宁夏中考数学第26题

P

Q

B

C

A

宁夏中考数学第26题

1、（2012年）在矩形ABCD 中，AB=2，AD=3,，P 是BC 上的任意一点（P 与B 、C 不重合），过点P 作AP ⊥PE ，垂足为P ，PE 交CD 于点E .

(1)连接AE ，当△APE 与△ADE 全等时，求BP 的长；

(2)若设BP 为x ,CE 为y ，试确定y 与x 的函数关系式.当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？ (3)若PE ∥BD ，试求出此时BP 的长.

解：(1)∵△APE ≌△ADE ∴AP=AD=3 在Rt △ABP 中，BP=

232222=-=-AB AP (2) ∵AP ⊥PE ∴Rt △ABP ∽Rt △PCE

∴CE BP PC AB =

即y x x =-32∴

x y 212-=89

)23(212+--=x ∴当时，y x 23=(3)设BP=x, x x CE 2

3

212+-=∵PE ∥BD

∴△CPE ∽△CBD ∴CD CE

CB CP =

即

2

23213

32x x x

+-

=-化简得121332=+-x x 解得不符合题意，舍去）或(334

21==x x ∴当BP=3

4 时, PE ∥BD. ------10分

2、（2013年）在□ABCD 中,P 是AB 边上的任意一点,过P 点作PE ⊥AB,交AD 于E,连结CE,CP. 已知∠A=60º;

(1) 若BC=8, AB=6，当AP 的长为多少时,△CPE 的面积最大,并求出面积的最大值. (2) 试探究当 △CPE ≌△CPB 时,□ABCD 的两边AB 与BC 应满足什么关系? 解：(1) 延长PE 交CD 的延长线于F 设AP = x , △CPE 的面积为y

∵□ABCD ∴AB=DC=6 AD=BC=8∵Rt △APE ，∠A=60°∴∠PEA=30° ∴可得AE=2x , PE=

x 3在Rt △DEF 中，∠DEF=∠PEA=30°, DE=AD-AE=8-2x

∴

x DE DF -==

42

1∵AB ∥CD,PF ⊥AB,∴PF ⊥CD ∴CF PE S CPE ∙=21△ 即x x x x y 3532

1)10(3212+-=-=…………3分

配方得： 2325)5(3212+--=x y 当x=5时，y 有最大值2

325

即AP 的长为5时，△CPE 的面积最大，最大面积是2

325……………………5分

(2) 当△CPE ≌△CPB 时，有BC=CE ,∠B=∠PEC=120°∴∠CED=180°-∠AEP - ∠PEC =30°

∵∠ADC=120°∴∠ECD=180°-120°-30°=30° ∴DE=CD 即△EDC 是等腰三角形………8分 过D 作DM ⊥CE 于M ，则CM =

2

1

CE ；在Rt △CMD 中，∠ECD=30° ∴cos30°=23=CD CM ∴CM=2

3CD

∴CE=3CD ∵BC=CE AB=CD ∴BC=3AB 即当BC=3AB………10分

3、（2014年）在Rt ABC △中，∠C =90°，P 是BC 边上不同于B 、C 的一动点，过P 作PQ ⊥AB ,垂足为

Q ，连接AP ．（1）试说明不论点P 在BC 边上何处时，都有△PBQ 与△ABC 相似； （2）若AC =3,BC =4,当BP 为何值时，△AQP 面积最大，并求出最大值；

（3）在Rt ABC △中，两条直角边BC 、AC 满足关系式BC =λAC ，是否存在一个λ的值，使Rt △AQP 既与Rt △ACP 全等，也与Rt △BQP 全等．

解：（1）不论点P 在BC 边上何处时，都有∠PQB =∠C =90° ∠B =∠B ∴ △PBQ ∽△ABC-------------2分 (2) 设BP =x （0＜x ＜4），由勾股定理，得 AB =5

∵ △PBQ ∽△ABC ∴

AB PB BC QB AC PQ ==，即 5

43x

QB PQ ==

∴ x PQ 53= x QB 54=--------4分S △APQ =AQ PQ ⨯21 =x x 23

2562+-------6分

=3275)825(2562+--x ∴当425=x 时，△APQ 的面积最大，最大值是32

75------8分

（3）存在．∵ Rt △AQP ≌ Rt △ACP ∴ AQ = AC 又Rt △AQP ≌Rt △BQP ∴ AQ =Q B

∴ AQ =Q B =AC 在Rt ABC △中，由勾股定理，得 222AC AB BC -= ∴ BC =3AC

∴ λ=3时，Rt △AQP 既与Rt △ACP 全等，也与Rt △BQP 全等-----10分

E

α

(A 1 )

B 1

C 1

C B

A

M

30

o

M

A

B C C 1

B 1

(A 1 )

H

45o

(A 1 )

（B 1）

C 1

C B A

M

Q

N

M

A

B

C C 1

B (A 1 )

60o

4、（2015年）如图，是一副学生用的三角板，在△ABC 中，∠C =90°, ∠A =60°，∠B =30°；在△111A B C 中，∠C 1=90°, ∠A 1=45°，∠B 1=45°，且A 1B 1= CB ．若将边11A C 与边CA 重合，其中点1A 与点C 重合．将三角板111A B C 绕点C （1A ）按逆时针方向旋转，旋转过的角为α，旋转过程中边11A C 与边AB 的交点为M , 设AC =a ．（1）计算11A C 的长； （2）当α=30°时，证明：11B C ∥AB ；

（3）若a

+α=45°时，计算两个三角板重叠部分图形的面积； （4）当α=60°时，用含a 的代数式表示两个三角板重叠部分图形的面积． （参考数据：sin15°=

，cos15°=

，tan15°

=2- sin 75°=

, cos 75°=

, tan 75°

=2+） (1)解：在Rt △ABC 中 ∵ AC =a ， ∠A =60° ∴tan 60BC AC =°

∵11A B BC ==

在Rt △111A B C 中 ∠B 1=45°∴11A C = A 1B 1

sin 45°

= ----------2分

（2）当α=30°时，即∠AC 1C =30°

∵∠A =60° ∴∠AMC =90° 即1CC ⊥AB ∵1CC ⊥11

B C

∴11B C ∥AB ------------------4分

(3) 当α=45°时， 11B A 恰好与CB 重合，过点C 作 CH ⊥AB 于H ∵CH =AC sin 60°

= cos15o CH CM =

3

(62)

+=分 B CM S 三角形=111162322CM

B C a =

(62)+ =1)+-------------7分

（4）当α=60°时，1A M =AC =a ．设11B C 分别与AB 、BC 交于点N 、Q

在Rt △11AC Q 中, 111

tan 30C Q AC =° 在Rt △1MC N 中, 11

11C M AC A M =-a = 11tan 60C N C M =

⋅°

∴1

11

1

A MNQ A C Q C N S S S =-四边形三角形三角形M =

111111

22

A C C Q CM C N

⋅-⋅-------------------9分

=

1122

-

22a

-2----------10分 5、（2016年）在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，动点Q 从点A 出发，以每秒1个单位的速度，沿AB 向点B 移动；同时点P 从点B 出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC 向点C 移动，连接QP ，QD ，PD ．若

两个点同时运动的时间为x 秒（0＜x ≤3），解答下列问题：

（1）设△QPD 的面积为S ，用含x 的函数关系式表示S ；当x 为何值时，S 有

最大值？并求出最小值；（2）是否存在x 的值，使得QP ⊥DP ？试说明理由． 26．（2016年）在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，动点Q 从点A 出发，以每秒

1个单位的速度，沿AB 向点B 移动；同时点P 从点B 出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC 向点C 移动，连接QP ，QD ，PD ．若两个点同时运动的时间为x 秒（0＜x ≤3），解答下列问题：

（1）设△QPD 的面积为S ，用含x 的函数关系式表示S ；当x 为何值时，S 有最大值？并求出最小值； （2）是否存在x 的值，使得QP ⊥DP ？试说明理由．

解：（

1）∵四边形ABCD 为矩形，∴BC=AD=4，CD=AB=3，当运动x 秒时，则AQ=x ，BP=x ， ∴BQ=AB ﹣AQ=3﹣x ，CP=BC ﹣BP=4﹣x ，∴S △ADQ =AD •AQ=×4x=2x ，S △BPQ =BQ •BP=（3﹣x ）x=x ﹣x 2，S △PCD =PC •CD=•（4﹣x ）•

3=6﹣

x

，又

S 矩形

ABCD

=AB

•

BC=3

×4=12，