flybird工作室：2014高考数学(文)二轮专题升级训练：第19讲 分类讨论思想
专题升级训练分类讨论思想 (时间:60分钟满分:100分) 一、选择题(本大题共6小题,每小题6分,共36分) 1.集合A={x||x|≤4,x∈R},B={x||x-3|0且a≠1)在区间[0,+∞)上是增函数,那么实数a的取值范围是() A. B. C.(1,] D. 6.设0(ax)2的解集中的整数恰有3个,则() A.-10,则a的取值范围是. 8.若函数y=mx2+x+5在[-2,+∞)上是增函数,则m的取值范围是. 9.已知f(x)=log a[(3-a)x-a]是其定义域上的增函数,那么a的取值范围是. 三、解答题(本大题共3小题,共46分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 10.(本小题满分18分)已知集合A={x|10+3x-x2≥0},B={x|m+1≤x≤2m-1},如果A∩B=?,求m的取值范围. 11.(本小题满分18分)已知函数f(x)=x2-ax+(a-1)ln x,a>1.讨论函数f(x)的单调性. 12.(本小题满分16分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为. (1)求椭圆C的方程; (2)设直线l与椭圆C交于A,B两点,坐标原点O到直线l的距离为,求△AOB面积的最大值. ## 一、选择题(本大题共6小题,每小题6分,共36分) 1.B解析:当a≤0时,B=?,满足B?A;
【步步高】高考数学二轮复习 专题八 第3讲分类讨论思想
【步步高】高考数学二轮复习 专题八 第3讲分类讨论思想 (推荐时间：60分钟) 一、填空题 1．不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对于x ∈R 恒成立，那么a 的取值范围是____________． 2．过双曲线2x 2－y 2＝2的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若AB ＝4，则这样的直线有________条． 3．设集合A ＝{x |x 2＋x －12＝0}，集合B ＝{x |kx ＋1＝0}，如果A ∪B ＝A ，则由实数k 组成的集合中所有元素的和与积分别为____________． 4．在△ABC 中，已知A ＝30°，a ＝8，b ＝83，则S △ABC ＝__________. 5．设一双曲线的两条渐近线方程为2x －y ＝0,2x ＋y ＝0，则双曲线的离心率是________． 6．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为____________． 7．设常数a >0，椭圆x 2－a 2＋a 2y 2＝0的长轴长是短轴长的2倍，则a ＝________. 8．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝32，S 3＝92 ，则a 1的值为__________． 9．若函数y ＝mx 2＋x ＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是__________． 10．函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是________． 11．若函数f (x )＝a |x －b |＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数a 、b 的取值范围为________________． 12．若x ∈(1,2)时，不等式(x －1)20，a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，求a 的值． 14.已知函数f (x )＝2a sin 2x －2 3a sin x cos x ＋a ＋b (a ≠0)的定义域是? ?????0，π2，值域是 [－5,1]，求常数a ，b 的值． 15．已知函数f (x )＝－2x 2－x ，求m 、n 的值，使f (x )在区间[m ，n ]上值域为[2m,2n ] (m 0且b ≤0 12．(1,2] 13．解 设t ＝a x ，则y ＝t 2＋2t －1. (1)当a >1时，因为x ∈[－1,1]， 所以t ∈???? ??1a ，a ， 而y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2， 故在t ∈???? ??1a ，a 上，y 单调递增，
第19讲、第20讲 张美玲
第19讲分类讨论思想的四种常见题型 【知识点睛】 分类讨论思想是一种最基本的解决问题的思维策略，是把要研究的数学对象按照标准划分为若干不同的类别，然后逐类进行研究、求解的一种数学解题思想，它是问题不能以同一种方法处理或同一形式来表述、概括时，根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，按照一定的原则或某一确定的标准，在比较的基础上，将对象划分为若干个既有联系又有区别的部分，进行逐类讨论，最后把几类结论汇总，从而得出问题的答案，分类讨论的实质是化繁为简，将一个复杂的问题分为几个简单的问题，分而治之. 【例题精讲】 例已知AD为等腰三角形ABC的腰BC上的高，60 DAB ∠=?，则△ABC中各内角的度数为。 题型1 分类讨论思想在求等腰三角形边长中的应用 1.已知等腰三角形的周长是24cm. （1）腰长是底边长的2倍，求腰长；（2）已知其中一边长为6cm，求其他两边长. 题型2 分类讨论思想在求角度数中的应用2.已知BD，CE是△ABC的高，且直线BD，CE相交所成的角中有一个角为45°，求△BAC的度数.题型3 分类讨论思想在求完全平方式中字母值中的应用 3.二次三项式29 x kx -+是一个完全平方式，求k的值. 题型4 分类讨论思想在求分式方程中字母系数中的应用 4.若关于x的方程122 12(1)(2) m m x x x x + += ---- 无解，求m的值.
第20讲 方程思想在解题中的应用 【知识点睛】 所谓方程思想，就是从分析问题的数量关系入手，通过设定未知数，把问题中已知量与未知量的数量关系转化为方程或方程组等数学模型，然后利用方程的理论或方法，使问题得到解决，用方程思想分析、处理问题，思路清晰，灵活、简便. 1.方程思想的最基本观点一一有几个未知数，列几个独立的方程； 2.方程思想解题的核心——构速方程，建立已知与未知的联系. 用方程思想解题的核心是揭示题目中隐含的等量关系，设未知数、构造方程，建立已知与来知的联系，从而使问题得到解决. 【例题精讲】 例 已知：如图20-1所示，AB 比AC 长2cm ，BC 的垂直平分线交AB 于D ，交BC 于E ，△ACD 的周长是14cm ，求AB 和AC 的长. 应用1 方程思想在求三角形边长中的应用 1.在△ABC 中，AB =AC ，△ABC 的周长为16cm ，AC 边上的中线BD 将△ABC 分成周长差为2cm 的两个三角形，求△ABC 的各边长. 应用2 方程思想在求对称点坐标字母值中的应用 2.已知点()2,1A a b +，()2,2B a b --. （1）若点A ，B 关于x 轴对称，求a ，b ； （2）若点A ，B 关于y 轴对称，求a b +； （3）若点A ，B 关于原点对称，求a b -. 应用3 方程思想在求等腰三角形的角的度数中的应用 3.如图所示，点D 在AC 上，点E 在AB 上，且AB =AC ，BC =BD ，AD =DE =BE ，求∠A 的度数. 图20-1 E C D B A （第3题） B D A C
高三数学第二轮专题讲座复习：分类讨论思想
1 / 4 张喜林制 [选取日期] 高三数学第二轮专题讲座复习：分类讨论思想 高考要求 分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决 分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论 ” 重难点归纳 分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则 分类讨论常见的依据是 1 由概念内涵分类 如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类 2 由公式条件分类 如等比数列的前n 项和公式、极限的计算、圆锥曲线的统一定义中图形的分类等 3 由实际意义分类 如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论 在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论 典型题例示范讲解 例1已知{a n }是首项为2，公比为 2 1的等比数列，S n 为它的前n 项和 （1）用S n 表示S n +1; （2）是否存在自然数c 和k ，使得21>--+c S c S k k 成立 命题意图 本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力 知识依托 解决本题依据不等式的分析法转化，放缩、解简单的分式不等式；数列的基本性质 错解分析 第2问中不等式的等价转化为学生的易错点，不能确定出k k S c S <<-223 技巧与方法 本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型 在探讨第2问的解法时，采取优化结论的策略，并灵活运用分类讨论的思想 即对双参数k ,c 轮流分类讨论，从而获得答案 解 （1）由S n =4(1–n 21），得221)2 11(411+=-=++n n n S S ，(n ∈N *) （2）要使21>--+c S c S k k ，只要0)223(<---k k S c S c 因为4)211(4<-=k k S 所以0212)223 (>-=--k k k S S S ，(k ∈N *)故只要2 3S k –2＜c ＜S k ，（k ∈N *） 因为S k +1＞S k ，(k ∈N *) ①
2020年高考数学二轮复习专题9第3讲分类讨论思想同步练习新人教A版
2020年高考数学二轮复习同步练习：专题9数学思想方法第3讲 分类讨论思想 一、选择题 1 ?集合A={x|| x| w4, x€ R}, B= {x|| x—3|< a, x€ R}，若A? B,那么a 的取值范围是() A. 0w a<1 B. a<1 C. a<1 D. 00时，欲使B? A,贝U ? a w 1.故选B. 3 + a w4 2 2 2 .若方程k—k+^= 1表示双曲线，则它的焦点坐标为() A. ( 2k, 0) , ( —2k, 0) B. (0 , —2k, )(0 , ——2k) C. ( 2|k| , 0) , ( —2| k| , 0) D.由k值确定 ［答案］D ［解析］由(k —4)( k+ 4)>0 得k<— 4 或k>4, 当k< —4时，集点在y轴上；当k>4时，集点在x轴上. 故选D. 3.“直线l在y轴上的截距是它在x轴上的截距的2倍”是“直线l的斜率等于—2” 的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ［答案］B ［解析］若直线I的斜率等于—2，则直线I在y轴上的截距一定是它在x轴上的截距的 2倍；但当直线l在y轴上的截距是它在x轴上的截距的2倍时，其斜率不一定等于一2，因为直线I 可以经过原点，其斜率可以为任意值.所以“直线I在y轴上的截距是它在x轴上的截距的2倍”是“直线l的斜率等于—2”的必要不充分条件. 4 .已知二次函数f(x) = ax2+ 2ax+ 1在区间［—3,2］上的最大值为4,则a等于() 3 A.—3 B.—- 8 ［答案］D
分类讨论思想
分类讨论思想
第三讲分类讨论思想 [思想方法解读]分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略. 1.中学数学中可能引起分类讨论的因素： (1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等. (2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{a n}的前n项和公式等. (3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等. (4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等. (5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的
结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等. 2.进行分类讨论要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论.其中最重要的一条是“不重不漏”. 3.解答分类讨论问题时的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不重不漏、分类互斥(没有重复)；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论. 常考题型精析 题型一由概念、公式、法则、计算性质引起的分类讨论 例1设集合A＝{x∈R|x2＋4x＝0}，B＝{x∈R|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若B?A，求实数a的取值范围.
分类讨论思想
分类讨论思想 一、含义 分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略。 二、常见类型 有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种： 1.由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等。 2.由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等。 3.由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根被开方数为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等。 4.由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类，如角的终边所在的象限，点、线、面的位置关系等。 5.由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法。 6.由实际意义引起的讨论：此类问题常常出现在应用题中。 三、高中数学中相关的知识点 1.绝对值的定义；
1.二次函数对称轴的变化； 2.函数问题中区间的变化； 3.函数图像形状的变化； 4.直线由斜率引起的位置变化； 5.圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化； 6.立体几何中点、线、面的位置变化等。 七、4步解决由概念、法则、公式引起的分类讨论问题 第一步：确定需分类的目标与对象。即确定需要分类的目标，一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标。 第二步：根据公式、定理确定分类标准。运用公式、定理对分类对象进行区分。 第三步：分类解决“分目标”问题。对分类出来的“分目标”分别进行处理。 第四步：汇总“分目标”。将“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理。
浅谈分类讨论思想及其应用
浅谈分类讨论思想及其应用 杨凌高新中学 王旭 2010-1-12 分类讨论思想方法是研究与解决数学问题的重要思想之一,在中学数学应用中十分广泛,本文从分类讨论的原则、分类讨论的步骤及应用环境出发,辅以一定例题,着重分析讨论了分类讨论思想在中学数学中应用的一般原则、方法、技巧及应用环境. 一、 分类讨论思想的概念 由于数学研究对象的属性不同,影响了研究问题的结果,从而对不同属性的对象进行研究的思想；或者由于在研究问题过程中出现了不同情况,从而对不同情况进行分类研究的思想,我们称之为分类讨论思想,其实质是一种逻辑划分的思想.从思维策略上看,它是把要解决的数学问题,分解成可能的各个部分,从而使复杂问题简单化,使“大”问题转化为“小”问题,便于求解.通过正确的分类可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答,做到正确的分类,必须遵循一定的原则,以保证分类科学、统一,不重复、不遗漏,并力求最简. 二、 分类讨论的原则 从某种意义上讲,分类讨论是不得已而为之的事情,通过协调、缓和“矛盾”,达到运用知识合理解决问题的思想方法.那如何进行分类讨论呢？分类讨论必须要遵循一定的原则,才能使分类科学、严谨,从而正确、合理地解题,分类讨论原则有同一性原则、互斥性原则、层次性原则. 1.同一性原则 同一性原则简言之即“不遗漏”,可以通过集合的思想来解释,如果把研究对象看作全集I ,()n i A i 1=是I 的子集,并以此分类,且A 1∪A 2∪…A n =I ,则称这种分类（A 1,A 2…A n ）符合同一性原则.比如,我们若把实数R 分成正实数R +与负实数R ﹣,那这种分类不符合同一性原则,因为R= R +∪R ﹣∪﹛0﹜,则这种分类方法遗漏了零.在下面的例子中来讨论同一性原则的应用： 例1：已知直线l :01sin 4=+-θy x ，求它的斜率及斜率的取值范围、倾斜角的取值范围. 分析：直线l 的方程中y 的系数是θsin ，而θsin 的值域是[]1,1-，θsin 值可取零，但θsin =0时斜率不存在，故视θsin 为研究对象I []1,1-=，{}01=A ，[)(]1,00,12 -=A ， A 1, A 2都是I 的子集，且A 1∪A 2=I ,满足同一性原则,作如下分类讨论：
第二轮第6讲分类讨论思想在解题中的应用doc
第6讲分类讨论思想在解题中的应用 一、知识整合 1. 分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。 2. 所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。 3. 分类原则：分类对象确定，标准统一，不重复，不遗漏，分层次，不越级讨论 4. 分类方法：明确讨论对象，确定对象的全体，确定分类标准，正确进行分类；逐类进行讨论，获取阶段性成果；归纳小结，综合出结论。 5. 含参数问题的分类讨论是常见题型。 6. 注意简化或避免分类讨论。 二、例题分析 例1. 一条直线过点（5, 2），且在x轴，y轴上截距相等，则这直线方程为（ A. x y -7 = 0 B. 2x -5y = 0 C. x y-7=0 或2x-5y=0 D. x y 7 = 0 或2y-5x = 0 分析：设该直线在x轴，y轴上的截距均为a, 2 当a=0时，直线过原点，此时直线方程为y=2x,目卩2x-5y=0 ； 5 当a = 0时，设直线方程为——=1，则求得a = 7，方程为x ■ y - 7 = 0。 a a 例2 MBC中，已知sinA=］，cosB =§，求cosC 2 13 分析：由于C 二二-（A B）. cosC - -cos（A B） - -〔cosAcosB - si nA si nB】 因此，只要根据已知条件，求出cosA，sinB即可得cosC的值。但是由sinA cosA时，是一解还是两解？这一点需经过讨论才能确定，故解本题时要分类讨论。对角A进行分类。 5 0 ◎ 解：；0 :: cosB ，且B为ABC的一个内角? 45 ::: B 90，且sinB = 13 2 若A为锐角，由si nA二丄，得A = 30，此时cosA 3 2 2 若A为钝角，由sin A = 1，得A =150，此时A B 180 212 13
分类讨论思想
分类讨论思想 1. 分类讨论思想的概念。 人们面对比较复杂的问题，有时无法通过统一研究或者整体研究解决，需要把研究的对象按照一定的标准实行分类并逐类实行讨论，再把每一类的结论综合，使问题得到解决，这种解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法。其实质是把问题“分而治之、各个击破、综合归纳”。其分类规则和解题步骤是：（1）根据研究的需要确定同一分类标准；（2）恰当地对研究对象实行分类，分类后的所有子项之间既不能“交叉”也不能“从属”，而且所有子项的外延之和必须与被分类的对象的外延相等，通俗地说就是要做到“既不重复又不遗漏”；（3）逐类逐级实行讨论；（4）综合概括、归纳得出最后结论。 分类讨论既是解决问题的一般的思想方法，适合于各种科学的研究；同时也是数学领域解决问题较常用的思想方法。 2. 分类讨论思想的重要意义。 课程标准在总目标中要求学生能够有条理地思考，这种有条理性的思考就是一种有顺序的、有层次的、全面的、有逻辑性的思考，分类讨论就是具有这些特性的思考方法。所以，分类讨论思想是培养学生有条理地思考和良好数学思维品质的一种重要而有效的方法。无论是解决纯数学问题，还是解决联系实际的问题，都要注意数学原理、公式和方法在一般条件下的适用性和特殊情况下的不适用性，注意分类讨论，从而做到全面地思考和解决问题。 从知识的角度来说，把知识从宏观到微观持续地分类学习，既能够把握全局、又能够由表及里、细致入微，有利于形成比较系统的数学知识结构和构建良好的认知结构。分类讨论思想与集合思想也有比较密切的联系，知识的分类无时不渗透着集合的思想。另外，分类讨论思想还是概率与统计知识的重要基础。 3. 分类讨论思想的具体应用。 分类讨论思想在小学数学的学习中有很多应用，例如从宏观的方面来说，小学数学能够分为数与代数、空间与图形、统计与概率和实践与综合应用四大领域。从比较具体的知识来说，几大领域的知识又有很多分支，例如小学数学中负数成为必学的内容以后，小学数学数的理解范围实际上是在有理数范围内，有理数能够分为整数和分数，整数又能够分为正整数、零和负整数，整数根据它的整除性又能够分为偶数和奇数。正整数又能够分为1、素数和合数。 小学数学中分类讨论思想的应用如下表。
第2讲 绝对值中的分类讨论思想
第2讲 绝对值中的分类讨论思想（1） 【链接方法】 1.若x m =（m ＞0），则x m =±. 2.若a ＞0，则1a a =；若a ＜0，则1a a =-. 3．灵活运用绝对值基本性质: ①222 0;;;a a a a ab a b ===?≥②③④)0(≠=b b a b a ；⑤a b +≤a b +. 4.绝对值的非负性的应用： ①若0a b +=，则0a b ==；②2 0a b +=，则0a b ==. 【挑战例题】 【例1】已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点之间的距离为8，求这两个数. 分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？ 解：设甲数为x ，乙数为y 由题意得：y x 3=， （1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧： 若x 在原点左侧，y 在原点右侧，即 x<0，y>0，则 4y=8 ，所以y=2 ,x= -6 若x 在原点右侧，y 在原点左侧，即 x>0，y<0，则 -4y=8 ，所以y=-2,x=6 （2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧： 若x 、y 在原点左侧，即 x<0，y<0，则 -2y=8 ，所以y=-4,x=-12 若x 、y 在原点右侧，即 x>0，y>0，则 2y=8 ，所以y=4,x=12 【例2】(山东省竞赛题)如果c b a 、、是非零有理数，且0=++c b a ，那么abc abc c c b b a a +++的所有可能的值为( )． A ．0 B ． 1或一l C ．2或一2 D ．0或一2 因为a+b+c=0，所以a 、b 、c 、存在两种情况，即两个正数一个负数和一个正数两个负数。 当两个正数一个负数时a/|a|+b/|b|+c/|c|=1，abc/|abc|=-1， 所以a/|a|+b/|b|+c/|c|+abc/|abc|=0
高中数学复习专题讲座(第39讲)分类讨论思想
题目高中数学复习专题讲座分类讨论思想 高考要求 分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决 分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论 ” 重难点归纳 分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则 分类讨论常见的依据是 1 由概念内涵分类 如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类 2 由公式条件分类 如等比数列的前n 项和公式、极限的计算、圆锥曲线的统一定义中图形的分类等 3 由实际意义分类 如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论 在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论 典型题例示范讲解 例1已知{a n }是首项为2，公比为2 1 的等比数列，S n 为它的前n 项和 （1）用S n 表示S n +1; （2）是否存在自然数c 和k ，使得 21>--+c S c S k k 成立 命题意图 本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力 知识依托 解决本题依据不等式的分析法转化，放缩、解简单的分式不等式；数列的基本性质 错解分析 第2问中不等式的等价转化为学生的易错点，不能确定出 k k S c S <<-22 3 技巧与方法 本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型 在探讨第2问的解法时，采取优化结论的策略，并灵活运用分类讨论的思想 即对双参数k ,c 轮流分类讨论，从而获得答案 解 （1）由S n =4(1– n 21），得
高考数学数学思想的应用情形归纳第19讲分类讨论思想情形之21-25
第19讲：分类讨论思想情形之21-25 【知识要点】 一、数学思想是人对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识过程中被反复运用，带有普遍的指导意义.是建立数学和用数学解决问题的指导思想，而且数学思想是数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一.学生只有领会了数学思想，才能有效地应用知识，形成能力.在我们解决数学问题进行数学思维时，也总是自觉或不自觉地运用数学思想方法. 高中数学解题常用的数学思想有数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想、函数方程思想等. 二、分类讨论的思想是中学数学的基本思想方法，同时也是一种化整为零、各个击破、整合结论的解题策略.在分析和解决数学问题中，运用分类讨论思想可以将问题的条件与结论的因果关系、局部与整体的逻辑关系揭示得一清二楚、十分准确.在解决对象为可变的数量关系和空间图形形式的数学问题中有着广泛和重要的作用.有关分类讨论思想的数学问题贯穿于高中数学的各个部分，形式多样，综合性强，对于培养学生思维的缜密形、条理性、深刻性有着十分重要的作用.因此，分类讨论一直是高考命题的热点之一，也是每年必考的重要数学思想方法之一. 分类讨论思想就是由于某些元素具备不确定性，所以要分类讨论.分类讨论的情形很多，常见的情形见后面的方法讲评. 三、分类讨论一般有四个要素：分类的起因、分类的标准、分类的过程、分类的结果. 四、本讲讲了分类讨论思想情形之21-25, 情形21：把矩形纸片围成圆柱侧面时由于没有说明是哪一个边做底面圆周长所以要分类讨论；情形22：空间几何元素的相对位置关系不确定时分类讨论；情形23：利用直线方程的点斜式斜截式求直线方程时要就斜率是否存在分类讨论；情形24：利用直线方程的截距式求直线方程时要就截距是否为零分类讨论；情形25：圆和圆相切要分圆与圆内切和外切两种情况分类讨论. 【方法讲评】 【例1】用一张长12cm，宽8cm的矩形纸片围成圆柱形的侧面，则这个圆柱的体积是． 【解析】∵侧面展开图是长12cm，宽8cm的矩形， 若圆柱的底面周长为12cm，则底面半径 6 R cm π =，8 h cm =，此时圆柱的体积23 288 V R h cm π π == 若圆柱的底面周长为8cm，则底面半径 4 R cm π =，12 h cm =，此时圆柱的体积23 192 V R h cm π π == 故填192 π 或 288 π ． 【点评】（1）本题由于没有说明是以哪一个边作为底面圆的周长，所以要分类讨论.（2）本题应该求出分别以12cm，8cm为圆柱的底面圆周的底面圆的周长，然后求出圆柱的体积即可．数学问题的研究，要严
第3讲 分类讨论、转化与化归思想
第3讲 分类讨论、转化与化归思想 一、分类讨论思想 分类讨论的原则 分类讨论的常见类型 1.不重不漏 2.标准要统一，层次要分明 3.能不分类的要尽量避免，决不无原则的讨论 1.由数学概念而引起的分类讨论 2.由数学运算要求而引起的分类讨论 3.由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论 4.由图形的不确定性而引起的分类讨论 5.由参数的变化而引起的分类讨论 分类与整合的思想是将一个较复杂的数学问题分解成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的策略 应用一 由概念、法则、公式引起的分类讨论 [典型例题] 设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和S n >0(n ＝1，2，3，…)，则q 的取值范围 是________． 【解析】 由{a n }是等比数列，S n >0，可得a 1＝S 1>0，q ≠0，当q ＝1时，S n ＝na 1>0. 当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n ) 1－q >0， 即1－q n 1－q >0(n ＝1，2，3，…)， 则有?????1－q >0，1－q n >0，①或? ????1－q <0，1－q n <0.② 由①得－11. 故q 的取值范围是(－1，0)∪(0，＋∞)． 【答案】 (－1，0)∪(0，＋∞) 本题易忽略对q ＝1的讨论，而直接由a 1(1－q n )1－q >0，得q 的范围，这种解答是不完备的．本 题根据等比数列前n 项和公式的使用就要分q ＝1，S n ＝na 1和q ≠1，S n ＝a 1(1－q n ) 1－q 进行讨论． [对点训练] 1．一条直线过点(5，2)，且在x 轴，y 轴上的截距相等，则这条直线的方程为( )
2012高考数学核心考点复习：第3讲 分类讨论思想1
第3讲 分类讨论思想 1．函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数m 的取值范围为( ) A ．[0，＋∞) B ．(－∞，1] C ． (0,1] D ．(0,1) 2．函数y ＝e |ln x |－|x －1|的图象大致是( ) 3．四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有 ( ) A ．150种 B ．147种 C ．144种 D ．141种 4．两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm,4cm,3cm ，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是( ) A.77cm B ．7 2cm C ．5 5cm D ．10 2cm 5．若圆柱的侧面展开图是边长为4和2的矩形，则圆柱的体积是____________． 6．若log a 23 <1，则a 的取值范围为__________________． 7．与圆x 2＋(y －2)2＝1相切，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为______________．
8．若不等式(－1)n －1(2a －1)0，且x ≠1时，f (x )>ln x x －1＋k x ，求k 的取值范围．
2015届高考数学二轮专题训练：专题八 第3讲 分类讨论思想
第3讲分类讨论思想 1．分类讨论思想是一种重要的数学思想方法．其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度． 2．分类讨论的常见类型 (1)由数学概念引起的分类讨论．有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等． (2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论．有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等． (3)由数学运算要求引起的分类讨论．如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等． (4)由图形的不确定性引起的分类讨论．有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等． (5)由参数的变化引起的分类讨论．某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法． (6)由实际意义引起的讨论．此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用． 3．分类讨论的原则 (1)不重不漏． (2)标准要统一，层次要分明． (3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论． 4．解分类问题的步骤 (1)确定分类讨论的对象，即对哪个变量或参数进行分类讨论． (2)对所讨论的对象进行合理的分类． (3)逐类讨论，即对各类问题详细讨论，逐步解决． (4)归纳总结，将各类情况总结归纳.
分类讨论思想专题
分类讨论思想专题 一、概述 1.定义：数学问题比较复杂时，有时可以分解成若干小问题或一系列步骤进行分类并分别加以讨 论的方法，我们称为分类讨论法或分类讨论思想。 2.关键：明确对象，不重不漏，逐级讨论，综合作答。 二、例题分析 1.分式方程无解的分类讨论问题 例1：（2011武汉）=+=-+-a 349332无解，求x x ax x 解：去分母，得： 2.“一元二次”方程系数的分类讨论问题 例2：已知方程01)12(22=+++x m x m 有实数根，求m 的取值范围。 当02 =m 时，即m=0时，方程为一元一次方程x+1=0，有实数根x=1- 当02≠m 时，方程为一元二次方程，根据有实数根的条件得：，且02 ≠m 综（1）（2）得， 总结：字母系数的取值范围是否要讨论，要看清题目的条件。一般设置问题的方式有两种（1）前置式，即“二次方程”；（2）后置式，即“两实数根”。这都是表明是二次方程，不需要讨论，但切不可忽 1 .6,801a 31-a 21 -31-a 21-21 1-a )3(4)3(3=-==∴=-=-=-=?-=++a a a x x ax x 或者或或由已知）（4 1-m ,0144)12(2 2 ≥≥+=-+=?即m m m 41-≥m
视二次项系数不为零的要求，本题是根据二次项系数是否为零进行讨论的。 3.三角形的形状不定需要分类讨论 例3: 在△ABC 中，∠B ＝25°，AD 是BC 上的高，并且AD BD DC 2=·，则∠BCA 的度数为_____________。 解析：因未指明三角形的形状，故需分类讨论。 如图1，当△ABC 的高在形内时，由 AD BD DC 2 =·， 得△ABD ∽△CAD ，进而可以证明△ABC 为直角三角形。由 ∠B ＝25°。 可知∠BAD ＝65°。所以∠BCA ＝∠BAD ＝65°。 如图2，当高AD 在形外时，此时△ABC 为钝角三角形。 由 AD BD DC 2=·，得△ABD ∽△CAD 所以∠B ＝∠CAD ＝25° ∠BCA ＝∠CAD ＋∠ADC ＝25°＋90°＝115° 4.等腰三角形的分类讨论 例4：若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm 和12cm 两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。 解：已知条件并没有指明哪一部分是9cm ，哪一部分是12cm ，因此，应有两种情形。若设这个等腰三 角形的腰长是x cm ，底边长为y cm ，可得???????=+=+,1221,921y x x x 或??????? =+=+.921,1221y x x x 解得???==,9,6y x 或???==.5,8y x 即当腰长 是6cm 时，底边长是9cm ；当腰长是8cm 时，底边长是5cm 。
