精品高考数学考点突破——集合与常用逻辑用语：集合

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集合与常用逻辑用语高考考点梳理及真题分类解析(2022年高考备考版)

第一章集合与常用逻辑用语（2022年文科数学高考备考版）第一节集合的概念与运算一、高考考点梳理（一）、集合的基本概念1.集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.2.元素与集合的关系是属于或不属于，符号分别为∈和∉.3.集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.4.常用数集的符号：实数集记作R；有理数集记作Q；整数集记作Z；自然数集记作N；正整数集记作*N或N .+A B（四）、集合关系与运算的重要结论1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有个，真子集有-1个.n2n22.传递性：A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C .3.A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ； A ∩B ＝A ⇔A ⊆B .4.∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )；∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B ) . 二、历年高考真题题型分类突破题型一集合的基本概念【例1】（2021全国甲卷）设集合{}{}1,3,5,7,9,27M N x x ==>，则MN =（）A. {}7,9B. {}5,7,9C. {}3,5,7,9D. {}1,3,5,7,9解析：∵7,2N ⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭，∴MN ={}5,7,9，故选：B .【例2】（2020全国Ⅰ卷）已知合集{}2340A x x x =--<，{}4,1,3,5B =-，则A B =（）A.{}4,1-B. {}1,5C. {}3,5D. {}1,3解析：∵{}2340A x x x =--<＝{ x |－1＜ x ＜4}，∴A ∩B ＝{1,3}，故选D . 【例3】（2013全国Ⅰ卷）已知集合A ＝{1,2,3,4}，},|{2A n n x x B ∈==，则=B A ( )．A ．}4,1{B ．}3,2{C ．}16,9{D ．}2,1{ 解析：∵B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }＝{1,4,9,16}，∴A ∩B ＝{1,4}，故选A .题型二集合间的关系【例4】（2021全国乙卷）已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}{}1,2,3,4M N ==，则∁U (M ∪N ) ＝（） A. {}5B. {}1,2C. {}3,4D. {}1,2,3,4解析：由题意可得：{}1,2,3,4MN =，则∁U (M ∪N ) ＝{}5. 故选：A .【例5】（2020全国Ⅲ卷）已知集合{}1,2,3,5,7,11A =，{}|315B x x =<<，则A B中元素的个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 5解析：根据题意，得A ∩B ＝{5,7,11}，故选B .【例6】（2017全国Ⅰ卷）已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则（）．A ．AB =3|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ B ．A B =∅ C ．AB 3|2x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭D ．AB=R解析：由B ={}|320x x ->，得B 3|2x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，因为A ={}|2x x <，所以A B =3|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭，故选A .题型三集合的运算【例7】（2020全国Ⅱ卷）已知集合A={}3,x x x Z <∈，B={}1,x x x Z >∈，则A B =（）A. ∅B. {}3,2,2,3--C. {}2,0,2-D. {}2,2-解析：由以知，得A ＝{x |－3＜ x ＜3，x ∈Z}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞1，x ∈Z}，所以A ∩B ＝{-2,2}，故选D .【例8】（2019全国Ⅰ卷）已知集合U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，A ＝{2，3，4，5}，B ＝{2，3，6，7}，则B ∩∁U A ＝（）．A ．{1，6}B ．{1，7}C ．{6，7}D ．{1，6，7}解析：∵U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，A ＝{2，3，4，5}，B ＝{2，3，6，7}， ∴∁U A ＝{1，6，7}，则B ∩∁U A ＝{6，7}，故选C ．第二节命题及其关系、充分条件与必要条件一、高考考点梳理（一）、命题的定义可以判断真假用文字或符号表述的语句叫做命题。

高中数学知识点集合与逻辑用语知识点推荐

高中数学知识点集合与逻辑用语知识点推荐高中数学知识点：集合与逻辑用语知识点推荐在高中数学的学习中，集合与逻辑用语是非常基础且重要的部分。

它们不仅是后续数学知识的基石，还在日常生活和其他学科中有着广泛的应用。

接下来，让我们一起深入了解这些知识点。

一、集合1、集合的概念集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体。

这些对象称为集合的元素。

比如，“我们班所有同学”就可以构成一个集合。

2、集合的表示方法（1）列举法：将集合中的元素一一列举出来，用大括号括起来。

例如，｛1, 2, 3, 4, 5}。

（2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合。

例如，｛x ｜ x 是小于 10 的正整数}。

3、集合间的关系（1）子集：如果集合 A 中的所有元素都属于集合 B，那么 A 就是B 的子集，记作 A ⊆ B。

（2）真子集：如果 A 是 B 的子集，且 B 中至少有一个元素不属于A，那么 A 就是 B 的真子集，记作 A ⊂ B。

（3）集合相等：如果 A 和 B 包含的元素完全相同，那么 A 和 B 相等，记作 A ＝ B。

4、集合的运算（1）交集：由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合，称为 A 与 B 的交集，记作A ∩ B。

（2）并集：把集合 A 和集合 B 中的所有元素合并在一起组成的集合，称为 A 与 B 的并集，记作 A ∪ B。

（3）补集：设 U 是一个全集，A 是 U 的一个子集，由 U 中所有不属于 A 的元素组成的集合，称为 A 在 U 中的补集，记作∁UA。

二、逻辑用语1、命题可以判断真假的陈述句叫做命题。

命题由题设和结论两部分组成。

例如，“如果两个角是对顶角，那么它们相等”，其中“如果”后面的部分是题设，“那么”后面的部分是结论。

2、四种命题原命题：若 p，则 q。

逆命题：若 q，则 p。

否命题：若¬p，则¬q。

逆否命题：若¬q，则¬p。

高中数学集合与常用逻辑用语知识点总结PPT课件

【注意】（1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题；（2）一个全称量词命题可以包含多个变量；（3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来。如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行”。
2、存在量词与存在量词命题（1）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“图片”表示．【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等；（2）存在量词命题：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题。
2、集合运算中的常用二级结论（1）并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝ B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A. （2）交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B. （3）补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅．∁U(∁UA)＝A；∁U(A∪B)＝ (∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)．
【注意】（1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题；（2）一个存在量词命题可以包含多个变量；（3）有些命题虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在”、“有一个”等特征都是存在量词命题
3、命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“图片”，读作“非p”或p的否定．
知识点5 全称量词与存在量词 1、全称量词与全称量词命题（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“图片”表示．
【注意】（1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定；（2）常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都” （2）全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题．

高中数学第一章集合与常用逻辑用语总结(重点)超详细(带答案)

高中数学第一章集合与常用逻辑用语总结(重点)超详细单选题1、已知集合M={−1,0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N，则P的真子集共有（）A．2个B．3个C．4个D．8个答案：B分析：根据交集运算得集合P，再根据集合P中的元素个数，确定其真子集个数即可.解：∵M={−1,0,1,2,3,4},N={1,3,5}∴P={1，3}，P的真子集是{1},{3},∅共3个.故选：B.2、已知集合A={1,2,3},B={(x,y)|x∈A,y∈A,|x−y∣∈A}中所含元素的个数为（）A．2B．4C．6D．8答案：C分析：根据题意利用列举法写出集合B，即可得出答案.解：因为A={1,2,3}，所以B={(2,1),(3,1),(3,2),(1,2),(1,3),(2,3)},B中含6个元素．故选：C.3、若集合A={x∣|x|≤1,x∈Z}，则A的子集个数为（）A．3B．4C．7D．8答案：D分析：先求得集合A,然后根据子集的个数求解即可.解：A={x∥x∣≤1,x∈Z}={−1,0,1}，则A的子集个数为23=8个，故选：D.4、已知集合M={x|1−a<x<2a}，N=(1,4)，且M⊆N，则实数a的取值范围是（）A．(−∞,2]B．(−∞,0]C．(−∞,13]D．[13,2]答案：C分析：按集合M 是是空集和不是空集求出a 的范围，再求其并集而得解.因M ⊆N ，而ϕ⊆N ，所以M =ϕ时，即2a ≤1−a ，则a ≤13，此时 M ≠ϕ时，M ⊆N ，则{1−a <2a 1−a ≥12a ≤4⇒{a >13a ≤0a ≤2，无解，综上得a ≤13，即实数a 的取值范围是(−∞,13]. 故选：C5、已知集合P ={x|1<x <4}，Q ={x|2<x <3}，则P ∩Q =（）A ．{x|1<x ≤2}B ．{x|2<x <3}C ．{x|3≤x <4}D ．{x|1<x <4}答案：B分析：根据集合交集定义求解.P ∩Q =(1,4)∩(2,3)=(2,3)故选：B小提示：本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.6、已知集合S ={x ∈N|x ≤√5}，T ={x ∈R|x 2=a 2}，且S ∩T ={1}，则S ∪T =（）A ．{1，2}B ．{0，1，2}C ．{-1，0，1，2}D ．{-1，0，1，2，3}答案：C分析：先根据题意求出集合T ，然后根据并集的概念即可求出结果.S ={x ∈N|x ≤√5}={0,1,2}，而S ∩T ={1}，所以1∈T ，则a 2=1，所以T ={x ∈R|x 2=a 2}={−1,1}，则S ∪T ={−1,0,1,2}故选：C.7、设集合A ={x |−2<x <4}，B ={2,3,4,5}，则A ∩B =（）A ．{2}B ．{2,3}C ．{3,4}D ．{2,3,4}答案：B分析：利用交集的定义可求A∩B.由题设有A∩B={2,3}，故选：B .8、下列各式中关系符号运用正确的是（）A．1⊆{0,1,2}B．∅⊄{0,1,2}C．∅⊆{2,0,1}D．{1}∈{0,1,2}答案：C分析：根据元素和集合的关系，集合与集合的关系，空集的性质判断即可.根据元素和集合的关系是属于和不属于，所以选项A错误；根据集合与集合的关系是包含或不包含，所以选项D错误；根据空集是任何集合的子集，所以选项B错误，故选项C正确.故选：C.多选题9、若集合A={x|x=m2+n2,m,n∈Z}，则（）A．1∈A B．2∈A C．3∈A D．4∈A答案：ABD解析：分别令m2+n2等于1,2,3,4，判断m,n是否为整数即可求解.对于选项A：m2+n2=1，存在m=0,n=1或m=1,n=0使得其成立，故选项A正确；对于选项B：m2+n2=2，存在m=1,n=1，使得其成立，故选项B正确；对于选项C：由m2+n2=3，可得m2≤3，n2≤3，若m2=0则n2=3可得n=±√3，n∉z，不成立；若m2=1则n2=2可得n=±√2，n∉z，不成立；若m2=3，可得n2=0，此时m=±√3，m∉z，不成立；同理交换m与n，也不成立，所以不存在m,n为整数使得m2+n2=3成立，故选项C不正确；对于选项D：m2+n2=4，此时存在m=0,n=2或m=2,n=0使得其成立，故选项D正确，故选：ABD.10、已知全集U =R ，集合A ={x|−2≤x ≤7}，B ={x|m +1≤x ≤2m −1}，则使A ⊆∁U B 成立的实数m 的取值范围可以是（）A ．{m|6<m ≤10}B ．{m|−2<m <2}C ．{m|−2<m <−12}D ．{m|5<m ≤8}答案：ABC分析：讨论B =∅和B ≠∅时，计算∁U B ，根据A ⊆∁U B 列不等式，解不等式求得m 的取值范围，再结合选项即可得正确选项.当B =∅时，m +1>2m −1，即m <2，此时∁U B =R ，符合题意，当B ≠∅时，m +1≤2m −1，即m ≥2，由B ={x|m +1≤x ≤2m −1}可得∁U B ={x|x <m +1或x >2m −1}，因为A ⊆∁U B ，所以m +1>7或2m −1<−2，可得m >6或m <−12，因为m ≥2，所以m >6，所以实数m 的取值范围为m <2或m >6，所以选项ABC 正确，选项D 不正确；故选：ABC.11、“不等式x 2−x +m >0在R 上恒成立”的一个充分不必要条件是（）A ．m >14B ．0<m <1C ．m >2D ．m >1 答案：CD解析：先计算已知条件的等价范围，再利用充分条件和必要条件的定义逐一判断即可.因为“不等式x 2−x +m >0在R 上恒成立”，所以等价于二次方程的x 2−x +m =0判别式Δ=1−4m <0，即m >14. 所以A 选项是充要条件，A 不正确；B 选项中，m >14不可推导出0<m <1，B 不正确；C 选项中，m >2可推导m >14，且m >14不可推导m >2，故m >2是m >14的充分不必要条件，故C 正确；D 选项中，m >1可推导m >14，且m >14不可推导m >1，故m >1是m >14的充分不必要条件，故D 正确. 故选：CD.小提示：名师点评本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．12、对任意两个实数a,b ，定义min{a ，b}={a,a ≤b,b,a >b,若f (x )=2−x 2，g (x )=x 2，下列关于函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的说法正确的是（）A ．函数F (x )是偶函数B ．方程F (x )=0有三个解C ．函数F (x )在区间[−1,1]上单调递增D ．函数F (x )有4个单调区间答案：ABD分析：结合题意作出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，进而数形结合求解即可.解：根据函数f (x )=2−x 2与g (x )=x 2，，画出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，如图．由图象可知，函数F (x )=min {f (x ),g (x )}关于y 轴对称，所以A 项正确；函数F (x )的图象与x 轴有三个交点，所以方程F (x )=0有三个解，所以B 项正确；函数F (x )在(−∞,−1]上单调递增，在[−1,0]上单调递减，在上单调递增，在[1,+∞)上单调递减，所以C 项错误，D 项正确．故选：ABD[0,1]13、使a∈R，|a|<4成立的充分不必要条件可以是（）A．a<4B．|a|<3C．−4<a<4D．0<a<3答案：BD分析：根据集合的包含关系，结合各选项一一判断即可.由|a|<4可得a的集合是(−4,4)，A.由(−4,4)⊂≠(−∞,4)，所以a<4是|a|<4成立的一个必要不充分条件；B.由(−3,3)⊂≠(−4,4)，所以|a|<3是|a|<4成立的一个充分不必要条件；C.由(−4,4)=(−4,4)，所以−4<a<4是|a|<4成立的一个充要条件；D.由(0,3)(−4,4)，所以0<a<3是|a|<4成立的一个充分不必要条件；故选：BD.填空题14、已知集合M={m|m=x|x|+y|y|+z|z|+xyz|xyz|，x、y、z为非零实数}，则M的子集个数______答案：8分析：按x、y、z的正负分情况计算m值，求出集合M的元素个数即可得解.因为集合M={m|m=x|x|+y|y|+z|z|+xyz|xyz|，x、y、z为非零实数}，当x、y、z都是正数时，m=4，当x、y、z都是负数时，m=-4，当x、y、z中有一个是正数，另两个是负数时，m=0，当x、y、z中有两个是正数，另一个是负数时，m=0，于是得集合M中的元素有3个，所以M的子集个数是8.所以答案是：815、设P，Q为两个非空实数集合，P中含有0，2两个元素，Q中含有1，6两个元素，定义集合P+Q中的元素是a+b，其中a∈P，b∈Q，则P+Q中元素的个数是_________．答案：4分析：求得P+Q的元素，由此确定正确答案.依题意，0+1=1,0+6=6,2+1=3,2+6=8，所以P+Q共有4个元素.所以答案是：416、已知全集U=Z，定义A⊙B={x|a⋅b,a∈A,b∈B}，若A={1,2,3}，B={−1,0,1}，则∁U(A⊙B)______．答案：{x∈Z||x|≥4}分析：利用集合运算的新定义和补集运算求解.全集U=Z，定义A⊙B={x|a⋅b,a∈A,b∈B}，A={1,2,3}，B={−1,0,1}所以A⊙B={−3,−2,−1,0,1,2,3}，所以∁U(A⊙B)={x||x|≥4,x∈Z}.所以答案是：{x||x|≥4,x∈Z}解答题17、已知集合A={x|(x−a)(x+a+1)≤0}，B={x|x≤3或x≥6}.（1）当a=4时，求A∪B；（2）当a>0时，若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围.答案：（1）A∪B={x|x≤4或x≥6}；（2）(0,3].解析：（1）当a=4时，解出集合A，计算A∪B；（2）由集合法判断充要条件，转化为A⊆B，进行计算.解：（1）当a=4时，由不等式(x−4)(x+5)≤0，得−5≤x≤4，故A={x|−5≤x≤4}，又B={x|x≤3或x≥6}，所以A∪B={x|x≤4或x≥6}.（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，等价于A⊆B，因为a>0，由不等式(x−a)(x+a+1)≤0，得A={x|−a−1≤x≤a}，又B={x|x≤3或x≥6}，要使A⊆B，则a≤3或−a−1≥6，综合可得a的取值范围为(0,3].小提示：名师点评有关充要条件类问题的判断，一般可根据如下规则判断：(1)若p是q的必要不充分条件，则q对应集合是p对应集合的真子集；(2)若p是q的充分不必要条件，则p对应集合是q对应集合的真子集；(3)若p是q的充分必要条件，则p对应集合与q对应集合相等；(4)若p是q的既不充分又不必要条件，q对应集合与p对应集合互不包含．18、已知M＝{x|2≤x≤5}，N＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}．(1)若M⊆N，求实数a的取值范围；(2)若M⊇N，求实数a的取值范围．答案：(1)a∈∅(2)a≤3分析：（1）利用M⊆N，建立不等关系即可求解；（2）利用M⊇N，建立不等关系即可求解，注意当N＝∅时，也成立（1）∵M⊆N，∴{a+1≤22a−1≥5，∴a∈∅；（2）①若N＝∅，即a+1＞2a﹣1，解得a＜2时，满足M⊇N．②若N≠∅，即a≥2时，要使M⊇N成立，则{a+1≥22a−1≤5，解得1≤a≤3，此时2≤a≤3．综上a≤3．。

集合和逻辑用语

集合和逻辑用语
集合和逻辑用语在数学和逻辑学中起着重要的作用，对于描述和分析对象、关系和推理过程非常有用。

下面是一些常见的集合和逻辑用语：
集合：
1. 元素：集合中的个体，表示为 a ∈ A。

2. 子集：一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，表示为
A ⊆ B。

3. 空集：不包含任何元素的集合，表示为∅或 {}。

4. 并集：两个或多个集合的所有元素的集合，表示为A ∪B。

5. 交集：两个或多个集合共有的元素的集合，表示为A ∩ B。

6. 补集：一个集合中不属于另一个集合的元素的集合，表示为
A -
B 或 A\B。

逻辑用语：
1. 命题：陈述句，可以被判断为真或假。

2. 真值：命题的真假状态。

3. 否定：对一个命题的真假状态进行取反。

4. 合取：两个命题同时为真的组合命题，表示为 p ∧ q。

5. 析取：两个命题至少有一个为真的组合命题，表示为 p ∨ q。

6. 蕴含：如果条件 p 成立，则结论 q 也成立的组合命题，表示为p → q。

7. 等价：两个命题具有相同真值的组合命题，表示为p ↔ q。

这些用语被广泛应用于数学、逻辑学、计算机科学等领域，用于描述集合、定义关系、推理和证明等。

高考数学一轮复习知识点大全-集合与常用逻辑用语

第一部分集合与常用逻辑用语1、集合的含义与表示（1）集合的含义：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）．不含任何元素的集合叫空集．元素a 属于集合A 记作a A ∈，元素a 不属于集合A 记作a A ∉．（2）集合中元素的性质：确定性、无序性、互异性.（3）集合的分类：有限集、无限集．特殊的集合有：空集∅，自然数集N ，正整数集N *（或N +），整数集Z ，有理数集Q ，实数集R ，复数集C ．（4）集合的表示：①列举法{,,}a b c ；②特征性质描述法{|()}x I p x ∈．（5）几个特殊的集合：①{(x ，y )|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集.②{(x ，y )|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R }二、四象限的点集.③{(x ，y )|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集.[注]：①方程组的解的集合是点集. 例：方程组⎩⎨⎧=-=+1323y x y x 的解的集合是{(2，1)}. ②点集与数集的交集是∅. 例：A ={(x ，y )| y =x +1},B={y |y =x 2+1},则A ∩B =∅．2、集合间的基本关系（1）子集：如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 就叫做集合B 的子集，记作B A ⊆或B A ⊇．如果集合A 中存在着不是集合B 的元素，则集合A 不包含于B ，记作B A ⊄或．（2）真子集：如果集合A 是集合B 的子集，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的真子集，记作或．（3）维恩图：我们通常用一个封闭曲线的内部表示一个集合，这个区域通常叫做维恩图．（4）集合的相等：如果集合A 的每一个元素都是集合B 的元素，反过来，集合B 的每一个元素也都是集合A 的元素，则称集合A 与集合B 相等，记作A =B ．（5）相关性质：①任何一个集合是它本身的子集，记作：A A ⊆；②空集是任何集合的子集，记作：∅A ⊆；③空集是任何非空集合的真子集；B A ⊇≠A B ⊂B A ⊃≠④如果B A ⊆，同时A B ⊆，那么A =B .⑤如果B A ⊆，C B ⊆，那么C A ⊆.⑥n 个元素的子集有2n 个. 真子集有2n －1个. 非空真子集有2n －2个.3、集合的基本运算（1）交集：由既属于A 又属于B 的元素构成的集合，叫做A 、B 的交集，记作A B ，即有{|}A B x x A x B =∈∧∈．（2）并集：把集合A 、B 中所有元素并在一起构成的集合，叫做A 、B 的并集，记作A B ，即有{|}A B x x A x B =∈∨∈．（3）全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，通常用U 表示．（4）补集：如果A 是全集U 的一个子集，由U 中不属于A 的所有元素构成的集合，叫做A在U 中的补集，记作U C A ，即有{|}U C A x x A x U =∉∧∈．（5）运算性质：①AB B A =，A A A =，A A ∅=∅=∅，A B A B A ⊆⇔=； ②AB B A =，A A A =，A A A ∅=∅=，A B A B B ⊆⇔=； ③U AC A U =，U A C A =∅，()U U C C A A =．④*De Morgan 公式：()U U U C A C B C AB = ()U U UC A C B C A B =[注]: ①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×）②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S =N ；A +=N ，则{}0=A C S ）③ 空集的补集是全集.④若集合A =B ，则=A C B ∅，=B C A ∅，S B C C A S =)( （注：=B C A ∅）.4、常用逻辑用语（1）命题：能判断真假的语句叫做命题，常用小写英文字母表示．正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题．（2）量词与命题：① 短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，用符号∀表示；含有全称量词的命题叫全称命题，用符号简记为：,()x M p x ∀∈．② 短语“有一个”、“有些”、“至少有一个”、“存在”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，用符号∃表示；含有存在量词的命题叫存在性命题，用符号简记为：,()x M q x ∃∈．[注]:要判断全称命题为假，只需举一个反例；要判断存在性命题为真，只需举一个实例．全称命题和存在性命题的否定：①存在性命题 :,().p x M p x ∃∈⇒它的否定为：:,().p x M p x ⌝∀∈⌝②全称命题 :,().q x M q x ∀∈⇒它的否定为：:,().q x M q x ⌝∃∈⌝[注]：含有量词的命题的否定要注意“两否一不变”：否定量词（“任意”与“存在”互变）和结论（p (x )变为p (x )），不否定范围（x M ∈不能变为x M ∉）.（3）常用词语的否定:（4）推出与充要条件:①p q ⇒：p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；②p q ⇔：p 是q 的充分且必要条件，简称充要条件．（5）高考试题中关于集合与常用逻辑用语的考查：关于集合的考查一类是与不等式的知识结合在一起，考查集合的运算；另一类以集合的概念为基本知识，创设新的情境考查考生的阅读理解能力和推理能力，这类题目通常是处在选择题第8题和填空题的第14题的位置及第20题压轴题位置，属于较难题目.关于常用逻辑用语的考查通常是以具体的章节的知识为背景考查，侧重于基本逻辑用语知识的应用，一般情况下试题属于容易题.例1：（2007年北京）已知集合{}1≤-=a x x A ，{}0452≥+-=x x x B ，若φ=B A ，则实数a 的取值范围是． ()3,2例2：已知命题p ：1sin ,≤∈∀x R x ，则（ C ）A.1sin ,:≥∈∃⌝x R x pB. 1sin ,:≥∈∀⌝x R x pC.1sin ,:>∈∃⌝x R x pD. 1sin ,:>∈∀⌝x R x p例3：设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉且1k A +∉，那么k 是A的一个“孤立元”，给定{1,2,3,4,5,6,7,8,}S =，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 6 个.。

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简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词【考点梳理】1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“或”“且”“非”叫做逻辑联结词．(2)命题p∧q，p∨q，p的真假判断p q p∧q p∨q p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“?”表示．(2)全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题．全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”简记为?x∈M，p(x)．(3)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“?”表示．(4)特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题．特称命题“存在M中的一个元素x0，使p(x0)成立”，简记为?x0∈M，p(x0)．3．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定?x∈M，p(x)?x0∈M，p(x0)?x0∈M，p(x0)?x∈M，p(x)【考点突破】考点一、含有逻辑联结词的命题的真假判断【例1】(1)已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若1x>1y，则x<y.在命题①p∧q；②p学习资料精品资料∨q；③p∧(q)；④(p)∨q中，真命题是( ) A．①③B．①④C．②③D．②④(2)设命题p：?x0∈(0，＋∞)，x0＋1x0>3；命题q：?x∈(2，＋∞)，x2>2x，则下列命题为真的是( )A．p∧(q) B．(p)∧qC．p∧q D．(p)∨q[答案] (1)C (2)A[解析] (1)由不等式的性质可知，命题p是真命题，命题q为假命题，故①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③q为真命题，则p∧(q)为真命题；④p为假命题，则(p)∨q为假命题．(2)对于命题p，当x0＝4时，x0＋1x0＝174>3，故命题p为真命题；对于命题q，当x＝4时，24＝42＝16，即?x0∈(2，＋∞)，使得2x0＝x20成立，故命题q为假命题，所以p∧(q)为真命题，故选 A.【类题通法】1.判断含有逻辑联结词命题真假的步骤2.p且q形式是“一假必假，全真才真”，p或q形式是“一真必真，全假才假”，非p 则是“与p的真假相反”．【对点训练】1.已知命题p：a2≥0(a∈R)，命题q：函数f(x)＝x2－x在区间[0，＋∞)上单调递增，则下列命题：①p∨q；②p∧q；③(p)∧(q)；④(p)∨q.其中为假命题的序号为________．学习资料精品资料。

高考数学复习之集合与常用逻辑用语1

综上，所求 n 的最大值为 14.
A＝ A1∪ A2∪ A3∪C，B＝ B1∪ B2∪B3，则 A 和 B
注：对 P14 的分拆方法不是唯一的．
13 设 S 是整数集 Z 的非空子集，如果 ? a，b∈ S，有 ab∈S，则称 S 关于数的乘法是封闭的．若 T， V 是 Z 的两个不相交的非空子集， T∪ V＝ Z ，且 ? a， b， c∈T，有 abc∈ T；
答案： C
16 设全集为 R，函数 f (x)＝ 1－ x2的定义域为 M ，则 ?R M 为
A ． [－ 1,1]
B ． (－1,1)
C．( －∞，－ 1]∪ [1，＋∞ ) 解析：本题考查集合的概念和运算，
D ．(－∞，－ 1)∪(1 ，＋∞ ) 涉及函数的定义域与不等式的求解．
本题抓住集合
元素是函数自变量，构建不等式并解一元二次不等式得到集合，然后利用补集的意义求解，使集合与函数有机结合，体现了转化化归思想的具体应用．从函数定义域切入， ∵ 1－ x2≥ 0，
? x， y， z∈ V，有 xyz∈ V，则下列结论恒成立的是
A ． T， V 中至少有一个关于乘法是封闭的 B．T， V 中至多有一个关于乘法是封闭的
C．T， V 中有且只有一个关于乘法是封闭的
D． T， V 中每一个关于乘法都是封闭的解析：取 T＝ { x|x∈ ( －∞ ，0)，且 x∈ Z } ，V＝{ x|x∈ (0，＋ ∞ )，且 x∈ Z } ∪ {0} ，可得 T
值范围是 [－ 1,1] ．
答案： C
2．设集合
M
＝
{
y|y＝|cos2x－
sin2x|，
x∈
R
}
，
N＝

高考数学真题题型分类解析专题01 集合与常用逻辑用语

高考数学真题题型分类解析高考数学真题题型分类解析专题01集合与常用逻辑用语集合与常用逻辑用语命题解读考向考查统计1.高考对集合的考查，重点是集合间的基本运算，主要考查集合的交、并、补运算，常与一元二次不等式解法、一元一次不等式解法、分式不等式解法、指数、对数不等式解法结合.2.高考对常用逻辑用语的考查重点关注如下两点：（1）集合与充分必要条件相结合问题的解题方法；（2）全称命题与存在命题的否定和以全称命题与存在命题为条件，求参数的范围问题．交集的运算2022·新高考Ⅰ卷，12023·新高考Ⅰ卷，1 2024·新高考Ⅰ卷，1 2022·新高考Ⅱ卷，1根据集合的包含关系求参数 2023·新高考Ⅱ卷，2 充分必要条件的判定2023·新高考Ⅰ卷，7全称、存在量词命题真假的判断 2024·新高考Ⅱ卷，2命题分析2024年高考新高考Ⅱ卷未考查集合，Ⅰ卷依旧考查了集合的交集运算，常用逻辑用语在新高考Ⅱ卷中考查了全称、存在量词命题真假的判断，这也说明了现在新高考“考无定题”，以前常考的现在不一定考了，抓住知识点和数学核心素养是关键！集合和常用逻辑用语考查应关注：（1）集合的基本运算和充要条件；（2）集合与简单的不等式、函数的定义域、值域的联系。

预计2025年高考还是主要考查集合的基本运算。

试题精讲1．（2024新高考Ⅰ卷·1）已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =−<<=−−∣，则A B =∩（） A ．{1,0}− B ．{2,3} C ．{3,1,0}−− D ．{1,0,2}−【答案答案】】A2．（2024新高考Ⅱ卷·2）已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（） A ．p 和q 都是真命题 B ．p ¬和q 都是真命题 C ．p 和q ¬都是真命题D ．p ¬和q ¬都是真命题1．（2022新高考Ⅰ卷·1）若集合{4},{31}M x N x x =<=≥∣，则M N ∩=（） A ．{}02x x ≤<B ．123x x≤<C ．{}316x x ≤<D ．1163x x≤<A ．{}2,1,0,1−−B ．{}0,1,2C ．{}2−D ．{}2A ．{1,2}−B ．{1,2}C ．{1,4}D ．{1,4}−4．（2023新高考Ⅱ卷·2）设集合，，若，则（）．A ．2B ．1C ．23D ．1−【答案答案】】B【分析分析】】根据包含关系分20a −=和220a −=两种情况讨论，运算求解即可. 【详解详解】】因为A B ⊆，则有则有：：若20a −=，解得2a =，此时{}0,2A =−，{}1,0,2B =，不符合题意不符合题意；；若220a −=，解得1a =，此时{}0,1A =−，{}1,1,0B =−，符合题意符合题意；；综上所述综上所述：：1a =. 故选故选：：B. 5．（2023新高考Ⅰ卷·7）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}nS n为等差数列，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件一、元素与集合1、集合的含义与表示某些指定对象的部分或全体构成一个集合．构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象．2、集合元素的特征（1）确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素．（2）互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现．（3）无序性：集合与其组成元素的顺序无关． 3、元素与集合的关系元素与集合之间的关系包括属于(记作a A ∈)和不属于(记作a A ∉)两种． 4、集合的常用表示法集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图)． 5、常用数集的表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N*N 或N +ZQR二、集合间的基本关系（1）子集：一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）.（2）真子集：对于两个集合A 与B ，若A B ⊆，且存在b B ∈，但b A ∉，则集合A 是集合B 的真子集，记作A B Ü（或B A ⊃≠）.读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”. （3）相等：对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，同时B A ⊆，那么集合A 与B 相等，记作A B =．（4）空集：把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.三、集合的基本运算（1）交集：由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的交集，记作A B ∩，即{}|A B x x A x B ∩=∈∈且．（2）并集：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作A B ∪，即{}|A B x x A x B ∪=∈∈或．（3）补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作U C A ，即{|,}U C A x x U x A =∈∉且．四、集合的运算性质（1），，A B B A =∩∩，A B A ∩⊆，A B B ∩⊆．（2）A A A =∪，A A ∅=∪，A B B A =∪∪，A A B ⊆∪，B A B ⊆∪．（3），()U A C A U =∪，()U U C C A A =．（4）U UU A B A A B B A B B A A B ∩=⇔∪=⇔⊆⇔⊆⇔∩=∅痧?A A A =∩A ∅=∅∩()U A C A =∅∩【集合常用结论集合常用结论】】（1）若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有21n −个，非空子集有21n −个，非空真子集有22n −个．（2）空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．（3）U U A B A B A A B B C B C A ⊆⇔=⇔=⇔⊆∩∪．（4）()()()U U U C A B C A C B =∩∪,()()()U U U C A B C A C B =∪∩．五、充分条件充分条件、、必要条件必要条件、、充要条件1、定义如果命题“若p ，则q ”为真（记作p q ⇒），则p 是q 的充分条件；同时q 是p 的必要条件． 2、从逻辑推理关系上看（1）若p q ⇒且q p ¿，则p 是q 的充分不必要条件；（2）若p q ¿且q p ⇒，则p 是q 的必要不充分条件；（3）若p q ⇒且q p ⇒，则p 是q 的的充要条件（也说p 和q 等价）；（4）若p q ¿且q p ¿，则p 不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件．六、全称量词与存在量词（1）全称量词与全称量词命题．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题叫做全称量词命题．全称量词命题“对M 中的任意一个x ，有()p x 成立”可用符号简记为“,()x M p x ∀∈”，读作“对任意x 属于M ，有()p x 成立”．（2）存在量词与存在量词命题．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题叫做存在量词命题．存在量词命题“存在M 中的一个0x ，使0()p x 成立”可用符号简记为“00,()x M P x ∃∈”，读作“存在M 中元素0x ，使0()p x 成立”（存在量词命题也叫存在性命题）．七、含有一个量词的命题的否定（1）全称量词命题:,()p x M p x ∀∈的否定p ¬为0x M ∃∈，0()p x ¬．（2）存在量词命题00:,()p x M p x ∃∈的否定p ¬为,()x M p x ∀∈¬．注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一．【常用逻辑用语常用结论常用逻辑用语常用结论】】 1、从集合与集合之间的关系上看设{}{}|(),|()A x p x B x q x ==．（1）若A B ⊆，则p 是q 的充分条件（p q ⇒），q 是p 的必要条件；若A B 躡，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件，即p q ⇒且q p ¿；注：关于数集间的充分必要条件满足：“小⇒大”．（2）若B A ⊆，则p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件；（3）若A B =，则p 与q 互为充要条件．集合三模题一、单选题1．（2024·河南·三模）命题“20,10x x x ∃>+−>”的否定是（） A ．20,10x x x ∀>+−> B ．20,10x x x ∀>+−≤ C ．20,10x x x ∃≤+−>D ．20,10x x x ∃≤+−≤【答案答案】】B【分析分析】】根据存在量词命题的否定形式根据存在量词命题的否定形式，，即可求解. 【详解详解】】根据存在量词命题的否定为全称量词命题根据存在量词命题的否定为全称量词命题，，即命题“20,10x x x ∃>+−>”的否定为“20,10x x x ∀>+−≤”. 故选故选：：B. 2．（2024·湖南长沙·三模）已知集合{}2,{|ln 1}M x x N x x ==<∣…，则M N ∩=（） A ．[)2,eB ．[]2,1−C ．[)0,2D ．(]0,2【答案答案】】D【分析分析】】由对数函数单调性解不等式由对数函数单调性解不等式，，化简N ，根据交集运算求解即可. 【详解详解】】因为[]()2,2,0,e M N =−=，所以(]0,2M N =∩. 故选故选：：D. 3．（2024·河北衡水·三模）已知集合{}()11,2,3,4,51lg 12A B x x==−≤−≤，，则A B =∩（） A ．11510x x≤≤B ．{2,3,4}C ．{2,3}D ．11310x x≤≤4．（2024·陕西·三模）已知集合A =A ．RB ．(]0,2【答案答案】】D【分析分析】】先解一元二次不等式求出集合【详解详解】】由230x x −+>，解得03x <<所以3|}1{A B x x ∪=−≤<，所以A 故选故选：：D. 5．（2024·安徽·三模）已知集合A x=为（）A ．{}21x x −≤≤ C ．{}52x x −≤≤−6．（2024·湖南长沙·三模）已知直线使点P 在圆O 内”的（） A ．充分不必要条件 C ．充要条件【答案答案】】B【分析分析】】由直线与圆相交可求得1−<【详解详解】】由直线l 上存在点P ，使点解得11k −<<，即()1,1k ∈−，因为1k <不一定能得到11k −<<，而11k −<<可推出1k <，所以“k <1”是“直线l 上存在点P ，使点P 在圆O 内”的必要不充分条件. 故选故选：：B 7．（2024·湖北荆州·三模）已知集合{}220A x x x =−≤，B A =R ð，其中R 是实数集，集合(],1C ∞=−，则B C ∩=（）A ．(],0−∞B ．(]0,1C ．(),0∞−D ．()0,18．（2024·北京·三模）已知集合ln 1A x x =<，若a A ∉，则a 可能是（） A ．1eB ．1C ．2D ．3【答案答案】】D【分析分析】】解对数不等式化简集合A ，进而求出a 的取值集合即得.【详解详解】】由ln 1x <，得0e x <<，则{|0e}A x x =<<，R {|0A x x =≤ð或e}≥，由a A ∉，得R a A ∈ð，显然选项ABC 不满足不满足，，D 满足. 故选故选：：D 9．（2024·河北衡水·三模）已知函数()()22sin x xf x m x −=+⋅，则“21m =”是“函数()f x 是奇函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案答案】】B【分析分析】】由函数()f x 是奇函数是奇函数，，可求得1m =，可得结论. 【详解详解】】若函数()f x 是奇函数是奇函数，，则()()()()()22sin 22sin (1)22sin 0x x x x x xf x f x m x m x m x −−−+−=+⋅−+⋅=−−=恒成立恒成立，，即1m =，而21m =，得1m =±．故“21m =”是“函数()f x 是奇函数”的必要不充分条件的必要不充分条件．．故选故选：：B ．10．（2024·内蒙古·三模）设α，β是两个不同的平面，m ，l 是两条不同的直线，且l αβ=∩则“//m l ”是“//m β且//m α”的（）A ．充分不必要条件B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案答案】】C【分析分析】】根据题意根据题意，，利用线面平行的判定定理与性质定理利用线面平行的判定定理与性质定理，，结合充分条件结合充分条件、、必要条件的判定方法必要条件的判定方法，，即可求解.【详解详解】】当//m l 时，m 可能在α内或者β内，故不能推出//m β且//m α，所以充分性不成立所以充分性不成立；；当//m β且//m α时，设存在直线n ⊂α，n β⊄，且//n m ，因为//m β，所以//n β，根据直线与平面平行的性质定理根据直线与平面平行的性质定理，，可知//n l ，所以//m l ，即必要性成立即必要性成立，，故“//m l ”是“//m β且//m α”的必要不充的必要不充分条件分条件. 故选故选：：C. 11．（2024·北京·三模）已知(){}2log 11A x x =−≤，{}32B x x =−>，则A B =∩（）A ．空集B ．{3x x ≤或}5x >C ．{3x x ≤或5x >且}1x ≠D ．以上都不对A ．∅B ．{}0C ．{}0,2,3,5D ．{}0,3A ．(1,4)−B ．1,14C ．1,12D ．1,22A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件有下列两个结论：①存在a和b，使得集合B中恰有5个元素；②存在a和b，使得集合B中恰有4个元素．则下列判断正确的是（）A．①②都正确B．①②都错误C．①错误，②正确D．①正确，②错误二、多选题16．（2024·江西南昌·三模）下列结论正确的是（）A ．若{}{}300x x x x a +>∩−<=∅，则a 的取值范围是3a <−B ．若{}{}300x x x x a +>∩−<=∅，则a 的取值范围是3a ≤−C ．若{}{}300x x x x a +>∪−<=R ，则a 的取值范围是3a ≥−D ．若{}{}300x x x x a +>∪−<=R ，则a 的取值范围是3a >−17．（2024·辽宁·三模）已知12max ,,,n x x x 表示12,,,n x x x 这个数中最大的数．能说明命题“，R d ∈，{}{}{}max ,max ,max ,,,a b c d a b c d +≥”是假命题的对应的一组整数a ，b ，c ，d 值的选项有（）A ．1，2，3，4B ．3−，1−，7，5C ．8，1−，2−，3−D ．5，3，0，1−【答案答案】】BC【分析分析】】根据{}12max ,,,n x x x 的含义说明AD 不符合题意，举出具体情况说明BC ，符合题意即可.【详解详解】】对于A ，D ，从其中任取两个数作为一组从其中任取两个数作为一组，，剩下的两数作为另一组剩下的两数作为另一组，，由于这两组数中的最大的数都不是负数由于这两组数中的最大的数都不是负数，，其中一组中的最大数即为这四个数中的最大值其中一组中的最大数即为这四个数中的最大值，，故都能使得命题“,,,R a b c d ∀∈，{}{}{}max ,max ,max ,,,a b c d a b c d +≥”成立成立；；对于B ，当{}{}{}max ,max 3,11,max 7,57a b =−−=−=时，而{}max 3,1,7,57−−=，此时177−+<，即命题“,,a b c ∀，R d ∈，{}{}{}max ,max ,max ,,,a b c d a b c d +≥”是假命题是假命题；；对于C ，当{}{}{}max ,max 8,18,max 2,32a b =−=−−=−时，而{}max 8,1,2,38−−−=，此时288−+<，即命题“,,a b c ∀，R d ∈，{}{}{}max ,max ,max ,,,a b c d a b c d +≥”是假命题是假命题；；故选故选：：BC 18．（2024·重庆·三模）命题“存在0x >，使得2210mx x +−>”为真命题的一个充分不必要条件是（）A ．2m >−B ．1m >−C ．0m >D ．1m >A ．11a b <B ．|2||2|a b −>−C ．22a b ab a b −>−D ．()()22ln 1ln 1a b +>+有且仅有3个不同元素，则实数m 的值可以为（）A ．0B ．1C ．2D ．3三、填空题21．（2024·湖南长沙·三模）已知集合{}1,2,4A =，{}2,B a a =，若A B A ∪=，则=a ．【答案答案】】{}0,1【分析分析】】把集合中的元素代入不等式331x x −≤检验可求得{0,1}A B =∩.【详解详解】】当0x =时，303001−×=≤，所以0B ∈，当1x =时，313121−×=−≤，所以1B ∈，当2x =时，323221−×=>，所以2∉B ，所以{0,1}A B =∩.23．（2024·湖南衡阳·三模）已知集合{},1A a a =+，集合{}2N 20|B x x x =∈−−≤，若A B ⊆，则=a ．25．（2024·安徽·三模）已知集合,2,1,,A B yy x x A λ=−==∈∣，若A B ∪的所有元素之和为12，则实数λ=. 【答案答案】】3−【分析分析】】分类讨论λ是否为1,2−，进而可得集合B ，结合题意分析求解.【详解详解】】由题意可知由题意可知：：1λ≠−且2λ≠，当x λ=，则2y λ=；当2x =，则4y =；当=1x −，则1y =；若1λ=，则{}1,4B =，此时A B ∪的所有元素之和为6，不符合题意不符合题意，，舍去舍去；；若2λ=−，则{}1,4B =，此时A B ∪的所有元素之和为4，不符合题意不符合题意，，舍去舍去；；若1λ≠且2λ≠−，则{}21,4,B λ=，故2612λλ++=，解得3λ=−或2λ=（舍去舍去）；）；综上所述综上所述：：3λ=−.26．（2024·山东聊城·三模）已知集合{}{}21,5,,1,32A a B a ==+，且A B A ∪=，则实数a 的值为．C 的个数为.A B ∪=．。

高考数学集合与常用逻辑用语考点及知识点总结解析(理科)

－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________． [解析] ∵B⊆A，∴①若B＝∅，则2m－1<m＋1，此时m<2.
②若B≠∅，则2mm＋－11≥≥－m2＋，1， 2m－1≤5.
解得2≤m≤3.由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为 (－∞，3]．
[答案] (－∞，3]
[易错提醒] 将两个集合之间的关系准确转化为参数所满足的条件时，应注意子集与真子集的区别，此类问题多与不等式(组)的解集相关．确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易产生增解或漏解．
考点贯通抓高考命题的“形”与“神” 集合子集个数的判定
含有n真子集的个数为2n－2(除空集和集合本身，此时n≥1)．
[例1] 已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x
＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为
()
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] 由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，所以A＝{1,2}．由
题意知B＝{1,2,3,4}，所以满足条件的集合C为{1,2}，{1,2,3}，
{1,2,4}，{1,2，3,4}，共4个．
[答案] D
[易错提醒] (1)注意空集的特殊性：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． (2)任何集合的本身是该集合的子集，在列举时千万不要忘记．
∵
2x
－
3>0
，
∴
x>
3 2
，
∴
B
＝
3 xx>2
.
∴
A∩B
＝
{x|1<x<3}∩xx>32 ＝32，3. [答案] D

高考第一轮复习集合与常用逻辑用语

年级高三学科数学版本通用版课程标题高考第一轮复习——集合与常用逻辑用语编稿老师孙丕训一校林卉二校黄楠审核王百玲一、考点突破考纲解读:1. 集合的概念、集合间的关系及运算是高考重点考查的内容，正确理解概念是解决此类问题的关键。

2．对命题及充要条件这部分内容，重点关注两个方面内容：一是命题的四种形式及原命题与逆否命题的等价；二是充要条件的判定。

这些内容大多是以其他数学知识为载体，具有较强的综合性。

3. 常用逻辑用语高考以考查四种命题、逻辑联结词和全称命题、特称命题的否定为主。

命题预测：1. 根据考试大纲的要求,结合近几年高考的命题情况,可以预测集合这部分内容在选择、填空和解答题中都有可能涉及.高考命题热点有以下两个方面:一是对集合的运算、集合的有关陈述语和符号、集合的简单应用等作基础性的考查,题型常以选择、填空题的形式出现;二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体,以集合的语言和符号为表现形式,结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力,题型常以解答题的形式出现. 2. 作为高中数学的基础知识,命题、量词与逻辑联结词、四种命题及充要条件是每年高考的必考内容,题量一般为1~2道,多以选择题或填空题的形式出现,难度不大,重点考查命题真假的判断,全称命题与特称命题的否定, 与函数、直线与平面、圆锥曲线等知识联系很紧密,要求考生理解命题的四种形式、充分条件、必要条件、充要条件的意义,能够判断给定的两个命题的逻辑关系.题目内容和思想方法涉及或渗透到高中数学的各个章节,有一定的综合性.二、重难点提示重点：理解集合的表示，能准确进行集合间的交、并、补的运算；正确地对含有一个量词的命题进行否定。

难点：集合的表示及充分必要条件的判定。

一、知识脉络图二、知识点拨1. 集合与元素（1）集合元素具有三个特征：、、。

（2）元素与集合的关系是属于或不属于的关系，用符号∈或∉表示。

（3）集合的表示法：、、、。

（4）常用数集：自然数集N；正整数集N*（或N＋）；整数集Z；有理数集Q；实数集R;复数集C。

高考数学最新真题专题解析—集合与常用逻辑用语

【答案】
【解析】
【分析】
先确定的充要条件，再由充分不必要条件的定义求解，
【详解】
等价于或，而且“ ”是“ ”的充分不必要条件，则．
故答案为：．
16．（2022·北京·人大附中三模）能够说明“若均为正数，则 ”是真命题的充分必要条件为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用充分必要条件的定义判断.
高考数学最新真题专题解析—集合与常用逻辑用语
考向一集合的概念及运算
【母题来源】2022年高考全国甲卷
【母题题文】设全集，集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【试题解析】由题意，，所以 ,
所以 .故选：D.
【命题意图】本类题通常主要考查简单不等式解法、交集、并集、补集等运算．
【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，集合的基本运算是历年高考的热点．集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力．
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
根据充分必要条件的定义判断．
【详解】
首先不必要，如是实数，但，
其次，是充分的，若，设（），
则，，解得或，
或是实数，因此应为充分不必要条件．
故选：B．
二、填空题
11．（2022·北京八十中模拟预测）已知，，则 ___________.
【详解】
由题意可知，命题“ ， ”为真命题.

高考数学复习：集合与常用逻辑用语

数
二轮
4．全(特)称命题及其否定
学
复习
(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)．它的否定¬p：____∃_x_0∈__M__，__¬_p_(_x_0)____．
(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x)．它的否定¬p：___∀__x_∈__M_，__¬_p_(_x_)____．
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专题一集合、常用逻辑用语、向量、复数、算法、推理与证明、不等式
A．{0}
B．{1}
二
C．{1,2}
D．{0,1,2}
轮
复习
[解析] ∵A＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，∴A∩B＝{1,2}．
(C)
数学
故选C．
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专题一集合、常用逻辑用语、向量、复数、算法、推理与证明、不等式
9．(文)(2017·全国卷Ⅰ，1)已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，则
学
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专题一集合、常用逻辑用语、向量、复数、算法、推理与证明、不等式
[解析] ∵f(x)＝cosx＋bsinx为偶函数，
∴对任意的x∈R，都有f(－x)＝f(x)，
即cos(－x)＋bsin(－x)＝cosx＋bsinx，
∴2bsinx＝0.由x的任意性，得b＝0．
二
故f(x)为偶函数⇒b＝0.必要性成立．
进行否定，而否命题既对命题的条件进行否定，又对命题的结论进行否定．
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专题一集合、常用逻辑用语、向量、复数、算法、推理与证明、不等式
1．(文)(2019·全国卷Ⅰ，2)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝
{2,3,6,7}，则B∩∁UA＝ A．{1,6}

高一数学《集合与常用逻辑用语》知识点总结及高考真题训练(含答案)

《集合》复习巩固【要点梳理】要点一：集合的基本概念1．集合的概念一般地，我们把研究对象统称为元素，如1～10内的所有质数，包括2，3，5，7，则3是我们所要研究的对象，它是其中的一个元素，把一些元素组成的总体叫做集合，如上述2，3，5，7就组成了一个集合。

2．元素与集合的关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A 。

要注意“∈”的方向，不能把a ∈A 颠倒过来写.（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a A ∉。

3．集合中元素的特征（1）确定性：集合中的元素必须是确定的。

任何一个对象都能明确判断出它是否为某个集合的元素；（2）互异性：集合中的任意两个元素都是不同的，也就是同一个元素在集合中不能重复出现。

（3）无序性：集合与组成它的元素的顺序无关。

如集合{1，2，3}与{3，1，2}是同一个集合。

4．集合的分类集合可根据它含有的元素个数的多少分为两类：有限集：含有有限个元素的集合。

无限集：含有无限个元素的集合。

要点诠释：把不含有任何元素的集合叫做空集，记作∅，空集归入有限集。

要点二：集合间的关系1．(1)子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作A ⊆B ，对于任何集合A 规定A ∅⊆。

(2) 如果A 是集合B 的子集，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的真子集，记做.两个集合A 与B 之间的关系如下：A B A B B A A B A B A BA B⎧=⇔⊆⊆⎧⊆⎪⎨≠⇔⎨⎩⎪⎩且ÞÚ 其中记号A B Ú（或B A Û）表示集合A 不包含于集合B （或集合B 不包含集合A ）。

2．子集具有以下性质：（1）A ⊆A ，即任何一个集合都是它本身的子集。

（2）如果A B ⊆，B A ⊆，那么A=B 。

高考专题复习—集合与常用逻辑用语第一讲+第二讲(解析版)

高考专题复习—集合与常用逻辑用语（解析版）➱第一讲集合◎基础巩固1．集合的基本概念(1)集合元素的性质：确定性、无序性、互异性.(2)元素与集合的关系①属于，记为∈；②不属于，记为∉.(3)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N ＋Z Q R(4)集合的表示方法：①列举法；②描述法；③韦恩图.2．集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn 图子集集合A 中所有元素都在集合B 中(即若x ∈A ，则x ∈B )A ⊆B(或B⊇A )真子集集合A 是集合B 的子集，且集合B 中至少有一个元素不在集合A 中A B 或B A集合相等集合A ，B 中的元素相同或集合A ，B 互为子集A ＝B3.集合的基本运算基本运算并集交集补集符号表示A ∪BA ∩B若全集为U ，则集合A 的补集为∁U A图形表示数学语言{x |x ∈A ，或x ∈B }{x |x ∈A，且x ∈B }{x |x ∈U ，且x ∉A }运算性质A ∪∅＝A ；A ∪A ＝A；A ∪B ＝B ∪A .A ∩∅＝∅；A ∩A ＝A；A ∩B ＝B ∩A .A ∪(∁U A )＝U ；A ∩(∁U A )＝∅；∁U (∁U A )＝A.1.A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B.2．若集合A中含有n个元素，则它的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)∅＝{0}．()(2)空集是任何集合的子集，两元素集合是三元素集合的子集．()(3)a在集合A中，可用符号表示为a⊆A.()(4)N⊆N＋⊆Z.()(5)若A＝{x|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则A∩B＝{x|x∈R}．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×[小题查验]1．若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下列结论正确的是()A．{a}⊆A B．a⊆AC．{a}∈A D．a∉A解析：D[由题意知A＝{0,1,2,3}，由a＝22，知a∉A.]2．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，则A∩B中元素的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：B[由题意可得：A∩B＝{2,4}，故选B.]3．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,4}，B＝{2,5}，则(∁U A)∪B＝()A．{3,4,5}B．{2,3,5}C．{5}D．{3}解析：B[因为U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,4}，所以∁U A＝{3,5}，又B＝{2,5}，所以(∁U A)∪B＝{2,3,5}．] 4．已知集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值范围是________.解析：∵1∉{x|x2－2x＋a>0}，∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}，即1－2＋a≤0，∴a≤1.答案：(－∞，1]5．(教材改编)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5}，B＝{1,3,5,7}，则A∩(∁U B)＝___________________.答案：{2,4}◎考点探究考点一集合的基本概念(自主练透)[题组集训]1．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为()A ．9B ．8C ．5D ．4解析：A[∵x 2＋y 2≤3，∴x 2≤3，∵x ∈Z ，∴x ＝－1,0,1，当x ＝－1时，y ＝－1,0,1；当x ＝0时，y ＝－1,0,1；当x ＝1时，y ＝－1,0,1；所以共有9个，选A.]2．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝()A.92B.98C ．0D ．0或98解析：D[若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98，所以a 的取值为0或98.]3．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________.解析：因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3.当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3，此时集合A 中有重复元素3，所以m ＝1不符合题意，舍去．当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意．所以m ＝－32.答案：－324．已知集合M ＝{1，m }，N ＝{n ，log 2n }，若M ＝N ，则(m －n )2019＝________.解析：由M ＝N ＝1，2n ＝m ＝m ，2n ＝1，＝0，＝12，＝2.∴(m －n )2019＝－1或0.答案：－1或01．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2．对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性．考点二集合间的基本关系(师生共研)[典例](1)已知集合A ＝{x |ax ＝1},B ＝{x |x 2－1＝0}，若A ⊆B ，则a 的取值构成的集合是()A ．{－1}B ．{1}C ．{－1,1}D ．{－1,0,1}(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．[解析](1)由题意，得B ＝{－1,1}，因为A ⊆B ，所以当A ＝∅时，a ＝0；当A ＝{－1}时，a ＝－1；当A ＝{1}时，a ＝1.又A 中至多有一个元素，所以a 的取值构成的集合是{－1,0,1}．故选D.(2)当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2.当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．＋1≥－2m －1≤7＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值范围为m ≤4.[答案](1)D (2){m |m ≤4}[互动探究]本例(1)中若A ＝{x |ax >1(a ≠0)}，B ＝{x |x 2－1>0}，其它条件不变，则a 的取值范围是________.解析：由题意，得B ＝{x |x >1，或x <－1}，对于集合A ，①当a >0时，A |x >1a因为A ⊆B ，所以1a ≥1.又a >0，所以0<a ≤1.②当a <0时，A |x <1a因为A ⊆B ，所以1a ≤－1，又a <0，所以－1≤a <0，综上所述，0<a ≤1，或－1≤a <0.答案：[－1,0)∪(0,1]由集合的关系求参数的关键点由两集合的关系求参数，其关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析，而且常要对参数进行讨论，注意区间端点的取舍．提醒：解决两个集合的包含关系时，要注意空集的情况．[跟踪训练](1)若集合A ＝{x |ax 2＋ax ＋1＝0}的子集只有两个，则实数a ＝________.解析：∵集合A 的子集只有两个，∴A 中只有一个元素，即方程ax 2＋ax ＋1＝0只有一个根．当a ＝0时方程无解．当a ≠0时，Δ＝a 2－4a ＝0，∴a ＝4.故a ＝4.答案：4(2)已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________.解析：由log 2x ≤2，得0<x ≤4，即A ＝{x |0<x ≤4}，而B ＝(－∞，a )．由于A ⊆B ，如图所示，则a >4，即c ＝4.答案：4考点三集合的基本运算(多维探究)[命题角度1]求交集、并集1．(文科)已知集合A ＝{0,2}，B ＝{－2，－1,0,1,2}，则A ∩B ＝()A ．{0,2}B ．{1,2}C ．{0}D ．{－2，－1,0,1,2}解析：A[根据集合交集中元素的特征，可以求得A ∩B ＝{0,2}，故选A.]2．(文科)已知集合A ＝{x |x ＜2}，B ＝{x |3－2x ＞0}，则()A ．A ∩B |x B ．A ∩B ＝∅C ．A ∪B |xD ．A ∪B ＝R解析：A[由3－2x ＞0得x ＜32，所以A ∩B ＝{x |x ＜2}|x |x ，故选A.][命题角度2]集合的交、并、补的综合运算3．(文科)设集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{x |2＜x ＜5}，则A ∩(∁R B )等于()A ．{2,3,4,5}B ．{1,2,5,6}C ．{3,4}D ．{1,6}解析：B[因为∁R B ＝{x |x ≤2，或x ≥5}，A ＝{1,2,3,4,5,6}；所以A ∩(∁R B )＝{1,2,5,6}．][命题角度3]利用集合的基本运算求参数的取值(范围)4．设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B ＝()A ．{1，－3}B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5}解析：C[由题意知x ＝1是方程x 2－4x ＋m ＝0的解，代入解得m ＝3，所以x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3，从而B ＝{1,3}．]5．已知集合A ＝{x |x ≤a }，B ＝{x |1≤x ≤2}，且A ∪∁R B ＝R ，则实数a 的取值范围是________.解析：∁R B ＝{x |x ＜1，或x ＞2}，要使A ∪(∁R B )＝R ，则a ≥2.答案：[2，＋∞)解集合运算问题应注意以下三点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键．(2)对集合化简．有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩(Venn)图．提醒：Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．考点四集合的新定义问题(师生共研)数学抽象——集合新定义中的核心素养以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生对新概念的理解，充分体现了核心素养中的数学抽象．[典例]设A是自然数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k2∉A，且k∉A，那么k是A的一个“酷元”，给定S＝{x∈N|y＝lg(36－x2)}，设M⊆S，集合M中有两个元素，且这两个元素都是M的“酷元”，那么这样的集合M有()A．3个B．4个C．5个D．6个[解析]C[由36－x2＞0可解得－6＜x＜6，又x∈N，故x可取0,1,2,3,4,5，故S＝{0,1,2,3,4,5}．由题意可知：集合M不能含有0,1，且不能同时含有2,4.故集合M可以是{2,3}、{2,5}、{3,5}、{3,4}、{4,5}．]解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中．(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素．[跟踪训练]定义一种新的集合运算△：A△B＝{x|x∈A，且x∉B}．若集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2≤x≤4}，则按运算△，B△A等于()A．{x|3<x≤4}B．{x|3≤x≤4}C．{x|3<x<4}D．{x|2≤x≤4}解析：B[A＝{x|1<x<3}，B＝{x|2≤x≤4}，由题意知，B△A＝{x|x∈B，且x∉A}＝{x|3≤x≤4}．]◎课时作业[基础训练组]1．已知集合A ＝{1,3,5,7}，B ＝{2,3,4,5}，则A ∩B ＝()A ．{3}B ．{5}C ．{3,5}D ．{1,2,3,4,5,7}解析：C[A ＝{1,3,5,7}，B ＝{2,3,4,5}，∴A ∩B ＝{3,5}，故选C.]2．集合P ＝{x |0≤x ＜3}，M ＝{x ||x |≤3}，则P ∩M ＝()A ．{1,2}B ．{0,1,2}C ．{x |0≤x ＜3}D ．{x |0≤x ≤3}解析：C[集合P ＝{x |0≤x ＜3}，M ＝{x ||x |≤3}＝{x |－3≤x ≤3}，则P ∩M ＝{x |0≤x ＜3}．]3．如图，I 为全集，M 、P 、S 是I 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是()A ．(M ∩P )∩SB ．(M ∩P )∪SC ．(M ∩P )∩∁I SD ．(M ∩P )∪∁I S解析：C [图中的阴影部分是M ∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集的子集，即是∁I S 的子集，则阴影部分所表示的集合是(M ∩P )∩∁I S .故选C.]4．满足{2018}⊆A {2018,2019,2020}的集合A 的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4解析：C[满足{2018}⊆A{2018,2019,2020}的集合A 可得：A ＝{2018}，{2018,2019}，{2018,2020}．因此满足的集合A 的个数为3.]5．已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围是()A ．(－∞，－1]B ．[1，＋∞)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析：C[因为P ∪M ＝P ，所以M ⊆P ，即a ∈P ，得a 2≤1，解得－1≤a ≤1，所以a 的取值范围是[－1,1]．]6．已知集合A ＝{y |y ＝x 2－1}，B ＝{x |y ＝lg(x －2x 2)}，则∁R (A ∩B )＝()A.0B ．(－∞，0)∪12，＋∞D ．(－∞，0]∪12，＋∞解析：D[A ＝{y |y ＝x 2－1}＝[0，＋∞)，B ＝{x |y ＝lg(x －2x 2)}A ∩B所以∁R (A ∩B )＝(－∞，0]∪12，＋7．已知A ＝[1，＋∞)，B ∈R |12a ≤x ≤2a －A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是()A ．[1，＋∞) B.12，1 C.23，＋∞D ．(1，＋∞)解析：A[因为A ∩B ≠∅a －1≥1，a －1≥12a ，解得a ≥1，故选A.]8．函数y ＝x －2与y ＝ln(1－x )的定义域分别为M ，N ，则M ∪N ＝()A ．(1,2]B ．[1,2]C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)D ．(－∞，1)∪[2，＋∞)解析：D[使x －2有意义的实数x 应满足x －2≥0，∴x ≥2，∴M ＝[2，＋∞)，y ＝ln(1－x )中x 应满足1－x＞0，∴x ＜1，∴N ＝(－∞，1)，所以M ∪N ＝(－∞，1)∪[2，＋∞)，故选D.]9．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，y ＝4x 2－1}，则A ∩B 的元素个数是________．解析：集合A 是以原点为圆心，半径等于1的圆周上的点的集合，集合B 是抛物线y ＝4x 2－1上的点的集合，观察图像可知，抛物线与圆有3个交点，因此A ∩B 中含有3个元素．答案：310．已知集合A ＝{x |4≤2x ≤16}，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是________．解析：集合A ＝{x |4≤2x ≤16}＝{x |22≤2x ≤24}＝{x |2≤x ≤4}＝[2,4]，因为A ⊆B ，所以a ≤2，b ≥4，所以a －b ≤2－4＝－2，即实数a －b 的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]11．对于集合M 、N ，定义M －N ＝{x |x ∈M ，且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )．设A ＝{y |y ＝3x ，x ∈R }，B ＝{y |y ＝－(x －1)2＋2，x ∈R }，则A ⊕B ＝________.解析：由题意得A ＝{y |y ＝3x ，x ∈R }＝{y |y >0}，B ＝{y |y ＝－(x －1)2＋2，x ∈R }＝{y |y ≤2}，故A －B ＝{y |y >2}，B －A ＝{y |y ≤0}，所以A ⊕B ＝{y |y ≤0，或y >2}．答案：(－∞，0]∪(2，＋∞)12．若A ＝{x |ax 2－ax ＋1≤0，x ∈R }＝∅，则a 的取值范围是________．解析：∵A ＝{x |ax 2－ax ＋1≤0，x ∈R }＝∅，∴a ＝0>0＝(－a )2－4a <0，解得0≤a ＜4.∴a 的取值范围是[0,4)．[能力提升组]13．集合U ＝R ，A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分所表示的集合是()A ．{x |x ≥1}B ．{x |1≤x <2}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |x ≤1}解析：B [易知A ＝(－1,2)，B ＝(－∞，1)，∴∁U B ＝[1，＋∞)，A ∩(∁U B )＝[1,2)．因此阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )＝{x |1≤x <2}．]14．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P *Q ＝{z |z ＝a ÷b ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{－1,0,1}，Q ＝{－2,2}，则集合P *Q 中元素的个数是()A ．2B ．3C ．4D ．5解析：B[当a ＝0时，无论b 取何值，z ＝a ÷b ＝0；当a ＝－1，b ＝－2时，z ＝(－1)÷(－2)＝12；当a ＝－1，b ＝2时，z ＝(－1)÷2＝－12；当a ＝1，b ＝－2时，z ＝1÷(－2)＝－12；当a ＝1，b ＝2时，z ＝1÷2＝12.故P *Q ，12，－3个元素．]15．若集合A＝{x|(a－1)x2＋3x－2＝0，x∈R}有且仅有两个子集，则实数a的值为________．解析：由题意知，方程(a－1)x2＋3x－2＝0，x∈R，有一个根，∴当a＝1时满足题意，当a≠1时，Δ＝0，即9＋8(a－1)＝0，解得a＝－18.答案：1或－1816．某班共有学生40名，在乒乓球、篮球、排球三项运动中每人至少会其中的一项，有些人会其中的两项，没有人三项均会．若该班18人不会打乒乓球，24人不会打篮球，16人不会打排球，则该班会其中两项运动的学生人数是________．解析：设同时会打乒乓球和篮球的学生有x人，同时会打乒乓球和排球的学生有y人，同时会打排球和篮球的学生有z人，∵该班18人不会打乒乓球，24人不会打篮球，16人不会打排球，∴该班会打乒乓球或篮球的学生有24人，会打乒乓球或排球的学生有16人，会打篮球或打排球有22人，∴x＋y＋z＝24＋16＋22－40＝22.∴该班会其中两项运动的学生人数是22.答案：22➱第二讲命题、充分条件与必要条件◎基础巩固1．命题的概念可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及其关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.4．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件.1.互为逆否的两个命题具有相同的真假性，互逆的或互否的两个命题真假性没有关系．2．若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”)．[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．()(2)若p是q成立的充分条件，则q是p成立的必要条件．()(3)若p是q成立的充要条件，则可记为p⇔q.()(4)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则q”．()答案：(1)√(2)√(3)√(4)×[小题查验]1．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：A[因为x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根为x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件．] 2．给出命题：“若实数x，y满足x2＋y2＝0，则x＝y＝0”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：D[原命题显然正确，其逆命题为：若x＝y＝0，则x2＋y2＝0，显然也是真命题，由四种命题之间的关系知，其否命题、逆否命题也都是真命题.故选D.]3．“a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：B[直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直的充要条件为a(a＋2)＋1×(－3)＝0，解得a＝14．(教材改编)已知命题：若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实数根．则其逆否命题为_________．答案：若方程x2＋x－m＝0无实根，则m≤05．下列命题：①若ac2>bc2，则a>b；②若sinα＝sinβ，则α＝β；③“实数a＝0”是“直线x－2ay＝1和直线2x－2ay＝1平行”的充要条件；④若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数．其中正确命题的序号是________.解析：对于①，∵ac2>bc2，∴c2>0，∴a>b正确；对于②，sin30°＝sin150°⇒/30°＝150°，所以②错误；对于③，l1∥l2⇔A1B2＝A2B1，即－2a＝－4a⇒a＝0且A1C2≠A2C1，所以③正确；④显然正确．答案：①③④◎考点探究考点一命题的四种形式及其关系(自主练透)[题组集训]1．命题p：若a＞b，则a－1＞b－1，则命题p的否命题为()A．若a＞b，则a－1≤b－1B．若a≥b，则a－1＜b－1C．若a≤b，则a－1≤b－1D．若a＜b，则a－1＜b－1解析：C[根据否命题的定义：若原命题为：若p，则q，否命题为：若非p，则非q.∵原命题为：若a＞b，则a－1＞b－1，∴否命题为：若a≤b，则a－1≤b－1，故选C.]2．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为()A．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为真命题B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为真命题C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为假命题D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为假命题解析：C[根据逆否命题的定义可以排除A，D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝4或－1，故选C.]3．以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．①“若log2a>0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价．解析：对于①，若log2a>0＝log21，则a>1，所以函数f(x)＝log a x在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若x＋y是偶数，则x、y都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④.1．由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．提醒：当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动．2．命题真假的判断方法(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．(2)利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断．考点二充分、必要条件的判断与应用(多维探究)[命题角度1]充分、必要条件的判定1．设p∶0＜x＜1，q∶2x≥1，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：A[q∶2x≥1，解得x≥0.又p∶0＜x＜1，则p是q的充分不必要条件．]2．函数f(x)在x＝x0处导数存在，若p∶f′(x0)＝0，q∶x＝x0是f(x)的极值点，则()A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件解析：C[函数在x＝x0处有导数且导数为0，x＝x0未必是函数的极值点，还要看函数在这一点左右两边的导数的符号，若符号一致，则不是极值点；反之，若x＝x0为函数的极值点，则函数在x＝x0处的导数一定为0，所以p是q的必要不充分条件．]3．已知向量a＝(－2，m)，b m∈R，则“a⊥(a＋2b)”是“m＝2”的()A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件解析：B[∵a＝(－2，m)，b m∈R，∴a＋2b＝(4,2m)若a⊥(2a＋2b)，则－8＋2m2＝0，解得m＝±2，故“a⊥(a＋2b)”是“m＝2”的必要不充分条件．]命题的充分、必要条件的判断方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．(2)等价法：利用A⇒B与非B⇒非A，B⇒A与非A⇒非B，A⇔B与非B⇔非A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．[命题角度2]利用充要条件求参数的取值(范围)逻辑推理——充分、必要条件关系中的核心素养充分、必要条件问题中常涉及参数取值(范围)问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决，充分体现“逻辑推理”的核心素养．4．已知p：－2≤x≤10，q：(x－a)(x－a－1)>0，若p是q成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围是______.[破题关键点]若p是q成立的充分不必要条件，则{x|－2≤x≤10} {x|x>a＋1，或x<a}，即转化为相对应的集合间的基本关系来求实数a的取值范围．解析：由(x－a)(x－a－1)>0，得x>a＋1或x<a，由题意，得{x|－2≤x≤10} {x|x>a＋1，或x<a}，所以a＋1<－2或a>10，即a<－3或a>10.答案：(－∞，－3)∪(10，＋∞)[互动探究]本例中，若p：－2<x<10，q：(x－a)(x－a－1)≥0，其他条件不变，则a的取值范围是______.解析：由(x－a)(x－a－1)≥0，得x≥a＋1或x≤a，由题意得{x|－2<x<10} {x|x≥a＋1，或x≤a}．所以a＋1≤－2，或a≥10，即a≤－3，或a≥10.答案：(－∞，－3]∪[10，＋∞)(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．(2)注意利用转化的方法理解充分必要条件：若非p是非q的充分不必要(必要不充分、充要)条件，则p是q的必要不充分(充分不必要、充要)条件．◎课时作业[基础训练组]1．命题“若a 2＋b 2＝0，a ，b ∈R ，则a ＝b ＝0”的逆否命题是()A ．若a ≠b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2＝0B ．若a ＝b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0C ．若a ≠0且b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0D ．若a ≠0或b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0解析：D[写逆否命题只要交换命题的条件与结论，并分别否定条件与结论即可．]2．设a ∈R ，则“a ＞3”是“函数y ＝log a (x －1)在定义域上为增函数”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：A[因为函数y ＝log a (x －1)在定义域(1，＋∞)上为增函数，所以a ＞1，因此“a ＞3”是“函数y ＝log a (x －1)在定义域上为增函数”的充分不必要条件．]3．“m ＝1”是“圆C 1：x 2＋y 2＋3x ＋4y ＋m ＝0与圆C 2“x 2＋y 2＝4的相交弦长为23”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：A[由题意知圆C 1与圆C 2的公共弦所在的直线是3x ＋4y ＋m ＋4＝0，故(0,0)到3x ＋4y ＋m ＋4＝0的距离d＝|m ＋4|5＝4－3＝1，即|m ＋4|＝5，解得m ＝1或m ＝－9.故m ＝1是m ＝1或m ＝－9的充分不必要条件，故选A.4．已知条件p ：|x －4|≤6，条件q ：x ≤1＋m ，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是()A ．(－∞，－1]B ．(－∞，9]C ．[1,9]D ．[9，＋∞)解析：D[由|x －4|≤6，解得－2≤x ≤10，即p ：－2≤x ≤10；又q ：x ≤1＋m ，若p 是q 的充分不必要条件，则1＋m ≥10，解得m ≥9.故选D.]5．若x ＞m 是x 2－3x ＋2＜0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是()A ．[1，＋∞)B ．(－∞，2]C ．(－∞，1]D ．[2，＋∞)解析：C[由x 2－3x ＋2＜0得1＜x ＜2，若x ＞m 是x 2－3x ＋2＜0的必要不充分条件，则m ≤1，即实数m 的取值范围是(－∞，1]．]6．a 2＋b 2＝1是a sin θ＋b cos θ≤1恒成立的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：A[因为a sin θ＋b cos θ＝a 2＋b 2sin (θ＋φ)≤a 2＋b 2，所以由a 2＋b 2＝1可推得a sin θ＋b cos θ≤1恒成立．反之，取a ＝2，b ＝0，θ＝30°，满足a sin θ＋b cos θ≤1，但不满足a 2＋b 2＝1，即由a sin θ＋b cos θ≤1推不出a 2＋b 2＝1，故a 2＋b 2＝1是a sin θ＋b cos θ≤1恒成立的充分不必要条件．故选A.]7．“m ＞1”是“函数f (x )＝3x ＋m －33在区间[1，＋∞)无零点”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：A[因为函数f (x )＝3x ＋m －33在区间[1，＋∞)上单调递增且无零点，所以f (1)＝31＋m －33＞0，即m ＋1＞32，解得m ＞12，故“m ＞1”是“函数f (x )＝3x ＋m －33在区间[1，＋∞)无零点的充分不必要条件，故选A.]8．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n .给出命题s ：若|q |＝2，则S 6＝7S 2，则在命题s 的逆命题、否命题、逆否命题中，错误命题的个数是()A ．3B ．2C ．1D ．0解析：B[若|q |＝2，则q 2＝2，S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝a 1(1－q 2)(1＋q 2＋q 4)1－q ＝7·a 1(1－q 2)1－q＝7S 2，所以原命题为真，从而逆否命题为真；而当S 6＝7S 2时，显然q ≠1，这时a 1(1－q 6)1－q ＝7·a 1(1－q 2)1－q ，解得q ＝－1或|q |＝2，因此，逆命题为假，否命题为假，故错误命题的个数为2.]9．《左传·僖公十四年》有记载：“皮之不存，毛将焉附？”这句话的意思是说皮都没有了，毛往哪里依附呢？比喻事物失去了借以生存的基础，就不能存在．皮之不存，毛将焉附？则“有毛”是“有皮”的_______条件(将正确的序号填入空格处)．①充分条件②必要条件③充要条件④既不充分也不必要条件解析：由题意知“无皮”⇒“无毛”，所以“有毛”⇒“有皮”即“有毛”是“有皮”的充分条件．答案：①10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的__________条件．解析：由正弦定理，得a sin A ＝bsin B，故a ≤b ⇔sin A ≤sin B.答案：充要11．若“x ＞a ”是“x 2－5x ＋6≥0”成立的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是_________．解析：由x 2－5x ＋6≥0得x ≥3或x ≤2，若“x ＞a ”是“x 2－5x ＋6≥0”成立的充分不必要条件，则a ≥3，即实数a 的取值范围是[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)12．已知条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若非p 是非q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．解析：由2x 2－3x ＋1≤0，得12≤x ≤1，∴命题p |12≤x ≤由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，得a ≤x ≤a ＋1，∴命题q 为{x |a ≤x ≤a ＋1}．非p 对应的集合A |x ＞1或x q 对应的集合B ＝{x |x ＞a ＋1或x ＜a }．∵非p 是非q 的必要不充分条件，∴a ＋1≥1且a ≤12，∴0≤a ≤12，即实数a 的取值范围是0，12.答案：0，12[能力提升组]13祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设A ，B 为两个同高的几何体，p ：A ，B 的体积不相等，q ：A ，B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：A[设命题a ：“若p ，则q ”，可知命题a 是祖暅原理的逆否命题，则a 是真命题．故p 是q 的充分条件．设命题b ：“若q ，则p ”，若A 比B 在某些等高处的截面积小一些，在另一些等高处的截面积大一些，且大的总量与小的总量相抵，则它们的体积还是一样的．所以命题b 是假命题，即p 不是q 的必要条件．综上所述，p 是q 的充分不必要条件．故选A.]14．已知条件p ：4x －1≤－1，条件q ：x 2＋x ＜a 2－a ，且非q 的一个充分不必要条件是非p ，则a 的取值范围是()A.－2，－12B.12，2C ．[－1,2]，12∪[2，＋∞)解析：C [由4x －1≤－1，移项得4x －1＋1≤0，通分得x ＋3x －1≤0，解得－3≤x ＜1；由x 2＋x ＜a 2－a ，得x 2＋x －a 2＋a ＜0.由非q 的一个充分不必要条件是非p ，可知非p 是非q 的充分不必要条件，即p 是q 的必要不充分条件，即条件q 对应的x 取值集合是条件p 对应的x 取值集合的真子集．设f (x )＝x 2＋x －a 2＋a －3)＝－a 2＋a ＋6≥0，1)＝－a 2＋a ＋2≥0，2＜a ＜31≤a ≤2∴－1≤a ≤2，故选C.]15．给出下列命题：①“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n a n ＋1}为等比数列”的充分不必要条件；②“a ＝2”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；③“m ＝3”是“直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直”的充要条件；④设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，则“A ＝30°”是“B ＝60°”的必要不充分条件．其中真命题的序号是________．解析：对于①，当数列{a n }为等比数列时，易知数列{a n a n ＋1}是等比数列，但当数列{a n a n ＋1}为等比数列时，数列{a n }未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确；对于②，当a ≤2时，函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确；对于③，当m ＝3时，相应的两条直线互相垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有m ＝3，也可能m ＝0.因此③不正确；对于④，由题意得b a ＝sin B sin A ＝3，若B ＝60°，则sin A ＝12，注意到b >a ，故A ＝30°，反之，当A ＝30°时，有sin B ＝32，由于b >a ，所以B ＝60°或B ＝120°，因此④正确．综上所述，真命题的序号是①④.答案：①④16．设命题p ：2x －1x －1<0，命题q ∶x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析：2x －1x －1<0⇒(2x －1)(x －1)<0⇒12<x <1，x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0⇒a ≤x ≤a ＋1.[a ，a ＋1]．≤12，＋1≥1，解得0≤a ≤12.答案：0，12。

高考数学专题突破教师版-集合与常用逻辑用语(考点讲析)

(3)灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充分、必要条件的判断常通过“ ”来进行，即转化为两个命题关系的判断，当较难判断时，可借助两个集合之间的关系来判断．
3. 根据充要条件求解参数范围的方法及注意点 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解． (2)注意点：区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的错误．
【典例 7】已知集合 A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且 A∩B＝B，则实数 m 的取值范围为( )
A．[－1,2)
B．[－1,3]
C．[2，＋∞)
D．[－1，＋∞)
【答案】D 【解析】A＝{x|－3≤x≤4}．又 A∩B＝B，所以 B A. ①当 B＝∅时，有 m＋1≤2m－1，解得 m≥2；
，故选 D.
【特别提醒】
1.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．
2．集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．
热门考点 02 集合间的基本关系
集合间的基本关系（1）子集：对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，我们就说集合 A 包含于
【典例 4】（2018·全国高考真题（理））已知集合 A x x2 x 2 0 ，则 ðR A
A．x 1 x 2
B．x 1 x 2
C．x | x 1 x x 2
D．x | x 1 x | x 2
【答案】B

推荐精品高考数学考点突破——集合与常用逻辑用语：集合

集合【考点梳理】1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉． (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn 图法． 2．集合间的基本关系(1)子集：若对任意x ∈A ，都有x ∈B ，则A ⊆B 或B ⊇A ．(2)真子集：若A ⊆B ，但集合B 中至少有一个元素不属于集合A ，则A ⊂≠B 或B ⊃≠A ．(3)相等：若A ⊆B ，且B ⊆A ，则A ＝B ．(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．集合的基本运算4.(1)若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有2n－1个． (2)子集的传递性：A ⊆B ，B ⊆C ⇒A ⊆C . (3)A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B .(4)∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )，∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )．【考点突破】考点一、集合的基本概念【例1】(1) 已知集合M ＝{1,2}，N ＝{3,4,5}，P ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈M ，b ∈N }，则集合P 的元素个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6(2)若集合A ＝{x ∈R|ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A ．92 B ．98C ．0D ．0或98[答案] (1) B (2) D[解析] (1) 因为a ∈M ，b ∈N ，所以a ＝1或2，b ＝3或4或5.当a ＝1时，若b ＝3，则x ＝4；若b ＝4，则x ＝5；若b ＝5，则x ＝6.同理，当a ＝2时，若b ＝3，则x ＝5；若b ＝4，则x ＝6；若b ＝5，则x ＝7，由集合中元素的特性知P ＝{4,5,6,7}，则P 中的元素共有4个．(2)若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0得a ＝98，所以a 的取值为0或98.【类题通法】与集合中的元素有关的解题策略(1)确定集合中的代表元素是什么，即集合是数集还是点集． (2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．【对点训练】1. 已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0[答案] B[解析] 因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2.2. 已知集合A ＝{x ∈R|ax 2＋3x －2＝0}，若A ＝∅，则实数a 的取值范围为________. [答案] ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－98[解析] ∵A ＝∅，∴方程ax 2＋3x －2＝0无实根，当a ＝0时，x ＝23不合题意；当a ≠0时，Δ＝9＋8a ＜0，∴a ＜－98，故实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－98. 考点二、集合间的基本关系【例2】(1) 已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R}，B ＝{x |0<x <5，x ∈N}，则( ) A ．B ⊆A B ．A ＝B C ．A ⊂≠BD ．B ⊂≠A(2) 已知集合A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－m <x <m }，若B ⊆A ，则m 的取值范围为________． [答案] (1) C (2) (－∞，1][解析] (1) 由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，∴A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，比较A ，B 中的元素可知A ⊂≠B ，故选C.(2)当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A . 当m >0时，∵A ＝{x |－1<x <3}．当B ⊆A 时，在数轴上标出两集合，如图，∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m <m .，∴0<m ≤1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]．【类题通法】1. 判断集合间关系的3种方法1．设集合A ＝{x |－x 2－x ＋2<0}，B ＝{x|2x －5>0}，则集合A 与B 的关系是( ) A ．B ⊆A B ．B ⊇A C ．B ∈A D ．A ∈B[答案] A[解析] 因为A ＝{x |－x 2－x ＋2<0}＝{x |x >1或x <－2}，B ＝{x |2x －5>0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >52.在数轴上标出集合A 与集合B ，如图所示，可知，B ⊆A .2．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．[答案] (－∞，4][解析] 当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4.综上，m 的取值范围为(－∞，4].考点三、集合的基本运算【例3】(1)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，则A∩B中元素的个数为( ) A．1 B．2C．3 D．4(2)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝( )A．{1} B．{1,2}C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}(3) 已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝( )A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}(4)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4>0}，B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤2或x≥4}C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤2}[答案] (1) B (2) C (3) D (4) D[解析] (1)A，B两集合中有两个公共元素2,4，故选B.(2)因为B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－1<x<2，x∈Z}＝{0,1}，A＝{1,2,3}，所以A∪B＝{0,1,2,3}，故选C．(3) ∵A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，∴A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，在数轴上表示如图.∴∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}，故选D.(4)依题意得A＝{x|x<－1或x>4}，因此∁R A＝{x|－1≤x≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁R A)∩B＝{x|－1≤x≤2}，故选D.【类题通法】1．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．2．集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．【对点训练】3．(1) 设集合A＝{1，3，5，7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝( )A．{1，3} B．{3，5}C．{5，7} D．{1，7}(2) 设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝( )A．(－1，1) B．(0，1)C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)(3) 设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，则∁U(A∪B)＝( )A．{2，6} B．{3，6}C．{1，3，4，5} D．{1，2，4，6}(4) 集合U＝R，A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则图中阴影部分所表示的集合是( )A．{x|x≥1} B．{x|1≤x<2}C．{x|0<x≤1} D．{x|x≤1}[答案] (1) B (2) C (3) A (4) B[解析] (1)因为A＝{1，3，5，7}，而3，5∈A且3，5∈B，所以A∩B＝{3，5}.(2) 由y＝2x，x∈R，知y>0，则A＝(0，＋∞).又B＝{x|x2－1<0}＝(－1，1).因此A∪B＝(－1，＋∞).(3) ∵A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，∴A∪B＝{1，3，4，5}，又全集U＝{1，2，3，4，5，6}，因此∁U(A∪B)＝{2，6}.(4) 易知A＝(－1，2)，B＝(－∞，1)，∴∁U B＝[1，＋∞)，A∩(∁U B)＝[1，2).因此阴影部分表示的集合为A∩(∁U B)＝{x|1≤x<2}.。

高考数学集合与常用逻辑用语考点及知识点总结解析(文科)

符号
_N__
_N_*_或N＋ _Z_
_Q__
_R_
2．集合间的基本关系
表示关系
文字语言
符号语言记法
集合A的元素都是 x∈A⇒
基子集
集合B的元素
x∈B
本
集合A是集合B的子 A⊆B，且关
系真子集集，且集合B中_至__少_ ∃x0∈B，
有一个元素不属于A x0∉A
A⊆B或 _B_⊇__A_
()
A．3
B．6
C．8
D．9
解析：集合B中元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，
(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共9个．
答案：D
2．已知a，b∈R，若 a，ba，1 ＝{a2，a＋b,0}，则a2 017＋
b2 017为
()
A．1
B．0
C．－1
D．±1
解析：由已知得a≠0，则
答案：B
2．已知集合 A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合 A∪B 中元素
的个数为________．
答案：5
3．设集合 A＝{x|(x＋1)(x－2)<0}，B＝{x|0≤x≤3}，则 A∩B
＝________.
答案：{x|0≤x<2}
1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件．
考点二集合间的基本关系
[典例引领]
1．已知集合M＝{1,2,3,4}，则集合P＝{x|x∈M且2x∉M}的子集
有
()
A．8个
B．4个
C．3个
D．2个
解析：由题意，得P＝{3,4}，所以集合P的子集有22＝4个．答案：B

2020高考数学(理科)核心考点突破(第一章集合与常用逻辑用语)

第一章集合与常用逻辑用语考纲链接1．集合(1)集合的含义与表示①了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．②能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．(2)集合间的基本关系①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．②在具体情境中，了解全集与空集的含义．(3)集合的基本运算①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．③能使用韦恩(Wenn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．2．常用逻辑用语(1)理解命题的概念．(2)了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．(3)理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．(4)了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．(5)理解全称量词和存在量词的意义．(6)能正确地对含一个量词的命题进行否定．1．1集合及其运算1．集合的基本概念(1)我们把研究对象统称为________，把一些元素组成的总体叫做________．(2)集合中元素的三个特性：______，______，__________.(3)集合常用的表示方法：________和________．2．常用数集的符号数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数集符号3.元素与集合、集合与集合之间的关系(1)元素与集合之间存在两种关系：如果a是集合A中的元素，就说a________集合A，记作________；如果a不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作________．(2)集合与集合之间的关系表示关系文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素都相同__________⇔A＝B 子集A中任意一个元素均为B中的元素________或________ 真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素________或________ 空集空集是任何集合的子集，是任何______的真子集∅⊆A，∅B(B≠∅)12n非空子集有________个，非空真子集有________个．4．两个集合A与B之间的运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示若全集为U，则集合A的补集记为________韦恩(Venn)图表示(阴影部分)意义5.集合运算中常用的结论(1)①A∩B________A；②A∩B________B；③A∩A＝________；④A∩∅＝________；⑤A∩B________B∩A.(2)①A∪B________A; ②A∪B________B；③A∪A＝________；④A∪∅＝________；⑤A∪B________B∪A.(3)①∁U(∁U A)＝________；②∁U U＝________；③∁U∅＝________；④A∩(∁U A)＝________；⑤A∪(∁U A)＝________.(4)①A∩B＝A⇔________⇔A∪B＝B；②A∩B＝A∪B⇔____________.(5)记有限集合A，B的元素个数为card(A)，card(B)，则：card(A∪B)＝____________________________；card[∁U(A∪B)]＝________________________.自查自纠：1．(1)元素集合(2)确定性互异性无序性(3)列举法描述法2．N N*(N＋)Z Q R C3．(1)属于a∈A不属于a∉A(2)A⊆B且B⊆A A⊆B B⊇A A B B A非空集合2n2n－12n－24．A∪B A∩B∁U A{x|x∈A或x∈B}{x|x∈A且x∈B}{x|x∈U且x∉A}5．(1)①⊆②⊆③A④∅⑤＝(2)①⊇②⊇③A④A⑤＝(3)①A②∅③U④∅⑤U(4)①A⊆B②A＝B(5)card(A)＋card(B)－card(A∩B)card(U)－card(A)－card(B)＋card(A∩B)(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{0，2}，B＝{－2，－1，0，1，2}，则A∩B＝() A．{0，2} B．{1，2}C．{0} D．{－2，－1，0，1，2}解：由题意知A∩B＝{0，2}．故选A.(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2＞0}，则∁R A＝() A．{x|－1＜x＜2}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2}D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}解：由x2－x－2＞0得(x－2)(x＋1)＞0，解得x ＜－1或x＞2，所以A＝{x|x＜－1或x＞2}，所以∁R A＝{x|－1≤x≤2}．故选B.(2017·全国卷Ⅱ)设集合Α＝{1，2，4}，Β＝{x|x2－4x＋m＝0}．若Α∩Β＝{1}，则Β＝() A．{1，－3} B．{1，0}C．{1，3} D．{1，5}解：由Α∩Β＝{1}得1∈B，所以m＝3，B＝{1，3}．故选C.(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为________．解：A表示圆x2＋y2＝1上所有点的集合，B表示直线y＝x上所有点的集合，故A∩B表示直线与圆的交点构成的集合，由图可知交点的个数为2，即A∩B中元素的个数为2.故填2.(2017·天津改编)设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝________．解：集合A∪B＝{1，2，4，6}，则(A∪B)∩C＝{1，2，4}．故填{1，2，4}．类型一集合及相关概念(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为 ( ) A ．9 B ．8 C ．5 D ． 4解法一：集合A ＝{(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)}，共9个元素．解法二：A 表示由圆x 2＋y 2＝3内部及边界上所有整数点构成的集合．如图，则圆内部共有9个满足题意的点．故选A. (2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则实数a ＝ ( )A.92B.98 C ．0 D ．0或98 解：若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98，所以a 的取值为0或98.故选D.点拨：题(1)要注意x ，y 的约束条件．题(2)集合A 中只有一个元素，要分a ＝0与a ≠0两种情况进行讨论，此题易忽视a ＝0的情形．用描述法表示集合，先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他类型的集合． (1)设集合A ＝{1，3，a }，B ＝{1， a 2－a ＋1}，且B ⊆A ，则a 的值为________．解：因为B ⊆A ，所以a 2－a ＋1∈A ，所以a 2－a ＋1＝3或a 2－a ＋1＝a .由a 2－a ＋1＝3，得a ＝2或a ＝－1；由a 2－a ＋1＝a ，得a ＝1.经检验，a ＝1时集合A ，B 不满足集合中元素的互异性，舍去．故 a ＝－1或a ＝2.故填－1或2.(2)已知集合A ＝{x ∈R |ax 2＋3x －2＝0}，若A ＝∅，则实数a 的取值范围为________．解：由A ＝∅知方程ax 2＋3x －2＝0无实根，当a ＝0时，x ＝23不合题意，舍去；当a ≠0时，Δ＝9＋8a <0，所以a <－98.故填⎝⎛⎭⎫－∞，－98. 类型二集合间的关系 (2018·长春市高一联考)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}． (1)若B A ，求实数m 的取值范围； (2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围．解：(1)①当B ≠∅时，如图所示．所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1＜5，2m －1≥m ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＞－2，2m －1≤5，2m －1≥m ＋1，解这两个不等式组，得2≤m ≤3.②当B ＝∅时，m ＋1＞2m －1，得m ＜2. 综上可得，m 的取值范围是(－∞，3]． (2)当A ⊆B 时，如图所示，此时B ≠∅.所以⎩⎪⎨⎪⎧2m －1＞m ＋1，m ＋1≤－2，2m －1≥5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＞2，m ≤－3，m ≥3，所以m 不存在．即不存在实数m 使A ⊆B .点拨：已知两个集合之间的关系求参数时，要根据集合间的关系来确定元素之间的关系，需关注子集是否为空集．一般地，当集合为有限集时，往往通过列方程或方程组来处理，此时需注意集合中元素的互异性；当集合为连续型无限集时，往往借助数轴列不等式或不等式组来求解，要注意运用分类与整合、数形结合等思想方法，尤其需注意端点值能否取到． (1)已知集合A ＝{x |lg x >0}，B ＝{x |x ≤1}，则 ( ) A ．A ∩B ≠∅ B ．A ∪B ＝R C ．B ⊆A D ．A ⊆B 解：由B ＝{x |x ≤1}，且A ＝{x |lg x >0}＝(1，＋∞)，所以A ∪B ＝R .故选B. (2)(2018·湖南长沙二模)已知A ＝{y |y ＝x 12，0≤x ≤1}，B ＝{y |y ＝kx ＋1，x ∈A }，若A ⊆B ，则实数k 的取值范围为 ( ) A ．{－1} B ．{k |k ＜－1} C ．{k |－1≤k ≤0} D ．{k |k ≤－1}解：由已知可得A ＝{y |y ＝x 12，0≤x ≤1}＝[0，1]，易知k ≠0，当k ＞0时，B ＝[1，1＋k ]；当k ＜0时，B ＝[1＋k ，1]．由A ⊆B 知，当k ＞0时不合题意，则1＋k ≤0，即k ≤－1.故选D.类型三集合的运算(1)(2018·浙江)已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，3}，则∁U A ＝ ( )A ．∅B ．{1，3}C ．{2，4，5}D ．{1，2，3，4，5} 解：因为U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，3}，所以∁U A ＝{2，4，5}．故选C.(2)集合P ＝{x ∈R ||x －1|<1}，Q ＝{x ∈R ||x －a |≤1}，且P ∩Q ＝∅，则实数a 的取值范围为( )A ．{a |a ≥3}B ．{a |a ≤－1}C ．{a |a ≤－1或a ≥3}D ．{a |－1≤a ≤3} 解：P ＝{x |0<x <2}，Q ＝{x |a －1≤x ≤a ＋1}，要使P ∩Q ＝∅，则a ＋1≤0或a －1≥2，解得a ≤－1或a ≥3.故选C.点拨：集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩(Venn)图等进行运算． (1)(2018·北京)已知集合A ＝{x ||x |＜2}，B ＝{－2，0，1，2}，则A ∩B ＝ ( ) A ．{0，1} B ．{－1，0，1}C ．{－2，0，1，2}D ．{－1，0，1，2}解：因为|x |＜2，所以－2＜x ＜2，所以A ＝{x |－2＜x ＜2}．因为B ＝{－2，0，1，2}，所以A ∩B＝{0，1}．故选A. (2)设全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，P ＝{1，2，3，4，5}，Q ＝{3，4，5，6，7}，则P ∩(∁U Q )等于 ( )A ．{1，2}B ．{3，4，5}C ．{1，2，6，7}D ．{1，2，3，4，5} 解：因为∁U Q ＝{1，2}，所以P ∩(∁U Q )＝{1，2}．故选A.类型四韦恩(V enn)图(2018·河北武邑质检改编)已知全集 U ＝R ，集合A ＝{y |y ＝x 2＋2，x ∈R }，集合B ＝{x |y ＝lg(9－x 2)}，则阴影部分表示的集合为 ( )A ．[－3，2]B ．(－3，2)C ．(－3，2]D ．[－3，2)解：由函数y ＝x 2＋2≥2，得A ＝[2，＋∞)，由函数y ＝lg(9－x 2)，得9－x 2＞0，即B ＝(－3，3)．因为全集U ＝R ，所以∁U A ＝(－∞，2)，图中阴影部分表示的集合为B ∩∁U A ＝(－3，2)．故选B.点拨：韦恩(V enn)图能更直观地表示集合之间的关系，先化简集合，再由韦恩(Venn)图所表示的集合关系进行运算．如图，全集I ＝R ，集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |1＜x ＜3}，则图中阴影部分所表示的集合为 ( )A ．{x |1＜x ＜2}B ．{x |0＜x ＜3}C ．{x |x ＜3}D ．{x |x ＞0} 解：由图可知，阴影部分表示的是集合A ∪B ＝{x |0＜x ＜3}．故选B. 1．首先要弄清构成集合的元素是什么，如是数集还是点集，要明了集合{x |y ＝f (x )}，{y |y ＝f (x )}，{(x ，y )|y ＝f (x )}三者是不同的．2．集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数以及在含参的集合运算中，常因忽视互异性，疏于检验而出错．3．数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助韦恩(Venn)图实施；对连续的数集间的运算，常利用数轴进行；对点集间的运算，则往往通过坐标平面内的图形求解．这在本质上是数形结合思想的体现和运用． 4．空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽视空集是任何集合的子集． 5．五个关系式A ⊆B ，A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B ，∁U B ⊆∁U A 以及A ∩(∁U B )＝∅是两两等价的．对这五个式子的等价转换，常使较复杂的集合运算变得简单． 6．正难则反原则对于一些比较复杂，比较抽象，条件和结论不明确，难以从正面入手的涉及集合的数学问题，在解题时要调整思路，考虑问题的反面，探求已知与未知的关系，化难为易，化隐为显，从而解决问题．例如：已知A ＝{x |x 2＋x ＋a ≤0}，B ＝{x |x 2－x ＋2a －1＜0}，C ＝{x |a ≤x ≤4a －9}，且A ，B ，C 中至少有一个不是空集，求a 的取值范围．这个问题的反面即是三个集合全为空集，即⎩⎪⎨⎪⎧1－4a ＜0，1－4（2a －1）≤0，a ＞4a －9，解得58≤a ＜3，从而所求a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ＜58或a ≥3.1．(2016·四川)设集合A ＝{x |－2≤x ≤2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中元素的个数是 ( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6解：由题意，A ∩Z ＝{－2，－1，0，1，2}，则元素的个数为5.故选C.2．(2016·全国卷Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，B ＝{x |2x －3＞0}，则A ∩B ＝( ) A.⎝⎛⎭⎫－3，－32 B.⎝⎛⎭⎫－3，32 C.⎝⎛⎭⎫1，32 D.⎝⎛⎭⎫32，3 解：A ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}＝{x |1＜x ＜3}，B ＝{x |2x －3＞0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞32，所以A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |32＜x ＜3.故选D. 3．已知全集R ，集合A ＝{x |(x －1)(x ＋2)(x －2)＝0}，B ＝{y |y ≥0}，则A ∩(∁R B )为( ) A ．{1，2，－2} B ．{1，2} C ．{－2} D ．{－1，－2}解：A ＝{1，2，－2}，而B 的补集是{y |y <0}，故两集合的交集是{－2}．故选C.4．(2018·海淀一模)设集合P ＝{m |－1＜m ≤0}，Q ＝{m ∈R |mx 2＋4mx －4＜0对任意实数x 恒成立}，则下列关系成立的是 ( ) A ．P Q B ．P QC ．P ＝QD ．P ∩Q ＝∅ 解：Q ＝{m ∈R |mx 2＋4mx －4＜0对任意实数x 恒成立}，对m 分类：①当m ＝0时，－4＜0恒成立；②当m ＜0时，需Δ＝(4m )2－4×m ×(－4)＜0，解得－1＜m ＜0.综合①②知－1＜m ≤0.故选C.5．集合P ＝{1，4，9，16，…}，若a ∈P ，b ∈P ，则a b ∈P ，则运算可能是( )A ．除法B ．加法C ．乘法D ．减法解：当为除法时，14∉P ，所以排除A ；当为加法时，1＋4＝5∉P ，所以排除B ；当为乘法时，m 2·n 2＝(m n)2∈P ，C 正确；当为减法时，1－4∉P ，所以排除D.故选C.6．设全集U 为整数集，集合A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}，B ＝{x ∈Z |－1<x ≤3}，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为 ( )A ．3B ．4C ．7D ．8 解：A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}＝{x ∈N |7x － x 2－6≥0}＝{x ∈N |1≤x ≤6}，由题意知，图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝{1，2，3}，其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，共7个．故选C. 7．(2018·黄冈市高一质检)已知A ＝{x ∈R |x ＜－2或x ＞3}，B ＝{x ∈R |a ≤x ≤2a －1}，若A ∪B ＝A ，则实数a 的取值范围为________．解：因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A .①当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞3，a ≤2a －1或⎩⎪⎨⎪⎧2a －1＜－2，a ≤2a －1，解得a ＞3. ②当B ＝∅时，由a ＞2a －1，得a ＜1. 综上可知，实数a 的取值范围是{a |a ＜1或a ＞3}．故填{a |a ＜1或a ＞3}． 8．已知集合A ，B 与集合A @B 的对应关系如下表： A {1，2，3，4，5}{－1，0，1}{－4，8}B{2，4，6，8} {－2，－1，0，1} {－4，－2，0，2}A @B {1，3，5，6，8}{－2}{－2，0，2，8}若A ＝{－2 019，0，2 018}，B ＝{－2 019，0，2 017}，试根据图表中的规律写出A @B ＝________.解：由规律知，A @B 是由A ∪B 中元素去掉A ∩B 中元素构成的集合，故A @B ＝{2017，2018}．故填{2017，2018}．9．已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m ，－3}，且3∈A ，求m 的值．解：因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，解得m ＝1或m ＝－32.当m ＝1时，m ＋2＝2m 2＋m ＝3，不满足集合元素的互异性，当m ＝－32时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，12，3满足题意．故m ＝－32.10．(2018·珠海四中检测)若A ＝{x 2，2x －1，－4}，B ＝{x －5，1－x ，9}，A ∩B ＝{9}，求A ∪B .解：由A ∩B ＝{9}可知9∈A ，则x 2＝9或2x －1＝9，解得x ＝±3或5.当x ＝3时，A ＝{9，5，－4}，B ＝{－2，－2，9}，集合B 中元素不满足互异性，故舍去；当x ＝－3时，A ＝{9，－7，－4}，B ＝{－8，4，9}，满足题意，此时A ∪B ＝{－7，－4，－8，4，9}；当x ＝5时，A ＝{25，9，－4}，B ＝{0，－4，9}，此时A ∩B ＝{－4，9}，矛盾，故舍去．综上，A ∪B ＝{－7，－4，－8，4，9}． 11．(2018·南京市高一联考)设集合A ＝ {x |x 2＋4x ＝0，x ∈R }，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解：A ＝{x |x 2＋4x ＝0，x ∈R }＝{－4，0}，因为B ⊆A ，所以分B ＝A 和B A 两种情况讨论．①当A ＝B 时，B ＝{－4，0}，则有－4，0是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两根，于是得a ＝1.②当B A 时，若B ≠∅，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，验证知B ＝{0}满足条件；若B ＝∅，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＜0，解得a＜－1.综上可知，所求实数a 的取值范围是{a |a ＝1或a ≤－1}．(2018·河北衡水中学模拟)对于任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“※”如下：当m ，n都是正奇数时，m ※n ＝m ＋n ；当m ，n 不全为正奇数时，m ※n ＝mn .在此定义下，集合M ＝{(a ，b )|a ※b ＝16，a ∈N *，b ∈N *，a ≠b }的真子集的个数是( )A ．27－1B ．211－1C ．212－1D ．214－1 解：因为16是偶数，所以M ＝{(1，16)，(2，8)，(16，1)，(8，2)，(1，15)，(15，1)，(3，13)，(13，3)，(5，11)，(11，5)，(7，9)，(9，7)}，共12个元素，则集合M 的真子集个数为212－1.故选C.1．2命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题的概念(1)一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以__________的陈述句叫做命题，其中__________的语句叫做真命题，____________的语句叫做假命题．(2)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们称这两个命题为____________．(3)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题称为________________．(4)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题称为________________．(5)一般地，设“若p，则q”为原命题，那么______________就叫做原命题的逆命题；________________就叫做原命题的否命题；________________就叫做原命题的逆否命题．2．四种命题间的相互关系(1)四种命题间的相互关系图(请你补全)(2)真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有________的真假性，即等价；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性________．3．充分条件和必要条件(1)如果p⇒q，则称p是q的______，q是p的________________________．(2)如果________，且________，那么称p是q 的充分必要条件，简称p是q的__________，记作________．(3)如果p⇒q，但q p，那么称p是q的________条件．(4)如果________，但________，那么称p是q 的必要不充分条件．(5)如果________，且________，那么称p是q 的既不充分也不必要条件．自查自纠：1．(1)判断真假判断为真判断为假(2)互逆命题(3)互否命题(4)互为逆否命题(5)若q，则p若綈p，则綈q若綈q，则綈P2．(1)(2)①相同②没有关系3．(1)充分条件必要条件(2)p⇒q q⇒p充要条件p⇔q(3)充分不必要(4)p q q⇒p(5)p q q p下列语句为命题的是() A．对角线相等的四边形B．a＜5C．x2－x＋1＝0D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形解：只有选项D是可以判断真假的陈述句，故选D .(2018·天津)设x∈R，则“⎪⎪⎪⎪x－12＜12”是“x3＜1”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：因为⎪⎪⎪⎪x －12＜12，所以0＜x ＜1.又因为x 3＜1，所以x ＜1.因为0＜x ＜1⇒x ＜1，但x ＜10＜x ＜1，所以“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的充分不必要条件．故选A . (2018·北京)设a ，b 均为单位向量，则“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的 ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解：|a －3b |＝|3a ＋b |的两边平方得|a |2－6a ·b ＋9|b |2＝9|a |2＋6a ·b ＋|b |2，所以8|a |2＋12a ·b －8|b |2＝0，所以2|a |2＋3a ·b －2|b |2＝0.因为|a |＝|b |＝1，所以3a ·b ＝0，所以a ·b ＝0，所以a ⊥b .反之，步步可逆，故是充分必要条件．故选C . (教材练习改编)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是__________．解：原命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．故填若tan α≠1，则α≠π4.已知集合M ＝{x |1<x <a }，N ＝{x |1<x <3}，则“a ＝3”是“M ⊆N ”的________条件．解：a ＝2时亦有M ⊆N .故填充分不必要．类型一四种命题及其相互关系写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并分别判断四种命题的真假． (1)若a ＞b ，则a c 2＞b c 2； (2)在△ABC 中，若AB ＞AC ，则∠C ＞∠B ； (3)若x 2－2x －3＞0，则x ＜－1或x ＞3.解：(1)因为当c ＝0时，a c 2＝b c 2，所以原命题为假命题．逆命题：若a c 2＞b c 2，则a ＞b .它为真命题．否命题：若a ≤b ，则a c 2≤b c 2.它为真命题．逆否命题：若a c 2≤b c 2，则a ≤b .它为假命题． (2)逆命题：在△ABC 中，若∠C ＞∠B ，则AB＞AC .否命题：在△ABC 中，若AB ≤AC ，则∠C ≤∠B . 逆否命题：在△ABC 中，若∠C ≤∠B ，则AB ≤AC .这里，四种命题都是真命题． (3)逆命题：若x ＜－1或x ＞3，则x 2－2x －3＞0. 否命题：若x 2－2x －3≤0，则－1≤x ≤3. 逆否命题：若－1≤x ≤3，则x 2－2x －3≤0. 这里，四种命题都是真命题．点拨：写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题，关键是找出原命题的条件p 与结论q ，将原命题写成“若p ，则q ”的形式．在题(2)中，原命题有大前提“在△ABC 中”，在写出它的逆命题、否命题和逆否命题时，应当保留这个大前提．题(3)中“x ＜－1或x ＞3”的否定形式是“x ≥－1且x ≤3”，即“－1≤x ≤3”．写出下列命题的否定形式和否命题．(1)若xy ＝0，则x ，y 中至少有一个为零； (2)若a ＋b ＝0，则a ，b 中最多有一个大于零；(3)若四边形是平行四边形，则其相邻两个内角相等；(4)有理数都能写成分数．解：(1)否定形式：若xy ＝0，则x ，y 都不为零．否命题：若xy ≠0，则x ，y 都不为零．(2)否定形式：若a ＋b ＝0，则a ，b 都大于零．否命题：若a ＋b ≠0，则a ，b 都大于零．(3)否定形式：若四边形是平行四边形，则它的相邻内角不都相等．否命题：若四边形不是平行四边形，则它的相邻内角不都相等．(4)否定形式：有理数不都能写成分数．否命题：非有理数不都能写成分数．类型二充要条件的判定指出下列各组中，p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：A＝B，q：sin A＝sin B；(2)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0；(3)非空集合A，B(A∩B＝∅)中，p：x∈(A∪B)，q：x∈B；(4)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6.解：(1)在△ABC中，A＝B⇒sin A＝sin B；反之，若sin A＝sin B，因为A与B不可能互补(三角形三个内角之和为180°)，所以只有A＝B，故p是q的充要条件．(2)条件p：x＝1且y＝2，条件q：x＝1或y＝2，所以p⇒q但q p，故p是q的充分不必要条件．(3)显然x∈(A∪B)不一定有x∈B，但x∈B一定有x∈(A∪B)，所以p是q的必要不充分条件．(4)易知綈p ：x + y = 8，綈q ：x = 2且y = 6，显然点拨：充要条件的三种判断方法：①定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；②集合法：根据由p，q成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；③等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．(1)(2017·辽宁实验中学月考)若a，b，c，d∈R，则“a＋d＝b＋c”是“a，b，c，d依次成等差数列”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：若a，b，c，d依次成等差数列，则有a＋d ＝b＋c；反之，如2＋3＝1＋4，但2，1，4，3不成等差数列．所以“a＋d＝b＋c”是“a，b，c，d依次成等差数列”的必要不充分条件．故选B.(2)(2018·上海春季高考题)设S n为数列{a n}的前n项和，“{a n}是递增数列”是“{S n}是递增数列”的() A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件解：若a n＝2n－10，则S4＜S3，所以非充分．若a n ＝1n，则{S n}递增，此时{a n}递减，所以非必要．故选D.类型三充要条件的应用(1)(2018·天津一中月考)已知p：x≥k，q：3x＋1＜1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是() A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)C．[1，＋∞) D．(－∞，－1]解：由3x＋1＜1，得3x＋1－1＝2－xx＋1＜0，即(x－2)(x＋1)＞0，解得x＜－1或x＞2.由p是q的充分不必要条件知，k＞2.故选B.(2)(2018·海口模拟)已知集合A＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|12＜2x＜8，B＝{x|－1＜x＜m＋1}，若x∈B成立的充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是()A．[2，＋∞) B．(－∞，2]C．(2，＋∞) D．(－2，2)解：由题意得，A＝{x|－1＜x＜3}，又x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，则有A B，所以m＋1＞3，即m＞2.故选C.点拨：①求解充要条件的应用问题时，一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．②求解参数的取值范围时，一定要注意对区间端点值进行检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现错误．(1)设p：|4x－3|≤1，q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是()A.⎣⎡⎦⎤0，12 B.⎝⎛⎭⎫0，12C．(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞D．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞解：由|4x －3|≤1得12≤x ≤1，由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)＝(x －a )[x －(a ＋1)]≤0得a ≤x ≤a ＋1，因为綈p 是綈q 的必要不充分条件，所以p 是q 的充分不必要条件，有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1＞1 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜12，a ＋1≥1，得0≤a ≤12.故选A.(2)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的取值范围为________．解：由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，所以 P ＝{x |－2≤x ≤10}．由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以0≤m ≤3.故填[0，3]．1．命题及其真假判断(1)判断一个语句是否为命题，就是要看它是否具备“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件．只有这两个条件都具备的语句才是命题． (2)判断一个命题的真假，首先要分清命题的条件和结论．对涉及数学概念的命题真假的判断，要以数学定义、定理为依据(数学定义、定理都是命题，且都是真命题)，从概念的本身入手进行判断．2．四种命题间的相互关系及应用(1)在判断四种命题之间的关系时，首先要注意分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”． (2)当一个命题有大前提而要写其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其他三种命题时，应把其中一个(或几个)作为大前提． (3)判断命题的真假，如果不易直接判断，可正难则反，应用互为逆否命题的等价性来判断． 3．“否命题”与“命题的否定”的区别“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念，“否命题”是对原命题既否定其条件，又否定其结论，而“命题的否定”只否定命题的结论． 4．充要条件的三种判断方法(1)定义法：分三步进行，第一步，分清条件与结论；第二步，判断p ⇒q 及q ⇒p 的真假；第三步，下结论．(2)等价法：将命题转化为另一个等价且容易判断真假的命题．一般地，这类问题由几个充分必要条件混杂在一起，可以画出关系图，运用逻辑推理判断真假．(3)集合法：写出集合A ＝{x |p (x )}及B ＝{x |q (x )}，利用集合之间的包含关系加以判断： ①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；②若A B ，则p 是q 的充分不必要条件； ③若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件；④若B A ，则p 是q 的必要不充分条件；⑤若A ＝B ，则p 是q 的充要条件； ⑥若A B 且B A ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．1．(2018·四川成都一诊)命题“若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c ”的否命题是 ( ) A ．若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c B ．若a ＋c ≤b ＋c ，则a ≤bC ．若a ＋c ＞b ＋c ，则a ＞bD ．若a ＞b ，则a ＋c ≤b ＋c 解：“若p ，则q ”的否命题是“若綈p ，则綈q ”，所以原命题的否命题是“若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c ”．故选A .2．(2018·天津模拟)设x ＞0，y ∈R ，则“x ＞y ”是“x ＞|y |”的 ( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解：x ＞y x ＞|y |(如x ＝1，y ＝－2)．但x ＞|y |时，必有x ＞y .所以“x ＞y ”是“x ＞|y |”的必要不充分条件．故选C. 3．(2017·南昌三校联考)下列说法中正确的是( )A ．若α＞β，则sin α＞sin βB ．命题“∀x ＞1，x 2＞1”的否定是“∃x 0≤1，x 20≤1”C ．命题“若x ≤43，则1x －1≥3”的逆命题是真命题D ．“若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0”的逆否命题为“若x ≠0或y ≠0，则xy ≠0”解：若α＝120°，β＝60°，则α＞β，sin α＝sin β，故A 错误；命题“∀x ＞1，x 2＞1”的否定是“∃x 0＞1，x 20≤1”，故B 错误；命题“若x ≤43，则1x －1≥3”的逆命题是“若1x －1≥3，则x ≤43”，解1x －1≥3得1＜x ≤43，此时满足x ≤43，故C 正确；“若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0”的逆否命题为“若x ≠0且y ≠0，则xy ≠0”，故D 错误．故选C . 4．“a ＝1”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[1，＋∞)上为增函数”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解：若“a ＝1”，则函数f (x )＝|x －a |＝|x －1|在区间[1，＋∞)上为增函数；当a ＝0时，f (x )＝|x －a |在区间[1，＋∞)上亦为增函数，所以“a ＝1”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[1，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．故选A . 5．(2018·云南民族中学适应性考试)下列说法中，正确的个数是 ( ) ①若f (x )＝12x ＋1＋a 为奇函数，则a ＝12； ②“在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ”的逆命题是假命题； ③“三个数a ，b ，c 成等比数列”是“b ＝a c ”的既不充分也不必要条件； ④命题“∀x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是“∃x 0∈R ，x 30－x 20＋1＞0”．A ．0B ．1C ．2D ．3 解：若f (x )＝12x ＋1＋a 为奇函数，则f (0)＝0，解得a ＝－12，所以①不正确；在△ABC 中，令角A ，B的对边分别为a ，b ，由A ＞B ，可得a ＞b ，由正弦定理得sin A ＞sin B ，原命题的逆命题是真命题，所以②不正确；三个数a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ，所以b ＝±ac ，若a ＝b ＝c ＝0，则满足b ＝ac ，但三个数a ，b ，c 不成等比数列，所以“三个数a ，b ，c 成等比数列”是“b ＝ac ”的既不充分也不必要条件，所以③正确；命题“∀x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是“∃x 0∈R ，x 30－x 20＋1＞0”，所以④正确．故选C .6．设a ，b 为正数，则“a －b >1”是“a 2－b 2>1”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：a －b >1，即a >b ＋1.因为a ，b 为正数，所以a 2>(b ＋1)2＝b 2＋1＋2b >b 2＋1，即a 2－b 2>1成立．反之，当a ＝3，b ＝1时，满足a 2－b 2>1，但a －b >1不成立．所以“a －b >1”是“a 2－b 2>1”的充分不必要条件．故选A .7．命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是________．解：“都是”的否定是“不都是”，故其逆否命题是“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”．故填若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数． 8．(2018·黑龙江大庆教学质量检测)已知p ：x ≤1＋m ，q ：|x －4|≤6.若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________．解：由|x －4|≤6，解得－2≤x ≤10，因为p 是q的必要不充分条件，所以m ＋1≥10，解得m ≥9.故填{m |m ≥9}．9．写出命题“若x －2＋(y ＋1)2＝0，则x ＝2且y ＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：逆命题：若x ＝2且y ＝－1，则x －2＋(y ＋1)2＝0；(真)否命题：若x －2＋(y ＋1)2≠0，则x ≠2或y ≠－1；(真) 逆否命题：若x ≠2或y ≠－1，则x －2＋(y ＋1)2≠0.(真)． 10．若p ：a ∈R ，a 2<1，q ：关于x 的一元二次方程x 2＋(a ＋1)x ＋a －2＝0的一个根大于零，另一个根小于零，判断p 是q 的什么条件？解：一元二次方程的判别式Δ＞0，故其有两个不等实根．p ：a ∈R ，a 2＜1⇔－1＜a ＜1⇒a －2＜0，可知方程的两根异号，故p 是q 的充分条件；显然p不是q 的必要条件，如当a ＝1时，方程的一个根大于零，另一根小于零．因此p 是q 的充分不必要条件．11．(2018·石家庄二模)已知p ：x 2－3x －4≤0，q ：x 2－6x ＋9－m 2≤0，若綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解：因为綈q 是綈p 的充分不必要条件，所以p是q 的充分不必要条件，所以{x |x 2－3x －4≤0}{x |x 2－6x ＋9－m 2≤0}，所以{x |－1≤x ≤4}{x |(x ＋m －3)(x －m －3)≤0}．当－m ＋3＝m ＋3，即m ＝0时，不合题意．当－m ＋3＞m ＋3，即m ＜0时，有{x |－1≤x ≤4}{x |m ＋3≤x ≤－m ＋3}，此时⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3≤－1，－m ＋3≥4(两等号不能同时取得)，解得m ≤－4. 当－m ＋3＜m ＋3，即m ＞0时，有{x |－1≤x ≤4}{x |－m ＋3≤x ≤m ＋3}，此时⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋3≤－1，m ＋3≥4(两等号不能同时取得)，解得m ≥4. 综上，实数m 的取值范围是{m |m ≤－4或m ≥4}．(湖北部分重点中学2018届联考)已知p ：x ，y ∈R ，x 2＋y 2<2，q ：x ，y ∈R ，|x |＋|y |<2，则p 是q 的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．必要充分条件D ．既不充分也不必要条件解：如图所示：“x 2＋y 2<2”对应的图形为半径为2的圆的内部，“|x |＋|y |<2”对应的图形为边长为22的正方形的内部．由图知，x 2＋y 2<2对应的图形在|x |＋|y |<2对应的图形的内部，故p 是q 的充分不必要条件．故选A.1．3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．逻辑联结词命题中的“或”“且”“非”称为__________．2．全称量词“所有的”“任意一个”“每一个”等短语在逻辑中通常叫做____________，并用符号“________”表示．含有全称量词的命题称为____________，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)．3．存在量词“存在一个”“至少有一个”等短语在逻辑中通常叫做______________，并用符号“________”表示．含有存在量词的命题称为______________，特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．注：特称命题也称存在性命题．4．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)因此，全称命题的否定是________命题；特称命题的否定是________命题．5．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断(真值表)p q p∧q p∨q 綈p真真①②③真假④⑤⑥假真⑦⑧⑨假假○10⑪⑫注：“p∧q”“p∨q”“綈p”统称为复合命题，构成复合命题的p命题，q命题称为简单命题．自查自纠：1．逻辑联结词2．全称量词∀全称命题3．存在量词∃特称命题4．∃x0∈M，綈p(x0)∀x∈M，綈p(x)特称全称5．①真②真③假④假⑤真⑥假⑦假⑧真⑨真○10假⑪假⑫真(2018·陕西部分学校摸底)命题“∀x>0，xx－1>0”的否定是() A．∃x0≥0，x0x0－1≤0 B．∃x0>0，0≤x0≤1 C．∀x>0，xx－1≤0 D．∀x<0，0≤x≤1 解：因为xx－1>0⇔x<0或x>1，所以xx－1>0的否定是0≤x≤1，所以命题的否定是“∃x0>0，0≤x0≤1”．故选B.(2018·河北武邑中学模拟)下列命题为假命题的是() A．∀x∈R，2 018x－2＞0B．∃x0∈R，tan x0∈RC．∃x0∈R，lg x0＜0D．∀x∈R，(x－100)2 018＞0解：对于A，指数式2 018x－2恒大于0，A为真命题；对于B，正切函数的值域为R，B为真命题；对于C，对数函数的值域为R，故C为真命题；对于D，x＝100时，(x－100)2 018＝02 018＝0，D为假命题．故选D.(2017·山东)已知命题p：∀x＞0，ln(x＋1)＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是() A．p∧q B．p∧(綈q)C．(綈p)∧q D．((綈p)∧(綈q)解：由x ＞0时x ＋1＞1，知p 是真命题，由－1＞－2，(－1)2＜(－2)2可知q 是假命题，即p ，綈q 均是真命题．故选B.命题“∀x ∈R ，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是________________________．解：由定义知命题的否定为“∃x 0∈R ，|x 0－2|＋|x 0－4|≤3”．故填∃x 0∈R ，|x 0－2|＋|x 0－4|≤ 3. 已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋a ≤0，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________．解：因为p 是假命题，则綈p 为真命题，即“∀x ∈R ，x 2＋2ax ＋a ＞0”为真命题，所以Δ＝ 4a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜1.故填(0，1)．类型一含有逻辑联结词的命题及其真假判断(1)(2018·江西南昌模拟)设命题p ：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＋1x 0＞3，命题q ：∀x ∈(2，＋∞)，x 2＞2x ，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧(綈q)B ．(綈p)∧qC ．p ∧qD ．(綈p)∨q解：命题p ：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＋1x 0＞3，当 x 0＝3时，3＋13＞3，命题为真．命题q ：∀x ∈(2，＋∞)，x 2＞2x ，当x ＝4时，两式相等，命题为假．则p ∧(綈q)为真命题．故选A .(2)已知命题p ：∀x ∈N *，⎝⎛⎭⎫12x ≥⎝⎛⎭⎫13x；命题q ：∃x 0∈N *，2x0＋21－x 0＝22，则下列命题中为真命题的是 ( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧qC ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧(綈q )解：根据幂函数的性质，可知命题p 为真命题；由2x0＋21－x＝22，得22x 0－22·2x0＋2＝0，解得2x 0＝2，即x 0＝12(或2x 0＋21－x 0≥22 x 0·21－x0＝22，当且仅当2x 0＝21－x 0，即x 0＝12时等号成立)，命题q 为假命题．所以只有p ∧ (綈q )为真命题．故选C.点拨：判断含有逻辑联结词的命题真假的一般步骤：第一步，判断复合命题的结构；第二步，判断构成这个命题的每个简单命题的真假；第三步，依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反作出判断．(1)已知命题p ：∃x 0∈R ，x 0－2>lg x 0；命题q ：∀x ∈R ，e x >1.则 ( )A ．命题p ∨q 是假命题B ．命题p ∧q 是真命题C ．命题p ∧(綈q )是真命题D ．命题p ∨(綈q )是假命题解：取x 0＝10，得x 0－2＞lg x 0，所以命题p 是真命题；取x ＝－1，得e x ＜1，所以命题q 是假命题．则p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，p ∧(綈q )是真命题，p ∨(綈q )是真命题．故选C. (2)(2018·安徽皖江名校联考)命题p ：存在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，使sin x ＋cos x ＞2；命题q ：“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是“∀x ∈(0，＋∞)， ln x ≠x －1”，则四个命题：(綈p)∨(綈q)，p ∧q ， (綈p)∧q ，p ∨(綈q)中，正确的命题个数为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4解：因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤2，所以。

高考数学考点突破——集合与常用逻辑用语：简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词【考点梳理】1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“或”“且”“非”叫做逻辑联结词． (2)命题p ∧q ，p ∨q ，⌝p 的真假判断2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．(2)全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题．全称命题“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”简记为∀x ∈M ，p (x )．(3)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．(4)特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题．特称命题“存在M 中的一个元素x 0，使p (x 0)成立”，简记为∃x 0∈M ，p (x 0)．3．含有一个量词的命题的否定【考点突破】考点一、含有逻辑联结词的命题的真假判断【例1】(1)已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若1x >1y，则x <y .在命题①p ∧q ；②p∨q；③p∧(⌝q)；④(⌝p)∨q中，真命题是( ) A．①③B．①④C．②③D．②④(2)设命题p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋1x0>3；命题q：∀x∈(2，＋∞)，x2>2x，则下列命题为真的是( )A．p∧(⌝q) B．(⌝p)∧qC．p∧q D．(⌝p)∨q[答案] (1)C (2)A[解析] (1)由不等式的性质可知，命题p是真命题，命题q为假命题，故①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③⌝q为真命题，则p∧(⌝q)为真命题；④⌝p为假命题，则(⌝p)∨q为假命题．(2)对于命题p，当x0＝4时，x0＋1x0＝174>3，故命题p为真命题；对于命题q，当x＝4时，24＝42＝16，即∃x0∈(2，＋∞)，使得2x0＝x20成立，故命题q为假命题，所以p∧(⌝q)为真命题，故选A.【类题通法】1.判断含有逻辑联结词命题真假的步骤2.p且q形式是“一假必假，全真才真”，p或q形式是“一真必真，全假才假”，非p 则是“与p的真假相反”.【对点训练】1.已知命题p：a2≥0(a∈R)，命题q：函数f(x)＝x2－x在区间[0，＋∞)上单调递增，则下列命题：①p∨q；②p∧q；③(⌝p)∧(⌝q)；④(⌝p)∨q.其中为假命题的序号为________．[答案] ②③④[解析] 显然命题p 为真命题，⌝p 为假命题．∵f (x )＝x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14，∴函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增． ∴命题q 为假命题，⌝q 为真命题．∴p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，(⌝p )∧(⌝q )为假命题，(⌝p )∨q 为假命题． 2.若命题p ：∀x ∈R ，log 2x ＞0，命题q ：∃x 0∈R ，2x 0＜0，则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∨(⌝q ) B ．p ∧q C ．(⌝p )∧q D ．p ∨q[答案] A[解析] 命题p 和命题q 都是假命题，则命题⌝p 和命题⌝q 都是真命题，故选A.考点二、全称命题、特称命题【例2】(1)设命题p ：∃n ∈N ，n 2>2n，则⌝p 为( )A ．∀n ∈N ，n 2>2nB ．∃n ∈N ，n 2≤2nC ．∀n ∈N ，n 2≤2nD ．∃n ∈N ，n 2＝2n(2)下列命题中，为真命题的是( ) A ．∀x ∈(0，＋∞)，x 2>1 B ．∃x 0∈(1，＋∞)，lg x 0＝－x 0 C ．∀a ∈(0，＋∞)，a 2>aD ．∃a 0∈(0，＋∞)，x 2＋a 0>1对x ∈R 恒成立 [答案] (1) C (2) D[解析] (1)命题p 的量词“∃”改为“∀”，“n 2>2n ”改为“n 2≤2n ”，∴⌝p ：∀n ∈N ，n2≤2n.(2)对于A ，当x ＝1时不成立；对于B ，当x ∈(1，＋∞)时，lg x >0，而－x <0，不成立；对于C ，当a ＝1时不成立；对于D，∃a0＝2∈(0，＋∞)，x2＋a0＝x2＋2>1对x∈R恒成立，正确．故选D.【类题通法】1.命题否定2步操作(1)改写量词：找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再改变量词．(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．2．真假判断注意特例全称命题与特称命题的真假判断要注意“特例”的作用，说明全称命题为假命题，只需给出一个反例；说明特称命题为真命题，只需找出一个正例．【对点训练】1．命题p：∀x<0，x2≥2x，则命题⌝p为( )A．∃x0<0，x20≥2x0B．∃x0≥0，x20<2x0C．∃x0<0，x20<2x0D．∃x0≥0，x20≥2x0[答案] C[解析] 全称命题的否定，应先改写量词，再否定结论，∴⌝p：∃x0<0，x20<02x.2．以下四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R，4x2>2x－1＋3x2，其中真命题的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．4[答案] A[解析] ∵∆＝(－3)2－4×2>0，∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，∴①为假命题；当且仅当x＝±2时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题；对∀x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题；④中，当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2；则④为假命题.考点三、由命题的真假求参数的取值范围【例3】(1)已知命题“∃x0∈R，使2x20＋(a－1)x0＋12≤0”是假命题，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，－1) B．(－1，3) C．(－3，＋∞)D．(－3，1)(2)命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0，对一切x ∈R 恒成立；命题q ：函数f (x )＝(3－2a )x是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，则实数a 的取值范围为________．[答案] (1)B (2) (－∞，－2]∪[1，2)[解析] (1)原命题的否定为∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12＞0，由题意知，为真命题，则Δ＝(a －1)2－4×2×12＜0，则－2＜a －1＜2，则－1＜a ＜3， ∴实数a 的取值范围为(－1，3).(2) p 为真：Δ＝4a 2－16<0，解得－2<a <2；q 为真：3－2a >1，解得a <1.∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p ，q 一真一假．当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a ≥1⇒1≤a <2；当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－2，a <1⇒a ≤－2.∴实数a 的取值范围为(－∞，－2]∪[1，2)．【类题通法】 1．由真假求参要转化含量词的命题的真假求参数取值问题，关键是根据量词等价转化相应的命题，一般要将其转化为恒成立或有解问题，进而根据相关知识确定对应条件．2．根据命题的真假求参数的取值范围的步骤(1)求出当命题p ，q 为真命题时所含参数的取值范围； (2)根据复合命题的真假判断命题p ，q 的真假性；(3)根据命题p ，q 的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围．【对点训练】1．若命题“对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，则k 的取值范围是________． [答案] (－4，0][解析] “对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，当k ＝0时，则有－1<0；当k ≠0时，则有k <0且∆＝(－k )2－4×k ×(－1)＝k 2＋4k <0，解得－4<k <0，综上所述，实数k 的取值范围是(－4,0]．2．已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2，2][答案] A[解析] 依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1>0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有∆＝m 2－4≥0，解得m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.∴实数m 的取值范围是[2，＋∞)．。