排列组合问题17种策略

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五.重排问题求幂策略 5.把 名实习生分配到7个车间实习, 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有 多少种不同的分法 完成此事共分六步: 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配 种分法. 到车间有7种分法. 把第二名实习生分配 到车间也有7种分法，依此类推, 到车间也有7种分法，依此类推,由分步计 数原理共有7 种不同的排法 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究 对象，元素不受位置的约束， 对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排 各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限 各个元素的位置，一般地 不同的元素没有限 制地安排在m个位置上的排列数为 制地安排在 个位置上的排列数为 n 种 m
解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 解决排列组合综合性问题的一般过程如下 1.认真审题弄清要做什么事 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还 怎样做才能完成所要做的事, 是分类,或是分步与分类同时进行, 是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多 少步及多少类。 少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题 有序) 确定每一步或每一类是排列问题( 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是 组合(无序)问题, 组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多 少个元素. 少个元素. 解决排列组合综合性问题， ※解决排列组合综合性问题，往往类与步交 叉，因此必须掌握一些常用的解题策略
六.环排问题线排策略 5人围桌而坐 共有多少种坐法? 人围桌而坐, 例6. 5人围桌而坐,共有多少种坐法? 坐成一排的不同点在于， 解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成 圆形没有首尾之分，所以固定一人A 圆形没有首尾之分，所以固定一人A并从 4 A4 此位置把圆形展成直线其余4人共有____ 此位置把圆形展成直线其余4人共有____ 种排法即（5-1)！ 1)！
一般地,元素分成多排的排列问题 一般地 元素分成多排的排列问题, 元素分成多排的排列问题 可归结为一排考虑,再分段研究. 可归结为一排考虑后排 再分段研究 前排
练习题
有两排座位，前排11个座位，后排12个座位， 有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现 11个座位 12个座位 安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐， 安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并 且这2人不左右相邻， 且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346 ______
相 独 独 独 相 元素相离问题可先把没有位置要求的元素进 行排队再把不相邻元素插入中间和两端
练习题 某班新年联欢会原定的5 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节 目单，开演前又增加了两个新节目. 目单，开演前又增加了两个新节目.如果 将这两个新节目插入原节目单中， 将这两个新节目插入原节目单中，且两 个新节目不相邻， 个新节目不相邻，那么不同插法的种数 为（ 30 ）
A3
（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再 插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法, 把其余4四人依次 依次插入共有 把其余4四人依次插入共有 4*5*6*7 方法 定序问题可以用倍缩法， 定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插 空模型处理 练习题 10人身高各不相等,排成前后排，每排5 10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要 人身高各不相等 求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？
5 加法原理和乘法原理：完成任务时是分类进行还是步进行。
一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字 由 可以组成多少个没有重复数字 五位奇数. 五位奇数 由于末位和首位有特殊要求,应该优先安 解:由于末位和首位有特殊要求 应该优先安 由于末位和首位有特殊要求 排,以免不合要求的元素占了这两个位置 以免不合要求的元素占了这两个位置 1 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问 先排末位共有___ 先排末位共有 C 3 题最常用也是最基本的方法, 题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为 1 然后排首位共有 C4,再处理其它元素.若以 需先安排特殊元素, 主,然后排首位共有___再处理其它元素. 需先安排特殊元素 最后排其它位置共有___ 3 最后排其它位置共有 A 43 C 1 位置分析为主,需先满足特殊位置的要求, C 1 位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再 A4 4 3 处理其它位置。若有多个约束条件，往往是 处理其它位置。若有多个约束条件， 1 1 A3 由分步计数原理得 C 3 C4 4 =288 考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件
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练习题 1. 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节 目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这 两个节目插入原节目单中，那么不同插法的 种数为（ 42 ） 层大楼一楼电梯上来8名乘客人, 2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们 到各自的一层下电梯, 到各自的一层下电梯,下电梯的方法 8 （ ） 7
A n m = n ( n − 1来自百度文库 ( n − 2 ) ⋯ ( n − m + 1)
n! = (n − m )!
C nm An m n ( n − 1) ( n − 2 ) ⋯ ( n − m + 1) = = Am m m!
4.组合数公式: 4.组合数公式: 组合数公式
n! = m !( n − m ) !
甲乙 丙丁
捆绑法来解决问题. 捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并 5 2 2 由分步计数原理可得共有 A5 A2 A2 =480 为一个元素,再与其它元素一起作排列, 为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时 种不同的排法 要注意合并元素内部也必须排列. 要注意合并元素内部也必须排列.
练习题 某人射击8 某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好 命中4 有3枪连在一起的情形的不同种数为 （ 20 ）
1.排列的定义: 1.排列的定义: 排列的定义
从n个不同元素中,任取m个元素,按照一定的 顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个 元素的一个排列。 2.组合的定义 组合的定义: 2.组合的定义: 从n个不同元素中,任取m个元素,并成一组, 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个 组合. 排列与组合的关键是问题与次序有无关系。 3.排列数公式: 3.排列数公式: 排列数公式
复习巩固
1.分类计数原理 加法原理) 1.分类计数原理(加法原理) 分类计数原理( 完成一件事， 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有 类办法，在第1 种不同的方法，在第2类办法中有m m1种不同的方法，在第2类办法中有m2 种不 同的方法， 在第n类办法中有m 同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的 方法，那么完成这件事共有： 方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 种不同的方法．N=m1 +m2 + ⋯ +mn
一般地, 一般地,n个不同元素作圆形排 B A A B C D E C 共有( 1)!种排法 种排法. 列,共有(n-1)!种排法.如果 A 个不同元素中取出m 从n个不同元素中取出m个元素 D m E 1 An 作圆形排列共有 m
练习题 6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 60 要考虑“钻石圈”可以翻转的特点 设六颗颜色不同的钻石为a,b,c d,e,f.与围桌 而坐情形不同点是a,b,c,d,e,f与f,e,d,c,b,a在 围桌而坐中是两种排法，即在钻石圈中只 是一种排法,即把钻石圈翻到一边,所求数 为：[(6－1)!]/2＝60
练习题 1.7种不同的花种在排成一列的花盆里, 1.7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两 种葵花不种在中间， 种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆 问有多少不同的种法？ 里，问有多少不同的种法？
解一：分两步完成； 第一步选两葵花之外的花占据两端和中间的位置 有 A5 种 排 法 第二步排其余的位置： A 4 种 排 法∴ 共 有 A53 A44 种 不 同 的 排 法 有 4 有 A 42 种 排 法 第二步由其余元素占位： 解二：第一步由葵花去占位：
三.不相邻问题插空策略 一个晚会的节目有4个舞蹈, 个相声, 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个 独唱,舞蹈节目不能连续出场, 独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出 场顺序有多少种？ 场顺序有多少种？ 分两步进行第一步排2个相声和3 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共 5 第二步将4 第二步将4舞蹈插入第一步排 有 A5 种， 好的6 好的6个元素中间包含首尾两个空位共有 4 种 A6 不同的方法 由分步计数原理,节目的 4 5 不同顺序共有A5 A6 种
2.分步计数原理（乘法原理） 2.分步计数原理（乘法原理） 分步计数原理 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有 种不同的方法，做第2步有m m1种不同的方法，做第2步有m2 种不同的方 做第n步有m 种不同的方法， 法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完 成这件事共有： 种不同的方法． 成这件事共有： 1 m 2 ⋯ m n种不同的方法． N=m 3.分类计数原理分步计数原理区别 3.分类计数原理 分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法 方法相互独立， 独立地完成这件事。 都可以独立地完成这件事 都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法 各步相互依存， 完成事件的一个阶段 不能完成整个事件． 一个阶段， 完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．
四.定序问题倍缩空位插入策略 4.7人排队 其中甲乙丙3 人排队, 例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多 少不同的排法 倍缩法) 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列 问题, 问题,可先把这几个元素与其他元素一起 进行排列,然后用总排列数除以这几个元 进行排列,然后用总排列数除以这几个元 素之间的全排列数, 素之间的全排列数,则共有不同排法种数 7 A7 是： 3 （空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外 空位法）设想有7 4 种方法， 的四人就坐共有 A 7 种方法，其余的三个 1 种坐法，则共有 A 74 种 种坐法， 位置甲乙丙共有 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? 方法 思考:可以先让甲乙丙就坐吗?
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有 A55 种 排 法
∴ 共 有 A 42 A55 种 不 同 的 排 法
小结：当排列或组合问题中，若某些元素或某些位置有特殊要 求 的时候，那么，一般先按排这些特殊元素或位置，然后再 按排其它元素或位置，这种方法叫特殊元素（位置）分析法。
二.相邻元素捆绑策略 7人站成一排 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相 共有多少种不同的排法. 邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成 一个复合元素， 一个复合元素，同时丙丁也看成一个 复合元素，再与其它元素进行排列， 复合元素，再与其它元素进行排列， 同时对相邻元素内部进行自排。 同时对相邻元素内部进行自排。 要求某几个元素必须排在一起的问题, 要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用
七.多排问题直排策略 7.8人排成前后两排 每排4 人排成前后两排, 例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在 前排,丁在后排, 前排,丁在后排,共有多少排法 人排前后两排,相当于 人坐8把椅子 解:8人排前后两排 相当于 人坐 把椅子 可以 人排前后两排 相当于8人坐 把椅子,可以 把椅子排成一排. 先在前4个位置排甲乙两 把椅子排成一排 2 先在前 个位置排甲乙两 个特殊元素有____种 再排后 再排后4个位置上的 个特殊元素有 A4 种,再排后 个位置上的 1 特殊元素有_____种 其余的 人在5个位置 其余的5人在 特殊元素有 A4 种,其余的 人在 个位置 2 1 5 5 上任意排列有____种 则共有 则共有_________种 上任意排列有 A5 种,则共有 A4 A4 A5 种.