精品高考数学考点突破——集合与常用逻辑用语：集合

集合

【考点梳理】

1．元素与集合

(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．

(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉．

(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn 图法．

2．集合间的基本关系

(1)子集：若对任意x ∈A ，都有x ∈B ，则A ⊆B 或B ⊇A ．

(2)真子集：若A ⊆B ，但集合B 中至少有一个元素不属于集合A ，则A ⊂≠B 或B ⊃≠A ．

(3)相等：若A ⊆B ，且B ⊆A ，则A ＝B ．

(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．

3．集合的基本运算

4.(1)若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有2n －1个．

(2)子集的传递性：A ⊆B ，B ⊆C ⇒A ⊆C .

(3)A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B .

(4)∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )，∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )．

【考点突破】

考点一、集合的基本概念

【例1】(1) 已知集合M ＝{1,2}，N ＝{3,4,5}，P ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈M ，b ∈N }，则集合P 的元素个数为( )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6 (2)若集合A ＝{x ∈R|ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( )

A ．92

B ．98

C ．0

D ．0或98 [答案] (1) B (2) D

[解析] (1) 因为a ∈M ，b ∈N ，所以a ＝1或2，b ＝3或4或5.当a ＝1时，若b ＝3，则x ＝4；若b ＝4，则x ＝5；若b ＝5，则x ＝6.同理，当a ＝2时，若b ＝3，则x ＝5；若b ＝4，则x ＝6；若b ＝5，则x ＝7，由集合中元素的特性知P ＝{4,5,6,7}，则P 中的元素共有4个．

(2)若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．

当a ＝0时，x ＝23

，符合题意； 当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0得a ＝98

， 所以a 的取值为0或98

. 【类题通法】

与集合中的元素有关的解题策略

(1)确定集合中的代表元素是什么，即集合是数集还是点集．

(2)看这些元素满足什么限制条件．

(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．

【对点训练】

1. 已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( )

A ．3

B ．2

C ．1

D ．0 [答案] B

[解析] 因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2.

2. 已知集合A ＝{x ∈R|ax 2＋3x －2＝0}，若A ＝∅，则实数a 的取值范围为________.

[答案] ⎝

⎛⎭⎪⎫－∞，－98 [解析] ∵A ＝∅，∴方程ax 2＋3x －2＝0无实根，

当a ＝0时，x ＝23不合题意；