精品高考数学考点突破——集合与常用逻辑用语：集合
集合与常用逻辑用语高考考点梳理及真题分类解析(2022年高考备考版)
第一章集合与常用逻辑用语（2022年文科数学高考备考版）第一节集合的概念与运算一、高考考点梳理（一）、集合的基本概念1.集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.2.元素与集合的关系是属于或不属于，符号分别为∈和∉.3.集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.4.常用数集的符号：实数集记作R；有理数集记作Q；整数集记作Z；自然数集记作N；正整数集记作*N或N .+A B（四）、集合关系与运算的重要结论1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有个，真子集有-1个.n2n22.传递性：A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C .3.A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ； A ∩B ＝A ⇔A ⊆B .4.∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )；∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B ) . 二、历年高考真题题型分类突破题型一 集合的基本概念【例1】（2021全国甲卷） 设集合{}{}1,3,5,7,9,27M N x x ==>，则MN =（ ）A. {}7,9B. {}5,7,9C. {}3,5,7,9D. {}1,3,5,7,9解析：∵7,2N ⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭，∴MN ={}5,7,9，故选：B .【例2】（2020全国Ⅰ卷）已知合集{}2340A x x x =--<，{}4,1,3,5B =-，则A B =（ ）A.{}4,1-B. {}1,5C. {}3,5D. {}1,3解析：∵{}2340A x x x =--<＝{ x |－1＜ x ＜4}，∴A ∩B ＝{1,3}，故选D . 【例3】（2013全国Ⅰ卷）已知集合A ＝{1,2,3,4}，},|{2A n n x x B ∈==， 则=B A ( )．A ．}4,1{B ．}3,2{C ．}16,9{D ．}2,1{ 解析：∵B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }＝{1,4,9,16}，∴A ∩B ＝{1,4}，故选A .题型二 集合间的关系【例4】（2021全国乙卷） 已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}{}1,2,3,4M N ==，则∁U (M ∪N ) ＝（ ） A. {}5B. {}1,2C. {}3,4D. {}1,2,3,4解析：由题意可得：{}1,2,3,4MN =，则∁U (M ∪N ) ＝{}5. 故选：A .【例5】（2020全国Ⅲ卷） 已知集合{}1,2,3,5,7,11A =，{}|315B x x =<<，则A B中元素的个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5解析：根据题意，得A ∩B ＝{5,7,11}，故选B .【例6】（2017全国Ⅰ卷）已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则（ ）．A ．AB =3|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ B ．A B =∅ C ．AB 3|2x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭D ．AB=R解析：由B ={}|320x x ->，得B 3|2x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，因为A ={}|2x x <，所以A B =3|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭，故选A .题型三 集合的运算【例7】（2020全国Ⅱ卷）已知集合A={}3,x x x Z <∈，B={}1,x x x Z >∈，则A B =（ ）A. ∅B. {}3,2,2,3--C. {}2,0,2-D. {}2,2-解析：由以知，得A ＝{x |－3＜ x ＜3，x ∈Z}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞1，x ∈Z}， 所以A ∩B ＝{-2,2}，故选D .【例8】（2019全国Ⅰ卷）已知集合U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，A ＝{2，3，4，5}，B ＝{2，3，6，7}，则B ∩∁U A ＝（ ）．A ．{1，6}B ．{1，7}C ．{6，7}D ．{1，6，7}解析：∵U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，A ＝{2，3，4，5}，B ＝{2，3，6，7}， ∴∁U A ＝{1，6，7}，则B ∩∁U A ＝{6，7}，故选C ．第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件一、高考考点梳理 （一）、命题的定义可以判断真假用文字或符号表述的语句叫做命题。
高中数学知识点集 合与逻辑用语知识点推荐
高中数学知识点集合与逻辑用语知识点推荐高中数学知识点：集合与逻辑用语知识点推荐在高中数学的学习中，集合与逻辑用语是非常基础且重要的部分。
它们不仅是后续数学知识的基石，还在日常生活和其他学科中有着广泛的应用。
接下来，让我们一起深入了解这些知识点。
一、集合1、集合的概念集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体。
这些对象称为集合的元素。
比如，“我们班所有同学”就可以构成一个集合。
2、集合的表示方法（1）列举法：将集合中的元素一一列举出来，用大括号括起来。
例如，｛1, 2, 3, 4, 5}。
（2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合。
例如，｛x ｜ x 是小于 10 的正整数}。
3、集合间的关系（1）子集：如果集合 A 中的所有元素都属于集合 B，那么 A 就是B 的子集，记作 A ⊆ B。
（2）真子集：如果 A 是 B 的子集，且 B 中至少有一个元素不属于A，那么 A 就是 B 的真子集，记作 A ⊂ B。
（3）集合相等：如果 A 和 B 包含的元素完全相同，那么 A 和 B 相等，记作 A ＝ B。
4、集合的运算（1）交集：由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合，称为 A 与 B 的交集，记作A ∩ B。
（2）并集：把集合 A 和集合 B 中的所有元素合并在一起组成的集合，称为 A 与 B 的并集，记作 A ∪ B。
（3）补集：设 U 是一个全集，A 是 U 的一个子集，由 U 中所有不属于 A 的元素组成的集合，称为 A 在 U 中的补集，记作∁UA。
二、逻辑用语1、命题可以判断真假的陈述句叫做命题。
命题由题设和结论两部分组成。
例如，“如果两个角是对顶角，那么它们相等”，其中“如果”后面的部分是题设，“那么”后面的部分是结论。
2、四种命题原命题：若 p，则 q。
逆命题：若 q，则 p。
否命题：若¬p，则¬q。
逆否命题：若¬q，则¬p。
高中数学集合与常用逻辑用语知识点总结PPT课件
【注意】 （1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种 性质的命题； （2）一个全称量词命题可以包含多个变量； （3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来。 如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线 都互相平行”。
2、存在量词与存在量词命题 （1）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在 量词，并用符号“图片”表示． 【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有 的”等； （2）存在量词命题：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题。
2、集合运算中的常用二级结论（1）并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝ B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A. （2）交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B. （3）补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅．∁U(∁UA)＝A；∁U(A∪B)＝ (∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)．
【注意】 （1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些 元素具有某种性质的命题； （2）一个存在量词命题可以包含多个变量； （3）有些命题虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存 在”、“有一个”等特征都是存在量词命题
3、命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“图片”， 读作“非p”或p的否定．
知识点5 全称量词与存在量词 1、全称量词与全称量词命题 （1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常 叫作全称量词，并用符号“图片”表示．
【注意】 （1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有 题目而定； （2）常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词 语是“都” （2）全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命 题．
高中数学第一章集合与常用逻辑用语总结(重点)超详细(带答案)
高中数学第一章集合与常用逻辑用语总结(重点)超详细单选题1、已知集合M={−1,0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N，则P的真子集共有（）A．2个B．3个C．4个D．8个答案：B分析：根据交集运算得集合P，再根据集合P中的元素个数，确定其真子集个数即可.解：∵M={−1,0,1,2,3,4},N={1,3,5}∴P={1，3}，P的真子集是{1},{3},∅共3个.故选：B.2、已知集合A={1,2,3},B={(x,y)|x∈A,y∈A,|x−y∣∈A}中所含元素的个数为（）A．2B．4C．6D．8答案：C分析：根据题意利用列举法写出集合B，即可得出答案.解：因为A={1,2,3}，所以B={(2,1),(3,1),(3,2),(1,2),(1,3),(2,3)},B中含6个元素．故选：C.3、若集合A={x∣|x|≤1,x∈Z}，则A的子集个数为（）A．3B．4C．7D．8答案：D分析：先求得集合A,然后根据子集的个数求解即可.解：A={x∥x∣≤1,x∈Z}={−1,0,1}，则A的子集个数为23=8个，故选：D.4、已知集合M={x|1−a<x<2a}，N=(1,4)，且M⊆N，则实数a的取值范围是（）A．(−∞,2]B．(−∞,0]C．(−∞,13]D．[13,2]答案：C分析：按集合M 是是空集和不是空集求出a 的范围，再求其并集而得解.因M ⊆N ，而ϕ⊆N ，所以M =ϕ时，即2a ≤1−a ，则a ≤13，此时 M ≠ϕ时，M ⊆N ，则{1−a <2a 1−a ≥12a ≤4⇒{a >13a ≤0a ≤2，无解，综上得a ≤13，即实数a 的取值范围是(−∞,13]. 故选：C5、已知集合P ={x|1<x <4}，Q ={x|2<x <3}，则P ∩Q =（ ）A ．{x|1<x ≤2}B ．{x|2<x <3}C ．{x|3≤x <4}D ．{x|1<x <4}答案：B分析：根据集合交集定义求解.P ∩Q =(1,4)∩(2,3)=(2,3)故选：B小提示：本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.6、已知集合S ={x ∈N|x ≤√5}，T ={x ∈R|x 2=a 2}，且S ∩T ={1}，则S ∪T =（ ）A ．{1，2}B ．{0，1，2}C ．{-1，0，1，2}D ．{-1，0，1，2，3}答案：C分析：先 根据题意求出集合T ，然后根据并集的概念即可求出结果.S ={x ∈N|x ≤√5}={0,1,2}，而S ∩T ={1}，所以1∈T ，则a 2=1，所以T ={x ∈R|x 2=a 2}={−1,1}，则S ∪T ={−1,0,1,2}故选：C.7、设集合A ={x |−2<x <4}，B ={2,3,4,5}，则A ∩B =（ ）A ．{2}B ．{2,3}C ．{3,4}D ．{2,3,4}答案：B分析：利用交集的定义可求A∩B.由题设有A∩B={2,3}，故选：B .8、下列各式中关系符号运用正确的是（）A．1⊆{0,1,2}B．∅⊄{0,1,2}C．∅⊆{2,0,1}D．{1}∈{0,1,2}答案：C分析：根据元素和集合的关系，集合与集合的关系，空集的性质判断即可.根据元素和集合的关系是属于和不属于，所以选项A错误；根据集合与集合的关系是包含或不包含，所以选项D错误；根据空集是任何集合的子集，所以选项B错误，故选项C正确.故选：C.多选题9、若集合A={x|x=m2+n2,m,n∈Z}，则（）A．1∈A B．2∈A C．3∈A D．4∈A答案：ABD解析：分别令m2+n2等于1,2,3,4，判断m,n是否为整数即可求解.对于选项A：m2+n2=1，存在m=0,n=1或m=1,n=0使得其成立，故选项A正确；对于选项B：m2+n2=2，存在m=1,n=1，使得其成立，故选项B正确；对于选项C：由m2+n2=3，可得m2≤3，n2≤3，若m2=0则n2=3可得n=±√3，n∉z，不成立；若m2=1则n2=2可得n=±√2，n∉z，不成立；若m2=3，可得n2=0，此时m=±√3，m∉z，不成立；同理交换m与n，也不成立，所以不存在m,n为整数使得m2+n2=3成立，故选项C不正确；对于选项D：m2+n2=4，此时存在m=0,n=2或m=2,n=0使得其成立，故选项D正确，故选：ABD.10、已知全集U =R ，集合A ={x|−2≤x ≤7}，B ={x|m +1≤x ≤2m −1}，则使A ⊆∁U B 成立的实数m 的取值范围可以是（ ）A ．{m|6<m ≤10}B ．{m|−2<m <2}C ．{m|−2<m <−12}D ．{m|5<m ≤8}答案：ABC分析：讨论B =∅和B ≠∅时，计算∁U B ，根据A ⊆∁U B 列不等式，解不等式求得m 的取值范围，再结合选项即可得正确选项.当B =∅时，m +1>2m −1，即m <2，此时∁U B =R ，符合题意，当B ≠∅时，m +1≤2m −1，即m ≥2，由B ={x|m +1≤x ≤2m −1}可得∁U B ={x|x <m +1或x >2m −1}，因为A ⊆∁U B ，所以m +1>7或2m −1<−2，可得m >6或m <−12， 因为m ≥2，所以m >6，所以实数m 的取值范围为m <2或m >6，所以选项ABC 正确，选项D 不正确；故选：ABC.11、“不等式x 2−x +m >0在R 上恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）A ．m >14B ．0<m <1C ．m >2D ．m >1 答案：CD解析：先计算已知条件的等价范围，再利用充分条件和必要条件的定义逐一判断即可.因为“不等式x 2−x +m >0在R 上恒成立”，所以等价于二次方程的x 2−x +m =0判别式Δ=1−4m <0，即m >14. 所以A 选项是充要条件，A 不正确；B 选项中，m >14不可推导出0<m <1，B 不正确；C 选项中，m >2可推导m >14，且m >14不可推导m >2，故m >2是m >14的充分不必要条件，故C 正确；D 选项中，m >1可推导m >14，且m >14不可推导m >1，故m >1是m >14的充分不必要条件，故D 正确. 故选：CD.小提示：名师点评本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．12、对任意两个实数a,b ，定义min{a ，b}={a,a ≤b,b,a >b,若f (x )=2−x 2，g (x )=x 2，下列关于函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的说法正确的是（ ）A ．函数F (x )是偶函数B ．方程F (x )=0有三个解C ．函数F (x )在区间[−1,1]上单调递增D ．函数F (x )有4个单调区间答案：ABD分析：结合题意作出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，进而数形结合求解即可.解：根据函数f (x )=2−x 2与g (x )=x 2，，画出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，如图．由图象可知，函数F (x )=min {f (x ),g (x )}关于y 轴对称，所以A 项正确；函数F (x )的图象与x 轴有三个交点，所以方程F (x )=0有三个解，所以B 项正确；函数F (x )在(−∞,−1]上单调递增，在[−1,0]上单调递减，在上单调递增，在[1,+∞)上单调递减，所以C 项错误，D 项正确．故选：ABD[0,1]13、使a∈R，|a|<4成立的充分不必要条件可以是（）A．a<4B．|a|<3C．−4<a<4D．0<a<3答案：BD分析：根据集合的包含关系，结合各选项一一判断即可.由|a|<4可得a的集合是(−4,4)，A.由(−4,4)⊂≠(−∞,4)，所以a<4是|a|<4成立的一个必要不充分条件；B.由(−3,3)⊂≠(−4,4)，所以|a|<3是|a|<4成立的一个充分不必要条件；C.由(−4,4)=(−4,4)，所以−4<a<4是|a|<4成立的一个充要条件；D.由(0,3)(−4,4)，所以0<a<3是|a|<4成立的一个充分不必要条件；故选：BD.填空题14、已知集合M={m|m=x|x|+y|y|+z|z|+xyz|xyz|，x、y、z为非零实数}，则M的子集个数______答案：8分析：按x、y、z的正负分情况计算m值，求出集合M的元素个数即可得解.因为集合M={m|m=x|x|+y|y|+z|z|+xyz|xyz|，x、y、z为非零实数}，当x、y、z都是正数时，m=4，当x、y、z都是负数时，m=-4，当x、y、z中有一个是正数，另两个是负数时，m=0，当x、y、z中有两个是正数，另一个是负数时，m=0，于是得集合M中的元素有3个，所以M的子集个数是8.所以答案是：815、设P，Q为两个非空实数集合，P中含有0，2两个元素，Q中含有1，6两个元素，定义集合P+Q中的元素是a+b，其中a∈P，b∈Q，则P+Q中元素的个数是_________．答案：4分析：求得P+Q的元素，由此确定正确答案.依题意，0+1=1,0+6=6,2+1=3,2+6=8，所以P+Q共有4个元素.所以答案是：416、已知全集U=Z，定义A⊙B={x|a⋅b,a∈A,b∈B}，若A={1,2,3}，B={−1,0,1}，则∁U(A⊙B)______．答案：{x∈Z||x|≥4}分析：利用集合运算的新定义和补集运算求解.全集U=Z，定义A⊙B={x|a⋅b,a∈A,b∈B}，A={1,2,3}，B={−1,0,1}所以A⊙B={−3,−2,−1,0,1,2,3}，所以∁U(A⊙B)={x||x|≥4,x∈Z}.所以答案是：{x||x|≥4,x∈Z}解答题17、已知集合A={x|(x−a)(x+a+1)≤0}，B={x|x≤3或x≥6}.（1）当a=4时，求A∪B；（2）当a>0时，若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围.答案：（1）A∪B={x|x≤4或x≥6}；（2）(0,3].解析：（1）当a=4时，解出集合A，计算A∪B；（2）由集合法判断充要条件，转化为A⊆B，进行计算.解：（1）当a=4时，由不等式(x−4)(x+5)≤0，得−5≤x≤4，故A={x|−5≤x≤4}，又B={x|x≤3或x≥6}，所以A∪B={x|x≤4或x≥6}.（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，等价于A⊆B，因为a>0，由不等式(x−a)(x+a+1)≤0，得A={x|−a−1≤x≤a}，又B={x|x≤3或x≥6}，要使A⊆B，则a≤3或−a−1≥6，综合可得a的取值范围为(0,3].小提示：名师点评有关充要条件类问题的判断，一般可根据如下规则判断：(1)若p是q的必要不充分条件，则q对应集合是p对应集合的真子集；(2)若p是q的充分不必要条件，则p对应集合是q对应集合的真子集；(3)若p是q的充分必要条件，则p对应集合与q对应集合相等；(4)若p是q的既不充分又不必要条件，q对应集合与p对应集合互不包含．18、已知M＝{x|2≤x≤5}，N＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}．(1)若M⊆N，求实数a的取值范围；(2)若M⊇N，求实数a的取值范围．答案：(1)a∈∅(2)a≤3分析：（1）利用M⊆N，建立不等关系即可求解；（2）利用M⊇N，建立不等关系即可求解，注意当N＝∅时，也成立（1）∵M⊆N，∴{a+1≤22a−1≥5，∴a∈∅；（2）①若N＝∅，即a+1＞2a﹣1，解得a＜2时，满足M⊇N．②若N≠∅，即a≥2时，要使M⊇N成立，则{a+1≥22a−1≤5，解得1≤a≤3，此时2≤a≤3．综上a≤3．。
集合和逻辑用语
集合和逻辑用语
集合和逻辑用语在数学和逻辑学中起着重要的作用，对于描述和分析对象、关系和推理过程非常有用。
下面是一些常见的集合和逻辑用语：
集合：
1. 元素：集合中的个体，表示为 a ∈ A。
2. 子集：一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，表示为
A ⊆ B。
3. 空集：不包含任何元素的集合，表示为∅或 {}。
4. 并集：两个或多个集合的所有元素的集合，表示为A ∪B。
5. 交集：两个或多个集合共有的元素的集合，表示为A ∩ B。
6. 补集：一个集合中不属于另一个集合的元素的集合，表示为
A -
B 或 A\B。
逻辑用语：
1. 命题：陈述句，可以被判断为真或假。
2. 真值：命题的真假状态。
3. 否定：对一个命题的真假状态进行取反。
4. 合取：两个命题同时为真的组合命题，表示为 p ∧ q。
5. 析取：两个命题至少有一个为真的组合命题，表示为 p ∨ q。
6. 蕴含：如果条件 p 成立，则结论 q 也成立的组合命题，表示为p → q。
7. 等价：两个命题具有相同真值的组合命题，表示为p ↔ q。
这些用语被广泛应用于数学、逻辑学、计算机科学等领域，用于描述集合、定义关系、推理和证明等。
高考数学一轮复习知识点大全-集合与常用逻辑用语
第一部分 集合与常用逻辑用语1、集合的含义与表示（1）集合的含义：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）．不含任何元素的集合叫空集．元素a 属于集合A 记作a A ∈，元素a 不属于集合A 记作a A ∉．（2）集合中元素的性质：确定性、无序性、互异性.（3）集合的分类：有限集、无限集．特殊的集合有：空集∅，自然数集N ，正整数集N *（或N +），整数集Z ，有理数集Q ，实数集R ，复数集C ．（4）集合的表示：①列举法{,,}a b c ；②特征性质描述法{|()}x I p x ∈．（5）几个特殊的集合：①{(x ，y )|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集.②{(x ，y )|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R }二、四象限的点集.③{(x ，y )|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集.[注]：①方程组的解的集合是点集. 例：方程组⎩⎨⎧=-=+1323y x y x 的解的集合是{(2，1)}. ②点集与数集的交集是∅. 例：A ={(x ，y )| y =x +1},B={y |y =x 2+1},则A ∩B =∅．2、集合间的基本关系（1）子集：如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 就叫做集合B 的子集，记作B A ⊆或B A ⊇．如果集合A 中存在着不是集合B 的元素，则集合A 不包含于B ，记作B A ⊄或 ．（2）真子集：如果集合A 是集合B 的子集，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的真子集，记作 或 ． （3）维恩图：我们通常用一个封闭曲线的内部表示一个集合，这个区域通常叫做维恩图．（4）集合的相等：如果集合A 的每一个元素都是集合B 的元素，反过来，集合B 的每一个元素也都是集合A 的元素，则称集合A 与集合B 相等，记作A =B ．（5）相关性质：①任何一个集合是它本身的子集，记作：A A ⊆；②空集是任何集合的子集，记作：∅A ⊆；③空集是任何非空集合的真子集；B A ⊇≠A B ⊂B A ⊃≠④如果B A ⊆，同时A B ⊆，那么A =B .⑤如果B A ⊆，C B ⊆，那么C A ⊆.⑥n 个元素的子集有2n 个. 真子集有2n －1个. 非空真子集有2n －2个.3、集合的基本运算（1）交集：由既属于A 又属于B 的元素构成的集合，叫做A 、B 的交集，记作A B ， 即有{|}A B x x A x B =∈∧∈．（2）并集：把集合A 、B 中所有元素并在一起构成的集合，叫做A 、B 的并集，记作A B ， 即有{|}A B x x A x B =∈∨∈．（3）全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，通常用U 表示．（4）补集：如果A 是全集U 的一个子集，由U 中不属于A 的所有元素构成的集合，叫做A在U 中的补集，记作U C A ，即有{|}U C A x x A x U =∉∧∈．（5）运算性质：①AB B A =，A A A =，A A ∅=∅=∅，A B A B A ⊆⇔=； ②AB B A =，A A A =，A A A ∅=∅=，A B A B B ⊆⇔=； ③U AC A U =，U A C A =∅，()U U C C A A =．④*De Morgan 公式：()U U U C A C B C AB = ()U U UC A C B C A B =[注]: ①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×）②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S =N ；A +=N ，则{}0=A C S ）③ 空集的补集是全集.④若集合A =B ，则=A C B ∅，=B C A ∅，S B C C A S =)( （ 注 ：=B C A ∅）.4、常用逻辑用语（1）命题：能判断真假的语句叫做命题，常用小写英文字母表示．正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题．（2）量词与命题：① 短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词， 用符号∀表示；含有全称量词的命题叫全称命题，用符号简记为：,()x M p x ∀∈．② 短语“有一个”、“有些”、“至少有一个”、“存在”在陈述中表示所述事物的 个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，用符号∃表示；含有存在量词的命题叫存在性命题，用符号简记为：,()x M q x ∃∈．[注]:要判断全称命题为假，只需举一个反例；要判断存在性命题为真，只需举一个实例． 全称命题和存在性命题的否定：①存在性命题 :,().p x M p x ∃∈⇒它的否定为：:,().p x M p x ⌝∀∈⌝②全称命题 :,().q x M q x ∀∈⇒它的否定为：:,().q x M q x ⌝∃∈⌝[注]：含有量词的命题的否定要注意“两否一不变”：否定量词（“任意”与“存在”互变）和结论（p (x )变为p (x )），不否定范围（x M ∈不能变为x M ∉）.（3）常用词语的否定:（4）推出与充要条件:①p q ⇒：p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；②p q ⇔：p 是q 的充分且必要条件，简称充要条件．（5）高考试题中关于集合与常用逻辑用语的考查：关于集合的考查一类是与不等式的知识结合在一起，考查集合的运算；另一类以集合的概念为基本知识，创设新的情境考查考生的阅读理解能力和推理能力，这类题目通常是处在选择题第8题和填空题的第14题的位置及第20题压轴题位置，属于较难题目.关于常用逻辑用语的考查通常是以具体的章节的知识为背景考查，侧重于基本逻辑用语知识的应用，一般情况下试题属于容易题.例1：（2007年北京）已知集合{}1≤-=a x x A ，{}0452≥+-=x x x B ，若φ=B A ，则实数a 的取值范围是 ． ()3,2例2：已知命题p ：1sin ,≤∈∀x R x ，则（ C ）A.1sin ,:≥∈∃⌝x R x pB. 1sin ,:≥∈∀⌝x R x pC.1sin ,:>∈∃⌝x R x pD. 1sin ,:>∈∀⌝x R x p例3：设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉且1k A +∉，那么k 是A的一个“孤立元”，给定{1,2,3,4,5,6,7,8,}S =，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 6 个.。
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简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词【考点梳理】1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“或”“且”“非”叫做逻辑联结词．(2)命题p∧q，p∨q，p的真假判断p q p∧q p∨q p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“?”表示．(2)全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题．全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”简记为?x∈M，p(x)．(3)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“?”表示．(4)特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题．特称命题“存在M中的一个元素x0，使p(x0)成立”，简记为?x0∈M，p(x0)．3．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定?x∈M，p(x)?x0∈M，p(x0)?x0∈M，p(x0)?x∈M，p(x)【考点突破】考点一、含有逻辑联结词的命题的真假判断【例1】(1)已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若1x>1y，则x<y.在命题①p∧q；②p学习资料精品资料∨q；③p∧(q)；④(p)∨q中，真命题是( ) A．①③B．①④C．②③D．②④(2)设命题p：?x0∈(0，＋∞)，x0＋1x0>3；命题q：?x∈(2，＋∞)，x2>2x，则下列命题为真的是( )A．p∧(q) B．(p)∧qC．p∧q D．(p)∨q[答案] (1)C (2)A[解析] (1)由不等式的性质可知，命题p是真命题，命题q为假命题，故①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③q为真命题，则p∧(q)为真命题；④p为假命题，则(p)∨q为假命题．(2)对于命题p，当x0＝4时，x0＋1x0＝174>3，故命题p为真命题；对于命题q，当x＝4时，24＝42＝16，即?x0∈(2，＋∞)，使得2x0＝x20成立，故命题q为假命题，所以p∧(q)为真命题，故选 A.【类题通法】1.判断含有逻辑联结词命题真假的步骤2.p且q形式是“一假必假，全真才真”，p或q形式是“一真必真，全假才假”，非p 则是“与p的真假相反”．【对点训练】1.已知命题p：a2≥0(a∈R)，命题q：函数f(x)＝x2－x在区间[0，＋∞)上单调递增，则下列命题：①p∨q；②p∧q；③(p)∧(q)；④(p)∨q.其中为假命题的序号为________．学习资料精品资料。
高考数学复习之集合与常用逻辑用语1
A＝ A1∪ A2∪ A3∪C，B＝ B1∪ B2∪B3，则 A 和 B
注：对 P14 的分拆方法不是唯一的．
13 设 S 是整数集 Z 的非空子集，如果 ? a，b∈ S，有 ab∈S，则称 S 关于数的乘法是封 闭的．若 T， V 是 Z 的两个不相交的非空子集， T∪ V＝ Z ，且 ? a， b， c∈T，有 abc∈ T；
答案： C
16 设全集为 R，函数 f (x)＝ 1－ x2的定义域为 M ，则 ?R M 为
A ． [－ 1,1]
B ． (－1,1)
C．( －∞，－ 1]∪ [1，＋∞ ) 解析： 本题考查集合的概念和运算，
D ．(－∞，－ 1)∪(1 ，＋∞ ) 涉及函数的定义域与不等式的求解．
本题抓住集合
元素是函数自变量，构建不等式并解一元二次不等式得到集合，然后利用补集的意义求解， 使集合与函数有机结合， 体现了转化化归思想的具体应用． 从函数定义域切入， ∵ 1－ x2≥ 0，
? x， y， z∈ V，有 xyz∈ V，则下列结论恒成立的是
A ． T， V 中至少有一个关于乘法是封闭的 B．T， V 中至多有一个关于乘法是封闭的
C．T， V 中有且只有一个关于乘法是封闭的
D． T， V 中每一个关于乘法都是封闭的 解析： 取 T＝ { x|x∈ ( －∞ ，0)，且 x∈ Z } ，V＝{ x|x∈ (0，＋ ∞ )，且 x∈ Z } ∪ {0} ，可得 T
值范围是 [－ 1,1] ．
答案： C
2．设集合
M
＝
{
y|y＝|cos2x－
sin2x|，
x∈
R
}
，
N＝
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集合
【考点梳理】
1．元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉．
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn 图法．
2．集合间的基本关系
(1)子集：若对任意x ∈A ，都有x ∈B ，则A ⊆B 或B ⊇A ．
(2)真子集：若A ⊆B ，但集合B 中至少有一个元素不属于集合A ，则A ⊂≠B 或B ⊃≠A ．
(3)相等：若A ⊆B ，且B ⊆A ，则A ＝B ．
(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本运算
4.(1)若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有2n －1个．
(2)子集的传递性：A ⊆B ，B ⊆C ⇒A ⊆C .
(3)A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B .
(4)∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )，∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )．
【考点突破】
考点一、集合的基本概念
【例1】(1) 已知集合M ＝{1,2}，N ＝{3,4,5}，P ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈M ，b ∈N }，则集合P 的元素个数为( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 (2)若集合A ＝{x ∈R|ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( )
A ．92
B ．98
C ．0
D ．0或98 [答案] (1) B (2) D
[解析] (1) 因为a ∈M ，b ∈N ，所以a ＝1或2，b ＝3或4或5.当a ＝1时，若b ＝3，则x ＝4；若b ＝4，则x ＝5；若b ＝5，则x ＝6.同理，当a ＝2时，若b ＝3，则x ＝5；若b ＝4，则x ＝6；若b ＝5，则x ＝7，由集合中元素的特性知P ＝{4,5,6,7}，则P 中的元素共有4个．
(2)若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．
当a ＝0时，x ＝23
，符合题意； 当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0得a ＝98
， 所以a 的取值为0或98
. 【类题通法】
与集合中的元素有关的解题策略
(1)确定集合中的代表元素是什么，即集合是数集还是点集．
(2)看这些元素满足什么限制条件．
(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．
【对点训练】
1. 已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0 [答案] B
[解析] 因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2.
2. 已知集合A ＝{x ∈R|ax 2＋3x －2＝0}，若A ＝∅，则实数a 的取值范围为________.
[答案] ⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，－98 [解析] ∵A ＝∅，∴方程ax 2＋3x －2＝0无实根，
当a ＝0时，x ＝23不合题意；。