用构造局部不等式法证明不等式

用构造局部不等式法证明不等式

有些不等式的证明，若从整体上考虑难以下手，可构造若干个结构完全相同的局部不等式，逐一证明后，再利用同向不等式相加的性质，即可得证。

例1. 若a b R ，∈*，a b +=2，求证：212123a b +++≤

分析：由a ，b 在已知条件中的对称性可知，只有当a b ==1，即213a +=时，等号才能成立，所以可构造局部不等式。 证明：213321333213233

2a a a a +=+≤++=+···()() 同理，2133

2b b +≤+() ∴212133233223a b a b +++≤

+++=()()

例2. 设x x x n 12，，…，是n 个正数，求证：x x x x x x x x x x n n n 1222231221

12++++≥+-… ++…x n 。

证明：题中这些正数的对称性，只有当x x x n 12===…时，等号才成立，构造局部不等式如下： x x x x x x x x x x x x x x x x n n n n n n 122212233212121

12222+≥+≥+≥+≥--，，…，，。 将上述n 个同向不等式相加，并整理得：

x x x x x x x x x x x n n n n 1222231221

12++++≥+++-……。

例3. 已知a a a n 12，，…，均为正数，且a a a n 121+++=…，求证：

a a a a a a a a a n n 121222232112

++++++≥…。

证明：因a a a n 12，，…，均为正数，故a a a a a a 12121214

+++≥， a a a a a a a a a a a a n n n n 222323221144

+++≥+++≥，…，。 又∵a a a a a a a a a n n 12231124441212

++++++=+++=……()， ∴把以上各个同向不等式相加，整理得：

a a a a a a a a a a a a n n n 12122223211212

1+++++++≥+++=…… 故a a a a a a a a a n n 121222232112

++++++≥…。

例4. 设a b c R ，，∈*，且abc =1，求证：

111333a b c b c a c a b ()()()+++++≥32。 （第36届IMO ）

证明：由a ，b ，c 在条件中的对称性知，只有当a b c ===1时，才有可能达到最小值32，此时刚好1412

3a b c b c bc ()+=+=。所以，可构造如下局部不等式。 ∵14214133a b c b c bc a bc a

()+++≥=， 14214133b a c a c ac b ac b

()+++≥=， 14214133c a b a b ab c ab

c ()+++≥=， ∴

11111114333a b c b c a c a b a b c b c bc a c ac a b ab ()()()()()+++++≥++-+++++ =++≥=1211132132

3()a b c abc 例5. 设a b c R ，，∈*，且a b c ++=2，求证：a b c b c a c a b

222

1+++++≥。

证明：由a ，b ，c 在条件中的对称性知，只有当a b c ===23

时，才可能达到最小值1，此时刚好a b c b c 24

+=+。所以，可构造如下局部不等式。 ∵a b c b c a b c a c a b c a b a b c 222444

+++≥+++≥+++≥，， ∴a b c b c a c a b a b c a b c 22212

++++++++≥++() 即a b c b c a c a b 222

1+++++≥