝60°，∠2＝120°，∠3＝70°，则∠4的度数是（ ）A．70°B．60°C．50°D．40°【解题思路】先由邻补角互补求出∠5，然后根据∠2＝∠5判断出l1∥l2，再根据平行线的性质得出∠3＝∠6，而∠4＝∠6从而求出∠4．【解答过程】解：如图所示：∵∠1+∠5＝180°，∴∠5＝180°﹣60°＝120°＝∠2，∴l1∥l2，∴∠3＝∠6，∵∠3＝70°，∴∠6＝70°∵∠4＝∠6，∴∠4＝70°．故选：A．【变式4-2】（2021春•大丰区月考）如图，直线MN分别与直线AB，CD相交于点E，F，EG平分∠BEF，交直线CD于点G，若∠MFD＝∠BEF＝58°，射线GP⊥EG于点G，则∠PGF＝ 61或119 °．【解题思路】分两种情况：①当射线GP⊥EG于点G时，∠PGE＝90°，②当射线GP′⊥EG于点G 时，∠P′GE＝90°，根据平行线的判定与性质和角平分线定义即可求出∠PGF的度数．【解答过程】解：如图，①当射线GP⊥EG于点G时，∠PGE＝90°，∵∠MFD＝∠BEF＝58°，∴CD∥AB，∴∠GEB＝∠FGE，∵EG平分∠BEF，∴∠GEB＝∠GEF=12∠BEF＝29°，∴∠FGE＝29°，∴∠PGF＝∠PGE﹣∠FGE＝90°﹣29°＝61°；②当射线GP′⊥EG于点G时，∠P′GE＝90°，同理：∠P′GF＝∠PGE+∠FGE＝90°+29°＝119°．则∠PGF的度数为61°或119°．故答案为：61或119．【变式4-3】（2021春•奉化区校级期末）如图，PQ∥MN，A，B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN＝45°，若射线AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣5|+（b﹣1）2＝0．若射线AM绕点A顺时针先转动18秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之前，问射线AM再转动 15或22.5 秒时，射线AM与射线BQ互相平行．【解题思路】分两种情况讨论，依据∠ABQ'＝∠BAM″时，BQ'∥AM″，列出方程即可得到射线AM、射线BQ互相平行时的时间．【解答过程】解：设射线AM再转动t秒时，射线AM、射线BQ互相平行．如图，射线AM绕点A顺时针先转动18秒后，AM转动至AM'的位置，∠MAM'＝18×5＝90°，分两种情况：①当9＜t＜18时，∠QBQ'＝t°，∠M'AM″＝5t°，∵∠BAN＝45°＝∠ABQ，∴∠ABQ'＝45°﹣t°，∠BAM″＝∠M'AM″﹣∠M'AB＝5t﹣45°，当∠ABQ'＝∠BAM″时，BQ'∥AM″，此时，45°﹣t°＝5t﹣45°，解得t＝15；②当18＜t＜27时，∠QBQ'＝t°，∠NAM″＝5t°﹣90°，∠BAM″＝45°﹣（5t°﹣90°）＝135°﹣5t°，∵∠BAN＝45°＝∠ABQ，∴∠ABQ'＝45°﹣t°，∠BAM″＝45°﹣（5t°﹣90°）＝135°﹣5t°，当∠ABQ'＝∠BAM″时，BQ'∥AM″，此时，45°﹣t°＝135°﹣5t，解得t＝22.5；综上所述，射线AM再转动15秒或22.5秒时，射线AM、射线BQ互相平行．故答案为15或22.5．【题型5 单拐点作平行线】【例5】（2021春•忻州期中）已知：如图，AB∥CD，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，求∠APC的度数；请补全下列解法中的空缺部分．解：过点P作PG∥AB交AC于点G．∵AB∥CD（ 已知 ），∴ ∠CAB +∠ACD＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ），∵PG∥AB（ 已知 ），∴∠BAP＝ ∠APG （ 两直线平行，内错角相等 ），且PG∥ CD （平行于同一直线的两直线也互相平行），∴∠GPC＝ ∠PCD （两直线平行，内错角相等），∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD．∴∠BAP=12∠ BAC ，∠PCD=12∠ ACD ．（ 角平分线定义 ），∴∠BAP+∠PCD=12∠BAC+12∠ACD＝90°（ 等量代换 ），∴∠APC＝∠APG+∠CPG＝∠BAP+∠CDP＝90°．总结：两直线平行时，同旁内角的角平分线 互相垂直 ．【解题思路】过点P作PG∥AB交AC于点G，根据平行线的判定与性质，即可得到∠APC的度数，进而得出结论．【解答过程】解：过点P作PG∥AB交AC于点G．∵AB∥CD（已知），∴∠CAB+∠ACD＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∵PG∥AB（已知），∴∠BAP＝∠APG（两直线平行，内错角相等），且PG∥CD（平行于同一直线的两直线也互相平行），∴∠GPC＝∠PCD（两直线平行，内错角相等），∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，∴∠BAP=12∠BAC，∠PCD=12∠ACD（角平分线定义），∴∠BAP+∠PCD=12∠BAC+12∠ACD=90°（等量代换），∴∠APC＝∠APG+∠CPG＝∠BAP+∠CDP＝90°．总结：两直线平行时，同旁内角的角平分线互相垂直．故答案为：已知；∠CAB；两直线平行，同旁内角互补；CD；∠PCD；BAC；ACD；角平分线定义；等量代换；互相垂直．【变式5-1】（2021•河北模拟）如图，AB∥DE，∠1＝135°，∠C为直角．则∠D的度数为（ ）A．35°B．40°C．45°D．55°【解题思路】过点C作CF∥AB，由题意可求得∠BAC＝180°﹣∠1＝45°，由平行线的性质可得∠ACF ＝∠BAC＝45°，CF∥DE，从而可求∠DCF的度数，则可求∠D的度数．【解答过程】解：过点C作CF∥AB，如图所示：∵∠1＝135°，∴∠BAC＝180°﹣∠1＝45°，∵CF∥AB，AB∥DE，∴∠ACF＝∠BAC＝45°，CF∥DE，∴∠DCF＝∠D，∵∠ACD为直角，∴∠DCF＝90°﹣∠ACF＝45°，∴∠D＝45°．故选：C．【变式5-2】（2021•南关区校级一模）将一块直角三角尺和一张矩形纸片如图摆放，若∠1＝47°，则∠2的大小为（ ）A．127°B．133°C．137°D．143°【解题思路】过点E作EF∥AC，由平行线的性质可得∴∠CEF＝∠1＝47°，BD∥EF，从而可得∠2+∠DEF＝180°，结合条件可求得∠DEF的度数，即可求解．【解答过程】解：过点E作EF∥AC，如图所示：∵AC∥EF，AC∥BD，∴∠CEF＝∠1＝47°，BD∥EF，∴∠2+∠DEF＝180°，∵∠CED＝90°，∴∠DEF＝90°﹣∠CEF＝43°，∴∠2＝180°﹣∠DEF＝137°．故选：C．【变式5-3】（2021春•重庆期中）已知：AB∥CD，E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，∠1＝∠2．（1）如图1，求证：EF∥GH；（2）如图2，过F点作FM⊥GH交GH延长线于点M，作∠BEF、∠DFM的角平分线交于点N，EN 交GH于点P，求证：∠N＝45°；（3）如图3，在（2）的条件下，作∠AGH的角平分线交CD于点Q，若3∠FEN＝4∠HFM，直接写出∠GQH∠MPN的值．【解题思路】（1）由平行线的性质得∠1＝∠3，再由内错角相等得出EF∥GH；（2）过点N作NK∥CD，设角度，由平行线的性质和角平分线的性质即可得出结论；（3）由3∠FEN＝4∠HFM结合前面（2）的结论，求出角度可得∠GQH∠MPN =1 4．【解答过程】解：（1）证明：∵AB∥CD，∴∠2＝∠3，又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴EF∥GH；（2）如图2，过点N作NK∥CD，∴∠KNE＝∠4，∠6＝∠7，设∠4＝x，∠7＝y，∵EN、FN分别平分∠BEF、∠DFM，∴∠ENK＝∠5＝∠4＝x，∠6＝∠8＝∠7＝y，又∵AB∥CD，∴∠EFD＝180°﹣2x，又∵FM⊥GH，∴∠EFM＝90°，∴180°﹣2x+2y＝90°，∴x﹣y＝45°，∴∠ENE＝∠ENK﹣∠6＝x﹣y＝45°，（3）∠GQH∠MPN=14∵3∠FEN＝4∠HFM，即3x＝4×2y，∴x=83 y，∴x﹣y=83y―y＝45°∴y＝27°，x＝72°，又∵EN和GQ是角平分线，∴GQ⊥EN，∴∠GQH＝∠EGQ＝180°﹣90°﹣72°＝18°，又∵∠MPN＝∠FEN＝x＝72°，∴∠GQH∠MPN=14，故答案为1 4．【题型6 多拐点作平行线】【例6】（2021春•青县期末）直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝105°，求∠1+∠2的度数【解题思路】分别过A、B作l1的平行线AC和BD，则可知AC∥BD∥l1∥l2，再利用平行线的性质求得答案．【解答过程】解：如图，分别过A、B作l1的平行线AC和BD，∵l1∥l2，∴AC∥BD∥l1∥l2，∴∠1＝∠EAC，∠2＝∠FBD，∠CAB+∠DBA＝180°，∵∠EAB+∠FBA＝125°+105°＝230°，∴∠EAC+∠CAB+∠DBA+∠FBD＝230°，即∠1+∠2+180°＝230°，∴∠1+∠2＝50°．【变式6-1】（2021春•莱州市期末）（1）如图1，a∥b，则∠1+∠2＝ 180° （2）如图2，AB∥CD，则∠1+∠2+∠3＝ 360° ，并说明理由（3）如图3，a∥b，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ 540° （4）如图4，a∥b，根据以上结论，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝ （n﹣1）•180° （直接写出你的结论，无需说明理由）【解题思路】（1）根据两直线平行，同旁内角互补解答；（2）过点E作EF∥AB，然后根据两直线平行，同旁内角互补解答；（3）过∠2、∠3的顶点作a的平行线，然后根据两直线平行，同旁内角互补解答；（4）过∠2、∠3…的顶点作a的平行线，然后根据两直线平行，同旁内角互补解答．【解答过程】解：（1）∵a∥b，∴∠1+∠2＝180°；（2）过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠1+∠AEF＝180°，∠CEF+∠3＝180°，∴∠1+∠AEF+∠CEF+∠3＝180°+180°，即∠1+∠2+∠3＝360°；（3）如图，过∠2、∠3的顶点作a的平行线，则∠1+∠2+∠3+∠4＝180°×3＝540°；（4）如图，过∠2、∠3…的顶点作a的平行线，则∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝（n﹣1）•180°．故答案为：180°；360°；540°；（n﹣1）•180°．【变式6-2】（2021秋•金凤区校级期末）如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；（1）若∠E＝60°，则∠F＝ ；（2）请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由；（3）如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．【解题思路】（1）如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，根据平行线的性质得到∠B＝∠BEM＝30°，∠MEF＝∠EFN，∠D+∠DFN＝180°，代入数据即可得到结论；（2）如图1，根据平行线的性质得到∠B＝∠BEM＝30°，∠MEF＝∠EFN，由AB∥CD，AB∥FN，得到CD∥FN，根据平行线的性质得到∠D+∠DFN＝180°，于是得到结论；（3）如图2，过点F作FH∥EP，设∠BEF＝2x°，则∠EFD＝（2x+30）°，根据角平分线的定义得到∠PEF=12∠BEF＝x°，∠EFG=12∠EFD＝（x+15）°，根据平行线的性质得到∠PEF＝∠EFH＝x°，∠P＝∠HFG，于是得到结论．【解答过程】解：（1）如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，∴EM∥AB∥FN，∴∠B＝∠BEM＝30°，∠MEF＝∠EFN，又∵AB∥CD，AB∥FN，∴CD∥FN，∴∠D+∠DFN＝180°，又∵∠D＝120°，∴∠DFN＝60°，∴∠BEF＝∠MEF+30°，∠EFD＝∠EFN+60°，∴∠EFD＝∠MEF+60°∴∠EFD＝∠BEF+30°＝90°；故答案为：90°；（2）如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，∴EM∥AB∥FN，∴∠B＝∠BEM＝30°，∠MEF＝∠EFN，又∵AB∥CD，AB∥FN，∴CD∥FN，∴∠D+∠DFN＝180°，又∵∠D＝120°，∴∠DFN＝60°，∴∠BEF＝∠MEF+30°，∠EFD＝∠EFN+60°，∴∠EFD＝∠MEF+60°，∴∠EFD＝∠BEF+30°；（3）如图2，过点F作FH∥EP，由（2）知，∠EFD＝∠BEF+30°，设∠BEF＝2x°，则∠EFD＝（2x+30）°，∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD，∴∠PEF=12∠BEF＝x°，∠EFG=12∠EFD＝（x+15）°，∴∠PEF＝∠EFH＝x°，∠P＝∠HFG，∵∠HFG＝∠EFG﹣∠EFH＝15°，∴∠P＝15°．【变式6-3】（2021春•硚口区期末）已知直线EF分别交直线AB、CD于点G、H，∠1+∠2＝180°．（1）如图1，求证：AB∥CD；（2）如图2，M、N分别为直线AB、CD上的点，P、Q为直线AB、CD之间不同的两点，∠PMQ＝2∠BMQ，∠PNQ＝2∠DNQ，∠MQN＝30°．①求证：PM⊥PN；②如图3，∠EGB的平分线GL与∠MPN的邻补角∠MPT的平分线PL交于点L，∠PNH的平分线NK交EF于点K．若∠EKN+∠GLP＝170°，直接写出∠PNH﹣∠EHD的大小．【解题思路】（1）利用∠1＝∠HGB，再利用等量代换，即可解决；（2）①过Q作QK∥AB，因为AB∥CD，所以AB∥CD∥QK，则∠BMQ＝∠MQK，∠DNQ＝∠KQN，所以∠MQN＝∠BMQ+∠DNQ，同理∠MPN＝∠BMP+∠DNP，设∠BMQ＝x，∠DNQ＝y，利用∠MQN ＝30°，得到x+y＝30°，又∠MPN＝3x+3y，代入即可解决．②如图，过L作IS∥AB，过P作PW′∥AB，过K作KW∥AB，利用AB∥CD，可以得到SI∥AB∥CD∥KW∥PW′，设∠EGL＝∠LGB＝x，∠CNK＝∠KNP＝y，利用平行线的性质，分别用x，y表示出∠EKN和∠GLP，因为∠EKN+∠GLP＝170°，得到x与y的关系式，整体代入运算，即可解决．【解答过程】证明：（1）∵∠1＝∠HGB，∠1+∠2＝180°，∴∠HGB+∠2＝180°，（2）①过Q作QK∥AB，如图1，∵AB∥CD，∴QK∥AB∥CD，∴∠BMQ＝∠MQK，∠DNQ＝∠KQN，∴∠MQN＝∠MQK+∠KQN＝∠BMQ+∠DNQ，同理，∠MPN＝∠BMP+∠DNP，设∠BMQ＝x，∠DNQ＝y，则∠MQK＝x，∠KQN＝y，∠PMQ＝2x，∠PNQ＝2y，∵∠MQN＝30°，∴x+y＝30°，∴∠MPN＝3x+3y＝90°，∴PM⊥PN；解：（2）②如图2，过L作IS∥AB，过P作PW′∥AB，过K作KW∥AB，∵AB∥CD，∴SI∥AB∥CD∥KW∥PW′，∵GL平分∠EGB，∴可设∠EGL＝∠LGB＝x，同理，∠MPL＝∠TPL＝45°，可设∠CNK＝∠KNP＝y，∵IS∥AB∥PW′，∴∠ILG＝∠LGB＝x，∠SLP＝∠LPW′，∵PW′∥CD，∴∠W′PN＝180°﹣∠CNP＝180°﹣2y，∴∠W′PL＝180°﹣∠W′PN﹣∠LPT＝2y﹣45°，∴∠SLP＝∠LPW′＝2y﹣45°，∴∠GLP＝180°﹣∠ILG﹣∠SLP＝225°﹣x﹣2y，∵AB∥KW∥CD，∴∠AGK＝∠GKW＝∠EGB＝2x，∠WKN＝∠KNC＝y，∴∠EKN＝∠GKW+∠WKN＝2x+y，∵∠EKN+∠GLP＝170°，∴2x+y+225°﹣x﹣2y＝170°，∴y﹣x＝55°，∴∠PNH﹣∠EHD＝2y﹣2x＝110°．。
高中数学北师大版必修2第一章立体几何初步1.5.1.1直线与平面平行的判定2
题型一
题型二
题型三
【变式训练2】 已知四边形ABCD,ABEF都是正方
形,M∈AC,N∈BF,且AM=FN.求证:MN∥平面BCE.
证明:如图所示,作 MP∥AB 交 BC 于点 P,NQ∥AB 交 BE 于点
Q,连接 PQ,
∴MP∥NQ.
∵AM=FN,
∴MP=
2
2
=
2
2
= .
∴MPNQ, ∴四边形 MNQP 为平行四边形.
面不平行 直线在
平面内
——有无数个公共点
直线在平面内
②按是否在平面内分类 直线不在 直线和平面相交
平面内 直线和平面平行
【做一做1】 若直线l在平面α外且直线l上所有的点到平面α的距
离都相等,则直线l与平面α的位置关系是
.
答案:l∥α
2.直线与平面平行的判定定理
直线与平面平行的判定定理告知我们,可以通过直线间的平行来
直线与
个公共点 P,我们称直线 a 与
平面相交
平面 α 交于点 P
a∩α=P
如果直线 a 与平面 α 没有公
直线与
共点,我们称直线 a 与平面 α
平面平行
平行
a∥α
名师点拨直线与平面的位置关系有两种分类方法:
直线和
——无公共点
平面平行
①按公共点个数分类
直线和
有且只有
——
直线和平 平面相交
一个公共点
证明直线与平面平行.通常我们将其记为“若线线平行,则线面平行”.
因此,对于线面平行的问题通常转化为线线平行的问题来解决.也
就是说,证明一条直线和一个平面平行,只要在这个平面内找到一
北师大版八年级数学上册《平行线的性质》平行线的证明PPT课件
例1：如图所示，已知四边形ABCD 中， AB∥CD，
AD∥BC,试问∠A与∠C，∠B与∠D 的大小关系如何？
A
D
解：∠A= ∠ C, ∠B=∠D.
理由：∵AB∥CD （已知 ）
B
C
∴∠B+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补 ）
又 ∵ AD∥BC （已知）
∴∠C+∠D=180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）
C
∴∠1=∠4（两直线平行，内错角相等）
∵∠B=∠D（已知）
∴∠B－∠1=∠D－∠4（等式的性质）
∴∠2=∠3
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）
平行线的判定与性质
讨论：平行线三个性质的条件是什么？结论是
什么？它与判定有什么区别？（分组讨论）
线的关系
判定
角的关系
平行线的判定 两直线平行
平行线的性质
所以∠BDF=∠EDF.
课堂小结
已知
同位角相等 内错角相等 同旁内角互补
得到
判定 性质
得到 两直线平行
已知
已知：直线a∥b，∠1和∠2是直
线a，b被直线c截出的同旁内角. a
求证： ∠1+∠2=180°.
b
证明：∵a∥b (已知)
c
3 1
2
∴∠2＝∠3 (两条直线平行，同位角相等)
∵∠1+∠3 =180°(平角等于180°)
∴∠1+∠2=180 °(等量代换) .
定理：如果两条直线都和第三条直线平行， 那么这两条直线也互相平行.
两直线平行,同旁内角互补.
a
∵ a∥b, ∴ ∠1+∠2=1800 .
b
专题2.2 平行线的判定【八大题型】(举一反三)(北师大版)(解析版)
合除外).
【变式 1-2】（2023 下·七年级单元测试）同一平面内有三条直线，如果只有两条平行，那么它们交点的个
数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】根据题意先画出图形即可得到答案．
【详解】解：根据题意，第三条直线与这两条平行直线各有一个交点．如图，
故选：C． 【点睛】本题考查的是平面内，直线的位置关系的理解，相交线的交点的含义，利用数形结合的方法解题
A．内错角相等，两直线平行
B．同位角相等，两直线平行 第7页 共 34页
C．两直线平行，同位角相等
D．两直线平行，内错角相等
【答案】A
【分析】根据内错角相等，两直线平行直接得到答案．
【详解】解：由题意得∠1 = ∠2，
根据内错角相等，两直线平行可得�1 ∥ �2 ． 故选：A．
【点睛】此题考查了平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键．
【变式 3-2】（2023 下·河北石家庄·七年级校考期末）数学课上老师要求同学们用三角板画已知直线�的平 行线�，如图是苗苗和小华画图的过程．老师说苗苗和小华两位同学的画法都是正确的．甲、乙两位同学分 别对苗苗和小华画平行线的依据进行了说明： 甲同学说：苗苗的画图依据是“同位角相等，两直线平行”； 乙同学说：小华的画图依据是“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”． 对于甲、乙两同学的说法，下列判断正确的是（ ）
(1)过点�画直线� ∥� ；过点�画直线� ∥� ； (2)过点 画直线푀 ⊥ � ； (3)试判断直线� 与直线� 的位置关系． 【答案】(1)见解析；
第4页 共 34页
(2)见解析； (3)� ∥� ，理由见解析． 【分析】（1）根据网格线的特点作图； （2）根据网格线的特点作图； （3）根据平行线的传递性证明． 【详解】（1）解：如图，� ，� 即为所求；
高中数学北师大版必修二课件：第一章 立体几何初步§5 5-1
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【解析】 当平面 β 与平面 ABC 重合时，有 MN β； 当平面 β 与平面 ABC 不重合时， 则 β∩平面 ABC＝BC. ∵M，N 分别为 AB，AC 的中点，∴MN∥BC. 又 MN⊆/ β，BC β，∴MN∥β.
【答案】 A
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[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
阶
阶
段
段
一
三
§5 平行关系
5.1 平行关系的判定
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
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1．理解直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理的含义，会判断线面、 面面平行．(重点)
2．会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与 平面平行的判定定理，并知道其地位和作用．(重点、易错点)
1.5.1 平行关系的判定 课件(北师大必修2)
同理MG∥平面ACD，
MG∩MN＝M，
∴平面MNG∥平面ACD.
MG BG 2 (2)由(1)可知： PH ＝BH＝ ， 3 2 ∴MG＝ PH. 3 1 1 又 PH＝ AD，∴MG＝ AD. 2 3 1 1 同理 NG＝ AC，MN＝ CD， 3 3 ∴△MNG∽△ACD，其相似比为 1∶3， 故 S△MNG∶S△ADC＝1∶9.
N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点．求证：
平面AMN∥平面EFDB.
[自主解答]
如图所示，连接MF.
∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点，且四边形A1B1C1D1为正 方形， ∴MF∥A1D1且MF＝A1D1.
又∵A1D1＝AD且AD∥A1D1，
∴MF＝AD且MF∥AD. ∴四边形AMFD是平行四边形． ∴AM∥DF.
平面内的两条相交直线，则两个平面平行．
[通一类] 2．如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1，D是BC上一点，且
A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点，求证：平面A1BD1∥
平面AC1D.
证明：连接A1C交AC1于点E，
∵四边形A1ACC1是平行四边形， ∴E是A1C的中点．连接ED， ED是△A1BC的中位线， ∴ED∥A1B. ∵ED 平面A1BD1，A1B Þ 平面A1BD1，∴ED∥平面A1BD1. ∵C1D1 綊 BD，∴四边形BDC1D1是平行四边形，
[悟一法] 证明面面平行，转化为证明线面平行，而要证线面平行， 转化为证明线线平行．在立体几何中，通过线线、线面、面 面间的位置关系相互转化，使问题顺利得到解决．熟练掌握 这种转化的思想方法，就能找到解题的突破口．这是高考重 点考查证明平行的方法，应引起重视．
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的判定定理.（重点） 2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述 这两个定理，并知道其地位和作用.(重点） 3.能运用两个定理证明线面、面面平行问题.（难 点）
探究点1
直线与平面平行的判定
思考1：观察下图所示的长方体,直线a与直线b有什么 位置关系?直线a与平面α 有什么位置关系？
a
b
b
a
直线a不在平面α内,直线b在平面α内,a∥b, 这时，a∥α.
思考2： 平面 外有直线 a 平行于平面 内的直线 b ． （1）这两条直线共面吗？ （2）直线 共面 不可能相交
a与平面 相交吗？
a
b
直线和平面平行的判定定理
若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，
则该直线与此平面平行.
β , 则α ∥β 吗?
a α b
你能得到什么结论？
平行
β
线不在多 贵在相交
如果一个 平面内有两条 相交直线都平行于另一个平面，
那么这两个平面平行.
a
, b
a , b ab =P a //
b // //
a
Pb符号语言图形语言 转 线面平行 化
转 面面平行 化
4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，P，Q，R分别为A1A， AB，AD的中点 .求证：平面PQR∥平面CB1D1.
D1 A1 B1 C1
证明：连接A1B，BD. 因为PQ∥A1B且A1B ∥CD1. 故PQ∥CD1. 同理可得，RQ//B1D1.
P R Q
所以平面PQR∥平面CB1D1.
a
A.α ，β 都平行于直线a，b B.α 内有三个不共线点到β 的距离相等
C.a,b是α 内两条直线，且a∥β ，b∥β D.a，b是两条异面直线且a∥α ，b∥α ，a∥β ， b∥β 解：A错，若a∥b，则不能断定α∥β；B错，若A，
B，C三点不在β的同一侧，则不能断定α∥β；
C错，若a∥b，则不能断定α∥β.故选D．
§5 平行关系
5.1 平行关系的判定
一条直线和一个平面有三种位置关系 ：
直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行.
a
α
a
A
a
α
α
直线a与平面
直线在平面α 内a α有无 数个交点
直线与平面 α相交a∩ α= A有且只 有一个交点
α平行a∥α无
交点
观察1:门转动的一边与门框所在的平面之间的位置 关系是什么？
观察2:球门线BC、立柱AB、支柱GF、横梁AD所 在直线与地面哪些是平行的？ AD，BC与地面平行
H A E
D
G
F
B
C
观察3：将一本书平放在桌面上，翻动书的硬皮封面，
封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样的位
置关系？ 平行
A A
B
B
本节课我们来学习平行关系的判定！
1.理解并掌握直线与平面平行、平面与平面平行
线线平行
例3：已知正方体ABCD-A1B1C1D1，求证:平面AB1D1//平 面C1BD.
证明：如图,因为ABCD－A1B1C1D1
为正方体，所以 BD∥B1D1.
D1 B1 D
C1
又 B 1D 1
平面AB1D1，
A1
从而BD∥平面AB1D1 同理可证 BC1∥平面AB1D1. 又直线BD与直线BC1交于点B. A
例2 如图所示，空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别是 AB,BC,CD,AD的中点.试指出图中满足线面平行位置
关系的所有情况.
解 由E F / /A C / /H G ，得 ( 1) E F / /平面 A C D ; ( 2) A C / /平面 E FG H ; ( 3) H G / /平 面 A B C .
3. 证明的书写:三个条件“内”、“外”、“平
行” 缺一不可.
探究点2
面面平行的判定定理
思考：空间两平面有哪些位置关系？
相交
平行
有公共点
无公共点
思考:
若平面α ∥β ，则α 中所有直线都平行β ?
平行
反之，若α 中所有直线都平行β ，则α ∥β ? 平行 无限 启示： 两个平面平行的问题，可以转化为一个平面内 的直线与另一个平面平行的问题. 面面平行 转 化 线面平行 转 化 有限
1.线面平行的判定定理： b
a / /b
a//
2.线面平行的判定方法:
平行四边形 平行移动法 中位线等
线线平行 线面平行
（将空间问题转化为平面问题）
3.面面平行的定义；
4.面面平行的判定定理；
5.面面平行判定定理的应用：
线线、线面、面面间的位置关系的转化.
不能因为人生的道路坎坷，就使自己的身 躯变得弯曲；不能因为生活的历程漫长，就 使求索的脚步迟缓.
C
B
因此，平面AB1D1∥平面C1BD.
1 判断下列说法是否正确：
（1）若直线a与平面 内的一条直线平行 ，则 a
与平面 平行 . （ × ） （3）如果直线和平面平行，那么直线和平面内
（2）若直线a//b ， a//c ，且 b，c ，则 a / / .（ × ）
的无数条直线平行.（ √ ） （4）如果直线和平面平行，那么直线和平面内
与天花板平行，只需要使镜子的上边框与天花板和
墙面的交线平行，显然用到了这个判定定理.
安装教室里的日光灯，也用到了这个判定定理 .
A
例1 空间四边形ABCD中，E，F分别为
AB，AD的中点.判断EF与平面BCD的
位置关系.
α
B
E
F D C
解 设由相交直线BC，CD所确定的平面为α， 如图，连接BD. 易见，EF不在平面α内.由于E，F分别为AB,AD的中 点，所以EF∥BD.又BD在平面α内，所以EF∥α.
转化到线线平行
若直线l
平面，直线b
, l / /b, 则l / / .
直线与平面平行的画法
把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形的外 面，并使它与平行四边形内的一条线段平行或与平 行四边形一边平行.
a b α α a b
思考交流
你能举出生活中应用线面平行判定定理的例子吗？
家庭中安装方形镜子时，为了使镜子的上边框
A E
H
D
由B D / /E H / /FG ，得 ( 4) B D / /平面 E FG H ; ( 5) E H / /平面 B C D ; ( 6) FG / /平面 A B D .
B F
G
C
【变式练习】如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是一直角 梯形，AB∥CD，CD=2AB，E为PC的中点，求证BE∥平面 PAD.
证明：取PD的中点F，连接EF，AF，由E，
F为中点，所以EF∥CD且EF=
1 2
CD，又
AB∥CD，CD=2AB，故EF∥AB，且EF=AB， 从而四边形ABEF为平行四边形， 所以，BE∥AF，BE 平面PAD，AF平面PAD，
根据线面平行的判定定理可得BE∥平面PAD.
【提升总结】 证明线面平行的注意事项 1. 线面平行，通常可以转化为线线平行来处理. 2. 寻找平行直线可以通过三角形的中位线、梯 形的中位线、平行四边形的判定来完成.
的所有直线平行.（ × ）
2．下面四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶 点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB//平 面MNP的图形是( D ) A．③④ B．①② C．②③ D．①④
3.α ，β 是两个不重合的平面，a，b是两条不同直 线，在下列条件下，可判定α ∥β 的是( D )
探究:
问题1
平面α 内有一条直线 a 平行于平
面β , 则α ∥β 吗? 请举例说明. 不能
问题2
平面α 内有两条直线a , b 平行
于平面β , 则α ∥β 吗? 请举例
说明.
不能
模型１
α// β?
a α α α
β
模型２ a // β b//β a // b
b
α
a
β
问题3
平面α 内有两条相交直线 a , b 平行平面