2019届高考数学(理)冲刺大题提分(7)立体几何~建系困难问题-名师讲义
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又由（1）知 面 ，以 、 、 分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
， ， ， ， ，
面 的一个法向量为 ，
设Байду номын сангаас 的法向量为 ，则有 ，
从而可得面 的一个法向量为 ， ，
设平面 与平面 所成锐二面角为 ，与 互补，则 ，
故平面 与平面 所成二面角的余弦值为 ．
2．【答案】（1）详见解析；（2） ．
则 ， ， ， ， ， ，
， ， ．
设平面 的法向量为 ，
则由 得： ．令 ，得 ， ，即 ．
设平面 的法向量为 ，
由 得： ，令 ，得 ， ，即 ．
．由图可知，二面角 的余弦值为 ．
1．[2019·安庆期末]矩形 中， ， ，点 为 中点，沿 将 折起至 ，如图所示，点 在面 的射影 落在 上．
（1）求证：面 面 ；
由题意，得 ， ， ．
∵在 中， ， 为 的中点，∴ ，
∵在 中， ， ， ， ，∴ ．
∵ ， ， 平面，∴ 平面 ，
∵ 平面 ，∴平面 平面 ．
（2）由（1）知， ， ， 平面 ，
∴ 是直线 与平面 所成的角，且 ，
∴当 最短时，即 是 的中点时， 最大．
由 平面 ， ，∴ ， ，
于是以 ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图示空间直角坐标系，
立体几何：建系困难问
[2019·长沙统测]已知三棱锥 （如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形 为边长等于 的正方形， 和 均为正三角形，在三棱锥 中：
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若点 在棱 上运动，当直线 与平面 所成的角最大时，求二面角 的余弦值．
图一图二
【答案】（1）见解析；（2） ．
【解析】（1）设 的中点为 ，连接 ， ．
根据图形得 为锐角，∴二面角 的余弦值为 ．
（1）求侧棱 的长；
（2）设 为 中点，若 ，求二面角 的余弦值．
1．【答案】（1）详见解析；（2） ．
【解析】（1）在四棱锥 中， ， ，从而有 ，
又∵ 面 ，而 面 ，∴ ，而 、 面 ，且 ，
由线面垂直定理可证 面 ，又 面 ，由面面垂直判断定定理即证面 面 ．
（2）由条件知 面 ，过点 做 的平行线 ，
则 ， ， ， ，
设 ，则 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，则有 ，
取 ，则 ，从而 ，
设 与平面 所成角为 ，∵ ，
∴ ，解得 或 ，
∴ 或 ．
（2）由（1）知， ，∴ ， ，
由（1）知，平面 的一个法向量为 ，
设平面 的一个法向量为 ，而 ， ，
∴ 取 ，则 ， ，即 ，
设二面角 的平面角为 ，∴ ，
【解析】证明：（1）先在图1中连结 ，在 中，由 ， ，
得 ，在 中，由 ， ，
得 ，∴ ，则 ，
∴ ，从而有 ， ，即在图2中有 ， ，
∴ 平面 ，则 ；
解：（2）延长 ， 交于点 ，连接 ，根据公理3得到直线 即为 ，
再根据二面角定义得到 ．在平面 内过点 作底面垂线，
以 为原点，分别为 ， ，及所作垂线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，由 ，取 ，得 ．
∴ 与平面 所成角的正弦值为 ．
3．【答案】（1） 或 ；（2） ．
【解析】（1）取 中点 ， 中点 ，连结 ， ，∵ ，∴ ，
又∵平面 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
∴ 平面 ，∴ ， ，
又∵ 是正方形，∴ ，
以 为原点 ， ， 为 ， ， 轴建立空间直角坐标系 （如图），
（2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
2．[2019·南阳期末]如图1，在矩形 中， ， ，点 在线段 上，且 ，现将 沿 折到 的位置，连结 ， ，如图2．
（1）若点 在线段 上，且 ，证明： ；
（2）记平面 与平面 的交线为 ．若二面角 为 ，求 与平面 所成角的正弦值．
3．[2019·苏州调研]如图，在四棱锥 中，已知底面 是边长为1的正方形，侧面 平面 ， ， 与平面 所成角的正弦值为 ．
如图所示：
， ， ， ， ，
面 的一个法向量为 ，
设Байду номын сангаас 的法向量为 ，则有 ，
从而可得面 的一个法向量为 ， ，
设平面 与平面 所成锐二面角为 ，与 互补，则 ，
故平面 与平面 所成二面角的余弦值为 ．
2．【答案】（1）详见解析；（2） ．
则 ， ， ， ， ， ，
， ， ．
设平面 的法向量为 ，
则由 得： ．令 ，得 ， ，即 ．
设平面 的法向量为 ，
由 得： ，令 ，得 ， ，即 ．
．由图可知，二面角 的余弦值为 ．
1．[2019·安庆期末]矩形 中， ， ，点 为 中点，沿 将 折起至 ，如图所示，点 在面 的射影 落在 上．
（1）求证：面 面 ；
由题意，得 ， ， ．
∵在 中， ， 为 的中点，∴ ，
∵在 中， ， ， ， ，∴ ．
∵ ， ， 平面，∴ 平面 ，
∵ 平面 ，∴平面 平面 ．
（2）由（1）知， ， ， 平面 ，
∴ 是直线 与平面 所成的角，且 ，
∴当 最短时，即 是 的中点时， 最大．
由 平面 ， ，∴ ， ，
于是以 ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图示空间直角坐标系，
立体几何：建系困难问
[2019·长沙统测]已知三棱锥 （如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形 为边长等于 的正方形， 和 均为正三角形，在三棱锥 中：
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若点 在棱 上运动，当直线 与平面 所成的角最大时，求二面角 的余弦值．
图一图二
【答案】（1）见解析；（2） ．
【解析】（1）设 的中点为 ，连接 ， ．
根据图形得 为锐角，∴二面角 的余弦值为 ．
（1）求侧棱 的长；
（2）设 为 中点，若 ，求二面角 的余弦值．
1．【答案】（1）详见解析；（2） ．
【解析】（1）在四棱锥 中， ， ，从而有 ，
又∵ 面 ，而 面 ，∴ ，而 、 面 ，且 ，
由线面垂直定理可证 面 ，又 面 ，由面面垂直判断定定理即证面 面 ．
（2）由条件知 面 ，过点 做 的平行线 ，
则 ， ， ， ，
设 ，则 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，则有 ，
取 ，则 ，从而 ，
设 与平面 所成角为 ，∵ ，
∴ ，解得 或 ，
∴ 或 ．
（2）由（1）知， ，∴ ， ，
由（1）知，平面 的一个法向量为 ，
设平面 的一个法向量为 ，而 ， ，
∴ 取 ，则 ， ，即 ，
设二面角 的平面角为 ，∴ ，
【解析】证明：（1）先在图1中连结 ，在 中，由 ， ，
得 ，在 中，由 ， ，
得 ，∴ ，则 ，
∴ ，从而有 ， ，即在图2中有 ， ，
∴ 平面 ，则 ；
解：（2）延长 ， 交于点 ，连接 ，根据公理3得到直线 即为 ，
再根据二面角定义得到 ．在平面 内过点 作底面垂线，
以 为原点，分别为 ， ，及所作垂线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，由 ，取 ，得 ．
∴ 与平面 所成角的正弦值为 ．
3．【答案】（1） 或 ；（2） ．
【解析】（1）取 中点 ， 中点 ，连结 ， ，∵ ，∴ ，
又∵平面 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
∴ 平面 ，∴ ， ，
又∵ 是正方形，∴ ，
以 为原点 ， ， 为 ， ， 轴建立空间直角坐标系 （如图），
（2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
2．[2019·南阳期末]如图1，在矩形 中， ， ，点 在线段 上，且 ，现将 沿 折到 的位置，连结 ， ，如图2．
（1）若点 在线段 上，且 ，证明： ；
（2）记平面 与平面 的交线为 ．若二面角 为 ，求 与平面 所成角的正弦值．
3．[2019·苏州调研]如图，在四棱锥 中，已知底面 是边长为1的正方形，侧面 平面 ， ， 与平面 所成角的正弦值为 ．