凹凸函数的性质
函数凹凸性的概念及基本性质
,学法指导Ejf函数凹凸性的概念及基本性质〇柳高稳庄浪县万泉中学【关键词】数学教学；函数;凹凸性；概念；性质【中图分类号】G633.6【文章编号】1004-0463(2020)04-0187-01 【文献标识码】C一、函数凹凸性的概念及基本性质探讨定义设/为定义在区间/上的函数，若对任意两点 〜为和实数 0<A<1，总有/0々+( 1-A)*2]=SA/U)+( 1-A)y u)，则称/为/上的凸函数；反之，如果总有不等式/[A^+U- 入\2]彡人/(:):,)+(丨-人)/(:*2),则称/为/上的凹函数.为了讨论和学习简便一些，我们只讨论凸函数的情形. 根据上述定义，若为区间上的凸函数，则有/[A*,+(1-A k2]矣入乂（无1)+(1- A)y*(巧），从而 +(1- A)尤2]為(%i)-(1-A)/ U2),即-/为区间/上的凹函数.从而我们就可以将 凸函数和凹函数统一起来讨论和学习.根据凸函数的定义，我们容易得到：性质设/在区间[<1,/>]±是凸函数，则\/；<：|，：》：26((1，6)，有j.^X i+X2(x2)在上述性质中，如果特殊地取/(;c)=lm:,;t：i=a，*2=6则得到的结果为即几何均值不超过算术均值.我们应用这一性质来证明几道例题.例求证,:t,y e(0, + 〇〇).证明：函数/U)=A；5.由于/(A；)=A：5在（0,+〇〇)上是凸函 数，根据上面的性质，得到（〇%+办)5<a%5+i Sr5(a>0，i S>0，a+/3=1)，取 a=+，；8=+，即得到（f根据凸函数的概念对上述性质进行推广，即得到Jensen不等式设/是[a，6]上的凸函数，；c,e(a，6 )，％>0, n n nS W=1，则/(S%)彡i= 1i = 1i= 1二、复合函数的凸性在我们日常的数学学习过程中，我们常见到的函数多 数都是由两个或多个函数复合得到的.我们只知道他们各自 在一定区间上的凸性（比如说都是凸函数），那么用怎样的 方法才能判定复合函数的凸性呢？事实上，我们只要将函数 的凸性和单调性结合起来讨论便可以得到其判定.性质设/是[a,6】上的凸函数，/X是正常数，则#也是 [a,6]上的凸函数.证明由于/是[a,6]上的凸函数，则对任意的A e(0，1)，*1，；《:2£((1，6)，有/[入；<：1+(1-入)；>：2]矣入/(；1：|)+(1-入)/(^：2)，从而/■/[1-A)*2]^a[A/(»,)+(1-A)/ (尤2)]=\p f(*,)+( 1-A)fj/ (x2)所以/V也是[a,6]上的凸函数.性质设/、g是[a,6]上的凸函数，则/+g■也是[a,6]上的 凸函数.(证明略）性质设/^/(*)是卜，6]上的凸函数,#(«)是递增的凸 函数，则g (/■(*))也是[a,6]上的凸函数.(证明略）三、函数的凸性与奇偶性的关系在学习过程中，我们常见到奇偶函数的问题，函数的奇 偶性与函数的凸性之间存在着怎样的关系呢？性质（1)若函数/U)是奇函数，且当G O时,/U)是凸 (凹）函数，则当W0时/U)是凹（凸）函数;（证明略）(2)若函数/U)是偶函数，且当尤為0时，/U)是凸（凹）函数，则当W0时/U)是凸（凹）函数.(证明略）四、反函数的凸性下面我们来看一下互为反函数的两个函数之间凸性的 关系.对此，我们有如下性质：性质设是(a,6U：的连续递增的凸函数，则#(7)是 递增的凹函数.证明：因为/是凸函数，所以对任意A e(0,1)，u2e(a,6)有/〇,+(1彳)々]矣乂/(:«：1)+(1-人)/(*2)，又因为/是连续递增的，且反函数的单调性不变，则有/-' [A/(xt)+(1-A)/ (x2)]^f~'[f(A^.+C1-A)x2]=A*i+( 1-A)x2=\f^'[f(x j]+(1-A)/"'[/ (a c2)].即广1U)是递增的凹函数.如果在学习过程中，我们能够像学习复合函数的凸性一 样，则我们也能得到一个关于互为反函数的两个函数凸性 之间关系表(见下表）：y-f (x)凸，递增凸，递减凹，递减凹，递增y=f~x (r)凹，递增凸，递减凹，递减凸，递增对于这样一个表我们可以总结为：当原函数为增（减）函数时,互为反函数的两个函数的凸性相反（同）.编辑：谢颖丽187。
凹凸函数的性质
凹凸函数的性质（一）李联忠1文丽琼21 营山中学 四川营山 637700 2营山骆市中学 四川营山 638150：若函数f(x)为凹函数，则nf f f nf x x x x x x n n )()()()(2121+++≤+++若函数f(x)为凸函数，则nf f f nf x x x x x x n n)()()()(2121+++≥+++从而使一些重要不等式的证明更简明。
中图：文献标识号：：高二数学不等式，教材上只要求学生掌握两个数的均值不等式，教材上的阅读材料中，证明了三个数的均值不等式，从而推广到多个数的情形。
学有余力的学生，会去证多个数的情形。
仿照书上去证，几乎不可能。
下面介绍凹凸函数的性质，并用来证明之，较简便易行。
凹函数定义若函数f(x)上每一点的切线都在函数图像的下方，则函数f(x)叫做凹函数。
如图（一）凸函数定义若函数f(x)上每一点的切线都在函数图像的上方，则函数f(x)叫做凸函数。
如图（二）性质定理 若函数f(x)是凹函数，则nf f f nf x x x x x x n n )()()()(2121+++≤+++若函数f(x)是凸函数，则nf f f nf x x x x x x n n)()()()(2121+++≥+++证明：若函数f(x)是凹函数，如下图点P （)(,2121nf nx x x x xx nn ++++++ ）在f(x)上设过P 点的切线方程为：y=ax+b 则bna nf x x x x x x n n ++++⋅=+++ 2121)(（1）∵f(x) 是凹函数，切线在函数图像下方 ∴b a f x x +≥11)(;b a f x x +≥22)(;…;ba f x x n n +≥)(∴bna nf f f x x x x x x n n ++++⋅≥+++ 2121)()()( (2)由（1），（2）得nf f f nf x x x x x x n n )()()()(2121+++≤+++若函数f(x)为凸函数，如下图点P （)(,2121nf nx x x x xx nn ++++++ ）在f(x)上设过P 点的切线方程为：y=ax+b 则bna nf x x x x x x n n ++++⋅=+++ 2121)(（1）∵f(x) 是凸函数，切线在函数图像上方∴b a f x x +≤11)(;b a f x x +≤22)(;…;ba f x x n n +≤)(∴bna nf f f x xx x x x n n ++++⋅≤+++ 2121)()()( (2)由（1），（2）得nf f f nf x x x x x x n n)()()()(2121+++≥+++定理证明过程要结合图像形象理解，也便于掌握。
《函数曲线的凹凸性》课件
CONTENTS 目录
• 引言 • 函数曲线的凹凸性判定 • 函数曲线的凹凸性性质 • 函数曲线的凹凸性与导数的关系 • 函数曲线的凹凸性与几何意义 • 总结与展望
CHAPTER 01
引言
凹凸性的定义
凹函数
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上，对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(frac{x_1+x_2}{2}) geq frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$，则称$f(x)$在区间$I$上是凹函数。
函数曲线的凹凸性可能会随着自变量x 的变化而发生变化。
凸函数曲线
表示函数图像呈上凸的几何形状，即 任意两点之间的连线位于曲线上方。
几何形状的凹凸性实例
下凹函数曲线
$f(x) = x^2$，$f(x) = sin x$
上凸函数曲线
$f(x) = log x$，$f(x) = e^x$
几何形状的凹凸性与生活中的应用
02
二次函数是典型的凹函数和凸函数，其图像为抛物 线。
03
指数函数和幂函数在其定义域内是凹函数，对数函 数在其定义域内是凸函数。
CHAPTER 04
函数曲线的凹凸性与导数的关系
导数与凹凸性的关系
01
导数大于0的区间内，函数曲线为 凹；
02
导数小于0的区间内，函数曲线为 凸。
导数在判断凹凸性中的应用
凸函数
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上，对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(frac{x_1+x_2}{2}) leq frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$，则称$f(x)$在区间$I$上是凸函数。
函数凹凸的定义
02 函数凹凸的几何意义
凹函数的几何意义
凹函数图像呈下凹状，即对于函数图 像上的任意两点A和B，如果A、B两 点连线的中点始终位于A、B连线的下 方，则该函数为凹函数。
在几何意义上，凹函数具有一个明显 的特征，即函数图像上任意两点的连 线的斜率始终小于或等于该点处的函 数导数。
凸函数的几何意义
通过分析函数的凹凸性，我们可以确定函数的拐点，从而更好地理解函数 的性质，为求解最优化问题提供指导。
在求解无约束最优化问题时，可以利用函数凹凸性选择合适的算法，如梯 度下降法、牛顿法等，以提高求解效率。
在经济学中的应用
函数凹凸性在经济学中也有 广泛应用，它可以帮助我们 理解经济现象和预测经济行
为。
函数凹凸的定义
目录
• 函数凹凸的基本概念 • 函数凹凸的几何意义 • 函数凹凸的判定方法 • 函数凹凸的应用 • 函数凹凸的反例 • 函数凹凸的扩展知识
01 函数凹凸的基本概念
凹函数
01
凹函数是指函数图形在任意两点 之间总是位于这两点连线的下方， 即对于定义域内的任意x1和x2， 都有 f((x1+x2)/2)≥f(x1)+f(x2)/2。
03
在计算机科学中，函数凹凸性可以帮助我们设计更有效的算法和数据 结构，如动态规划、图算法等。
04
在生物学中，函数凹凸性可以帮助我们理解生物系统的复杂性和行为， 如生态学、生物化学反应等。
05 函数凹凸的反例
凹函数的反例
总结词
凹函数的反例是指函数图像呈现下凹形状的反例。
详细描述
凹函数的反例通常是指那些在一定区间内，函数值随着自变量的增加而减少的函数。例如，二次函数 $f(x) = x^2$在区间$(-infty, 0)$内是一个凹函数的反例，因为在这个区间内，函数值随着$x$的增加 而减少。
《函数的凹凸性》课件
凸函数的性质
凸函数图像呈上凸状，即对于函数图像上的任意两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，当x1 < x2时，y1 < y2。
凸函数的导数在定义域内小于0，即f''(x) < 0。
凸函数具有局部最大值，即对于任意x0属于定义域，存在一个邻域使得 该邻域内所有点的函数值都小于或等于f(x0)。
在物理学中，凹凸性可以用于描述物 体的弹性、光学性质等。
在经济学中，凹凸性可以用于描述商 品的需求和供给关系，以及价格和产 量的变化关系。
在计算机科学中，凹凸性可以用于图 像处理、机器学习等领域。
02
函数的凹凸性判定
判定方法一：二阶导数法
总结词
举例说明
二阶导数法是判断函数凹凸性的常用 方法之一，通过计算函数的二阶导数 并分析其符号来判断函数的凹凸性。
05
实际应用案例
金融领域的应用
金融数据分析
函数的凹凸性在金融数据分析中有着广泛的应用，如股票价格、收益率等金融时间序列数 据的分析，通过识别数据的凹凸性，可以预测未来的价格走势和风险评估。
投资组合优化
在投资组合优化中，凹凸性可用于确定最优投资组合，通过最小化投资组合的风险或最大 化预期收益，实现资产的有效配置。
判定方法三：几何意义法
总结词
几何意义法是通过观察函数图像 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ几何形状来判断函数的凹凸性
。
详细描述
如果一个函数的图像是一条向下 凸出的弧形线，则该函数是凹的 ；如果图像是一条向上凸起的弧
形线，则函数是凸的。
举例说明
以函数$f(x) = x^4 - x^2$为例 ，通过绘制该函数的图像可以观 察到，该函数在$x < 0$时图像 向下凸出，因此函数$f(x) = x^4
函数的凸凹性及应用
函数的凸凹性及其应用定义:函数的凸凹性定义：如果函数()f x 对其定义域中任意的1x ,2x 都有[])()(21)2(2121x f x f x x f +≤+成立，则称)(x f 是下凸（凸）函数(如图1所示)，当且仅当21x x =时等号成立．如果函数()f x 对其定义域中任意的1x ,2x 都有[])()(21)2(2121x f x f x x f +≥+成立，则称)(x f 是上凸（凹）函数(如图2所示)，当且仅当21x x =时等号成立．定理1 （Jensen 不等式）若函数()f x 在区间I 是上凸函数，则有不等式：)()()()(22112211n n n n x f q x f q x f q x q x q x q f +++≥+++ ;若函数()f x 在区间I 是下凸函数，则有不等式：)()()()(22112211n n n n x f q x f q x f q x q x q x q f +++≤+++ ,其中n i q I x i i ,,2,1,0, =>∈；121=+++n q q q ．定理2 若)(x f 是下凸函数，则其对应定义域中的任意n 个点n x x x ,,21恒有：[])()()(1)(2121n n x f x f x f nn x x x f +++≤+++ ;类似地，对于上凸函数有：[])()()(1)(2121n n x f x f x f nn x x x f +++≥+++ ,当且仅当n x x x === 21时等号成立．定理3：设函数)(x f 在开区间I 上存在二阶导数：(1)若对任意I x ∈，有0)(>''x f ，则)(x f 在I 上为下凸函数; (2)若对任意I x ∈，有0)(<''x f ，则)(x f 在I 上为上凸函数．下面对于一些常用的的函数的凹凸性作一个探讨．（1）对数函数:)10(log ≠>=a a x y a 且若10<<a ，则为下凸函数；若1>a ，则为上凸函数． （2）指数函数)1,0(≠>=a a a y x 且为下凸函数． （3）三角函数sin (0,)(,23cos (,)(,2222tan (,0)(022y x x x y x x x y x x x πππππππππ=∈∈=∈-∈=∈-∈，是上凸函数;）是下凸函数;，是上凸函数;）是下凸函数;，是上凸函数;，）是下凸函数. （4）二次函数:)0(2≠++=a c bx ax y若0>a ，则为下凸函数；若0<a ，则为上凸函数．（5）反比例函数:)0(≠=k xky当0>k 时: 若)0,(-∞∈x ，则为上凸函数；若),0(+∞∈x ，则为下凸函数． 当0<k 时: 若)0,(-∞∈x ，则为下凸函数；若),0(+∞∈x ，则为上凸函数．（6）双勾函数:)0,0(>>+=b a xbax y当)0,(-∞∈x 时，为上凸函数；当),0(+∞∈x 时，为下凸函数．T1 设()y f x =是(),a b 上的严格凸函数，则对于(),a b 内的任意n 个点12,,,n x x x ，都有()()()()12121n n x x x f f x f x f x n n+++⎛⎫≤+++ ⎪⎝⎭，当且仅当12n x x x ===时等号成立。
函数凸凹性探究
凸凹函数专题1：定义1：如果函数()f x 对其定义域中任意的1x ，2x 都有如下不等式[])()(21)2(2121x f x f x x f +≤+ （1） 成立，则称)(x f 是下凸（凸）函数(如图1所示)，当且仅当21x x =时等号成立． 如果函数()f x 对其定义域中任意的1x ，2x 都有如下不等式 [])()(21)2(2121x f x f x x f +≥+ （2） 成立，则称)(x f 是上凸（凹）函数(如图2所示)，当且仅当21x x =时等号成立．从几何意义来看，不等式（1）表示定义域中任意两点1x ，2x 的中点M 所对应的曲线上的点Q 位于弦上对应点P 的下面．不等式（2）则有相反的意义．3．2 凹凸函数的相关定理定理1（詹生不等式）若函数()f x 在区间I 是上凸函数，则有不等式：)()()()(22112211n n n n x f q x f q x f q x q x q x q f +++≥+++ （3） 若函数()f x 在区间I 是下凸函数，则有不等式：)()()()(22112211n n n n x f q x f q x f q x q x q x q f +++≤+++ （4） 其中n i q I x i i ,,2,1,0, =>∈；121=+++n q q q ．定理2 若)(x f 是下凸函数，则其对应定义域中的任意n 个点n x x x ,,21恒有：[])()()(1)(2121n n x f x f x f nn x x x f +++≤+++ 当且仅当n x x x === 21时等号成立．类似地，对于上凸函数有：[])()()(1)(2121n n x f x f x f nn x x x f +++≥+++ ． 定理 3 上的下凸函数为区间I x f )( ⇔ 对于I 上的任意 321x x x <<，总有： 23231212)()()()(x x x f x f x x x f x f --≤--成立． 定理 4 设函数)(x f 在开区间I 上可导，则)(x f 在区间I 上为上凸函数⇔导函数)(x f '在区间I 单调减少．⇔对I 上的任意两点21,x x 且21x x <， 总有))(()()(12112x x x f x f x f -'+<．推论：设函数)(x f 在开区间I 上存在二阶导数：(1)若对任意I x ∈，有0)(>''x f ，则)(x f 在I 上为下凸函数，切线斜率是增函数。
函数的凹凸性与拐点
函数的凹凸性与拐点函数的凹凸性和拐点是数学中的重要概念，它们可以帮助我们了解函数的特性和性质。
本文将介绍函数的凹凸性和拐点，并解释它们的意义和用法。
一、函数的凹凸性函数的凹凸性是指函数图像在某个区间上是否呈凹曲面或凸曲面。
具体来说，对于函数f(x)在区间I上连续二阶可导，若对于任意的x1，x2∈I且x1<x2，有f''(x)>0，则函数在区间I上是凹函数；若对于任意的x1，x2∈I且x1<x2，有f''(x)<0，则函数在区间I上是凸函数。
凹凸性可以从图像上观察得出。
对于凹函数而言，在函数图像的任意两点之间，曲线位于连接两点的弦的上方。
相反，凸函数在任意两点之间，曲线位于连接两点的弦的下方。
函数的凹凸性在数学和经济学中有广泛的应用。
在最优化问题中，我们常常需要求一个函数的极值点，而函数的凹凸性可以帮助我们判断极值点的性质。
此外，在经济学中，凸函数常用于描述生产函数、效用函数等经济关系。
二、拐点拐点是指函数图像由凹转为凸，或由凸转为凹的点。
具体来说，对于函数f(x)在区间I上连续二阶可导，若存在一个点c∈I，使得f在c 的左侧是凹函数，在c的右侧是凸函数（或反过来），则称c是函数f 的一个拐点。
拐点可以用来确定函数曲线上的转折点。
在拐点处，函数曲线的凹凸性发生变化，这也意味着函数的斜率也会发生变化。
拐点的确定可以通过求函数的二阶导数来实现。
当函数的二阶导数存在，且在某个点c处二阶导数为零，此时有可能存在拐点。
拐点的概念在工程、经济学和物理学等领域都有应用。
在工程中，拐点可以帮助我们确定材料的断裂点；在经济学中，拐点可以帮助我们分析市场供需关系的变化；在物理学中，拐点可以帮助我们理解物体的运动和变形特性。
综上所述，函数的凹凸性和拐点是数学中重要的概念，它们可以帮助我们分析函数的特性，并在实际问题中得到应用。
通过研究函数的凹凸性和拐点，我们可以更好地理解和运用数学知识。
深入学习函数凸凹性数学专题知识
02
函数凹凸性判定方法
一阶导数与二阶导数
一阶导数定义及性质
二阶导数定义及性质
一阶导数与二阶导数关系
实际问题求解中一阶导数 与二阶导数应用
高阶导数应用
海森矩阵特征分析
海森矩阵定义
海森矩阵（Hessian Matrix），也称 为二阶偏导数矩阵，是描述多元函数 局部凸凹性的矩阵。它由函数各变量 的二阶偏导数构成，反映了函数在指 定点的曲率大小和方向。
深入学习函数凸凹性数学专题知识
探索凹凸性质奥秘与应用
目录
01 函数凸凹性定义 03 凸凹性数学定理与性质 05 函数凸凹性实际应用
02 函数凹凸性判定方法 04 函数凹凸性判定方法 06 最新研究与进展
01
函数凸凹性定义
凹凸性基本概念
凹凸性定义
凹凸性是描述函数图像弯曲程度 的数学概念。凸函数在各点处的 切线斜率是正的，而凹函数的切 线斜率是负的，体现了函数的上 升和下降趋势。
02
凸区间定义与示例
凸区间是函数图像上点连线的斜 率大于零的区间。例如，在区间 [0, π] 中，函数 y = x^2 是凸函 数，因为其导数大于零（2），表 明函数图像在逐渐变得平坦。
03
边界点与凹凸性转换
边界点是指同时属于凹区间和凸 区间的点。例如，在区间 [0, π] 中，点 (π/2, π/2) 既是凹点也是 凸点，因为在此点的左侧凸函数 渐成凹函数，右侧凹函数渐成凸 函数。
凹函数判定定理
判定凹函数基本条件
凹函数的判定可以通过一阶导数和二阶导 数来判断。一阶导数小于零或二阶导数小 于零时，函数在该区间内为凹函数。此外 ，函数在开区间上的任意点处切线的斜率 必须小于切点的切线斜率，也是判断凹函
函数的凹凸性与拐点
函数的凹凸性与拐点函数的凹凸性以及拐点是微积分中重要的概念，它们能够帮助我们更好地理解函数的性质和行为。
在本文中，我们将详细探讨函数的凹凸性以及如何确定函数的拐点。
一、函数的凹凸性函数的凹凸性描述了函数曲线的弯曲程度。
具体而言，我们可以通过观察函数的二阶导数来确定函数是凹还是凸。
1. 凹函数：如果函数的二阶导数在定义域内恒小于等于零，则该函数被称为凹函数。
凹函数的图像呈现出一种向下的弯曲形状。
举例来说，考虑函数f(x)，它在定义域内处处可导。
我们可以检查函数的二阶导数f''(x)是否小于等于零。
如果f''(x) <= 0对于所有x都成立，则函数f(x)是一个凹函数。
2. 凸函数：与凹函数相反，如果函数的二阶导数在定义域内恒大于等于零，则该函数被称为凸函数。
凸函数的图像呈现出一种向上的弯曲形状。
举例来说，考虑函数g(x)，它在定义域内处处可导。
我们可以检查函数的二阶导数g''(x)是否大于等于零。
如果g''(x) >= 0对于所有x都成立，则函数g(x)是一个凸函数。
请注意，如果函数的二阶导数既不小于等于零也不大于等于零，那么该函数既不是凹函数也不是凸函数。
二、函数的拐点拐点是函数曲线上的一个特殊点，它代表了函数从凹转为凸或从凸转为凹的位置。
通过找到函数的拐点，我们可以进一步了解函数的曲线的形状。
1. 拐点的判定要确定函数的拐点，我们需要观察函数的二阶导数的变化情况。
首先，我们找到函数f(x)在定义域内的所有驻点，即一阶导数f'(x)等于零的点。
然后，我们计算这些驻点对应的二阶导数f''(x)的值。
- 如果二阶导数f''(x)在某个驻点x处由负转正，那么该点就是函数的拐点。
- 如果二阶导数f''(x)在某个驻点x处由正转负，那么该点也是函数的拐点。
需要注意的是，函数的拐点并不一定都存在。
微分学中函数的凹凸性与拐点
微分学中函数的凹凸性与拐点微分学是数学中一个重要的分支，通过研究函数的变化率和曲线的特征，可以帮助我们更好地理解数学和物理问题。
其中，函数的凹凸性和拐点是微分学中的两个重要概念，它们可以帮助我们分析函数的性质和图像的特点。
一、函数的凹凸性函数的凹凸性表示的是函数曲线的弯曲程度。
具体来说，若函数$y=f(x)$在区间$I$上连续且在$I$上有可导的二阶导数，则函数$f(x)$在该区间的凹凸性可通过二阶导数的正负性进行判断。
1. 凹函数与凸函数函数$f(x)$在区间$I$上是凹函数，当且仅当对于区间$I$上的任意两个不同的实数$x_1,x_2$以及介于它们之间的任意实数$t \in (0,1)$，有以下不等式成立：$$f(tx_1 + (1-t)x_2) \ge tf(x_1) + (1-t)f(x_2)$$即曲线的下方比直线连接处更低。
而函数$f(x)$在区间$I$上是凸函数，则是指对于区间$I$上的任意两个不同的实数$x_1,x_2$以及介于它们之间的任意实数$t \in (0,1)$，有以下不等式成立：$$f(tx_1 + (1-t)x_2) \le tf(x_1) + (1-t)f(x_2)$$即曲线的下方比直线连接处更高。
2. 判定凹凸性的方法通过计算函数的二阶导数可以判断函数的凹凸性。
若函数$f(x)$在区间$I$上连续并且两阶可导，且对于区间$I$上任意$x$，有$f''(x)>0$，则函数$f(x)$在区间$I$上是凹的；若对于区间$I$上任意$x$，有$f''(x)<0$，则函数$f(x)$在区间$I$上是凸的。
二、函数的拐点函数的拐点是指函数曲线由凸转为凹，或由凹转为凸的点。
具体来说，若函数$y=f(x)$在区间$I$上连续且在$I$上有可导的二阶导数，则函数$f(x)$在该区间的拐点可以通过二阶导数的变号来判断。
1. 判定拐点的方法通过计算函数的二阶导数的符号变化可以判断函数的拐点。
高数课件14凹凸性
凹凸性与光滑性 的应用：在优化 问题、微分方程 等领域有广泛应 用
凹凸性与函数的单调性
凹凸性：函数在某点处的二阶导数符号决定了该点的凹凸性
单调性：函数在某点处的一阶导数符号决定了该点的单调性
凹凸性与单调性的关系：凹凸性与单调性是函数在某点处的二阶导数和一阶导数的符号决定的
凹凸性与单调性的应用：在解决实际问题时，可以利用凹凸性与单调性来判断函数的极值和拐 点
利用极限判断： 如果极限存在且 大于0，则为凹 函数；如果极限 存在且小于0， 则为凸函数。
03
凹凸性的性质
凹凸函数的性质
01 02
03 04
05 06
凸函数：对于任意x1, x2, y1, y2，若x1 < x2，则f(x1) < f(x2) 凹函数：对于任意x1, x2, y1, y2，若x1 < x2，则f(x1) > f(x2) 凸函数的二阶导数大于等于0
正二阶导数：函数在该点处 为凸函数
负二阶导数：函数在该点处 为凹函数
注意事项：凹凸性判定法只 适用于二阶可导的函数
06
凹凸性的扩展知识
凹凸性的连续性和可微性
凹凸性的连续性：凹凸性是函数 在某点附近的局部性质，与函数 的连续性无关
凹凸性的可导性：凹凸性是函数 在某点附近的局部性质，与函数 的可导性无关
凹凸性与函数极值的关系
凹凸性是函数在某点附近的性质，与函数在该点的极值有关 凸函数在极小值点处具有凹性，凹函数在极大值点处具有凸性 凸函数的极小值点处，其导数大于等于0 凹函数的极大值点处，其导数小于等于0 凸函数的极小值点处，其二阶导数大于等于0 凹函数的极大值点处，其二阶导数小于等于0
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12第12讲 函数的凹凸性
第十二讲 函数的凹凸性一、 曲线的凹凸性：1、 定义：()()(,)f x f x a b 在(a,b)任意一点的切线都在曲线的下方，则称在内为凹函数。
()()(,)f x f x a b 在(a,b)任意一点的切线都在曲线的上方，则称在内为凸函数。
2、 凹凸性的判断：(,)''()0,''()0,a b fx f x ><在内，函数是凹的，函数是凸的。
图1 凹函数图2 凸函数注意：【拐点：二阶导数为零的点；驻点：一阶导数为零的点】例1：2x y e-=求的凹凸区间和拐点？解：222'2;''(42),2x x y xe y x ey --=-=-⋅=±1122()(,)()(()(),()22f x fx f x e e ---∞+∞-凹区间：凸区间：的拐点： 例2：2y 求的凹凸区间和拐点？解：253312'(4),''(4),4,''39y x y x x y --=-=--=不存在()()(4,)()(4,2)f x f x f x +∞凸区间：的拐点： 二、曲线的水平与垂直渐近线1、 水平渐近线：lim (),()x f x a f x a →∞==则为函数的水平渐近线2、 垂直渐近线：00lim (),x x f x x x →=∞=则为函数的垂直渐近线3、 定义：00lim (),()()lim (),()x x x f x b f x b f x f x x x f x →∞→===∞=若则是的水平渐近线，若则为的垂直渐近线例1：212(3)y x =+-求的水平和垂直渐近线？ 解：22311lim2=22lim 2,3(3)(3)x x y x x x →∞→+=+=∞=--，为水平渐近线；是垂直渐近线例2：2x y e -=求的水平和垂直渐近线？解：2lim 0,0x x ey -→∞==为水平渐近线；例3：1y x x=+求的水平和垂直渐近线？解：01lim =0x x x x→+∞=，为垂直渐近线 三、 函数的性态研究1、 步骤：（1）、求定义域；（2）、求水平、垂直渐近线；（3）、f ‘(x)、f ‘’(x),求出f ‘ , f ‘’ 为零或不存在的点，从小到大划分定义域为若干小区间； （4）、列表 2、 举例：例1：332yx x =--求的增减区间、极值、凹凸区间，拐点？解：（1）、(,)-∞+∞定义域为；（2）、没有渐近线； （3）、2'33,''6,0(),1,1y x y xy y y =-===-=拐点（驻点）（驻点）； （4）、列表如下：()(,1)(1,+)()(1,0)(0,1)()(,1)(1,0)()(0,1)(1,+)(1)0,(1)4f x f x f x f x f f -∞-∞--∞--∞-==-单增区间：，单减区间：，凸区间：，凹区间：，极大值极小值拐点为(0,-2)函数图像如下：例2：2361(3)xy x =++的单调区间，极值，凹凸区间，拐点？ 解：（1）、定义域3x ≠-；（2）、22-33636lim11,1lim1=-,3(3)(3)x x x x y x x x →∞→+==+∞=-++为水平渐近线；为垂直渐近线（3）、3436(3)72(6)','',3()3(6()(3)(3)x x y y x x x x x ---====-=++驻点，没定义)，拐点（4）、列表如下：()(3,3)()(,3)(3,6),(6,)()(,3)(3,3)(3,6)()(6,+)(3)4113f x f x f x f x f --∞-+∞-∞--∞=单增区间：单减区间：，凸区间：，，凹区间：极大值拐点为(6,)函数图像如下：。
函数凹凸性及其应用(new新)[1].
![函数凹凸性及其应用(new新)[1].](https://img.taocdn.com/s3/m/4654ac04bd64783e08122b26.png)
函数凹凸性及其应用学生：邱雷指导老师：马新淮南师范学院数学系摘要：凹凸函数是一类比较重要的函数，在数学规划中有着广泛的应用，考虑到凹凸函数与连续性、可导性之间的联系及凹凸函数在不等式证明方面的作用和意义，本文给出了凹凸函数的多种不同定义，并讨论了它们之间的等价性及凹凸函数有关性质和它在不等式方面的相应应用。
Jensen不等式是凸函数的一个重要不等式，本文以Jensen不等式为基础不等式，并以此推出它的三个推论，这三个推论都具有广泛地应用价值,用这三个推论来推证几个重要的不等式.Abstract：Concave-convex function is an important kind of function and it is widely used in mathematic programming. Considering the relationship between continuity and derivative of concave-convex function and their importance of application in proof of some inequalities, several kinds of equal definitions of concave-convex function are given in this paper. Their equality, some relative characters and their application in equalities are also discussed. Jensen inequality is an important kind of convex function, We get three corollaries of Jensen inequality in this paper. The three corollaries all have extensive applications. Meanwhile, we provide new proofs of some significant inequalities with the three corollaries.关键词：凹函数；凸函数；Jensen不等式Key words: concave function; convex function ; Jensen inequality引言：在高等数学中，利用导数讨论函数的性态时，经常遇到一类特殊的函数——凹凸函数，由于凹凸函数具有一些特殊的性质，利用这些性质可以非常简单地证明一些初等不等式、函数不等式和积分不等式，本文试就凹凸函数的性质、等价定义和在证明不等式中的应用等问题作初步探讨。
经济学中的函数的凹凸性拟凹拟凸
经济学中函数的凸凹性质问题在现代经济学的讨论中，我们经常遇到凸函数、凹函数以及拟凹函数、拟凸函数等概念，例如生产可能性边界曲线是凹函数，无差异曲线是凸函数等等，但是这些数学名词对于非专业人员来说比较抽象，有的文章或教材采取形象的说法，比如说曲线凸向原点或凹向原点、图形是凸的、上凸函数、下凸函数等等，这样一来，就将严谨的数学概念搞的不伦不类，有的教科书甚至错误地定义了凸性和凹性。
一、关于凸函数与凹函数凹性，凸性，它们都是在凸集范围内定义的，是关于凸集的性质，一个集合中任意两点之间的连线也在该集合中，这样的集合称为凸集合，常用D来表示。
凸和凹具有如下性质：凸性：f（tx+（1-t）y）<= tf(x) +(1-t)f(y) 标准的凸函数是开口向上的。
凹性f（tx+（1-t）y）>= tf(x) +(1-t)f(y) 凹函数是开口向下的D是f(.)的定义域的一个凸子集。
若任意的x, y∈D, λ∈[0, 1]：f(λx+(1-λ)y)≥λf(x)+(1-λ)f(y)，则称f(.)在D上是凹函数（“凸组合的函数值不小于函数值的凸组合”）在n 维空间的凸区域内，(x1, x2,..... Xn)中的两点X=(x1，x2, .........xn ),Y=(y1, y2,.......yn ),设0<λ<1，如果：f [λx1+(1-λ)y1, λx2+(1-λ)y2,......λxn+(1-λ)yn] <= λf (x1, x2,......xn) + (1-λ) f (y1,y2, ......yn )则称函数f(X)在n维区域内是凸函数；同理，如果：f [λx1+(1-λ)y1, λx2+(1-λ)y2,......λxn+(1-λ)yn] >= λf (x1, x2,......xn) + (1-λ) f (y1,y2, ......yn )则称函数f(X)在n维区域内是凹函数；n维空间不易理解，举个简单例子：若f(x)在(a,b)有定义，在定义域内取x1,x2，非负数q1,q2，q1+q2=1 ，有f(q1x1+q2x2)<=q1f(x1)+q2f(x2)则f(x)在(a,b)内为凸函数。
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凹凸函数的性质
李联忠1
文丽琼2
1 营山中学 四川营山 637700 2营山骆市中学 四川营山 638150
摘要：若函数f(x)为凹函数，则n
f f f n f x x x x x
x n n )
()()()(
212
1+++≤
+++
若函数f(x)为凸函数，则n
f f f n
f x x x x x x n n )
()()()(
212
1
+++≥+++
从而使一些重要不等式的证明更简明。
中图分类号： 文献标识号： 文章编号：
高二数学不等式，教材上只要求学生掌握两个数的均值不等式，教材上的阅读材料中，证明了三个数的均值不等式，从而推广到多个数的情形。
学有余力的学生，会去证多个数的情形。
仿照书上去证，几乎不可能。
下面介绍凹凸函数的性质，并用来证明之，较简便易行。
凹函数定义 若函数f(x)上每一点的切线都在函数图像的下方，则函数f(x)叫做凹函数。
如图（一）
凸函数定义 若函数f(x)上每一点的切线都在函数图像的上方，则函数f(x)叫做凸函数。
如图（二）
性质定理 若函数f(x)是凹函数，则 n
f f f n
f x x x x x x n n
)
()()()(2121
+++≤
+++
若函数f(x)是凸函数，则 n
f f f n
f x x x x x x n n
)
()()()(2121
+++≥
+++
证明：若函数f(x)是凹函数，如下图
点P （
)(
,2
1
2
1
n
f n
x x x x x x n n ++++++ ）在f(x)上
设过P 点的切线方程为：y=ax+b 则
b n
a n
f x x
x x x x n n
++++⋅
=+++ 2
1
21
)( （1）
∵f(x) 是凹函数，切线在函数图像下方
∴b a f x x +≥11)(;b a f x x +≥22)(;…;b a f x x n n +≥)( ∴
b n
a n
f f f x x
x x x x n n ++++⋅
≥+++ 2
1
21)
()()( (2)
由（1），（2）得
n
f f f n
f x x x x x x n n )
()()()(
212
1
+++≤
+++
若函数f(x)为凸函数，如下图
点P （
)(
,2
1
2
1
n
f n
x x x x x x n n ++++++ ）在f(x)上
设过P 点的切线方程为：y=ax+b 则
b n
a n
f x x
x x x x n n
++++⋅
=+++ 2
1
21
)( （1）
∵f(x) 是凸函数，切线在函数图像上方
∴b a f x x +≤11)(;b a f x x +≤22)(;…;b a f x x n n +≤)( ∴
b n
a n
f f f x x x x x x n n ++++⋅
≤+++ 2
1
21)
()()( (2)
由（1），（2）得
n
f f f n
f x x x x x x n n
)
()()()(2121
+++≥
+++
定理证明过程要结合图像形象理解，也便于掌握。
下面证明均值不等式和高
斯不等式。
均值不等式：
n
n n x x
x x x
x n
⋅⋅⋅≥+++ 2
1
2
1
（0,,,21＞x x x n ）
证明：∵ y=lgx 是凸函数
∴n
n
x x x x x x n n )
lg()lg()lg()lg(
212
1
+++≥
+++
∴n
n n
x x
x x x x n ⋅⋅⋅≥+++ 2
1
21
lg )lg( 即
n
n n x x
x x x
x n
⋅⋅⋅≥+++ 2
1
2
1
（0,,,21＞x x x n ）
高斯不等式：x
x
x x x x n
n
n
1
1
1
2
1
212
+
++
≤
+++ （0,,,21＞x x x n ）
证明：∵ x
y 1
=
(x>0)是凹函数 ∴
n
n
x
x
x x x
x n
n 1
1
1
)1
2
1
2
1
(+++
≤
+++ ／ 即
x
x
x x x x n
n
n
1
1
1
2
1
212
+
++
≤
+++ （0,,,21＞x x x n ）
以上两个不等式的证明，非常简明，下面再举几个性质定理应用的例子。
例1 A 、B 、C 为三角形三内角，求证sinA+sinB+sinC ≤
2
3
3 证明：∵A 、B 、C 为三角形三内角 ∴A+B+C=π A>0 B>0 C>0 又∵ y=sinx (0<x<π)是凸函数
∴
3
sin
3sin sin sin C
B A
C B A ++≤++ ∴3
sin 3sin sin sin π
≤++C B A 即
SinA+sinB+sinC ≤
2
3
3 例2 求证n
n x x x n
x x x n
222
2
1
2
)(21+++≤
+++ 证明：∵ x y 2
= 为凹函数
∴n
n x x x n
x x x n
222
2
1
2
)(21+++≤
+++ 例3 求证n
n x x x n
x x x k n
k k
k
222
21
2)(21+++≤
+++ （k ∈N +） 证明：∵ x k
y 2= （k ∈N +）为凹函数
∴n
n x x x n
x x x k n
k k k
222
21
2)(21+++≤
+++ 通过以上例子，可以看出，关键在于找到合适的凹函数或凸函数，再用性质定理，问题可得解决。
（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。
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