凹凸函数的性质
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凹凸函数的性质
李联忠1
文丽琼2
1 营山中学 四川营山 637700 2营山骆市中学 四川营山 638150
摘要：若函数f(x)为凹函数，则n
f f f n f x x x x x
x n n )
()()()(
212
1+++≤
+++
若函数f(x)为凸函数，则n
f f f n
f x x x x x x n n )
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212
1
+++≥+++
从而使一些重要不等式的证明更简明。
中图分类号： 文献标识号： 文章编号：
高二数学不等式，教材上只要求学生掌握两个数的均值不等式，教材上的阅读材料中，证明了三个数的均值不等式，从而推广到多个数的情形。学有余力的学生，会去证多个数的情形。仿照书上去证，几乎不可能。下面介绍凹凸函数的性质，并用来证明之，较简便易行。
凹函数定义 若函数f(x)上每一点的切线都在函数图像的下方，则函数f(x)叫做凹函数。如图（一）
凸函数定义 若函数f(x)上每一点的切线都在函数图像的上方，则函数f(x)叫做凸函数。如图（二）
性质定理 若函数f(x)是凹函数，则 n
f f f n
f x x x x x x n n
)
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+++≤
+++
若函数f(x)是凸函数，则 n
f f f n
f x x x x x x n n
)
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+++≥
+++
证明：若函数f(x)是凹函数，如下图
点P （
)(
,2
1
2
1
n
f n
x x x x x x n n ++++++ ）在f(x)上
设过P 点的切线方程为：y=ax+b 则
b n
a n
f x x
x x x x n n
++++⋅
=+++ 2
1
21
)( （1）
∵f(x) 是凹函数，切线在函数图像下方
∴b a f x x +≥11)(;b a f x x +≥22)(;…;b a f x x n n +≥)( ∴
b n
a n
f f f x x
x x x x n n ++++⋅
≥+++ 2
1
21)
()()( (2)
由（1），（2）得
n
f f f n
f x x x x x x n n )
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212
1
+++≤
+++
若函数f(x)为凸函数，如下图
点P （
)(
,2
1
2
1
n
f n
x x x x x x n n ++++++ ）在f(x)上
设过P 点的切线方程为：y=ax+b 则
b n
a n
f x x
x x x x n n
++++⋅
=+++ 2
1
21
)( （1）
∵f(x) 是凸函数，切线在函数图像上方
∴b a f x x +≤11)(;b a f x x +≤22)(;…;b a f x x n n +≤)( ∴
b n
a n
f f f x x x x x x n n ++++⋅
≤+++ 2
1
21)
()()( (2)
由（1），（2）得
n
f f f n
f x x x x x x n n
)
()()()(2121
+++≥
+++
定理证明过程要结合图像形象理解，也便于掌握。下面证明均值不等式和高
斯不等式。
均值不等式：
n
n n x x
x x x
x n
⋅⋅⋅≥+++ 2
1
2
1
（0,,,21＞x x x n ）
证明：∵ y=lgx 是凸函数
∴n
n
x x x x x x n n )
lg()lg()lg()lg(
212
1
+++≥
+++
∴n
n n
x x
x x x x n ⋅⋅⋅≥+++ 2
1
21
lg )lg( 即
n
n n x x
x x x
x n
⋅⋅⋅≥+++ 2
1
2
1
（0,,,21＞x x x n ）
高斯不等式：x
x
x x x x n
n
n
1
1
1
2
1
212
+
++
≤
+++ （0,,,21＞x x x n ）
证明：∵ x
y 1
=
(x>0)是凹函数 ∴
n
n
x
x
x x x
x n
n 1
1
1
)1
2
1
2
1
(+++
≤
+++ ／ 即
x
x
x x x x n
n
n
1
1
1
2
1
212
+
++
≤
+++ （0,,,21＞x x x n ）
以上两个不等式的证明，非常简明，下面再举几个性质定理应用的例子。 例1 A 、B 、C 为三角形三内角，求证sinA+sinB+sinC ≤
2
3
3 证明：∵A 、B 、C 为三角形三内角 ∴A+B+C=π A>0 B>0 C>0 又∵ y=sinx (0