江苏省无锡市2019～2020学年度高一第1学期期末考试数学试题及参考答案

江苏省无锡市2019—2020学年度第一学期期末考试试卷
高一数学
2020.1
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共计60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上) 1.集合A ＝{0,1},B ＝{1,2,3},则A U B ＝
A.{1}
B.{1,2,3}
C.{0,2,3}
D.{0,1,2,3} 2.若集合M ＝
{}2k k Z ααπ=∈，,集合N ＝{}k k Z ββπ=∈，,则集合M 与N 的关系是
A.M ⊆N
B.N ⊆M
C.M ＝N
D.M ＜N
3.与向量AB uuu r
＝(1,3)平行的单位向量是
A.(
12 B.(1
2-,-
C.(
12或(12-, D.(12-或(1
2
,4.已知向量a r ,b r 满足a r ＝(﹣3,1),b r ＝(2,k ),且a r ⊥b r ,则a r ﹣b r
等于 ( )
A.(5,5)
B.(﹣5,﹣5)
C.(﹣5,5)
D.(﹣1,7) 5.若扇形的弧长为6cm,圆心角为2弧度,则扇形的面积为
A.6cm 2
B.9cm 2
C.6πcm 2
D.9πcm 2 6.已知曲线C 1：y ＝cos x ,C 2：y ＝cos(2x ﹣
3
π
),则下列结论正确的是 A.把曲线C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移
23
π
个单位长度,得到曲线C 2
B.把曲线C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移
3
π
个单位长度,得到曲线C 2
C.把曲线C 1上各点的横坐标缩短到原来的
12倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移23
π 个单位长度,得到曲线C 2
D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的
12倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移3
π
个单位长度,得到曲线C 2
7.某互联网公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2017年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30)
A.2020年
B.2021年
C.2022年
D.2023年
8.函数2
33()x x
f x x --=的图象大致为
9.已知ω＞0,函数()2sin()f x x ωϕ=+在[
2π,56
π]上单调递减,则实数ω的取值范围是 A.(0,1] B.[12,85] C.[23,56] D.[23,8
5
]
10.关于函数()cos cos f x x x =+有下述四个结论：①函数()y f x =是偶函数；②函数()y f x =的周期
是π；③函数()y f x =的最⼤值为2；④函数()y f x =在[0,π]上有⼤数个零点.其中所有正确结论的序号是
A.①②
B.①③
C.②④
D.①③④
11.在平面直角坐标系中,已知点A(0,﹣1),B(0,3),M,N 是x 轴上的两个动点,且MN u u u u r ＝2,则AM BN ⋅u u u u r u u u r
的最小
值为
A.﹣4
B.﹣3
C.2
D.3
12.已知函数2
()4f x x x =-,x ∈R,若关于x 的方程()12f x m x =+-恰有4个互异的实数根,则实数m
的取值范围为
A.(0,63-)
B.(0,63+)
C.(2,63-)
D.(2,63+)
二、填空题(本大题共4小题, 每小题5分,共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上) 13.计算：2lg2﹣lne 3＋lg25＝ .
14.已知函数1
12
1()1
2()log 1x x f x x x -⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，，,则(0)(2)f f +等于 .
15.已知幂函数n y x =的图像过点(3,19
),则n ＝ ,由此,请比较下列两个数的大小：2(25)n
x x -+
(3)n -(本题第一空2分,第二空3分).
16.在△ABC 中,已知AB ＝3,AC ＝2,A ＝120°,若点D,E 满足BC 3BD =u u u r u u u r ,AE AC λ=u u u r u u u r
AB -u u u r (λ∈R),且
AD AE ⋅u u u r u u u r
＝﹣6,则实数λ＝ .
三、解答题(本大题共6小题,共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)
已知向量a r ,b r 满足3a =r ,2b =r ,a r ,b r
的夹角为θ.
(1)若56
π
θ=,求()a a b ⋅+r r r 的值；
(2)若1
cos 3
θ=,求a xb +r r (x ∈R)的最小值.
18.(本小题满分10分)
定义一种集合运算：A ⊗B ＝
{A B
x x ∈U 且}A B x ∉I ,已知集合
M ＝
{lg(3x y x =}2
)R x x -∈，,N ＝1()02
x
y y x ⎧⎫=<⎨⎬⎩
⎭
，.
(1)求M I N ； (2)求M ⊗N.
19.(本小题满分12分)
已知函数2
()(2)2f x x a x =+-+为偶函数,记()()1(R)g x xf x ax a =--∈. (1)求实数a 的值；
(2)求函数()y g x =的单调区间,并给予证明.
20.(本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy 中,以Ox 为始边作角α与β(0＜β＜α＜π),它们的终边与单位圆分别相交于点P,Q,已知点P(45-
,35). (1)求12sin 21cos 2sin α
αα+++的值；
(2)若1
OP OQ 3
⋅=-u u u r u u u r ,求sin β的值.
21.(本小题满分12分)
如图,直线l 1∥l 2,点A 是l 1,l 2之间的一个定点,过点A 的直线EF 垂直于直线l 1,AE ＝m ,AF ＝n (m ,n 为常数),点B,C 分别为l 1,l 2上的动点,已知∠BAC ＝60°.设∠ACF ＝α(0°＜α＜60°).
(1)求△ABC 面积S 关于角α的函数解析式()S α； (2)求()S α的最小值.
22.(本小题满分14分)
对任意实数a ,b ,定义函数()12()F a b a b a b =+--，,已知函数2
()f x x nx n =-+,()21g x x =-,记()(()())H x F f x g x =，.
(1)若对于任意实数x ,不等式()(2)5f x g n ≥+-恒成立,求实数m 的取值范围； (2)若2m ﹣n ＝2,且m ∈[6,+∞),求使得等式()()H x f x =成立的x 的取值范围； (3)在(2)的条件下,求()H x 在区间[0,6]上的最小值.
参考答案。