排列组合问题17种策略

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高中数学排列组合问题的常见解题方法和策略(完整版)

高中数学排列组合问题的常见解题方法和策略江西省永丰中学陈保进排列组合问题是高中数学的一个难点，它和实际问题联系紧密，题型多样，解题思路灵活多变，学生不容易掌握。

下面介绍一些常见的排列组合问题的解题方法和策略。

1.相邻问题捆绑法：将相邻的几个元素捆绑成一组，当作一个大元素参与排列例1：A ,B ,C ,D ,E 五人站成一排，如果A ,B 必须相邻，则不同的排法种数为_____解析：把A ,B 捆绑，视为一个整体，整体内部排序，有22A 种情况,再将整体和另外三人排序，有44A 种情况，所以答案为22A ×44A =48注意：小集团问题也可以用捆绑法变式1：7人排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人，则不同的排法有_____种解析：把甲、乙及中间3人看作一个整体，答案为720333522=⨯⨯A A A 2.不相邻问题插空法:不相邻问题，可先把其他元素全排列，再把需要不相邻的元素插入到其他元素的空位或两端例2：七人并排站成一行，如果甲乙丙两两不相邻，那么不同的排法种数是_____解析：先将其它4人全排列，共44A 种情况，再将甲乙丙插入到其他4人的空位或两端，共35A 种情况，所以答案为44A ×35A =14403.定序问题用除法:若要求某几个元素必须保持一定的顺序，可用除法例3：A ,B ,C ,D ,E 五人站成一列，如果A 必须在B 前面，则不同的排法种数有_____解析：先将5人全排列，共55A 种情况，考虑A ,B 的顺序有22A 种，符合题意的只有一种，所以答案为602255=A A 4.特殊元素优先考虑例4：8名男生排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边，有种排法解析：①甲在最右边时，其他的可全排，有77A 种不同排法②甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有16A 种，再排乙，有16A 种排法，其余人全排列，共有77A ＋16A ×16A ×66A ＝30960种不同排法5.特殊位置优先考虑例5：从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有种解析：翻译工作是特殊位置，先选择一人参加翻译工作，14C 种情况，再从其他5人中选择5人参加导游、导购、保洁工作，有35A 种情况，答案为14C ×35A =2406.分组、分配问题：先分组后分配，如果是整体平均分组或部分平均分组，最后计算组数时要除以n n A (n 为均分的组数)，避免重复计数例6：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，则有________种不同的分法解析：第一步把书按数量1，2，3分成三组，不是平均分组，有332516C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故共有3606033=⨯A 种情况A BC DE变式1：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中有两人各得1本，一人得4本，则有________种不同的分法解析：第一步把书按数量1,1,4分成三组，为部分平均分组，有1522441516=A C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故有901533=⨯A 种情况变式2：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，每人得2本，则有_______种不同的分法解析：第一步把书按数量2,2,2分成三组，为整体平均分组，有1533222426=A C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故有901533=⨯A 种情况变式3：某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有_____种解析：①按照人数2，2，1分成3组；②按照人数3，1，1分成3组答案为15033221112353322112325=⨯+⨯A A C C C A A C C C 7.正难则反，考虑反面：例7：从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为解析：493739=-C C 此法适用于至多、至少、有、没有这类问题8.分类法（含多个限制条件的排列组合问题、多元问题）例8：甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A ，B ，C 三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A 社区，乙不去B 社区，则不同的安排方法种数为解析：分2种情况,①乙去A 社区，再将丙丁二人安排到B ，C 社区，有22A 种情况,②乙不去A 社区，则乙必须去C 社区，若丙丁都去B 社区，有1种情况，若丙丁中有1人去B 社区，则先在丙丁中选出1人，安排到B 社区，剩下1人安排到A 或C 社区，有2×2＝4种情况，所以答案为2＋1＋4＝7变式1：由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有个解析：元素多，取出的情况多种，个位数字可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有55A 、113433A A A 、113333A A A 、113233A A A 和1333A A 个数，合计为300个变式2：在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种解析：只需考虑三张奖券的归属情况，①有三人各得一张奖券，情况数为34A ；②一人获两张奖券一人获一张奖券,情况数为362423=A C ，故答案为609.可重复的排列求幂法例9：把6名实习生分配到7个车间实习，每个车间人数不限，共有种不同方法解析：每名实习生有7种分配方法，答案为7×7×7×7×7×7×7=76种不同的分法10.多排问题单排法例10：6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是解析：先排前排，36A 种情况，再排后排，33A 种情况，答案为720663336==⨯A A A如果没有条件限制，把元素排成几排和排成一排情况一样多变式1：8个人排成前后两排,每排4人,其中甲乙要排在前排,丙要排在后排,有种排法解析：先排甲乙和丙，还剩5个位置，让5个人做全排列，答案为5760551424=⨯⨯A A A 11.相同元素的分配问题隔板法（名额分配问题也可用隔板法）例11：将7个相同的小球放入四个不同的盒子，每个盒子都不空，放法有种解析：可以在7个小球的6个空位中插入3块木板，每一种插法对应一种放法，故放法有3620C =种变式1：把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有种放法解析：先向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2个球后还余下17个球，然后再把这17个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有216120C =种放法12.选排问题先取后排例12：10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为解析：首先从后排的7人中抽2人，有27C 方法；再将这2人安排在前排，第一人有4种放法，第二人有5种放法，答案为2745420C ⨯⨯=变式1：摄像师要对已坐定一排照像的6位小朋友的座位顺序进行调整，要求其中恰有3人座位不调整，则不同的调整方案的种数为______解析：从6人中任选3人有36C 种情况，将这3人位置全部进行调整，有1112112C C C ⨯⨯=种情况，答案为36240C ⨯=13.部分合条件问题排除法例13：以正方体的顶点为顶点的四面体共有个解析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成48C 个四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以答案为481258C -=变式1：四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有种A、150种B、147种C、144种D、141种解析：从10个点中任取4个的组合数为410210C =，其中4点共面的分三类：①4点在同一侧面或底面的共4组,即46460C ⨯=种②每条棱上的三点和它的对棱的中点共面,这样的共6种③所有棱的6个中点中,4点构成平行四边形共面的有3种答案为210-(60+6+3)=14114.构造模型，等价转化例14：马路上有编号为1，2，3…9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？解析：此问题相当于一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方法。

解排列组合应用题的26种策略

解排列组合应用题的26种策略排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握.解排列组合问题的基础是两个基本原理，分类用加法原理，分步用乘法原理，问题在于怎样合理地进行分类、分步，特别是在分类时如何做到既不重复，又不遗漏，正确分每一步，这是比较困难的。

要求我们周密思考，细心分析，理解并掌握解题的常用方法和技巧，掌握并能运用分类思想、转化思想、整体思想、正难则反等数学思想解决排列组合问题。

实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1、相邻排列——捆绑法：n个不同元素排列成一排，其中某k个元素排在相邻位置上，有多少种不同排法？先将这k个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其它元素一起排列，共有种排法．然后再将“捆绑”在一起的元素进行内部排列，共有种方法．由乘法原理得符合条件的排列，共种．例1.五人并排站成一排，如果必须相邻且在的右边，那么不同的排法种数有（）A、60种B、48种C、36种D、24种解析：把视为一人，且固定在的右边，则本题相当于4人的全排列，种，答案：.例2 有3名女生4名男生站成一排，女生必须相邻，男生必须相邻，共有多少种不同的站法？解：先把3名女生作为一个整体，看成一个元素，4名男生作为一个整体，看成一个元素，两个元素排列成一排共有种排法；女生内部的排法有种，男生内部的排法有种．故合题意的排法有种．2.相离排列——插空法：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.将n个不同元素排成一排，其中k个元素互不相邻，有多少种排法？先把个元素排成一排，然后把k个元素插入个空隙中，共有排法种．例3 五位科学家和五名中学生站成一排照像，中学生不相邻的站法有多少种？解：先把科学家作排列，共有种排法；然后把5名中学生插入6个空中，共有种排法，故符合条件的站法共有种站法．例4.七位同学并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为种，再用甲乙去插6个空位有种，不同的排法种数是种，选.3、定序问题---倍缩法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.此法也被叫消序法.将n个不同元素排列成一排，其中某k个元素的顺序保持一定，有多少种不同排法？n个不同元素排列成一排，共有种排法；k个不同元素排列成一排共有种不同排法．于是，k个不同元素顺序一定的排法只占排列总数的分之一．故符合条件的排列共种．例5.五人并排站成一排，如果必须站在的右边（可以不相邻）那么不同的排法种数是（）A、24种B、60种C、90种D、120种解析：在的右边与在的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即种，选.例6. A，B，C，D，E五个元素排成一列，要求A在B 的前面且D在E的前面，有多少种不同的排法？解：5个不同元素排列一列，共有种排法． A，B两个元素的排列数为；D，E两个元素的排列数为．因此，符合条件的排列法为种．4、标号排位问题---分步法：把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例7.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A、6种B、9种C、11种D、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选.5、留空排列——借元法例8、一排10个坐位，3人去坐，每两人之间都要留空位，共有种坐法。

解排列组合问题的十七种常用策略

解排列组合问题的十七种常用策略排列组合历来是学习中的难点，通过我们平时做的练习题，不难发现排列组合题的特点是条件隐晦，不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证。

同学们只有对基本的解题策略熟练掌握。

根据它们的条件,我们就可以选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实的基础。

一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置113344A A A注：位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。

若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件练习：7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 2545A A 1440二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

522522A A A =480注：要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.练习:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形有多少种？ 20三.不相邻问题插空策略例 3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有46A 种不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A =43200种注：元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端。

排列组合常见15种解题方法

排列组合常用的十五种方法一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有13C然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A =练习题:1.7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法的情形的不同种数为 ___三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种练习题：3.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 _____ 四.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7373/A A(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有47A 种方法。

思考:可以先让甲乙丙就坐吗?（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有方法练习题:4.10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？五.重排问题求幂策略例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分法依此类推,由分步计数原理共有67种不同的排法练习题：5.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 ____6. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法_______ 六.多排问题直排策略例6.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有24A 种,再排后4个位置上的特殊元素丙有14A 种,其余的5人在5个位置上任意排列有55A 种,则共有215445A A A 种前排后排允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为nm 种一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研练习题：7.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 _______七.排列组合混合问题先选后排策略例7.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有25C 种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有44A 种方法，根据分步计数原理装球的方法共有2454C A练习题：8.一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有_______种八.小集团问题先整体后局部策略例8.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有22A 种排法，再排小集团内部共有2222A A 种排法，由分步计数原理共有222222A A A 种排法.练习题：9.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为_____10. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有____种九.元素相同问题隔板策略例9.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。

数学：解排列组合应用题的21种策略

解排列组合应用题的21种策略排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有（）A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D .2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例 2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A 、1440种B 、3600种C 、48D 、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B . 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是（）A 、24种B 、60种C 、90种D 、1解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种，选B . 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B .5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（）A 、1260种B 、种C 、25D 、5040种解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520C C C =种，选C .（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（）A 、4441284C C C 种B 、44412843C C C 种 C 、4431283C C A 种D 、444128433C C C A 种答案：A .6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成3组有24C 种方法，再把三组学生分配到三所学校有33A 种，故共有234336C A =种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）A 、480种B 、240种C 、1D 、96种答案：B .7.名额分配问题隔板法:例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C =种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况： ①若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A 方法，所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有383A 种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A +++=种.9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例9（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种解析：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有55A 个， 1131131131343333323333,,,A A A A A A A A A A A 个，合并总计300个,选B .（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A =共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100A =共有86个元素；由此可知，从A 中任取2个元素的取法有214C ，从A 中任取一个，又从A 中任取一个共有111486C C ，两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种. （3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？解析：将{}1,2,3,100I =分成四个不相交的子集，能被4整除的数集{}4,8,12,100A =；能被4除余1的数集{}1,5,9,97B =，能被4除余2的数集{}2,6,,98C =，能被4除余3的数集{}3,7,11,99D =，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A 中任取两个数符合要；从,B D 中各取一个数也符合要求；从C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有211225252525C C C C ++种.10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂.例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种. 11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。

排列组合方法归纳大全

排列组合方法归纳大全解决排列组合综合性问题的一般过程如下：1。

认真审题弄清要做什么事2。

怎样做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题(有序）还是组合(无序)问题，元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一。

特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2。

7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法。

练习题：某人射击8枪，命中4枪,4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为三。

不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声，3个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序有多少种？练习题:某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。

如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为四。

定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法练习题:10人身高各不相等，排成前后排,每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法?五.重排问题求幂策略例5。

把6名实习生分配到7个车间实习，共有多少种不同的分法练习题:1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯，下电梯的方法六.环排问题线排策略例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法? 练习题:6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈七。

多排问题直排策略例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排，共有多少排法练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐,并且这2人不左右相邻,那么不同排法的种数是八.排列组合混合问题先选后排策略例8.有5个不同的小球，装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法。

排列组合全部20种方法

排列组合解法解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略1、由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.练习、 7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略2、7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.练习、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为三.不相邻问题插空策略3、一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？练习、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为四.定序问题倍缩空位插入策略4、7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法？练习、10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？五.重排问题求幂策略5、把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法练习1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法六.环排问题线排策略6、 8人围桌而坐,共有多少种坐法?练习、 6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈？七.多排问题直排策略7、8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法？前排后排练习、有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是八.排列组合混合问题先选后排策略8、有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.练习、一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有种九.小集团问题先整体后局部策略9、用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？练习、１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为 2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有种十.元素相同问题隔板策略10、有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排列共有1m n A n 一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗? 小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。

排列组合20种解题策略

是：
A
7 7
/
A
3 3
(空位法)设想有
7
把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有
A
4 7
种方法，其余的三个位置
甲乙丙共有
1
种坐法，则共有
A
4 7
种方法．思考：可以先让甲乙丙就坐吗？
(插入法)先排甲乙丙三个人，共有
1
种排法，再把其余
4
四人依次插入共有
A
4 7
种方法
【跟踪训练 8.1】10 人身高各不相等，排成前后排，每排 5 人，要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？
【解析】 C150 ．
9．平均分组问题倍缩策略
平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后要一定要除以
A
n n
(
n
为均分的
组数)避免重复计数．
【例 9】6 本不同的书平均分成 3 堆，每堆 2 本共有多少分法？
【解析】分三步取书得 C62C42C22 种方法，但这里出现重复计数的现象，不妨记 6 本书为
【答案】63 【解析】因为每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况，而只要有一个焊接点脱落，则电路就不通，故共有 26－1＝63 种可能情况．【跟踪训练 5.2】要从 12 人中选 5 人去参加一项活动，按下列要求，有多少种不同选法？
(1)甲、乙、丙三人只有一人入选； (2)甲、乙、丙三人至少一人入选； (3)甲、乙、丙三人至多二人入选．
【解析】完成此事共分六步：把第一名实习生分配到车间有 7 种分法．把第二名实习
生分配到车间也有 7 种分依此类推，由分步计数原理共有 76 种不同的排法．
【跟踪训练 1.2】教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有( )

高考数学复习专题——排列组合-概率与统计(教师版)

一、排列组合问题的解题策略一、相临问题——捆绑法例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑〞法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进展排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有种。

评注：一般地: 个人站成一排,其中某个人相邻,可用“捆绑〞法解决，共有种排法。

二、不相临问题——选空插入法例2． 7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空〞法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：种 .评注：假设个人站成一排，其中个人不相邻，可用“插空〞法解决，共有种排法。

三、复杂问题——总体排除法在直接法考虑比拟难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法〞，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。

例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个.解：从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有－3＝32个.四、特殊元素——优先考虑法对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。

例4． (1995年高考题) 1名教师和4名获奖学生排成一排照像留念，假设教师不排在两端，那么共有不同的排法种．解：先考虑特殊元素〔教师〕的排法，因教师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有种，而其余学生的排法有种，所以共有＝72种不同的排法.例5．〔2000年全国高考题〕乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种.解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有种排法，所以不同的出场安排共有＝252种.五、多元问题——分类讨论法对于元素多，选取情况多，可按要求进展分类讨论，最后总计。

17种排列组合方法

一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五 1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 位奇数. 由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 以免不合要求的元素占了这两个位置. 以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有___ 先排末位共有___ C3
甲乙
丙丁
由分步计数原理可得共有种不同的排法
A
5 2 2 A2 A2 5
=480
五.不相邻问题插空策略 3.一个晚会的节目有个舞蹈,2个相声,3个独唱, 一个晚会的节目有4 ,2个相声,3个独唱例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共分两步进行第一步排2个相声和3 A55 种，有第二步将4舞蹈插入第一步排好的6 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6 4 个元素中间包含首尾两个空位共有种 A6 不同的方法.由分步计数原理, 同的方法.由分步计数原理,节目的不同顺序 4 5 共有 A5 A6 种
一班
二班
三班
四班
五班
六班
七班
十三.重排问题求幂策略(应弄清“谁”选择“谁”）十三.重排问题求幂策略(应弄清“ 选择“ 例.把7名实习生分配到5个车间实习,共有多少种不名实习生分配到5个车间实习, 同的分法？同的分法？完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有5 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有5 种分法. 把第二名实习生分配到车间也有5种分法，种分法. 把第二名实习生分配到车间也有5种分法，依此类推, 种不同的排法. 依此类推,由分步计数原理共有 57 种不同的排法. 例.7名学生争夺5项冠军，每项冠军只能由一人名学生争夺5项冠军，获得，获得，获得冠军的可能的种数有 . 分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，可重复排列，名学生看作7 可重复排列，将7名学生看作7家“店”，五项冠军看作5 每个“ 种住宿法，看作5名“客”，每个“客”有7种住宿法，由乘法原理得7 原理得75种.

排列组合问题的解题策略

排列组合问题的解题策略关键词：排列组合,解题策略一、相临问题——捆绑法例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有A 22*A 66种。

评注：一般地: 个人站成一排,其中某个人相邻,可用“捆绑”法解决，共有种排法。

二、不相临问题——选空插入法例2． 7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，先把剩下的5人排列，5人之间有6个空，把甲乙在6个空中选2个插入，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：2655A A ⋅ 种 .评注：若个人站成一排，其中个人不相邻，可用“插空”法解决，共有种排法。

三、复杂问题——总体排除法在直接法考虑比较难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法”，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。

例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个.解：从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有32个.四、特殊元素——优先考虑法对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。

例4． (1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法种．解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有13A 种，而其余学生的排法有44A 种，所以共有1344A A ⋅＝72种不同的排法. 例5．（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种.解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有33A 种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有27A 种排法，所以不同的出场安排共有 2733A A ＝252种.五、多元问题——分类讨论法对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。

排列组合全部20种方法

排列组合解法解决排列组合综合性问题的一般过程如下：1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合（无序）问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略1、由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.练习、7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略2、7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法.练习、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为_________三.不相邻问题插空策略3、一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种?练习、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为______________四.定序问题倍缩空位插入策略4、7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法?练习、10人身高各不相等，排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法?五.重排问题求幂策略5、把6名实习生分配到7个车间实习，共有多少种不同的分法练习1.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为2.某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人，他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法 ______六.环排问题线排策略6、8人围桌而坐,共有多少种坐法?一般地,n个不同元素作圆形排列，共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有1A-n n练习、6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈？七.多排问题直排策略7、8人排成前后两排,每排4人，其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法?' —犷排—" —后排~练习、有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 _____________八.排列组合混合问题先选后排策略8、有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.练习、一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有种九.小集团问题先整体后局部策略9、用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1, 5在两个奇数之间，这样的五位数有多少个？练习、1.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为____________2. 5男生和5女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有种十.元素相同问题隔板策略10、有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？练习题：1. 10个相同的球装5个盒中，每盒至少一有多少装法？2. x + y + z +攻=100求这个方程组的自然数解的组数?十一.正难则反总体淘汰策略11、从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数，不同的取法有多少种？练习、我们班里有43位同学，从中任抽5人，正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种？十二.平均分组问题除法策略12、6本不同的书平均分成3堆，每堆2本共有多少分法？练习题：1、将13个球队分成3组，一组5个队，其它两组4个队，有多少分法？2、10名学生分成3组，其中一组4人，另两组3人但正副班长不能分在同一组，有多少种不同的分组方法3、某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为十三.合理分类与分步策略例13.在一次演唱会上共10名演员，其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目, 有多少选派方法练习：1、从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 ___2、3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人，2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3 只船,但小孩不能单独乘一只船，这3人共有多少乘船方法.十四.构造模型策略14、马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏, 也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决练习、某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？十五.实际操作穷举策略15、设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果练习 1、同一寝室4人，每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？2、给图中区域涂色,要求相邻区域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有种十六.分解与合成策略16、30030能被多少个不同的偶数整除练习：正方体的8个顶点可连成多少对异面直线分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略，把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决，然后依据问题分解后的结构，用分类计数原理和分步计数原理将问题合成，从而得到问题的答案，每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略十七.化归策略17、25人排成5X5方阵,现从中选3人，要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种?练习、某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从A走到B的最短路径有多少种？____ ____ _____ ____ .B十八.数字排序问题查字典策略18、由0, 1, 2, 3, 4, 5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的 A 数？练习：用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第71个数是—十九.树图策略19、3人相互传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传求后，球仍回到甲的手中，则不同的传球方式有________对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，树图会收到意想不到的结果练习：分别编有1, 2, 3, 4, 5号码的人与椅，其中i号人不坐i号椅(i 1,2,3,4,5 )的不同坐法有多少种？二十.复杂分类问题表格策略20、有红、黄、兰色的球各5只，分别标有A、B、C、D、E五个字母，现从中取5只，要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种不同的取法排列组合解法解决排列组合综合性问题的一般过程如下：1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。

排列组合方法归纳大全

排列组合方法归纳大全解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为四.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？五.重排问题求幂策略例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法练习题：1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法六.环排问题线排策略例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法? 练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈七.多排问题直排策略例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是八.排列组合混合问题先选后排策略例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有192 种九.小集团问题先整体后局部策略例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？练习题：１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为______2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有种______十.元素相同问题隔板策略例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？练习题：1． 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？_____ 2 .100x y z w +++=求这个方程组的自然数解的组数_____十一.正难则反总体淘汰策略例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?十二.平均分组问题除法策略例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？练习题：1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？2.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为______十三. 合理分类与分步策略例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法练习题：1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有______2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法.本题还有如下分类标准：十四.构造模型策略例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？练习题：某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？（120）十五.实际操作穷举策略例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法练习题：1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？2.给图中区域涂色,要求相邻区域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有72种十七.化归策略例17.:某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从A走到B的最短路径有多少种？BA十八.数字排序问题查字典策略例18．由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？54321练习:用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第71个数是解决排列类应用题的主要方法(1)直接法：把符合条件的排列数直接列式计算；(2)特殊元素(或位置)优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置；(3)捆绑法：相邻问题捆绑处理的方法，即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列；(4)插空法：不相邻问题插空处理的方法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中；(5)分排问题直排处理的方法；(6)“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法；(7)定序问题除法处理的方法，即可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列．1．一位老师和5位同学站成一排照相，老师不站在两端的排法( )A．450 B．460 C．480 D．5002．排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单．(1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？(2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？[例2] 要从5名女生，7名男生中选出5名代表，按下列要求，分别有多少种不同的选法？(1)至少有1名女生入选；(2)至多有2名女生入选；(3)男生甲和女生乙入选；(4)男生甲和女生乙不能同时入选；(5)男生甲、女生乙至少有一个人入选．组合两类问题的解法(1)“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”、“最多”的问题：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．3．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )A．30种B．35种C．42种D．48种[例3] 有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文科代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表．求解排列、组合综合题的一般思路排列、组合的综合问题，一般是将符合要求的元素取出(组合)或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列．其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准．4．4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？1．(2012·辽宁高考)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )A．3×3！B．3×(3！)3 C．(3！)4D．9!2．(2012·新课标全国卷)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )A ．12种B ．10种C ．9种D ．8种3．在“神九”航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序B 和C 实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有( )A ．24种B ．48种C ．96种D ．144种4.如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中任何一个，允许重复．若填入A 方格的数字大于B 方格的数字，则不同的填法共有( )A ．192种B ．128种C ．96种D ．12种5．两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )A ．10种B ．15种C ．20种D ．30种6．(2012·山东高考)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为( )A ．232B ．252C ．472D ．4847．12名选手参加校园歌手大奖赛，大赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名，每人最多获得一种奖项，则不同的获奖种数是( )A ．123B ．312C ．A 312D ．12＋11＋108．异面直线a ，b 上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是( )A ．20B ．9C ．C 39D ．C 24C 15＋C 25C 149．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，那么互不相同的分配方案共有( )A ．252种B ．112种C ．20种D ．56种10．从4名男生和3名女生中选出4人担任奥运志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有_种．11．如图M ，N ，P ，Q 为海上四个小岛，现要建造三座桥，将这四个小岛连接起A B CD来，则不同的建桥方法有________种．12．某公司计划在北京、上海、兰州、银川四个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该公司不同的投资方案种数是________(用数字作答)．13．(2013·武汉模拟)某车队有7辆车，现要调出4辆按一定顺序出去执行任务．要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出有________种不同的调度方法(填数字)．14．(2013·宜昌模拟)某省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为________(用数字作答)．15．已知10件不同的产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？16．从1到9的9个数字中取3个偶数4个奇数，试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有几个？(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？17.编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小实用标准球，且A球不能放在1,2号，B球必须放在与A球相邻的盒子中，不同的放法有多少种？18.3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数：(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体站成一排，男、女各站在一起；(4)全体站成一排，男生不能站在一起；(5)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾．文档。

史上最全的排列组合22种解题策略

解题篇题法高二数学2021年5月史上最全的排列组合22种解题■福建省泉州市第七中学彭耿铃排列组合问题联系生活实际且生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握$实践证明，掌握题型和解题方法，识别模型，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径$本文旨在探究题型规律，揭示解题方法、提供解题策略，希望对同学们的学习有所帮助。

策略一特殊元素或特殊位置优先法，所谓“优先法”是指在解决排列组合问题时，对有限制条件的元素（或位置）要优先考虑!!由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数/解析：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排数字，以免不合要求的元素占了这两个位置$先排末位，共有#1种方法，然后排首位，共有#4种方法，最后排其他位置，共有A）种方法，由分步计数原理知有#1#1/3 =288!种）方法。

!"在由数字0、1、2、3、4、5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有_____个$解法一（元素优先"数字0、1、2、3、4、5中含有0,当组成四位数时，0不能放在首位$又所求四位数不能被5整除，因而可以根据是否含有0和5两个元素将所求四位数分成四类：第一类，含0不含5的四位数，共有#1/3=48（个"第二类，含5不含0的四位数，共有C3A）=72（个"第三类，含0也含5的四位数，共有#—#—A）=48（个"第四类，不合0也不含5的四位数，共有A）=24（个）$所以，符合条件的四位数共有48+72+48+ 24=192（个"解法二（位置优先"根据所求四位数对首末两个位置的特殊要求可以分步解答：第一步，排个位，个位上的数字只能从1、2、3、4这4个数字中任选1个，共有C）种选法；第二步，排千位，千位上的数字只能从1、2、3、4这4个数字被个位选掉后剩余的3个数字及数字5中任选1个，共有#1种选法；第三步，排中间两位，中间两位可以从个位和首位排好后剩余的4个数字中任选2个，共有A2种选法。

排列组合问题的十七种常用策略

例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
丙丁 2 5 2 A2 A2 =480 种由分步计数原理可得共有 A5
练习题一三五七 1. 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一个有多二四六将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至班班班班4 班班班少装法？ 9 C 少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为 C
m 1 n 1
八.排列组合混合问题先选后排策略例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法. 2 C5 解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有___种方法.再把5个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的 4 A4 盒内有_____种方法. 解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想. 此法与相邻元素捆绑策略相似吗?
m!，其中m表示组数。
七.元素相同问题隔板策略例10.有10个运动员名额，在分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法 6 C9 对应一种分法共有____种分法。
甲乙
练习题要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元 2、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3 素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素枪连在一起的情形的不同种数为（ 20 ）内部也必须排列.

解排列组合应用题的26种策略

实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1、相邻排列——捆绑法：n 个不同元素排列成一排，其中某k 个元素排在相邻位置上，有多少种不同排法先将这k 个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其它元素一起排列，共有11n k n k A -+-+种排法．然后再将“捆绑”在一起的元素进行内部排列，共有k k A 种方法．由乘法原理得符合条件的排列，共11n k k n k k A A -+-+·种．例1.e d c b a ,,,,五人并排站成一排，如果b a ,必须相邻且b 在a 的右边，那么不同的排法种数有（）A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种解析：把b a ,视为一人，且b 固定在a 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D .例2 有3名女生4名男生站成一排，女生必须相邻，男生必须相邻，共有多少种不同的站法解：先把3名女生作为一个整体，看成一个元素，4名男生作为一个整体，看成一个元素，两个元素排列成一排共有22A 种排法；女生内部的排法有33A 种，男生内部的排法有44A 种．故合题意的排法有234234288A A A =··种． 2.相离排列——插空法：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.将n 个不同元素排成一排，其中k 个元素互不相邻()k n k -≤，有多少种排法先把()n k -个元素排成一排，然后把k 个元素插入(1)n k -+个空隙中，共有排法1k n k A -+种．例3 五位科学家和五名中学生站成一排照像，中学生不相邻的站法有多少种解：先把科学家作排列，共有55A 种排法；然后把5名中学生插入6个空中，共有56A 种排法，故符合条件的站法共有555686400A A =·种站法．例4.七位同学并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A 、1440种B 、3600种C 、4820种D 、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B .3、定序问题---倍缩法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.此法也被叫消序法.将n 个不同元素排列成一排，其中某k 个元素的顺序保持一定，有多少种不同排法 n 个不同元素排列成一排，共有n n A 种排法；k 个不同元素排列成一排共有k k A 种不同排法．于是，k 个不同元素顺序一定的排法只占排列总数的k kA 分之一．故符合条件的排列共n n k k A A 种．例5.e d c b a ,,,,五人并排站成一排，如果b 必须站在a 的右边（b a ,可以不相邻）那么不同的排法种数是（）A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种解析：b 在a 的右边与b 在a 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种，选B . 例6. A ，B ，C ，D ，E 五个元素排成一列，要求A 在B 的前面且D 在E 的前面，有多少种不同的排法解：5个不同元素排列一列，共有55A 种排法． A ，B 两个元素的排列数为22A ；D ，E 两个元素的排列数为22A ．因此，符合条件的排列法为55222230A A A =·种． 4、标号排位问题---分步法：把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例7.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B .5、留空排列——借元法例8、一排10个坐位，3人去坐，每两人之间都要留空位，共有种坐法。

解决排列组合的21种策略(教师版)

高考数学复习解排列组合应用题的21种策略排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.一、相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例题1.已知A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果A,B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有(D)A.60种B.48种C.36种D.24种解析：把A,B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，A44= 24种，答案：D.二、相离问题插空法:元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例题2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是(B)A.1440种B.3600种C.4820种D.4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为A55种，再用甲乙去插6个空位有A26种，不同的排法种数是A55A26= 3600种，选B.例题3.把6个字符2,2,B,B,α,β排成一排，要求两个“2”两两不相邻，两个“B”也不相邻，则这样的排法共有84种.解析：方法一：可以先考虑排B,B,α,β四个字符，再将2,2插入其中.①两个“B”不相邻先将B,B,α,β的排列有A22C23=6种，再将2,2插入5个空中有C25=10种.则这种情况的排列有A22C23C25=6×10=60种.②两个“B”相邻先将B,B,α,β的排列有A33=6种，再将2,2插入其中，要保证B,B中间必须有一个“2”，则有C14=4种.则这种情况的排列有A33C14=6×4=24种.两种情况总的排列数为A22C23C25+A33C14=60+24=84种.方法二：运用集合的思想，用总的排列数减去不符合情况的排列数，要注意如果多减了重合的部分是需要再加回来的.总排列有A66A22A22=180种；两个“2”相邻的排列有A55A22=60种；两个“B”相邻的排列有A55A22=60种；两个“2”相邻且两个“B”相邻的排列有A44=24种.总的排列数为A66A22A22-A55A22-A55A22+A44=180-60-60+24=84种.答案：84.例题4.把7个字符2,2,2,B,B,α,β排成一排，要求三个“2”两两不相邻，两个“B”也不相邻，则这样的排法共有96种.解析：可以先考虑排B,B,α,β四个字符，再将2,2,2插入其中.①两个“B”不相邻先将B,B,α,β的排列有A22C23=6种，再将2,2,2插入5个空中有C35=10种.则这种情况的排列有A22C23C35=6×10=60种.②两个“B”相邻先将B,B,α,β的排列有A33=6种，再将2,2,2插入其中，要保证B,B中间必须有一个“2”，则有C24=6种.则这种情况的排列有A33C24=6×6=36种.综上所述，两种情况总的排列数为A22C23C35+A33C24=60+36=96种.答案：96.三、定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例题5.已知A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A,B可以不相邻)那么不同的排法种数是(B)A.24种B.60种C.90种D.120种解析：B在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即12A55=60 种，选B.四、标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例题6.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有(B)A.6种B.9种C.11种D.23种解析：第一步先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B.五、有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例题7.(1)有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是(C)A.1260种B.2025种C.2520种D.5040种(2)12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有(A)A.C412C48C44种B.3C412C48C44种C.C412C48A33种D.C412C48C44A33种解析：(1)第一步先从10人中选出2人承担甲项任务，第二步再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有C210C18C17= 2520种.答案：选C.(2)先把12名同学平均分成三组，每组4人，有C 412C 48C 44A 33种方法，再分配到3个路口乘以A 33,故共有C 412C 48C 44A 33A 33=C 412C 48C 44种方法.答案：选A .六、全员分配问题分组法:解决分组问题的关键是如何删去重复排列的种数.一般来讲，若平均分组，则应用n 个元素分组得到的排列种数除以组数的全排列;若为不平均分组，则应按照实际情况分析重复排列的种数,然后再进行相应计算.例题8.(1)4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？(2)5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为(B )A.480种B.240种C.120种D.96种(1)解析：把四名学生分成3组有C 24C 12C 11A 22种方法，再把三组学生分配到三所学校有A 33种，故共有C 24C 12C 11A 22A 33 36种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.(2)解析：先把书分成四组有C 25C 13C 12C 11A 33种方法，再分配给学生有A 44种，共有C 25C 13C 12C 11A 33A 44=240种.答案：B .例题9.6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另外两个组各1人，分别赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有__________种.解析：将6名志愿者按要求分成4组共有C 26C 24C 12C 11A 22A 22种，再将4组分配到四个场馆.故不同的分配方案有C 26C 24C 12C 11A 22A 22A 44=1080种.答案：1080.例题10.某校在高二年级开设选修课，其中数学选修课开了三个班.选课结束后，有四位选修英语的同学要求改修数学，但数学选修每班至多可再接收两名同学，那么安排这四名同学的方案有(B )A.72种B.54种C.36种D.18种解析：将四名同学分成三组：1，1，2，安排在三个数学班中：有C 24C 12C 11A 22A 33=36种；分成两组：2，2，安排在两个班里，有C 24C 22A 22A 33=18种.故一共有36+18=54种安排方案.答案：B例题11.将4名司机和8名售票员分配到四辆公共汽车上，每辆车上分别有1名司机和2名售票员，则可能的分配方案种类数是(C )A.C 28C 26C 24A 44A 44种 B.A 28A 26A 24A 44种C.C 28C 26C 24A 44种D.C 28C 26C 24种解析：将8名售票员平均分为4组，分配到四辆公共汽车上，共有C 28C 26C 24A 44A 44种，再分配司机有A 44种，故选C .答案：C例题12.将6名司机和6名售票员分配到3辆公共汽车上，每辆车上分别有2名司机和2名售票员，则可能的分配方案种类数是8100.解析：将6名售票员平均分为3组，分配到3辆公共汽车上，共有C26C24C22A33A33=90种，再分配司机同样有90种，故选90×90=8100种.答案：8100种例题13.国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教.现有6个免费培训的专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，共有90种不同的分派方法.解析：先把6个毕业生平均分成3组，共有C26C24C22A33种方法，故有6个毕业生平均分到3所学校，共有C26C24C22A33A33种分派方法.答案：90例题14.将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有360种不同的分法.解析：有序不均匀分组.将6名教师分组，分三步完成：第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C16种取法；第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C25种取法；第3步，余下的3名教师作为一组，有C33种取法.根据分步乘法计数原理，共有C16C25C33=60种取法，再将这3组教师分配到3所中学，有A33种分法.故共有60×6=360种不同的分法.答案：360例题15.按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3)平均分成三份，每份2本；(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；(7)甲得1本，乙得1本，丙得1本.解析：(1)无序不均匀分组问题.先选1本有C16种选法，再从余下得5本中选2本有C25种选法，最后再从余下3本全选有C33种选法.故共有C16C25C33=60种.(2)有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)问基础上，还应考虑再分配，共有C16C25C33A33=360种.(3)无序均匀分组问题.先分三步，则应是C26C24C22种方法，但是这里出现了重复.不妨记6本书为A、B、C、D、E、F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为(AB,CD,EF)，则C26C24C22种分法中还有(AB,CD,EF)，(AB,EF,CD)，(CD,EF,AB)，(EF,CD,AB)，(EF,AB,CD)，共A33种情况，而这A33种情况仅是AB,CD,EF的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有C26C24C22A33种.(4)有序均匀分组问题.在第(3)问基础上再分配给3个人，共有分配方式C26C24C22A33A33=C26C24C22=90种.(5)无序部分均匀分组问题.共有C 46C 12C 11A 22种.(6)有序部分均匀分组问题.在第(5)问基础上再分给3个人，共有分配方式C 46C 12C 11A 22A 22种.(7)直接分配问题.甲选1本有C 16，乙从余下5本中选1本有C 15种方法，余下4本留给丙有C 44种方法.共有C 16C 15C 44=30种.例题16.将9个人(含甲、乙)平均分成三组，甲、乙分在一组，则不同的分法的种数为(A )A.70B.140C.280D.840解析：本题中，9个人平均分成三组，甲乙比较特殊，甲乙所在的组与另外两组不一样，则组与组之间均匀无差异的实质是两组，而不是三组.所以组合方式为C 17C 36C 33A 22=70种.答案：A例题17.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为(B )A.A 26C 24B.12A 26C 24C.A 26A 24D.2A 26解析：根据题意，本题属于有序均匀分组(完全均匀分组),但这两个组也要从六组中选出来，安排方案为C 24C 22A 22A 26=90种.答案:B例题18.甲、乙、丙、丁、戊5个人分到A 、B 、C 三个班，要求每班至少一人，则甲不在A 班的分法有100种.方法一：总情况减去甲去A 班的情况：总分法有311和221两种情况：C 35C 12C 11A 22A 33+C 25C 23C 11A 22A 33=160种甲去A 班的情况：还要考虑A 班去的人数有1、2、3种情况A 班去1人：C 24C 22A 22A 22+C 14C 33A 22七、名额分配问题隔板法:必须是形同元素之间的分配问题才能用隔板法解决，不同元素之间的分配问题用分组法解决.对于元素相同的“至少”型组合问题，先转化为“至少一个”型组合问题，再用n 个隔板插在相应元素的空隙(不包括首尾)中，将元素分为(n +1)份求解.例题19.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为C 6984种.例题20.某校准备组建一个18人的足球队，这18人由高一年级的10个班的同学组成，每个班级至少1人，问名额分配方案共有多少种？解析：构造一个隔板模型，取18枚棋子排成一列，在相邻的每两枚棋子形成的17个间隙中选取9个插入隔板，将18枚棋子分割成10份，第i(1≤i≤10)份的棋子数对应第i个班级学生的名额数，因此名额分配方案的种数与隔板插入方法数相等.因隔板插入方法数为C917，故名额分配方案有C917=24310种.八、限制条件的分配问题分类法:例题21.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：方法一：(进行分类)因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：①若甲乙都不参加，则有派遣方案A48种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生A38有方法，所以共有3A38；③若乙参加而甲不参加同理也有3A38种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有A28种，共有7A28方法.所以共有不同的派遣方法总数为A48+3A38+3A38+7A28= 4088种.方法二：(集合法)A410-A39-A39+A28=4088种.九、多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例题22.(1)由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有(B)A.210种B.300种C.464种D.600种(2)从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法(不计顺序)共有多少种？(3)从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少种？解析：(1)按题意，个位数字只可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有A55、A14A13A33、A13A13A33、A12A13A33和A13A33个，合并总计300个,选B.(2)被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做A= {7,14,21, 98} 共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做∁I A= {1,2,3,4, ,100} 共有86个元素；由此可知，从A中任取2个元素的取法有C214，从A中任取一个，又从ðIA中任取一个共有C114C186，两种情形共符合要求的取法有C214+C114C186=1295种.(3)将I= {1,2,3 ,100} 分成四个不相交的子集，能被4整除的数集A= {4,8,12, 100} ；能被4除余1的数集B= {1,5,9, 97} ，能被4除余2的数集C= {2,6, ,98}，能被4除余3的数集D= {3,7,11, 99} ，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A中任取两个数符合要；从B,D中各取一个数也符合要求；从C中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有C225+C125C125+C225=1225种.十、交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，有用集合中求元素个数公式：n A⋃B=n A +n B -n A⋂B例题23.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集={6人中任取4人参赛的排列}，A={甲跑第一棒的排列}，B={乙跑第四棒的排列}，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：n(I)- n(A)- n(B)+ n(A⋂ B)=A46-A35-A35+A24= 252种.十一、定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。

排列组合方法归纳大全

3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为四.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？五.重排问题求幂策略例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法练习题：1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法六.环排问题线排策略例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法? 练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈七.多排问题直排策略例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是八.排列组合混合问题先选后排策略例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 种九.小集团问题先整体后局部策略例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？练习题：１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有列方式的种数为______ 2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有种______十.元素相同问题隔板策略例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？练习题：1． 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？_____ 2 .100x y z w +++=求这个方程组的自然数解的组数_____十一.正难则反总体淘汰策略例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在的抽法有多少种?十二.平均分组问题除法策略例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？练习题：1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？2.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为______十三. 合理分类与分步策略例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法练习题：1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有______2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法. 本题还有如下分类标准：十四.构造模型策略例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？练习题：某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？（120）十五.实际操作穷举策略例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法练习题：1.同一寝室4人,每人写一贺年卡集中起来,然后每人各拿一别人的贺年卡，则四贺年卡不同的分配方式有多少种？2.给图中区域涂色,要求相邻区域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有 72种54321十七.化归策略例17.:某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从A走到B的最短路径有多少种？BA十八.数字排序问题查字典策略例18．由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？练习:用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第71个数是解决排列类应用题的主要方法(1)直接法：把符合条件的排列数直接列式计算；(2)特殊元素(或位置)优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置；(3)捆绑法：相邻问题捆绑处理的方法，即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的部排列；(4)插空法：不相邻问题插空处理的方法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中；(5)分排问题直排处理的方法；(6)“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法；(7)定序问题除法处理的方法，即可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列．1．一位老师和5位同学站成一排照相，老师不站在两端的排法( )A．450 B．460C．480 D．5002．排一有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单．(1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？(2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？[例2] 要从5名女生，7名男生中选出5名代表，按下列要求，分别有多少种不同的选法？(1)至少有1名女生入选；(2)至多有2名女生入选；(3)男生甲和女生乙入选；(4)男生甲和女生乙不能同时入选；(5)男生甲、女生乙至少有一个人入选．组合两类问题的解法(1)“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”、“最多”的问题：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．3．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )A．30种B．35种C．42种D．48种[例3] 有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文科代表；(3)某男生必须包括在，但不担任数学科代表；(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表．求解排列、组合综合题的一般思路排列、组合的综合问题，一般是将符合要求的元素取出(组合)或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列．其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准．4．4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒．(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有1个盒有2个球，共有几种放法？(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？1．(2012·高考)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( ) A．3×3！B．3×(3！)3C．(3！)4D．9!2．(2012·新课标全国卷)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )A．12种B．10种C．9种D．8种3．在“神九”航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有( ) A．24种B．48种C．96种D．144种4.如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中5．两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )A．10种B．15种C．20种D．30种6．(2012·高考)现有16不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4．从中任取3，要求这3卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1，不同取法的种数为( )A．232 B．252C．472 D．4847．12名选手参加校园歌手大奖赛，大赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名，每人最多获得一种奖项，则不同的获奖种数是( )A．123B．312C．A312D．12＋11＋108．异面直线a，b上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是( )A．20 B．9C．C39D．C24C15＋C25C149．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，那么互不相同的分配方案共有( )A．252种B．112种C．20种D．56种10．从4名男生和3名女生中选出4人担任奥运志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有_种．11．如图M，N，P，Q为海上四个小岛，现要建造三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方法有________种．12．某公司计划在、、、四个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该公司不同的投资方案种数是________(用数字作答)．13．(2013·模拟)某车队有7辆车，现要调出4辆按一定顺序出去执行任务．要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出有________种不同的调度方法(填数字)．14．(2013·模拟)某省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为________(用数字作答)．15．已知10件不同的产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？16．从1到9的9个数字中取3个偶数4个奇数，试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有几个？(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？17.编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在1,2号，B球必须放在与A球相邻的盒子中，不同的放法有多少种？18.3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数：(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体站成一排，男、女各站在一起；(4)全体站成一排，男生不能站在一起；(5)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾．。

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C
5 10
五.重排问题求幂策略 5.把名实习生分配到7个车间实习, 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法完成此事共分六步: 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配种分法. 到车间有7种分法. 把第二名实习生分配到车间也有7种分法，依此类推, 到车间也有7种分法，依此类推,由分步计数原理共有7 种不同的排法允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限各个元素的位置，一般地不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为制地安排在个位置上的排列数为 n 种 m
四.定序问题倍缩空位插入策略 4.7人排队其中甲乙丙3 人排队, 例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法倍缩法) 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题, 问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数, 素之间的全排列数,则共有不同排法种数 7 A7 是： 3 （空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外空位法）设想有7 4 种方法，的四人就坐共有 A 7 种方法，其余的三个 1 种坐法，则共有 A 74 种种坐法，位置甲乙丙共有思考:可以先让甲乙丙就坐吗? 方法思考:可以先让甲乙丙就坐吗?
5 加法原理和乘法原理：完成任务时是分类进行还是步进行。
一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字由可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 五位奇数由于末位和首位有特殊要求,应该优先安解:由于末位和首位有特殊要求应该优先安由于末位和首位有特殊要求排,以免不合要求的元素占了这两个位置以免不合要求的元素占了这两个位置 1 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问先排末位共有___ 先排末位共有 C 3 题最常用也是最基本的方法, 题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为 1 然后排首位共有 C4,再处理其它元素.若以需先安排特殊元素, 主,然后排首位共有___再处理其它元素. 需先安排特殊元素最后排其它位置共有___ 3 最后排其它位置共有 A 43 C 1 位置分析为主,需先满足特殊位置的要求, C 1 位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再 A4 4 3 处理其它位置。若有多个约束条件，往往是处理其它位置。若有多个约束条件， 1 1 A3 由分步计数原理得 C 3 C4 4 =288 考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件
一般地,元素分成多排的排列问题一般地元素分成多排的排列问题, 元素分成多排的排列问题可归结为一排考虑,再分段研究. 可归结为一排考虑后排再分段研究前排
练习题
有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现 11个座位 12个座位安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346 ______
六.环排问题线排策略 5人围桌而坐共有多少种坐法? 人围桌而坐, 例6. 5人围桌而坐,共有多少种坐法? 坐成一排的不同点在于，解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人A 圆形没有首尾之分，所以固定一人A并从 4 A4 此位置把圆形展成直线其余4人共有____ 此位置把圆形展成直线其余4人共有____ 种排法即（5-1)！ 1)！
A n m = n ( n − 1) ( n − 2 ) ⋯ ( n − m + 1)
n! = (n − m )!
C nm An m n ( n − 1) ( n − 2 ) ⋯ ( n − m + 1) = = Am m m!
4.组合数公式: 4.组合数公式: 组合数公式
n! = m !( n − m ) !
2.分步计数原理（乘法原理） 2.分步计数原理（乘法原理）分步计数原理完成一件事，需要分成n个步骤，做第1 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有m m1种不同的方法，做第2步有m2 种不同的方做第n步有m 种不同的方法，法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．成这件事共有： 1 m 2 ⋯ m n种不同的方法． N=m 3.分类计数原理分步计数原理区别 3.分类计数原理分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立分类计数原理方法相互独立，任何一种方法方法相互独立，独立地完成这件事。都可以独立地完成这件事都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存分步计数原理各步相互依存，每步中的方法各步相互依存，完成事件的一个阶段不能完成整个事件．一个阶段，完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．
七.多排问题直排策略 7.8人排成前后两排每排4 人排成前后两排, 例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丁在后排, 前排,丁在后排,共有多少排法人排前后两排,相当于人坐8把椅子解:8人排前后两排相当于人坐把椅子可以人排前后两排相当于8人坐把椅子,可以把椅子排成一排. 先在前4个位置排甲乙两把椅子排成一排 2 先在前个位置排甲乙两个特殊元素有____种再排后再排后4个位置上的个特殊元素有 A4 种,再排后个位置上的 1 特殊元素有_____种其余的人在5个位置其余的5人在特殊元素有 A4 种,其余的人在个位置 2 1 5 5 上任意排列有____种则共有则共有_________种上任意排列有 A5 种,则共有 A4 A4 A5 种.
甲乙丙丁
捆绑法来解决问题. 捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并 5 2 2 由分步计数原理可得共有 A5 A2 A2 =480 为一个元素,再与其它元素一起作排列, 为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时种不同的排法要注意合并元素内部也必须排列. 要注意合并元素内部也必须排列.
练习题某人射击8 某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好命中4 有3枪连在一起的情形的不同种数为（ 20 ）
1.排列的定义: 1.排列的定义: 排列的定义
从n个不同元素中,任取m个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。 2.组合的定义组合的定义: 2.组合的定义: 从n个不同元素中,任取m个元素,并成一组, 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 排列与组合的关键是问题与次序有无关系。 3.排列数公式: 3.排列数公式: 排列数公式
复习巩固
1.分类计数原理加法原理) 1.分类计数原理(加法原理) 分类计数原理( 完成一件事，完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有类办法，在第1 种不同的方法，在第2类办法中有m m1种不同的方法，在第2类办法中有m2 种不同的方法，在第n类办法中有m 同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．种不同的方法．N=m1 +m2 + ⋯ +mn
三.不相邻问题插空策略一个晚会的节目有4个舞蹈, 个相声, 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场, 独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？场顺序有多少种？分两步进行第一步排2个相声和3 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱种，好的6 好的6个元素中间包含首尾两个空位共有 4 种 A6 不同的方法由分步计数原理,节目的 4 5 不同顺序共有A5 A6 种
6
练习题 1. 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（ 42 ）层大楼一楼电梯上来8名乘客人, 2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯, 到各自的一层下电梯,下电梯的方法 8 （） 7
一般地, 一般地,n个不同元素作圆形排 B A A B C D E C 共有( 1)!种排法种排法. 列,共有(n-1)!种排法.如果 A 个不同元素中取出m 从n个不同元素中取出m个元素 D m E 1 An 作圆形排列共有 m
练习题 6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 60 要考虑“钻石圈”可以翻转的特点设六颗颜色不同的钻石为a,b,c d,e,f.与围桌而坐情形不同点是a,b,c,d,e,f与f,e,d,c,b,a在围桌而坐中是两种排法，即在钻石圈中只是一种排法,即把钻石圈翻到一边,所求数为：[(6－1)!]/2＝60
练习题 1.7种不同的花种在排成一列的花盆里, 1.7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆问有多少不同的种法？里，问有多少不同的种法？
解一：分两步完成；第一步选两葵花之外的花占据两端和中间的位置有 A5 种排法第二步排其余的位置： A 4 种排法∴ 共有 A53 A44 种不同的排法有 4 有 A 42 种排法第二步由其余元素占位：解二：第一步由葵花去占位：
相独独独相元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端
练习题某班新年联欢会原定的5 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目. 目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（ 30 ）
A3
（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法, 把其余4四人依次依次插入共有把其余4四人依次插入共有 4*5*6*7 方法定序问题可以用倍缩法，定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理练习题 10人身高各不相等,排成前后排，每排5 10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要人身高各不相等求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？