复变函数的积分
复变函数的积分
4i (cos i sin )d
0
2π
0.
第三章 复变函数的积分
1 例4 求 n 1 dz , C 为以 z0 为中心, r 为半 C (z z ) 0 y 径的正向圆周 n 为整数. ,
z
解: 积分路径的参数方程为
z0
o
r
z z0 re i
(0 2π ),
§3.1复变函数积分的概念 及其简单性质
1、 复变函数积分的定义与计算问题
2、复变函数积分的基本性质
第三章 复变函数的积分 光滑曲线的概念回顾:
对于简单曲线C : z x( t ) iy( t ) t 如果在 t 上, x( t ) 和 y( t ) 都是连续的, 且对于 t 的每一个值, 有 [x( t )]2 [y( t )]2 0,那末 称这曲线C为光滑的.
(2)
C
f ( z )dz {u(t ) iv(t )}{ x(t ) iy(t )}dt
f [ z(t )]z(t )dt .
第三章 复变函数的积分
计算 zdz , C : 从原点到点3 4i 的直线段. 例1 ： C
解： C的参数方程为: z (3 4i )t , 0 t 1
这里 zk zk zk 1 ,
B
记 = max |zk-zk-1|
y
k z k zk 1
(4)求极限
当 n 无限增加且 0 时,
A
C z n 1
1 2
如果不论对 C 的分法及 k 的 o x 取法如何, Sn有唯一有限的极限J , 则称f ( z )沿着C的正 向可积,极限值J 称为函数 f ( z ) 沿曲线 C 的积分,记为
复变函数积分的概念
复变函数积分在物理学的应用中，如何更好地解释和推导 物理现象，是未来研究的一个重要方向。
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波动方程的求解
波动方程
数值解法
复变函数积分在求解波动方程中发挥了关键 作用。波动方程描述了波动现象的基本规律， 通过复变函数积分，可以求解波动方程的解， 从而得到波动过程的详细描述。
对于难以解析求解的波动方程，复变函数积 分还可以与其他数值方法结合，如有限差分 法、有限元法等，提供高效的数值解法，用 于模拟和分析复杂的波动现象。
特性，为电路设计和优化提供指导。
06
总结与展望
复变函数积分的重要性
数学基础
复变函数积分是数学分析的一个 重要分支，它为解决复数域上的 微积分问题提供了基础。
应用广泛
复变函数积分在物理学、工程学、 经济学等领域有着广泛的应用， 如量子力学、电路分析、金融建 模等。
理论价值
复变函数积分对于研究复函数的 性质、解析函数的性质以及全纯 函数的性质等具有理论价值。
特殊函数的积分
指数函数
对于任何实数a，函数e^(az)在全复平面上的 积分等于2π乘以a的整数倍。
对数函数
对于任何非零实数a，函数log(a)(z)在全复平面上的 积分等于2πi乘以a的整数倍。
三角函数
对于任何实数k，函数sin(kz)和cos(kz)在全复 平面上的积分都等于0。
04
复变函数积分的物理意义
路径积分的量子化
在量子力学的路径积分表述中，复变函数积分用于计算粒子在各种路径上的贡 献，从而实现量子态的演化。
其他领域的应用
流体力学中的涡旋场
复变函数积分在流体力学中被用于描述涡旋场的性质，如旋度的计算。
第二章复变函数的积分
f (z)dz lim f (k )(zk zk1)
l
积分n函 数k1
积分路径 一般来说,复变函数的积分值与积分路径有关.
2、复变函数积分计算方法
n
f (z)dz lim f (k )(zk zk1) n k 1
l
1）将复变函数的路积分化为两个实变函数的线积分
2）参数积分法
若积分曲线的参数方程z=z(t) ( ),dz z'(t)dt
则
f (z)dz f [z(t)]z'(t)dt
l
（极坐标法，通常用来计算积分路径为圆弧时的情况）
通常思路：
积分路径l为圆弧： 宗量用指数形式表示：
z z0
z z0 ei
n
n
f (z)dz f (z)dz;l lk
l
k 1 lk
k 1
f (z)dz f (z)dz
lAB
lBA
f (z)dz
l
f (z) dz ; dz
dx2 dy2 ds
l
Ms; M f (z) , s l的长度
用来求积分的估计值
r
1
z3 z
2
dz
z3 z r 1 z2
dz
（1）
z3
z r 1 z2
dz M
dz M
z r
ds Ms
z r
（2）
由（1）（2）式，得：
z3 dz Ms
z r 1 z2
M
1
r
3
r
2
s ds 2 r z r
复变函数的积分
复变函数的积分复变函数的积分是复分析中的重要概念，它在数学和物理学等领域中都有着广泛的应用。
复变函数的积分与实变函数的积分有着很大的不同，它涉及到复数域上的积分运算，因此需要特殊的技巧和理论来处理。
本文将从基本概念开始，逐步介绍复变函数的积分，并探讨其在不同领域中的应用。
首先，我们来回顾一下复变函数的基本概念。
复变函数是定义在复数域上的函数，它可以表示为f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中z = x + iy，u(x, y)和v(x, y)分别是实部和虚部。
在复变函数中，我们引入了复数域上的积分运算，即复积分。
复积分的定义是在复平面上对复变函数的积分运算，它可以表示为∫f(z)dz，其中积分路径可以是曲线、环路或者区域。
复积分的计算需要用到复变函数的积分定理，其中最重要的是柯西积分定理和柯西-黎曼积分公式。
柯西积分定理指出，如果在一个简单闭合曲线内部的区域上f(z)是解析的，那么f(z)在这个区域上的积分为0。
柯西-黎曼积分公式则给出了解析函数在闭合曲线上的积分与函数在这个曲线内部的性质之间的关系。
这些定理为复积分的计算提供了重要的工具和方法。
在实际应用中，复变函数的积分在物理学、工程学和数学等领域中都有着广泛的应用。
在物理学中，复变函数的积分可以用来描述电磁场、流体力学和量子力学等问题。
在工程学中，复变函数的积分可以用来解决电路分析、信号处理和控制系统等问题。
在数学中，复变函数的积分可以用来研究解析函数的性质、级数和积分变换等问题。
除了在理论研究中的应用，复变函数的积分在实际计算中也有着重要的作用。
通过复变函数的积分，我们可以求解复杂的积分问题，计算曲线和曲面的长度、面积和体积等。
同时，复变函数的积分还可以用来解决微分方程、积分方程和边界值问题等。
因此，复变函数的积分在数学和物理学等领域中都有着重要的应用价值。
总之，复变函数的积分是复分析中的重要概念，它涉及到复数域上的积分运算，需要特殊的技巧和理论来处理。
复变函数的积分
θ =
π- m R θmin - - m R θmax 2mR
θmin
代入 I 可得： I = π ε R
- m R θmin
-
- m R θmax
=
πε 2m
- m R θmin - - m R θmax 0
2mR
CR
若 m < 0， lim f (z) m z z = 0 则要求当 z 在下半平面趋于 ∞ 时， f (z) 一致趋于 0。 R∞ 上一章提到的积分（见下）就是利用 π < θ ≤ π 的任一段大圆弧上 CR 上的积分为 0。当然还要利用一个闭合回 2 路的积分为 0 把积分化为沿 z + 1 = r θ0 （固定 θ0 = 2 π， r 从 0 到无穷）进行。至于什么条件下沿闭合路径积 3 分为 0，下一节就将讨论。
L
,
t2
f (z) z = f [z(t)] z(t) =
L
f [z(t)] z′ (t) t ⟹ 实部与虚部两个一元函数的积分
t1
复变函数积分的性质
◼ 若曲线 L = L1 + L2 + ... + Ln，则
n
f (z) z = f (z) z
L k=1 Lk
Sn = f (ξk) Δ zk 的极限
k=1 n max {Δ zk }
lim
Sn = f (z) z
L
(1.1)
存在，则称极限值为 f (z) 在 L上的积分，记为： ∫ L f (z) z。
注意极限存在须与 1. 弧段的分法 2. ξk 在 zk-1 到 zk 间的取法 无关
复变函数积分计算公式
复变函数积分计算公式一、复变函数的积分定义复变函数f(z)的积分定义为：∫f(z)dz = ∫[u(x, y)dx - v(x, y)dy] + i∫[u(x, y)dy + v(x, y)dx]其中，u(x,y)和v(x,y)为复变函数f(z)的实部和虚部分别对x和y 的偏导数。
1.第一类曲线积分公式设C是定义在[a,b]上的光滑曲线，而f(z)是C上的复变函数，则复变函数f(z)沿C的积分表示为：∫f(z)dz = ∫f(z(t))z'(t)dt其中，z(t)表示C上的参数方程，z'(t)表示z(t)对t的导数。
2.第二类曲线积分公式设C是封闭的简单光滑曲线，内部有有向单位法向量n，并设f(z)是C内的解析函数，则复变函数f(z)沿C的积分表示为：∫f(z)dz = 2πi Res[f(z), a]其中，a表示C内的任意一个孤立奇点，Res[f(z), a]表示f(z)在a 处的留数。
3.圆弧积分公式对于参数方程z(t) = a + re^(it)，其中t∈[θ1, θ2]，a为圆心，r为半径，则复变函数f(z)沿圆弧C的积分表示为：∫f(z)dz = ∫f(a + re^(it))ire^(it)dt4.辐角积分公式设f(z)是C所在区域的解析函数，它在z=a处有极点，则复变函数f(z)沿C的积分表示为：∫f(z)dz = i∫R[f(z) - f(a)]dz其中，C是以a为圆心的环形曲线，R是C所围成的圆环区域。
5.亚纯函数积分公式设f(z)是C所在区域的亚纯函数，它在z=a处有一级极点∫f(z)dz = 2πiI(C, a)其中，I(C,a)为C围绕a的索引。
三、复变函数积分计算技巧1.选择适当的路径进行积分，常常选择直线、弧线或封闭曲线。
2.利用柯西-黎曼条件和柯西-黎曼方程进行变量转换和求导。
3.利用留数定理计算包括奇点与不同路径的积分。
4.利用对称性和奇偶性简化积分计算。
复变函数积分计算公式
复变函数积分计算公式复变函数积分计算是复变函数理论中的重要内容之一，是对复变函数在给定路径上的定积分进行求解的过程。
复变函数的积分计算公式可以通过两种方式得到：一是基于实变函数定积分的工具，如Cauchy-Riemann方程等，通过对实变函数的求解来得到复变函数的积分计算公式；二是利用复平面上的路径积分来进行计算和推导，通过考虑路径的参数化来得到计算公式。
下面将详细介绍这两种方式。
一、基于实变函数的工具1. Cauchy-Riemann方程：设复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u(x,y)和v(x,y)为实部和虚部，z=x+iy是复变量。
如果f(z)在其中一点满足Cauchy-Riemann方程，即u和v满足以下偏导数关系：∂u/∂x=∂v/∂y∂u/∂y=-∂v/∂x那么f(z)在该点处解析，且在该点处的积分计算公式为：∫ f(z) dz = ∫ (u(x,y)+iv(x,y)) (dx+idy) = ∫ (udx - vdy) + i∫ (vdx + udy)。
2.基于保守场的路径积分：设f(z)是复平面上的解析函数，且存在实部u(x,y)和虚部v(x,y)，则对于f(z)满足的路径积分公式：∫ f(z) dz = ∫ (udx - vdy) + i∫ (vdx + udy)其中路径积分沿着点A到点B的路径P进行计算，路径P上的起点为z1，终点为z2二、利用复平面上的路径积分1. 曲线的参数化：考虑路径积分时，首先需要对路径进行参数化。
一般来说，可以将路径P表示为z(t)=x(t)+iy(t)，其中x(t)和y(t)分别是t的函数，而t属于一些区间[a,b]。
这样，路径P上的积分计算问题就转化为对参数t的积分计算问题。
2.几种常见路径的积分公式：(1)闭合路径上的积分：如果路径P是一个闭合路径，且f(z)在P内解析，那么闭合路径上的积分计算公式为：∮ f(z) dz = 0其中∮表示对路径P上的积分。
复变函数的积分方法
复变函数的积分方法一、引言复变函数是数学中的重要概念，它与实变函数有着很大的区别。
复变函数的积分方法是研究复变函数在复平面上的积分性质和计算积分值的方法。
本文将介绍一些常见的复变函数的积分方法。
二、复变函数的积分定义在复变函数中，积分是对函数的一种运算，类似于实变函数中的积分。
复变函数的积分定义如下：设f(z)是定义在复平面上的一个函数，如果存在一个复数C，使得对于给定曲线γ上的任意两个点A和B，都有：∫[A,B]f(z)dz = C那么我们就说f(z)在曲线γ上是可积的，并且称C为f(z)沿曲线γ的积分。
三、复变函数的积分方法1. 直线积分直线积分是最常见的一种复变函数的积分方法。
它是沿着一条直线对复变函数进行积分。
直线积分的计算方法是将直线分成若干小段，然后对每一小段进行积分，最后将所有小段的积分值相加得到整个直线的积分值。
2. 曲线积分曲线积分是复变函数的另一种常见的积分方法。
它是沿着一条曲线对复变函数进行积分。
曲线积分的计算方法是将曲线分成若干小段，然后对每一小段进行积分，最后将所有小段的积分值相加得到整个曲线的积分值。
3. 围道积分围道积分是复变函数的一种特殊的积分方法。
它是沿着一个围道对复变函数进行积分。
围道积分的计算方法是将围道分成若干小段，然后对每一小段进行积分，最后将所有小段的积分值相加得到整个围道的积分值。
围道积分的计算方法比直线积分和曲线积分要复杂一些，需要使用复变函数的柯西-黎曼积分定理等相关定理。
四、复变函数的积分应用复变函数的积分方法在数学和物理中有着广泛的应用。
它可以用来计算复变函数的积分值，求解一些特殊的微分方程，研究复杂的物理现象等。
在数学中，复变函数的积分方法可以用来计算复变函数的奇点，判断函数是否解析，计算函数的留数等。
在物理中，复变函数的积分方法可以用来计算电场、磁场等物理量的积分，求解电磁场的边界值问题，研究光学现象等。
五、总结复变函数的积分方法是研究复变函数的重要内容，它在数学和物理中有着广泛的应用。
复变函数 积分
复变函数积分复变函数是数学分析中一个重要的概念，它是指从复数域到复数域的映射。
复变函数可以用于描述电磁场、流体力学等现象，也是解析几何、函数论等数学领域的基础。
在复变函数中，积分是一个重要的概念。
复变函数的积分包括曲线积分、路径无关积分、面积积分等，下面对这些内容进行详细介绍。
1. 曲线积分：曲线积分是复变函数论中的基础概念之一。
对于一个可微曲线C，我们可以定义复变函数f(z)在C上的积分。
曲线积分的计算可以使用参数方程，将积分转化为对参数的积分，并通过换元法或者分部积分等方法进行计算。
2. 路径无关积分：路径无关积分是复变函数最重要的性质之一。
当复变函数f(z)在开集D上解析时，f(z)在D上的曲线积分与路径无关，即积分结果与路径选择无关。
这个性质保证了复变函数的积分是唯一的，不受路径的影响。
3. 格林公式：格林公式是复变函数论中的基本公式之一，它与曲线积分和面积积分有密切的关系。
格林公式可以用于计算曲线积分和面积积分，并给出了二者之间的关系。
格林公式是复变函数的积分理论的重要基础。
4. 应用举例：复变函数的积分在物理学和工程学中有广泛的应用。
比如，电磁场的描述中经常使用电磁场复变函数，通过对复变函数进行积分可以得到电场、磁场等物理量。
在流体力学中，也可以使用复变函数进行描述，并通过积分得到流体速度、流量等参数。
综上所述，复变函数的积分是复变函数论中的重要内容之一，它包括曲线积分、路径无关积分、格林公式等内容。
复变函数的积分在物理学和工程学中有广泛的应用，并为这些领域提供了一种描述和计算复杂问题的方法。
复变函数的积分是复变函数论基础知识，对于进一步研究复变函数的性质和应用具有重要意义。
第二章 复变函数的积分
一.复变函数的积分
(复平面的路径积分) 复平面的路径积分)
∫ f (z )dz ≡ lim ∑ f (ξ )(z
l n →∞ k =1 k
l l
n
k
− z k −1 ) ≡ lim ∑ f (ξ k )dz k n→∞
k =1
n
∫ f (z )dz = ∫ u (x, y )dx − v(x. y )dy + i ∫ v(x, y )dx + u (x. y )dy
ez I =∫ 2 dz c ( z + 1) 2
z 2
2π i (n−1) f (ξ ) ∫ (ξ − z)n dξ = (n −1)! f (z) l
例:计算
z = a (> 1)
解:
I=∫
c1
e z /( z − i ) 2 e /( z + i) dz dz + ∫ 2 2 c2 ( z + i) ( z − i)
1
I 2 = ∫ xdz + ∫ xdz =
0
1
1+i
i
1 ∫ 0idy + ∫ xdx = 2 0 0
直线参数方程 : z = (1 + i)t或( y = x)
1
I 3 = ∫ t (1 + i )dt = 1 + i 2 0
(可见积分与路径有关)
例2
1+i
z 2 dz = ? 1)沿折线 0—1---1+i ∫
= 2π i [e z /( z + i) 2 ]′z =i + 2π i [e z /( z − i ) 2 ]′z = −i
复变函数的积分
2. 积分的计算法
C f (z)dz 可以通过两个二元实变函数的线
积分来计算.
C
f
( z )dz
{u[ x(t),
y(t )]x(t )
v[ x(t),
y(t )] y(t )}dt
i
{v[
x(
t
),
y(
t
)]x(t
)
u[
x(t
),
y(t
)]
y(t
)}dt
{u[
x(t ),
y(t )]
iv[
1
tdt
C
0
0
(3 4i)2 . 2
又因为 C zdz C ( x iy)(dx idy)
15
C zdz C xdx ydy iC ydx xdy
这两个积分都与路线C 无关
所以不论C 是怎样从原点连接到点3 4i 的
曲线,
zdz (3 4i)2 .
C
2
16
例2 求
C
(z
此时积分值 c zdz 与路线有关.
由以上讨论可知, 积分是否与路线有关, 可 能决定于被积函数的解析性及区域的连通性.
31
二、基本定理
柯西－古萨基本定理
如果函数 f (z) 在单连通域 B内处处解析, 那末函数 f (z) 沿 B内的任何一条封闭曲线C
的积分为零: c f (z)dz 0.
定理中的 C 可以不是简 单曲线.
C B
此定理也称为柯西积分定
理.
32
关于定理的说明:
(1) 如果曲线 C 是区域 B 的边界, 函数 f (z) 在
B内与C 上解析, 即在闭区域B B C 上解析,
复变积分知识点总结
复变积分知识点总结一、复变函数的积分1. 复变函数的积分复变函数的积分是指对复平面上的函数进行积分，其中积分路径可以是一条曲线或者一条闭合曲线。
复变函数的积分包括对于实部和虚部的积分两部分，也可以看作是对于复变函数的实部和虚部的积分的和。
复变函数的积分可以用复积分的方式来表示，即对于积分路径上的每一个点，都可以对应一个复数，这样对于整个路径上的所有点的积分就可以用复数来表示。
2. 复变函数的积分性质复变函数的积分具有一些独特的性质，比如线性性、可微性、路径无关性等。
其中线性性是指对于复变函数的积分满足线性组合的性质，即对于两个复变函数的积分和它们的线性组合的积分是相同的。
而可微性是指对于复变函数的积分可以通过对积分路径上的点进行微分来得到，这与实部和虚部的积分分别成立。
路径无关性是指对于一个复变函数在不同的积分路径上积分得到的结果是相同的。
3. 古代积分定理古代积分定理是复变积分的重要定理之一，它是复平面上函数积分的一个基本定理，也是复变函数在复平面上的积分与在实数轴上的积分之间的联系的一个重要桥梁。
古代积分定理表明，对于一个复变函数在一个简单闭合曲线内的积分等于该函数在这个闭合曲线上的积分。
古代积分定理同时也说明了对于一个复变函数在整个复平面上的积分等于该函数在所有简单闭合曲线上的积分之和。
4. 柯西-黎曼积分定理柯西-黎曼积分定理是复变积分的另一个重要定理，它是复变函数积分在实数轴上的积分的推广和深化，也是复变积分的一个基本定理。
柯西-黎曼积分定理表明了对于一个复变函数来说，如果它在一个闭合曲线内保持解析，那么对于这个曲线内的复变函数的积分一定等于零。
柯西-黎曼积分定理是复变积分中一个非常重要且基础的定理，它为复变函数积分的计算和应用提供了一个非常重要的方法和途径。
5. 积分的应用复变积分在工程、物理、数学等领域都有广泛的应用，比如它可以用来求解一些特殊的积分问题，解决一些特殊的微分方程问题，描述一些特殊的物理现象等。
复变函数积分的几种计算方法
复变函数积分的几种计算方法1.直接计算：直接计算是最基本的方法，通过对复变函数$f(z)$在积分路径上进行参数表示，然后将被积函数代入并对参数进行一定的变换和化简，最后进行求和或积分求解。
这种方法适用于被积函数的表达式简单，并且路径也比较简单的情况。
例如，对于一个简单的复变函数$f(z)=z^2$，可以沿着一个简单闭合的路径求积分。
2.共形映射：共形映射是一个重要而强大的工具，它可以将一个复平面上的路径映射到另一个复平面上的路径，并保持路径上的角度不变。
通过选择适当的共形映射，可以将复变函数$f(z)$在原路径上的复变积分变换为相对简单的形式。
例如，对于一条围绕原点的圆形路径，可以通过一个合适的共形映射将其映射为一条直线路径，这样原本的复变函数积分就可以转化为实变函数积分。
3.柯西-黎曼方程：柯西-黎曼方程是复变函数的基本性质之一，它表明对于任意一个复变函数$f(z)$，其满足柯西-黎曼方程的实部和虚部的偏导数存在且连续。
利用柯西-黎曼方程可以将复变函数$f(z)$表示为一个实部$f(x,y)$和虚部$g(x,y)$的形式，然后对实部和虚部分别进行求积分，最后进行合并得到原始的复变函数积分结果。
4.留数定理：留数定理是复变函数积分的重要工具，它给出了对于一个复变函数在围道内的积分结果与围道内的奇点有关。
根据留数定理，复变函数的积分结果可以表示为该函数在奇点处的留数与围道内奇点的总个数之和。
通过计算围道内的奇点的留数，可以得到复变函数的积分结果。
5.应用级数展开：对于一些复变函数，可以通过级数展开的方法进行计算。
例如，对于一个解析函数，可以将其展开为泰勒级数，并根据泰勒级数的性质进行积分。
通过截取级数展开的有限项，可以得到复变函数积分的近似解。
除了上述方法，还有一些特殊的积分计算方法，例如分部积分法、换元法等，这些方法在复变函数积分中同样适用。
关键在于选取合适的方法和工具，根据具体的被积函数和路径选择最合适的计算方法。
复变函数积分总结
复变函数积分总结导言在数学中，复变函数是指定义在复数域上的函数。
复变函数的积分是对复变函数在特定区域上的求和操作，与实变函数积分有所不同。
本文将对复变函数积分进行总结和讨论。
复杂积分的定义复杂积分，也称为复数积分，是指对复变函数在闭合曲线上的积分。
设有复变函数f(z)在某条复曲线C上连续，则函数f(z)在C上的复积分可记作∮Cf(z)dz。
复积分的计算方法复积分通常通过求曲线上各点处的函数值乘以位移的和来计算。
常用的计算方法有以下几种：直接计算直接计算法是指根据复积分的定义，对曲线进行参数化，将函数f(z)的表达式与曲线参数进行替换，然后依次计算函数值和位移，并求和得到积分的结果。
换元法当曲线C上的积分难以直接计算时，可以使用换元法简化问题。
通过引入新的复变量进行变换，使得积分的计算变得更加简便。
洛朗级数展开法洛朗级数展开法常用于计算含有奇点的复积分。
通过将复变函数在奇点附近展开为洛朗级数，并利用级数的性质进行计算，可以得到积分的近似值。
留数定理留数定理是计算复积分的重要工具。
该定理指出，如果复变函数在有限个奇点上可导，并且曲线上的积分路径不经过这些奇点，那么积分的结果等于这些奇点的留数的和。
复积分的性质复积分具有许多重要的性质，这些性质在计算和应用中起着重要的作用。
1.线性性质：复积分与常数的乘积、函数的线性组合和积分路径无关。
2.相对路径无关性：如果曲线C和C’在同一个区域内且只有端点不同，那么对于可积函数f(z)，∮Cf(z)dz = ∮C’f(z)dz。
3.积分与路径无关性（格林定理）：如果函数f(z)在以闭合曲线C为界的区域内解析，那么对于任意两条路径P1和P2，有∮P1f(z)dz = ∮P2f(z)dz。
4.积分与积分路径方向无关性：对于可积函数f(z)，路径的方向不同，积分结果相差一个负号，即∮Cf(z)dz = -∮-Cf(z)dz。
应用领域复积分在许多领域中有着广泛的应用，包括物理学、工程学和统计学等。
复变函数的积分
第二章 复变函数的积分2-1 复变函数的积分一、复变函数的路径积分()()()11lim -=∞→-≡∑⎰k k n k kn l z z f dz z f ξ()()()()()⎰⎰⎰++-=l ll dy y x u dx y x v i dy y x v dx y x u dz z f .,., 二、复变函数的路径积分的简单性质()29p2-2 科希定理一、单连通区域上的科希定理若()z f 是闭合回路l 所围区域上的解析函数，则 ()0=⎰dz z f l或()()()1221Z F Z F dz z f z z -=⎰2．复连通区域上的科希定理若()z f 是闭合回路l 所围区域上的解析函数，则 ()()021=+⎰⎰dz z f dz z f l l ()()dz z f dz z f l l ⎰⎰'=21 例1 计算回路积分dz a z l ⎰-1解：（1）回路l 不包围a 的情况 根据科希定理01=-⎰d z a z l （2）回路l 包围a 的情况根据复连通区域上的科希定理，有dz a z dz a z C l ⎰⎰-=-11令 ϕi a z Re =-，则()i id a d dz a z dz a z i i C l 2Re Re 112020πϕππϕϕ==+=-=-⎰⎰⎰⎰ 例2 计算回路积分()dz a z l n ⎰-， （1-≠n ）解：（1）0≥n 的情况()z f 是闭合回路l 所围区域上的解析函数，根据科希定理 ()0=-⎰dz a z ln（2）1-<n 的情况仿例2，有()01120)1(1)1(201=+==-++++⎰⎰πϕϕπϕn i n n i n l n e R n d e iR dz a z 2-4 科希公式()()dz a z z f i a f l ⎰-=21π 或()()ξξξπd z f i z f l ⎰-= 21 解析函数的两个重要性质● 解析函数在任一内点z 的值()z f 等于包围点z 的任一境界线的回路积分。
复变函数的积分课件
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复数的几何解 释
01
02
03
平面坐标系
复数$z=a+bi$在复平面 内对应点$(a,b)$，实部为 $a$，虚部为$b$。
模长
复数$z=a+bi$的模长定 义为$sqrt{a^2+b^2}$， 表示点$(a,b)$到原点的距 离。
幅角
复数$z=a+bi$的幅角定 义为$arctan(frac{b}{a})$， 表示点$(a,b)$与正实轴之 间的夹角。
积分定理的证明
柯西积分公式
通过构造辅助函数，利用全纯函数的 性质和留数定理，证明柯西积分公式。
积分定理的推论
根据柯西积分公式和解析函数的积分 表示，推导出一些积分定理的推论。
解析函数的积分表示
利用柯西积分公式和全纯函数的性质， 证明解析函数的积分表示。
路径的选取原则
可达性原则
确保所选路径能够连接起 点和终点。
简单性原则
尽量选取简单的路径，以 简化计算。
唯一性原则
确保所选路径是唯一的， 避免出现歧义。
特殊路径的选取与应用
直线段路径
在复平面上选取直线段 作为路径，计算复变函
数的积分。
圆弧路径
在复平面上选取圆弧作 为路径，计算复变函数
的积分。
折线段路径
在复平面上选取折线段 作为路径，计算复变函
数的积分。
曲线段路径
柯西积分公式的应用
• 应用：柯西积分公式可以用来求解一些复杂的积分问题，特别 是与解析函数的奇点有关的问题。例如，如果函数$f(z)$在某 个点处不可导，那么这个点就是奇点，此时可以利用柯西积分 公式来求解该点的积分值。此外，柯西积分公式还可以用来求 解一些与解析函数的零点和极点有关的问题。
复变函数的积分
i
{v[
x(
t
),
y(
t
)]x(t
)
u[
x(t
),
y(t
)]
y(t
)}dt
{u[
x(t
),
y(t
)]
iv[
x(t
),
y(t
)]}{x(t
)
iy(t
)}dt
f [z(t)]z(t)dt.
参数化计算复积分：
f (z)dz f [z(t)]z(t)dt,
t [, ]
C
C:z=z(t)
例1 计算 C zdz, C : 从原点到点 3 4i 的直线段.
0
0;
所以
z z0
r
(
z
1 z0
)n1
dz
2i, 0,
n 0, n 0.
重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.
1.3 积分的性质
复积分与实变函数的定积分有类似的性质.
(1) f (z)dz f (z)dz;
C
C
(2) C kf (z)dz k C f (z)dz; (k为常数)
解
直线方程为
x y
3t, 4t,
0 t 1,
在 C 上, z (3 4i)t, dz (3 4i)dt,
zdz
1(3 4i)2 tdt (3 4i)2
1
tdt
C
0
0
(3 4i)2 . 2
又因为 C zdz C ( x iy)(dx idy)
zdz C
zk zk zk1, sk d(zk1zk )y
1 A
2
z1
z2
B
复变函数的积分
第二章 复变函数的积分在微积分学中，微分法、积分法是研究函数性质的重要方法。
在复变函数中，微分法、积分法是研究复变函数性质的重要方法和解决实际问题的有力工具。
§2.1 复变函数的积分—复平面上的线积分一、复变函数积分的定义例：计算2421iiz dz++∫1.沿抛物线2y x =2.沿连接点124i i ++到的直线段3.1224i i i +++沿到然后再到的折线 解:1．抛物线参数方程为22,()(12)x t y t d z d t it i t d t==≤≤=+=+2其中1t 2则z =x +i y =t +i t242222222443241111()(12)[()4][22()]iiz dz t it i t dt t t t dt i t t t t dt++=++=−−++−∫∫∫∫三、解析函数的定积分公式在单通区域内，解析函数的积分值只与端点有关而与路径无关，可定义一个以终点z 为自变量的单值函数：()()zz F z f d ξξ=∫定理：设f (z )是单通区域D 内的解析函数， 是D的内点，则 是D 内的解析函数，且 F’(z )=f (z )F (z )是f (z )的原函数：F’(z )=f (z )定理证明略。
0z ξξd f z F zz ∫=0)()(由于()F z 是()f z 的一个原函数，所以()F z C +构成原函数族，则有：()()zz f d F z C ξξ=+∫上式中令 ，则有 从而0()()()zz f d F z F z ξξ=−∫——形式上与牛顿——莱布尼兹公式相似0z z =0)(0=+c z F )(0z F c −=⇒。
02_复变函数的积分
B B
l1
D
l2 D
C C
f ( z)dz f ( z)dz f ( z)dz 0
l l1 l2
l
总结：单连通和复连通区域的柯西定理说的是： (1) 闭单连通区域中的解析函数沿境界线或区域内任一闭合 曲线的积分为零；
1 xdx i 1dy i 0 0 2
1 1
l2 0 l1
x
I 2 xdz xdx i xdy
l2 l2 l2
1 xdx i 0 dy 0 0 2
1 1
y 1+i l2 0 l1 x
课堂练习：计算积分
I1 zdz ,
l
I 2 zdz
是任取的， f ( z ) 1 常把记作z 2πi
f ( ) l z d
例:
z i 1
z 2
e dz 2πieiz z i 2πei z i z z 5 z z dz z i dz 2πi 5 z (5 z )( z i )
f ( z )dz 0
l
u v v u ; x y x y
(2) 复通区域情形
一般来说，在区域内，只要有一个简单的闭合曲线其内有 不属于该区域的点，这样的区域便是复通区域。 或者形象地说，把奇点(即函数不可导、不连续或者根本 无定义的点)挖掉而形成的某种带“孔”的区域，即所谓的复 通区域。
f ( z )dz 0
l
证明：
f ( z )dz udx v dy i v dx udy l l l Q P l Pdx Qdy S x y dxdy
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复变函数练习题 第三章 复变函数的积分系 专业 班 姓名 学号§1 复变函数积分的概念 §4 原函数与不定积分一．选择题1．设C 为从原点沿2y x =至1i +的弧段，则2()Cx iy dz +=⎰[ ]（A ）1566i - （B ）1566i -+ （C ）1566i -- （D ）1566i + 2. 设C 是(1)z i t =+，t 从1到2的线段，则arg Czdz =⎰[ ]（A ）4π（B ）4i π （C ）(1)4i π+ （D ）1i +3．设C 是从0到12i π+的直线段，则zC ze dz =⎰ [ ]（A ）12e π- （B ）12e π-- （C ）12ei π+ （D ）12ei π-4．设()f z 在复平面处处解析且()2iif z dz i πππ-=⎰，则积分()iif z dz ππ--=⎰[ ]（A ）2i π （B ）2i π- （C ）0 （D ）不能确定二．填空题1． 设C 为沿原点0z =到点1z i =+的直线段，则2Czdz =⎰2 。
2． 设C 为正向圆周|4|1z -=，则2232(4)ÑC z z dz z -+=-⎰10.i π三．解答题1．计算下列积分。
（1）323262121()02iz iiz i i i e dzee e ππππππ---==-=⎰22222sin1cos2sin 2224sin 2.244iiiii i zdzz z z dz i e e e e i i i i ππππππππππππππ------⎛⎫==- ⎪⎝⎭⎛⎫--=-=-=+⎪⎝⎭⎰⎰（3）110sin (sin cos )sin1cos1.z zdzz z z =-=-⎰（4）20222cos sin 1sin sin().222iiz z dzz i ππππ==⋅=-⎰2．计算积分||C z dz z ⎰Ñ的值，其中C 为正向圆周：（1）2200||22,022224.2i i i z C z e e ie d id i θθππθθπθθπ-==≤≤⋅==⎰⎰积分曲线的方程为则原积分I=2200||44,024448.4i i i z C z e e ie d id i θθππθθπθθπ-==≤≤⋅==⎰⎰积分曲线的方程为则原积分I=3．分别沿y x =与2y x =算出积分10()ii z dz +-⎰的值。
解：(1)沿y=x 的积分曲线方程为(1),01z i t t =+≤≤则原积分11120[(1)](1)(12)[(1)]2I i i t i dti t dt i t t i =--+=--=--=-⎰⎰（2）沿2y x =的积分曲线方程为2,01z t it t =+≤≤则原积分120113224300[()](12)3112[32(1)][()]2.2233I i t it it dtt t i t dt t t i t t i =--+=--+-=--+-=-+⎰⎰4．计算下列积分(1)2()Cx y ix dz -+⎰,C:从0到1i +的直线段；C 的方程：(1),01z i t t =+≤≤(),01x t tt =⎧≤≤⎨或则原积分120120[](1)1(1).3I t t it i dti i t dt =-++-=-=⎰⎰(2)2()Cz zz dz +⎰，C ：||1z =上沿正向从1到1-。
C 的方程：,0i z e θθπ=≤≤则原积分20330(1)8().33i i i i i i I e ie d e i e e d e πθθπθπθθθθθ=+⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭⎰⎰复变函数练习题 第三章 复变函数的积分系 专业 班 姓名 学号 §2 柯西－古萨基本定理 §3 基本定理的推广－复合闭路定理一、选择题1． 设()f z 在单连通区域B 内解析，C 为B 内任一闭路，则必有 [ ]（A ）Im[()]0Cf z dz =⎰Ñ （B ）Re[()]0Cf z dz =⎰Ñ （C ）|()|0Cf z dz =⎰Ñ （D ）Re ()0Cf z dz =⎰Ñ2．设C 为正向圆周1||2z =，则321cos2(1)C z z dz z -=-⎰Ñ [ ] （A ）2(3cos1sin1)i π- （B ）0 （C ）6cos1i π （D ）2sin1i π- 3．设()f z 在单连通域B 内处处解析且不为零，C 为B 内任何一条简单闭曲线，则积分()2()()()Cf z f z f z dz f z '''++=⎰Ñ [ ] （A ）2i π （B ） 2i π- （C ） 0 （D ）不能确定二、填空题1．设C 为正向圆周||3z =，则||C z z dz z +=⎰Ñ6.i π2．闭曲线:||1C z =取正方向，则积分122(2)(3)z C edz z z -=+-⎰Ñ 0 。
三、解答题利用柯西积分公式求复积分（1）判断被积函数具有几个奇点； （2）找出奇点中含在积分曲线内部的，若全都在积分曲线外部，则由柯西积分定理可得积分等零； 若只有一个含在积分曲线内部，则直接利用柯西积分公式；若有多个含在积分曲线内部，则先利用复合闭路定理，再利用柯西积分公式. 1．计算下列积分 （1）221,:||(0);C dz C z a a a z a -=>-⎰Ñ .22111121111C C dz dz z a a z a z a i π⎛⎫=- ⎪--+⎝⎭⎛⎫⎰⎰蜒解：22221112.C z aC z a z aidz i z a z aaππ==-=⋅=-+⎰Ñ解法二：由被积函数在内部只有一个奇点，故由柯西积分公式可得 （2）．2,:||2;1C zdz C z z =-⎰Ñ21111=+=22)2.121+12C C z dz dz i i i z z z πππ⎛⎫+= ⎪--⎝⎭⎰⎰蜒解：（ 解法二：211zC z z =±-被积函数在内部具有两个奇点，分别作两个以1, -1为心，充分小的长度为半径的圆周C 1、 C 2， 且C 1和 C 2含于C 内部。
由复合闭路定理，122221111122112C C C z z z z zdz dz dz z z z z zi iz z i i iπππππ==-=+---=++-=+=⎰⎰⎰蜒? （3）2||5||53123212226.31z z z dzz z dz i i i z z πππ==---⎛⎫=+=⨯+= ⎪-+⎝⎭⎰⎰ÑÑ同上题中的解法二，122||51331313123(3)(1)(3)(1)31312224631z C C z z z z z dz dz dzz z z z z z z z ii i i iz z πππππ==-=---=+---+-+--=+=+=-+⎰⎰⎰蜒?（4）2cos 4-⎰ÑC z dz z ，其中22:4C x y x +=正向2cos cos /(2)cos22cos2/(22).422C C z z z i dz dz i z z ππ+==+=--⎰⎰蜒2．计算积分2(1)C dzz z +⎰Ñ，其中C 为下列曲线：2121111111(1)222C C C C C dzI dz dz dz dz z z z z i z i z z i z i ⎛⎫==--=-- ⎪++-+-⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰蜒蜒?（1）1:||2C z =; 2002.I i i ππ=--=解法二：21221z I i i z ππ===+（2）3:||2C z i -=; 1202.2I i i i πππ=--⋅=解法二：20112221()z z iI i i i i i z z z i πππππ===+=-=++（3）1:||2C z i +=; 1020.2I i i ππ=-⋅-=-解法二：12()z iI i i z z i ππ=-==--（4）3:||2C z =。
112220.22I i i i πππ=-⋅-⋅=解法二：20111222201()()z z i z iI ii i i i i z z z i z z i ππππππ==-==++=--=+-+3．计算Ln Czdz ⎰，其中（1）Ln ln ||arg ,:||1z z i z C z =+=;C 的方程：,i z e θπθπ=-≤≤Ln (1)2.i i Czdz i ie d i ei ππθθππθθθπ--=⋅=-=-⎰⎰（2）Ln ln ||arg 2,:||z z i z i C z R π=++=.C 的方程：,i z Re θπθπ=-≤≤Ln (ln arg 2)arg 2.i CCCzdz R i z i dz i zdz i Rie d R i πθππθθπ-=++==⋅=-⎰⎰⎰⎰复变函数练习题 第三章 复变函数的积分系 专业 班 姓名 学号§5 柯西积分公式 §6 解析函数的高阶导数一．选择题。
1．设C 是正向圆周2220x y x +-=，则2sin()41C z dz z π=-⎰Ñ [ ] （A）2i （Bi （C ）0 （D）2i - 2．设C 为正向圆周||2z =，则2cos (1)C zdz z =-⎰Ñ [ ]（A ）sin1- （B ）sin1 （C ）2sin1i π- （D ）2sin1i π3．设||4()ξξξξÑe f z d z ==-⎰，其中||4z ≠，则()f i π'= [ ]（A ）2i π- （B ）1- （C ）2i π （D ）1 4．设C 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线，则2(1)(1)C zdz z z -+⎰Ñ为 [ ]（A ）2i π（B ）2i π-（C ）0 （D ）以上都有可能二．填空题：1．闭曲线:||3C z =取正方向，积分3(2).(1)zC e dz e i z z π=--⎰Ñ32011111()''()'22(1)(1)12!1!z z z z zz C z e e e dz i e ie z z z z ππ==⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰Ñ 2．设||2sin()2()Ñf z d zξπξξξ==-⎰，其中||2z ≠，则(1)f '= 0 ，(3)f '= 0 。