2020届高三文科数学 大题精练 14套 含答案

5− −
3 2
3+
t
1 2
t
（t
为参数），圆 C
的极坐标方程为
ρ
=
4
cos θ
−
π 3
.
（1）求直线 l 的倾斜角和圆 C 的直角坐标方程；
（2）若点 P(x, y) 在圆 C 上，求 x + 3 y 的取值范围.
23．选修 4－5：不等式选讲
已知函数 f (x) = x − 7 + x +1 . （1）求不等式 2x < f (x) < 10 的解集； （2）设[x] 表示不大于 x 的最大整数，若[ f (x)] ≤ 9 对 x ∈[a, a + 9] 恒成立，求 a 的取值范围.
（1）证明： PB ⊥ 平面 PEC ； （2）若 M 为 PB 的中点， N 为 PC 的中点，求三棱锥 M − CDN 的体积.
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20.已知过圆 C1
：
x2
+
y2
=1
上一点
E
1 2
,
3 2 的切线，交坐标轴于 A 、 B 两点，且 A 、 B 恰好分别为椭
圆 C2 ：
（1）求 u(x) 的最小值；
（2）证明：
f
(x)
存在唯一极大值点
x0 ，且
f
( x0 )
<
1 4
.
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22．选修 4-4：坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位.
已知直线
l
的参数方程为
x
y
= =
uuur uuuur 【解】（1）因为 AC = 3MC ，所以点 M
源自文库在线段 AC 上，且 AM
= 2CM
，故
S∆BMC S∆BMA
=
CM AM
=
1 2 ，①
记 ∠CBM
=θ
，则 S∆BMC
=
1 2
BC
⋅ BM
⋅ sin θ
， S∆BMA
=
1 2
AB ⋅ BM
⋅ sin 2θ
.
因为 sin ( A + B) = 2 sin A ，即 sin C = 2 sin A ，即 AB = 2BC ，
表 1：男生
时长
[0, 5)
[5,10)
[10,15)
[15, 20)
[20, 25) [25,30]
人数
2
8
16
8
4
2
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表 2：女生
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时长 [0, 5)
[5,10)
[10,15)
[15, 20)
[20, 25) [25,30]
人数
0
4
12
12
8
4
（1）从每周运动时长不小于 20 小时的男生中随机选取 2 人，求选到“运动达人”的概率；
（2）根据题目条件，完成下面 2 × 2 列联表，并判断能否有 99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格 者”与性别有关.
每周运动的时长小于 15 小时 每周运动的时长不小于 15 小时 总计
男生
女生
总计
参考公式： K2 =
n(ad −bc)2
，其中 n = a + b + c + d .
(a +b)(c + d)(a + c)(b + d)
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2020 届高三数学（文）“大题精练”1（答案解析）
17.已知 ∆ABC 中，角 A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ，sin ( A + B) =
uuuv uuuuv 2 sin A ，b = 5 ，AC = 3MC ，
∠ABM = 2∠CBM .
（1）求 ∠ABC 的大小；（2）求 ∆ABC 的面积.
参考数据：
( ) P K 2 ≥ k0
0.40
0.25
0.10
0.010
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k0
0.708 1.323 2.706
6.635
19.在矩形 ABCD 中， AB = 1, BC = 2 ， E 为 AD 的中点，如图 1，将△ABE 沿 BE 折起，使得点 A 到达 点 P 的位置（如图 2），且平面 PBE ⊥ 平面 BCDE
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
>b
> 0) 的上顶点和右顶点.
（1）求椭圆 C2 的方程；
（2）已知 P 为椭圆的左顶点，过点 P 作直线 PM 、 PN 分别交椭圆于 M 、 N 两点，若直线 MN 过定点
Q (−1, 0) ，求证： PM ⊥ PN .
21.已知函数 u( x) = ex − x − 1，且 f (x) = ex ⋅ u(x) .
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长（单位：小时），按照[0, 5), [5,10), [10,15), [15, 20), [20, 25), [25,30]共 6 组进行统计，得到男生、女
生每周运动的时长的统计如下（表 1、2），规定每周运动 15 小时以上（含 15 小时）的称为“运动合格者”， 其中每周运动 25 小时以上（含 25 小时）的称为“运动达人”.
18.某高校健康社团为调查本校大学生每周运动的时长，随机选取了 80 名学生，调查他们每周运动的总时
长（单位：小时），按照[0, 5), [5,10), [10,15), [15, 20), [20, 25), [25,30]共 6 组进行统计，得到男生、女
生每周运动的时长的统计如下（表 1、2），规定每周运动 15 小时以上（含 15 小时）的称为“运动合格者”， 其中每周运动 25 小时以上（含 25 小时）的称为“运动达人”.
结合①式，得
S∆BMC S∆BMA
=
BC ⋅ BM sinθ
=
2BC ⋅ BM ⋅ 2 sinθ cosθ 2
1 2 cosθ
=
1 2 ，可得 cosθ
=
2. 2
因为θ ∈(0,π ) ，所以θ = π ，所以 ∠ABC = 3θ = 3π ；
4
4
（2）在 ∆ABC 中，由余弦定理可得 b2 = a2 + c2 − 2ac cos ∠ABC ，
( ) ( ) 即 25 = a2 +
2
2a + 2a ⋅
2a ⋅ 2 ，解得 a = 5 .
2
故 S∆ABC
=
1 2
ac sin ∠ABC
=
1 2
⋅a⋅
2a ⋅ sin 3π
=
5
.
42
18.某高校健康社团为调查本校大学生每周运动的时长，随机选取了 80 名学生，调查他们每周运动的总时
6
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2020 届高三数学（文）“大题精练”1
旗开得胜
17.已知 ∆ABC 中，角 A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ，sin ( A + B) =
uuuv uuuuv 2 sin A ，b = 5 ，AC = 3MC ，
∠ABM = 2∠CBM .
（1）求 ∠ABC 的大小；（2）求 ∆ABC 的面积.