矩阵与线性方程组
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第1 章矩阵与线性方程组
矩阵是描述和求解线性方程组最基本和最有用的工具。本章涉及向量和矩阵的基本
概念，归纳了向量和矩阵的基本运算。
1.1 主要理论与方法
1.1.1 矩阵的基本运算
一、矩阵与向量
a11x1 + a12x2 + ¢ ¢ ¢+ a1n x n = b1
a21x1 + a22x2 + ¢ ¢ ¢+ a2n x n = b2
...
a m1x1 + a m2x2 + ¢ ¢ ¢+ a mn x n =
b m
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>>>=>>>>;
(1.1)
它使用m个方程描述n个未知量之间的线性关系。这一线性方程组很容易用矩阵||向量
形式简记为
Ax = b (1.2)
式中
A =26664
a11 a12 ¢ ¢ ¢ a1n
a21 a22 ¢ ¢ ¢ a2n
...
...
...
a m1 a m2 ¢ ¢ ¢ a mn
37775
(1.3)
称为m £ n矩阵，是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合；而
x =26664
x1
x2
...
x n
37775
; b =26664
b1
b2
...
b m
37775
(1.4)
分别为n £1向量和m£1向量，是按照列方式排列的复数或实数集合，统称列向量。类似地，按照行方式排列的复数或实数集合称为行向量，例如
a = [a1; a2; ¢ ¢ ¢ ; a n] (1.5)
是1 £ n向量。
二、矩阵的基本运算
1. 共轭转置：若A = [a ij ]是一个m£ n矩阵，则A的转置记作A T，是一个n £m矩阵，
定义为[A T]ij = a ji；矩阵A的复数共轭A¤定义为[A¤]ij = a¤ji；复共轭转置记作A H，定义
为
A H =26664
a¤11 a¤21 ¢ ¢ ¢ a¤m1
a¤12 a¤22 ¢ ¢ ¢ a¤m2
...
...
...
a¤1n a¤2n ¢ ¢ ¢ a¤mn
37775
(1.6)
共轭转置又叫Hermitian伴随、Hermitian转置或Hermitian共轭。满足A H = A的正方复矩阵称为Hermitian矩阵或共轭对称矩阵。
2. 矩阵求和：两个m£n矩阵A = [a ij ]和B = [b ij ]之和记作A+B，定义为[A+B]ij =
a ij +
b ij。
3. 标量与矩阵相乘：令A = [a ij ]是一个m £ n矩阵，且®是一个标量。乘积®A是一
个m £ n矩阵，定义为[®A]ij = ®a ij。
4. 矩阵与向量相乘：m £ n矩阵A = [a ij ]与r £1向量x = [x1; x2; ¢ ¢ ¢ ; x r]T的乘积Ax
只有当n = r时才存在，它是一个m £1向量，定义为
[Ax]i =
n X j=1
a ij x j ; i = 1; 2; ¢ ¢ ¢ ;m
5. 矩阵与矩阵相乘：m £ n矩阵A = [a ij ]与r £ s矩阵B = [b ij ]的乘积AB只有当n =
r时才存在，它是一个m £ s矩阵，定义为
[AB]ij =
n X k=1
a ik
b kj ; i = 1; 2; ¢ ¢ ¢ ;m; j = 1; 2; ¢ ¢ ¢ ; s
根据定义，容易验证矩阵的加法服从下面的运算规则。
²加法交换律(commutative law of addition)：A + B = B + A
²加法结合律(associative law of addition)：(A + B) + C = A + (B + C)
定理1.1 矩阵的乘积服从下面的运算法则。
(1) 乘法结合律(associative law of multiplication): 若A 2 C m£n;B 2 C n£p;C 2
C p£q，则A(BC) = (AB)C。
(2) 乘法左分配律(left distributive law of multiplication)：若A和B是两个m£n 矩阵，
且C是一个n £ p矩阵，则(A + B)C = AC + BC。
(3) 乘法右分配律(right distributive law of multiplication)：若A是一个m£n 矩阵，并
且B和C是两个n £ p矩阵，则A(B + C) = AB + AC。
(4) 若®是一个标量，并且A和B是两个m £ n矩阵，则®(A + B) = ®A + ®B。
6. 逆矩阵：令A是一个n£n矩阵，若可以找到一个n£n矩阵A¡1满足AA¡1 = A¡1A =
I，称矩阵A可逆，并称A¡1是矩阵A的逆矩阵。
下面是共轭、转置、共轭转置和逆矩阵的性质。
(1) 矩阵的共轭、转置和共轭转置满足分配律：
(A + B)¤= A¤+ B¤
(A + B)T = A T + B T
(A + B)H = A H + B H
(2) 矩阵乘积的转置、共轭转置和逆矩阵满足关系式
(AB)T = B T A T
(AB)H = B H A H
(AB)¡1 = B¡1A¡1 (A;B 为可逆的正方矩阵)
(3) 共轭、转置和共轭转置等符号均可与求逆符号交换，即有
(A¤)¡1 = (A¡1)¤; (A T)¡1 = (A¡1)T; (A H)¡1 = (A¡1)H
因此，常常分别采用紧凑的数学符号A¡¤;A¡T和A¡H。
(4) 对于任意矩阵A，矩阵B = A H A都是Hermitian 矩阵。若A可逆，则对于Hermitian矩阵B = A H A，有A¡H BA¡1 = A¡H A H AA¡1 = I。
7. 幂等矩阵：矩阵A n£n称为幂等矩阵(idempotent matrix)，若A2 = AA = A。
8. 对合矩阵：矩阵A n£n称为对合矩阵(involutory matrix)，若A2 = AA = I。