矩阵特征值和特征向量在实际中的应用及其实现

第39卷 第7期 高 师 理 科 学 刊 Vol. 39 No.7 2019年 7月 Journal of Science of Teachers′College and University Jul. 2019

文章编号：1007-9831（2019）07-0008-03

矩阵特征值和特征向量在实际中的应用及其实现

周琴

（湖南涉外经济学院 信息与机电工程学院，湖南 长沙 410205）

摘要：矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中的重要内容，在实际问题中的应用也很广泛．研究了矩阵的特征值和特征向量在循环比赛的排名问题和预测分析中的应用，并利用MATLAB软件实现了这些问题的快速求解．

关键词：特征值；特征向量；排名问题；预测分析

中图分类号：O151.2 文献标识码：A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2019.07.003

Application and realization of matrix eigenvalue and eigenvector in practical problems

ZHOU Qin

（School of Information，Mechanical and Electrical Engineering，Hunan International Economics University，Changsha 410205，China）

Abstract：The eigenvalues and eigenvectors of matrices are important contents in matrix theory and are widely used in practical problems．Studies on the application of eigenvalues and eigenvectors of matrices in ranking of cyclic competitions and prediction analysis，and use software MATLAB to realize the rapid solution of these problems． Key words：eigenvalue；eigenvector；ranking issues；predictive analysis

1 引言及预备知识

矩阵的特征值和特征向量在矩阵理论体系中具有举足轻重的作用，并且在实际问题中的应用也很广泛．文献[1-2]探索了特征值和特征向量的几何意义；文献[3]利用特征值与特征向量研究了纤维及大分子的可视化显示．在一些常用的数学建模方法如马尔可夫链模型、偏最小二乘回归模型、层次分析法和主成分分析法中，特征值和特征向量均有应用[4-6]．

定义[7-9]设A是n阶矩阵，如果数l和n维非零列向量a满足l

A a a，那么数l称为矩阵A的特征

=

值，a称为A对应于特征值l的特征向量．

在实际教学中，由于矩阵特征值和特征向量的计算方法较为繁琐，学生需要较长的计算时间．如需进一步将计算结果应用到实际问题中，冗长的过程会使学生理解起来比较困难．为了解决此问题，可以利用MATLAB软件[10]自带的函数eig（A）实现矩阵A的特征值和特征向量的快速计算，再将其与实际应用相结合．本文介绍矩阵特征值和特征向量在排名问题和预测分析中的应用，给出了求解实际问题的MATLAB实现方法．

收稿日期：2019-03-02

基金项目：湖南省教育厅科学研究项目（18C1097）；2017年度湖南涉外经济学院教学改革研究项目——数学实验在地方本科院校非数学专业 教学中的应用研究

作者简介：周琴（1984-）, 女, 湖南长沙人，讲师，硕士，从事计算数学和数学教育研究．E-mail：19891881@

第7期 周琴：矩阵特征值和特征向量在实际中的应用及其实现 9 2 在排名问题中的应用

问题１（循环比赛的排名问题） 5支球队单循环赛的结果见图1，图中连接2个顶点的箭头表明２支球队的比赛结果．如1指向2的箭头表示1队战胜了2队．每场比赛只计胜负，没有平局．要求根据比赛结果排出各队名次．

问题求解 一种想法是根据箭头方向寻找一条通过5个顶点的有向路

径，但图中这样的路径有多条，如31452®®®®， 14523

®®®®等，显然用这种办法来决定比赛名次是不合理的．注意到图１中任何一对

顶点，存在２条有向路径使２个顶点可以相互连通，这样的有向图称为双

向连通图．对于双向连通图，可以定义邻接矩阵，根据邻接矩阵，计算各

级得分向量，从而排出名次．

定义图1的邻接矩阵A 的各元素为 1 0 ij i j a ì=íî顶点边则

存在到的有向否，则0101000110100000010111100æöç÷ç÷ç÷=ç÷ç÷ç÷èø

A ，各顶点的得分向量()T 2, 2, 1, 2, 3=q ，这里分向量的各分量由球队胜出场次表示，得分向量可由()T 1, 1, 1, 1, 1=q A 计算得出．由于某些球队胜出场

次相同，由向量q 无法排出全部名次．记(1)=q q 为1级得分向量，记(2)(1)=q Aq 为2级得分向量，则每支球队的2级得分为它战胜的各个球队的1级得分向量之和，依次类推，定义k 级得分向量()(1)k k -==q Aq ()T

1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, k k =A L ．由于双向连通竞赛图的邻接矩阵为素阵，根据素阵性质[6]可知，若素阵A 的最大特征值为正单根l ，l 对应正特征向量为a ，则()T 1, 1, 1, 1, 1lim k k

k l ®¥=A a ，即()

lim k k k l ®¥=q a ．这意味着当k ®¥时（归一化后），k 级得分向量()k q 将趋于A 的对应于最大特征值l 的归一化特征向量a ，即a 为排名所依据的极限得分向量．

问题１的求解过程可以用MATLAB 程序来实现，具体程序为：

A=[0，1，0，1，0；0，0，1，1，0；1，0，0，0，0；0，0，1，0，1；1，1，1，0，0]；

[v，d]=eig（A）； %得到特征值矩阵d 和特征向量矩阵v

q=v（：，1）/sum（v（：，1）） %将最大特征值的特征向量进行归一化

输出结果为()T

0.213 7 0.179 4, 0.116 2, 0.213 7, 0.276 9=q ,，根据该极限得分向量各分量大小可确定比赛排名为球队5，1（4），2，3（球队1和球队4名次相同）．

对于4支及4支以上球队双向连通竞赛图的名次排序，均可以在确定邻接矩阵后用MATLAB 程序代码快速实现排名． 3 在预测分析中的应用

问题２ 设某城市从事IT、教育和媒体行业工作的就业人员共有20万人，假定就业人员总人数20万人在若干年内保持不变，据调查：（1）在这20万就业人员中，目前约有7万人从事IT 行业工作，9万人从事教育行业工作，4万人从事媒体行业工作；（2）在IT 行业人员中，每年约有2%转为教育行业，1%转为媒体行业；（3）在教育行业人员中，每年约有2%转为IT 行业，1%转为媒体行业；（4）在媒体行业人员中，每年约有1%转为IT 行业，1%转为教育行业．试预测10年后从事各行业人员的人数．