圆系方程
圆系方程 高三数学复习圆系方程及教案 高三数学复习圆系方程及教案
圆系方程在平面解析几何直线与圆的教学中，向学生介绍圆系方程可为解题提供便利。
这里主研究常用的一类圆系方程。
定理1 过直线L:y=kx+b及圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0的两个交点的圆系方程为：x2+y2+Dx+Ey+F+λ(kx-y+b)=0 ①（其中λ为待定常数）。
首先证明方程①表示圆。
由于直线l与圆C交，故方程组：；有两组不同的实数解，消去y整理得：(k2+1)x2+(D+kE+2kb)x+b2+bE+F=0 ；Δ＝(D+kE+2kb)2-4(k2+1)(b2+bE+F)＞0 ；整理得： D2+k2E2+2kDE+4kbD-4k2F＞4(b2+bE+F) ②将方程①变形为：x2+y2+(D+kλ)x+(E-λ)y+λb+F=0.要证此方程表示圆，即证：(D+kλ)2+(E-λ)2-4(λb+F)＞0,即：(k2+1)λ2+(2kD-2E-4b)λ+D2+E2-4F＞0.将它看作是关于λ的一元二次不等式，要证其成立，只需证明：Δ＝(2kD-2E-4b)2-4(k2+1)(D2+E2-4F)＜0 ③而此式等价变形为： D2+k2E2+2kDE+4kbD-4k2F＞4(b2+bE+F).它与②完全一致，由于原方程组有两组不同的实数解，所以②式成立，故③式恒成立，方程①表示圆。
其次，证明圆①一定经过直线L与圆C的两个交点。
设两交点分别为A(x1,y1) ，B(x2,y2)，∵点A既在直线L上又在圆C上，∴kx1-y1+b=0, x12+y12+Dx1+Ey1+F=0,∴x12+y12+Dx1+Ey1+F+λ(kx1-y1+b)=0,即点A在圆①上，同理点B亦在此圆上。
故圆①经过A、B两点。
综上，定理1得证。
定理2 经过两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0,C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0,的交点的圆系方程为：x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(包括圆C1，不包括圆C2，其中λ为常数且λ≠-1）特别地，当λ＝-1时，即（D1-D2）x+(E1-E2)y+F1-F2=0表示两圆公共弦所在直线方程。
高二数学--圆的方程(2021年整理)
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［知识点］1、圆的方程：①标准方程：()22)(r b y a x =-+-，c （a 、b ）为圆心,r 为半径。
②一般方程：022=++++F Ey Dx y x ，⎪⎭⎫⎝⎛--2,2E D C ，2422FE D r -+=当0422=-+F E D 时，表示一个点。
当0422<-+F E D 时，不表示任何图形。
③参数方程: θcos r a x +=θsin r b y +=（θ为参数）注：以A(x 1,y 1)，B(x 2，y 2）为直径的两端点的圆的方程是： （x-x 1)（x-x 2）+(y —y 1）（y —y 2）=02、点与圆的位置关系：考察点到圆心距离d ，然后与r 比较大小。
3、直线和圆的位置关系:相交、相切、相离判定：①代数法：联立方程组，消去一个未知量,得到一个一元二次方程： △＞0⇔相交、△＝0⇔相切、△＜0⇔相离②几何法:利用圆心c (a 、b ）到直线Ax+By+C=0的距离d 来确定:d ＜r ⇔相交、d ＝r ⇔相切d ＞r ⇔相离（直线与圆相交，注意半径、弦心距、半弦长所组成的Rt △） 4、圆的切线：（1）过圆上一点的切线方程：①与圆222r y x =+相切于点(x 1、y 1）的切线方程是211r y y x x =+②与圆222)()(r b y a x =-+-相切于点（x 1、y 1）的切线方程为：211))(())((r b y b y a x a x =--+--③与圆022=++++F Ey Dx y x 相切于点(x 1、y 1）的切线是：0)2()2(1111=++++++F y y E x x D y y x x （2)过圆外一点切线方程的求法:已知：P 0(x 0，y 0)是圆222)()(r b y a x =-+-外一点。
高二数学必修二 第四章 圆与圆的方程知识点总结
第四章 圆 与 方 程★1、圆的定义：平面内到肯定点的间隔 等于定长的点的集合叫做圆，定点圆心，定长为圆的半径。
设M （x,y ）为⊙A 上随意一点，则圆的集合可以写作：P = {M |MA| = r }★2、圆的方程（1）标准方程()()222r b y a x =-+-，圆心()b a ,，半径为r ； 点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系：当2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外; 当2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 当2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内; （2）一般方程022=++++F Ey Dx y x（x+D/2)2+(y+E/2)2=(D 2+E 2-4F)/4 （0422>-+F E D ）当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+=当0422=-+F E D 时，表示一个点；当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。
（3）求圆的方程的方法：待定系数法：先设后求。
确定一个圆须要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，须要求出D ，E ，F ； 干脆法：干脆依据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。
另外要留意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。
★3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种状况：（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的间隔 为22B AC Bb Aa d +++=，则有相离与C l r d ⇔>；相切与C l r d ⇔=；相交与C l r d ⇔< （2）过圆外一点的切线：设点斜式方程，用圆心到该直线间隔 =半径，求解k ，②若求得两个一样的解，带入切线方程，得到一条切线；接下来验证过该点的斜率不存在的直线（此 时，该直线肯定为另一条切线）(3)22=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此★4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的与（差），与圆心距（d ）之间的大小比拟来确定。
圆系方程及其应用2012.10.11
圆系方程及其应用一．常见的圆系方程有如下几种：1．以(,)a b 为圆心的同心圆系方程：222()()(0)x a y b λλ-+-=>与圆22+0x y Dx Ey F +++=同心的圆系方程为：22+0x y Dx Ey λ+++=2．过直线:0l ax by c ++=与圆22:+0C x y Dx Ey F +++=交点的圆系方程为：22++0x y Dx Ey F ax by c R λλ+++++=∈（）（）（1）当直线l 与圆C 交于,A B 两点时，圆系中的所有圆是以AB 为公共弦的一系列相交圆，其圆心在公共弦AB 的垂直平分线上；（2）当直线l 与圆C 切于点A 时，这时圆系的圆心(,)22D aE b M λλ++--， (,)(,)(,)(,)2222222D aE b D E a b CM OM OC a b λλλλλ++=-=-----=--=- 而直线l 的法向量(,)n a b =，∴=2CM n λ-，∴n ∥CM 因此，CM l ⊥，且直线l 为圆C 的过点A 的切线．又∵CA l ⊥（过切点的半径与切线垂直），∴CA 与CM 重合．由此可知，圆系中的所有圆（除圆C 外）与圆C 内切或外切于点A ，直线l 是它们的公切线， 圆心都在直线CA 上．3．过两圆221111:+0C x y D x E y F +++=与222222:+0C x y D x E y F +++=交点的圆系方程为：()()2222111222++01x y D x E y F x y D x E y F λλ+++++++=≠-．可知，圆心1212(,)2(1)2(1)D DE E M λλλλ++--++, 121211212111()()(,)(,)(,)2(1)2(1)222(1)2(1)D DE E D E D D E E C M OM OC λλλλλλλλ++--=-=-----=--++++ 22112112[(,)(,)]()1222211D E D E OC OC C C λλλλλλ=-----=-=+++ 因此，点12,,M C C 共线，即圆系的所有圆的圆心M 都在已知两圆的连心线12C C 上．（1）当圆1C 与圆2C 相交于,A B 两点时，则12AB C C ⊥（即连心线与公共弦垂直），且弦AB 为所有圆的公共弦；（2）当圆1C 与圆2C 内切或外切于A 点时，则M 在过切点A 的连心线12C C 上，圆系的所有圆都与已知的圆1C 及圆2C 在点A 处内切或外切．注意：（1）此圆系不含圆222222:+0C x y D x E y F +++=；（2）为了避免利用上述圆系方程时讨论圆2C ，可等价转化为过圆1C 和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:22111121212[()()()]0x y D x E y F D D x E E y F F λ+++++-+-+-=（3）特别地，当1λ=-时，上述方程()121212()()()0*D D x E E y F F -+-+-=称为根轴方程． 根轴的特点：位于已知两圆外的根轴上的任意一点向圆系的所有圆所作的切线的长都相等．①当两已知圆1C 与圆2C 于,A B 两点时，方程(*)表示公共弦AB 所在直线的方程；②当圆1C 与圆2C 内切或外切于A 点时，方程(*)表示过（内或外）公切点A 的公切线方程．这时，除点A 外，公切线上的所有点均具有根轴的性质．二．圆系方程在解题中的应用例1．求经过两圆22320x y x y ++--=和2233210x y x y ++++=交点和坐标原点的圆的方程．解：设所求圆的方程为：()22223233210x y x y x y x y λ++--+++++= ∵点()0,0在所求的圆上，将0x y ==代入，得20λ-+=，解得2λ=故所求的圆的方程为： 0)1233(2)23(2222=+++++--++y x y x y x y x即 2277y x +＋7x ＋y ＝０。
经过某定点的圆系方程
经过某定点的圆系方程在数学中，圆是一种非常重要的几何形状。
它由平面上距离一个固定点相等的所有点组成。
而经过某定点的圆系方程则是描述了一类特殊的圆。
假设我们有一个平面上的点P(x,y)，现在要找到一个圆，它经过点P。
那么，这个圆的方程应该是怎样的呢？我们需要知道圆的定义。
圆是由平面上所有与一个固定点的距离相等的点组成的。
所以，如果一个圆经过点P(x,y)，那么点P到圆心的距离应该等于圆的半径。
假设圆的半径为r，圆心的坐标为(a,b)，那么根据圆的定义，我们可以得到以下方程：(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2这就是经过点P(x,y)的圆的方程。
在这个方程中，(a,b)代表圆心的坐标，r代表圆的半径。
通过这个方程，我们可以推导出一些有趣的结论。
首先，如果我们知道圆心的坐标和半径，我们可以确定一个圆。
反之，如果我们知道一个圆的方程，我们也可以确定它的圆心和半径。
我们还可以根据圆的方程来解决一些几何问题。
例如，我们可以通过求解方程组来确定两个圆的交点。
我们也可以用圆的方程来证明一些几何定理。
除了经过一个点的圆，我们还可以考虑经过两个点或三个点的圆。
对于经过两个点的圆，我们可以利用这两个点的坐标来构造方程。
对于经过三个点的圆，我们可以利用方程组来解决。
经过某定点的圆系方程是研究圆的一个重要方向。
通过这个方程，我们可以确定圆的位置、大小和形状。
我们也可以利用它来解决一些几何问题。
数学的美妙之处在于它可以描述和解释我们周围的世界，而经过某定点的圆系方程就是其中的一个例子。
希望通过这篇文章的介绍，读者们对经过某定点的圆系方程有了更深入的了解。
数学是一门美妙的学科，它可以帮助我们理解世界的运行规律。
而圆作为数学中的一个基本概念，它的研究不仅仅在于理论，更能应用到实际生活中。
无论是工程设计、建筑规划还是日常生活中的测量，我们都能看到圆的身影。
因此，了解和掌握经过某定点的圆系方程对我们来说是非常有益的。
希望大家在学习数学的过程中，能够更加深入地理解圆，掌握圆的相关知识，并能运用到实际问题中。
与圆相切于一点的圆系方程
与圆相切于一点的圆系方程
假设有一个已知圆C1，其圆心坐标为(h, k)，半径为r1，以及一个与C1相切于点P的圆C2，我们来推导与C1相切于点P的圆C2的方程。
首先，我们知道圆C1的方程为：
(x-h)^2 + (y-k)^2 = r1^2
由于C2与C1相切于点P，所以点P的坐标也应满足C1的圆方程。
其次，我们假设圆C2的圆心坐标为(a, b)，半径为r2。
根据点P与C2的关系，我们可以得到点P到C2圆心的距离等于C2的半径，即：
√((x-a)^2 + (y-b)^2) = r2
由于点P与C1的圆心距离等于C1的半径，即：
√((x-h)^2 + (y-k)^2) = r1
将以上两个等式结合起来，我们可以得到与C1相切于点P的圆C2的方程：√((x-h)^2 + (y-k)^2) = r1 = √((x-a)^2 + (y-b)^2)
对上式两端进行平方，化简之后得到：
(x-h)^2 + (y-k)^2 = (x-a)^2 + (y-b)^2
展开并化简上式，可得：
-2hx + h^2 - 2ky + k^2 = -2ax + a^2 - 2by + b^2
进一步整理，得到与C1相切于点P的圆C2的方程：
2hx + 2ky - 2ax - 2by + (a^2 + b^2 - h^2 - k^2) = 0
这就是与圆C1相切于点P的圆C2的方程。
方程中的参数a、b可以是任意实数，因为我们只需要确定相切点P在C2上的位置，对应的圆心坐标可以是任意值。
圆系方程知识点总结
圆系方程知识点总结圆系方程的一般形式可以表示为：Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0其中A、B、C、D、E、F是常数，通常要求A、B、C不全为零。
根据A、B、C的取值不同，圆系方程可以表示不同的曲线形状。
在接下来的内容中，我们将从圆系方程的基本知识开始，逐步深入讨论圆、椭圆、双曲线和抛物线，并介绍它们在数学和物理中的应用。
1. 圆的方程圆是平面上与定点的距离等于定长的点的集合。
它的方程可以表示为：(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2其中(h, k)是圆的圆心坐标，r是圆的半径。
通过这个方程，我们可以得到圆的各种性质，如直径、周长和面积等。
2. 椭圆的方程椭圆是平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的集合。
它的一般方程可以表示为：((x - h)^2)/a^2 + ((y - k)^2)/b^2 = 1其中(a, b)是椭圆的半长轴和半短轴，(h, k)是椭圆的中心坐标。
通过椭圆的方程，我们可以得到椭圆的长轴、短轴、焦点、离心率等性质。
3. 双曲线的方程双曲线是平面上到两个定点的距离之差等于定长的点的集合。
它的一般方程可以表示为：((x - h)^2)/a^2 - ((y - k)^2)/b^2 = 1其中(a, b)是双曲线的半长轴和半短轴，(h, k)是双曲线的中心坐标。
通过双曲线的方程，我们可以得到双曲线的渐近线、离心率等性质。
4. 抛物线的方程抛物线是平面上到定点的距离等于定长的点的集合。
它的一般方程可以表示为：y = ax^2 + bx + c其中(a, b, c)是抛物线的常数，a不等于零。
通过抛物线的方程，我们可以得到抛物线的焦点、顶点、对称轴等性质。
除了这些基本的圆系方程，我们还可以将它们进行适当的平移、旋转和缩放，得到不同形式的方程。
这些变换可以帮助我们更好地理解和利用圆系方程。
在数学中，圆系方程有着重要的应用。
例如，在几何学中，我们可以通过圆系方程研究曲线的性质和特征，解决曲线的相关问题。
圆系方程公式
圆系方程公式圆系方程公式是圆的数学表达式，它主要用于求解圆的相关参数。
圆系方程公式一般有以下几种形式：一、标准方程形式：X² + Y² + AX + BY + C = 0这里 A 、 B、C 是常系数，X 和 Y 是变量。
通过求解上述方程，可以求出圆心坐标（h，k）和半径 r 。
二、极坐标形式：r = a (1 - cos θ)在极坐标形式中，a 是半径，θ 是角度。
三、参数方程形式：x = a cos ty = b sin t在参数方程形式中，a 和 b 分别代表圆的长轴和短轴，t 是只变量，它可以从0 到2π 依次取值。
四、中心坐标形式：(x-h)² + (y-k)² = r²这里 h 和 k 分别代表圆心的横纵坐标，r 是半径。
圆系方程公式用来描述的是一种圆形图形，它的定义为：以某一点 P 作圆心，以某一条直线 L 作圆周，并且P 点到 L 直线的距离都相等。
圆系方程公式主要用于求解圆的相关参数，如圆心坐标、半径等，它能够更加准确地描述圆形图形，常用于工程设计中。
圆系方程公式可以用来求解圆形图形的面积和周长，其求解公式分别为：面积公式：S = πr²周长公式：C = 2πR其中，S 为圆形图形的面积，C 为圆形图形的周长，r 为圆的半径，π 为圆周率。
圆系方程公式不仅用于求解圆形图形的相关参数，还可以用于求解各种圆形图形之间的关系。
如可以求解两个圆形图形的位置关系、相交情况、切点等，可以对各种圆形图形进行适当的变换，以此达到工程设计的目的。
总之，圆系方程公式是一种可以准确描述圆形图形的数学表达式，可以帮助我们更好地求解圆形图形的相关参数，以及它们之间的关系，是一种非常重要的数学工具。
圆的方程的三种形式
圆的方程的三种形式
圆的方程有两种形式，分为标准方程、一般方程。
圆的标准方程形式为：（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。
圆的一般方程形式为：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。
和标准方程对比来看，其实D=-2a，E=-2b，F=a^2+b^2-r^2。
圆的方程形式
圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a,b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。
圆的一般方程：把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后，可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。
和标准方程对比，其实D=-2a，E=-2b，F=a^2+b^2-r^2。
圆
在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆。
圆有无数条对称轴。
在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
圆可以表示为集合{M||MO|=r}，其中O是圆心，r是半径。
圆的标准方程是(x-a)²+(y - b)² = r²，其中点(a,b)是圆心，r是半径。
圆形是一种圆锥曲线，由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到。
初中数学圆的方程知识点
初中数学圆的方程知识点
1、圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O(a，b)为圆心，以r为半径的圆的'标准方程是(xa)^2+(yb)^2=r^2。
特殊地，以原点为圆心，半径为r(r0)的圆的标准方程为x^2+y^2=r^2。
2、圆的一般方程：方程x^2+y^2+Dx+Ey+F=0可变形为(x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^24F)/4.故有：
(1)、当D^2+E^24F0时，方程表示以(D/2,E/2)为圆心，以(√D^2+E^24F)/2为半径的圆;
(2)、当D^2+E^24F=0时，方程表示一个点(D/2，E/2);
(3)、当D^2+E^24F0时，方程不表示任何图形。
3、圆的参数方程：以点O(a，b)为圆心，以r为半径的圆的参数方程是x=a+r*cosθ, y=b+r*sinθ, (其中θ为参数) 圆的端点式：若已知两点A(a1,b1),B(a2,b2)，则以线段AB 为直径的圆的方程为 (xa1)(xa2)+(yb1)(yb2)=0
圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。
经过圆x^2+y^2=r^2上一点M(a0，b0)的切线方程为a0*x+b0*y=r^2
在圆(x^2+y^2=r^2)外一点M(a0，b0)引该圆的两条切线，且两切点为A,B，则A,B两点所在直线的方程也为 a0*x+b0*y=r^2 圆的方程学问在学校数学逇学习中涉及到的并不是许多，同学们把握基础就好。
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直线与圆交点圆系方程
直线与圆交点的圆系方程
过直线与圆相交点AB的圆系方程,为什么是x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ（AX+BY+C）=0
用集合论来证明就可以了,x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ（AX+BY+C）=0这个方程满足圆的一般方程,所以这个方程描述的是一个圆,而且所有同时满足x^2+y^2+D1x+E1y+F1=0,AX+BY+C=0的点（即交点）一定满足x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ（AX+BY+C）=0,因为0+λ*0=0,所以,它们的交点在这个方程确定的圆上（属于这个方程描述的集合）.但是,对于不满足x^2+y^2+D1x+E1y+F1=0和AX+BY+C=0的点,也可以满足x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ（AX+BY+C）=0,这些点就是这个圆上不是两个交点的其他点.我再举个例子,x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ（AX+BY+C）^2=0 ,这个方程描述的就是过直线和圆交点的椭圆（包括虚椭圆）.对于任意的若干个方程组,每个方程组含有若干个方程,它们的交集空间大都可以通过构造,含于满足条件特征空间之中.。
圆系方程的理解与推导
圆系方程的理解与推导在数学中，圆是一个非常重要的几何形状。
圆的方程描述了在平面上所有与给定点（圆心）距离相等的点的集合。
圆的方程有多种形式，下面将介绍其中两种常见的形式：标准圆方程和一般圆方程。
1. 标准圆方程：标准圆方程表述为：(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)为圆心坐标，r为半径。
这个方程说明了平面上距圆心的欧几里得距离等于半径的点构成了圆。
推导标准圆方程的方法如下：首先，假设圆心为(h, k)，半径为r。
对于任意点(x, y)位于圆上，根据欧几里得距离的定义，有：√((x - h)² + (y - k)²) = r两边平方得：(x - h)² + (y - k)² = r²这就是标准圆方程。
2. 一般圆方程：一般圆方程可以写为Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0，其中A、B、C、D、E为常数。
这个方程描述了平面上满足该方程的点的集合构成了圆。
推导一般圆方程的方法如下：首先，假设圆心为(h, k)，半径为r。
根据圆的定义，圆上的点与圆心的距离应等于半径。
因此，我们可以得到一个方程：√((x - h)² + (y - k)²) = r两边平方后展开，并移项，可得：(x - h)² + (y - k)² - r² = 0进一步展开并整理，可得：x² + y² - 2hx - 2ky + (h² + k² - r²) = 0将上式与一般圆方程进行比较，我们可以得到：A = 1，B = 1，C = -2h，D = -2k，E = h² + k² - r²这就是一般圆方程。
通过推导和理解圆的方程，我们可以在平面几何中更好地描述和分析圆的性质和关系。
圆系方程问题再探讨
圆系方程问题再探讨
请问您需要关于圆系方程的哪方面的探讨和讨论呢？以下是一
些可能的讨论点：
1. 圆系方程的三种形式：标准式、一般式和参数式，它们各自
的优缺点和使用场合。
2. 圆系方程的图像和性质：如何根据方程的参数描述圆的位置、形状和方向，以及圆的相关性质（如圆心、半径、直径、弦等）。
3. 圆系方程的应用：圆系方程在几何题目中的应用，以及在实
际生活中的应用，如科学、工程、物理学等等。
4. 圆系方程的变形和扩展：如何将圆系方程进行变形和扩展，
以应对不同的问题和需求，如椭圆、双曲线等。
在讨论圆系方程时，可以结合具体例子和应用场景，深入探讨
其特点和应用。
圆系方程
O1(5,5), O2 (3,1), r1 5 2, r2 5 2 | O1O2 | 80 (r1 r2 , r1 r2 ) 相交 公共弦AB所在直线为：16 x 8y - 40 0，即2x y 5 0
C
外切，则
2
(a 2)2 (a 2)2
b2 b2
31 31
a0 b 2
3
(a 2)2 (a 2)2
b2 b2
31 31
a
b
3 2 15 2
(4)与C1外切，
C2内切，则
(a 2)2 b2 3 1 (a 2)2 b2 3 1
b
a
3
2 15 24
O2
O1
O2
O1
O2 O1
2
例：圆：x2 y2 2x 6y 26 0与圆：x2 y2 - 4x 2y 4 0 的公切线有几条？
圆方程即为：(x 1)2 ( y 3)2 36, (x 2)2 ( y 1)2 1 O1(1,3), O2 (2,1), r1 6, r2 1 | O1O2 | 5 r1 r2 内切 公切线1条
x2 y2 D1x E1 y F1 (x2 y2 D2 x E2 y F2 ) 0
若圆C1：x2 y2 D1x E1 y F1 0, 直线l：ax by c 0
则过C1与l交点的圆系方程为：
x2 y2 D1x E1 y F1 (ax by c) 0
例：求C1：x2 y2 2x 6 y 9 0和C2：x2 y2 6x 2 y 1 0 公切线方程。
两圆方程即为：(x 1)2 ( y 3)2 1, (x 3)2 ( y 1)2 9
经过某定点的圆系方程
经过某定点的圆系方程在数学中，圆是一种非常重要的几何图形，它具有许多特点和性质。
而当我们考虑某一个定点时，圆的方程也会因此而发生变化。
下面，我们将探讨经过某定点的圆系方程。
我们来考虑一个简单的情况。
假设我们有一个定点O，坐标为(x0, y0)，我们想要找到一个圆，使得它经过点O。
那么这个圆的方程是什么呢？根据圆的定义，一个点P(x, y)在圆上，当且仅当它到圆心的距离等于圆的半径r。
因此，我们可以得到以下方程：sqrt((x - x0)^2 + (y - y0)^2) = r这就是经过点O的圆的方程。
我们可以看到，当点P满足该方程时，它就在圆上；反之，若点P不满足该方程，则它不在圆上。
接下来，我们来考虑一个稍微复杂一些的情况。
假设我们有两个定点O1和O2，坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，我们想要找到一个圆，使得它同时经过这两个点。
那么这个圆的方程是什么呢？同样地，我们可以利用圆的定义来得到方程。
对于点P(x, y)来说，它到点O1和O2的距离应该分别等于圆的半径r。
因此，我们可以得到以下两个方程：sqrt((x - x1)^2 + (y - y1)^2) = rsqrt((x - x2)^2 + (y - y2)^2) = r这就是经过点O1和O2的圆的方程。
我们可以看到，当点P满足这两个方程时，它就在圆上；反之，若点P不满足其中任意一个方程，则它不在圆上。
除了经过两个点的情况，我们还可以考虑经过三个点的圆的方程。
假设我们有三个定点O1、O2和O3，坐标分别为(x1, y1)、(x2, y2)和(x3, y3)，我们想要找到一个圆，使得它同时经过这三个点。
那么这个圆的方程是什么呢？同样地，我们可以利用圆的定义来得到方程。
对于点P(x, y)来说，它到点O1、O2和O3的距离应该分别等于圆的半径r。
因此，我们可以得到以下三个方程：sqrt((x - x1)^2 + (y - y1)^2) = rsqrt((x - x2)^2 + (y - y2)^2) = rsqrt((x - x3)^2 + (y - y3)^2) = r这就是经过点O1、O2和O3的圆的方程。
过直线与圆交点的圆系方程
过直线与圆交点的圆系方程过一条直线与一个圆相交，会得到两个交点。
这两个交点所构成的圆系，可以用方程来表示。
本文将讨论如何得到过直线与圆交点的圆系方程，并探讨其相关性质。
我们来考虑一个简单的情况，即直线与圆相交于两个不同的交点。
设直线的方程为y = mx + b，圆的方程为(x - h)² + (y - k)² = r²。
我们可以将直线方程代入圆的方程，得到一个关于x的二次方程。
解这个二次方程，即可得到两个交点的x坐标。
将这两个x坐标代回直线方程，即可求出对应的y坐标。
这样就得到了两个交点的坐标，进而可以得到过这两个交点的圆的方程。
接着，我们来考虑一个稍微复杂一点的情况，即直线与圆相切的情况。
设直线的方程为y = mx + b，圆的方程为(x - h)² + (y - k)² = r²。
我们知道，相切的直线与圆的切点具有相同的坐标。
因此，我们可以将直线方程代入圆的方程，并令其判别式为零。
解这个一元二次方程，即可得到切点的横坐标x。
将这个x坐标代回直线方程，即可求出对应的切点的纵坐标y。
这样就得到了切点的坐标，进而可以得到过切点的圆的方程。
我们来考虑一个更为特殊的情况，即直线与圆相离的情况。
设直线的方程为y = mx + b，圆的方程为(x - h)² + (y - k)² = r²。
我们知道，相离的直线与圆之间不存在交点。
因此，我们可以将直线方程代入圆的方程，并令其判别式小于零。
解这个一元二次方程，即可得到没有交点的情况。
这意味着，不存在过直线与圆相离的圆。
通过上述讨论，我们得到了过直线与圆交点的圆系方程的一般形式。
对于相交的情况，方程将包含两个交点的坐标；对于相切的情况，方程将包含一个切点的坐标；对于相离的情况，方程将不存在。
这些方程可以用来描述直线与圆之间的几何关系，进一步研究它们的性质和应用。
除了求解过直线与圆交点的圆系方程，我们还可以研究一些相关的性质。
圆系方程在解题中的应用
倒 ， 已知 圆 ｚ 。 ＋ｙ 。 ＋ｚ一 ６ ｙ＋Ｔ ｎ一０与直 线 ． ｚ ＋２ ｙ一３ —０相 交 于 Ｐ， Ｑ两点 ， ０ 为 坐标 原 点 ， 若 ＯＰ上ＯＱ， 求实数 ｍ 的值 。 解： 若 ＯＰ上 Ｏ Ｑ， 则 过 Ｏ， Ｐ， Ｑ 三点可作 圆， 该
圆 在 过 两 交 点 Ｐ， Ｑ 的 圆系方 程为 ｚ ＋ ｙ ＋ ｚ一
０ ， 即 一一÷。故过 原点 的圆的方 程为 ＋ｙ 。 ＋
３ １ ７ ｚ 一 ＝０ ｏ
（ 一 ， 一
） 在 公 共 弦 上 。
因 为 点 Ｍ 在 直 线 ２ ｘ － ｙ 一 。 上 ， 所 以 ２ （ 一 ）
一
（ ２ ） 当圆心 在直 线 ２ ｌ ｚ ＋ ＋４ —０上时 （ 即以两 交 点所 在 的 弦 为 直 径 ） ， 圆的面积 最小， 而 圆 心 为
３ Ａ， 得 ｍ一３ 。
一
１ 薜 － ２ ２
２ Ｉ － Ａ 。
理 丫 匕
解 上述 方程 得 一１ （ 一一１不合题 意 ， 舍去 ） 。 故 所求 圆的方程 为 ｚ ＋ 一ｚ一２ ｙ一０ 。 侧
高
倒 ２ 求 过直 线 ２ － ｚ＋ｙ＋４ —０和 圆 Ｘ ＋ｙ 。 ＋ ２ ｚ一４ ＋１ —０的交 点 ， 并 满 足 下 列条 件 之 一 的 圆 的
毒
一
■江苏
含有 参 数 的 圆 的方 程 叫 做 圆 系 方 程 ， 它 表示 具
二、 过 两 圆 Ｃ１ ： ｚ 。 ＋ｙ 。 ＋Ｄｌ ｚ＋ Ｅ１ Ｙ＋ Ｆｌ 一０ ，
麟
蒋 庆富
有某 种共 同 性 质 的 圆 的集 合 ， 称 为 圆系 。在 处 理 有 关 圆 的方 程 问题 时 ， 如 果 能用 圆系 方程 解 题 ， 则 可 以 简化 运算 ， 优化解题过程 ， 能使 问题 得 到巧 妙 解 决 。 下 面就 常见 的两种 类 型 ， 举 例说 明 。
圆系方程
圆的方程：
1
4 1 整理得x y x 0 1 1
2 2
2 2 4 1 2 配方得(x ) y 2 1 (1 ) 圆与直线 3 y 0相切，
2
2 1 3 0 6 4 2 1 2 (1 ) 1 3 8 化简得11 +8=0 =11
∵圆心C应在公共弦AB所在直线上，
∴ 所求圆的方程为x2+y2-4x+4y-17=0．
练习：
1、求过圆 x 2 + y 2 －6x －8y + 20 = 0 和 x 2 + y 2 －10x + 4y + 4 = 0 的交点，且过点 ( 3 , －1 ) 的圆方程。
2、求过圆 x 2 + y 2－2y = 0 和直线 2x + y －3 = 0的交点，且圆心在 x 轴上的圆方程。 3、求过圆 x 2 + y 2 = 4 和 x 2 + y 2－2x－4y + 4=0 的交点，且和直线 x + 2y = 0 相切的 圆方程。
例5：求以圆C1∶x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2： x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦为直径的圆的 方程．
相减得公共弦所在直线方程为4x+3y-2=0．
∵所求圆以AB为直径， 于是圆的方程为(x-2)2+(y+2)2=25 .
解法二： 设所求圆的方程为： x2+y2-12x-2y-13+λ(x2+y2+12x+16y-25)=0
2 1 由圆心( , )代入2 x 4 y 1 1 1 1 3
4-5圆系与曲线系
2111 2 1 1 1 ( 2 221 22 1 专 题 5 圆 系 与 曲 线 系秒杀秘籍：第一讲 圆系和曲线中的四点共圆圆系：具有某种共同属性的圆的集合． 几种常见的圆系方程：（1）同心圆系： (x - x 0 )2 + ( y - y 0 )2 = r 2 ， x 0 , y 0 为常数， r 为参数．（2）过两已知圆C 1 : f 1 (x , y ) = x 2 + y 2 + D 1 x + E 1 y + F 1 = 0 和C 2 ： f 2 (x , y ) = x 2 + y 2 + D 2 x + E 2 y + F 2 = 0 的交点的圆系方程为： x 2 + y 2 + D 1x + E 1 y + F 1 + λ(x 2 + y 2 + D 2 x + E 2 y + F 2 ) = 0 (λ≠ -1) 若λ= -1时，变为 (D 1 - D 2 )x + (E 1 - E 2 ) y + F 1 - F 2 = 0 ，则表示过两圆的交点的直线．其中两圆相交时，此直线表示为公共弦所在直线，当两圆相切时，此直线为两圆的公切线，当两圆相离时， 此直线表示与两圆连心线垂直的直线．（3）过直线与圆交点的圆系方程：设直线l : Ax + By + C = 0 与圆C : x 2 + y 2 + D x + E 直线l 与圆C 交点的圆系方程为 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F + λ( Ax + By + C ) = 0 ． 曲线系：两相交直线与圆锥曲线相交构成的共同属性的集合． 两条直线所组成的二次曲线方程： (a 1 x +b 1 y +c 1)(a 2 x + b 2 y + c 2 )= 0 ． y + F = 0 相交，则过圆锥曲线上的四点共圆问题：设圆锥曲线方程为 Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 ，则存在四点共圆的情况必为Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F + l (a x + b y + c ) a x + b y + c )= 0 ，由于没有 xy 的项，必有 a b+ a b =0． 定理：圆锥曲线的内接四边形 ABCD 出现四点共圆时，一定有任何一组对边对应所在的直线倾斜角互补．其 方程可以写成 Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F + l (ax + by + c )(ax - by + c )= 0 ，此时 A +l a 2 = C - l b 2 ，方程表示一 个圆．证明四点共圆的套路：1．设出曲线系方程，解出l ；2．根据 4R 2 = D 2 + E 2 - 4F > 0 证明四点一定共圆．【例 1】求过圆： x 2 + y 2 -2x + 2 y +1=0 与圆： x 2 + y 2 + 4 x -2 y -4 =0 的交点，圆心在直线： x - 2y - 5 = 0 的圆的方程．2122 + = > > 【例 2】已知圆C : x 2 + y 2 - 2x + 4 y - 4 = 0 与直线 x - y + m = 0 相交于 A , B 两点，O 为坐标原点，若OA ⊥ OB ， 求实数 m 的值．【例 3】已知抛物线 y 2 = 2 px ．过焦点 F 任作两条互相垂直的直线与抛物线分别交于 A , C 和 B , D ，问四点是否共圆？若共圆，求出圆的方程，若不共圆，说明理由．x 2 y 2【例 4】设椭圆C : + 3 2共圆．= 1，过点 P (1 , 1)且倾斜角互补的两直线分别与椭圆交于 A , C 和 B , D ，证明四点2y 2 【例 5】（2011•全国卷）已知O 为坐标原点， F 为椭圆C : x += 1在 y 轴正半轴上的焦点，过 F 且斜率2为- 的直线l 与C 交于 A , B 两点，点 P 满足OA + OB + OP = 0 ． （1）证明：点 P 在C 上；（2）设点 P 关于点O 的对称点为 Q ，证明： A 、 P 、 B 、Q 四点在同一圆上．【例 6】（2016•四川文）已知椭圆 E : x a 2 y 2b 21(a b 0) 的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点 P (3, 1 ) 2在椭圆 E 上． （1）求椭圆 E 的方程；（2）设不过原点O 且斜率为 1的直线l 与椭圆 E 交于不同的两点 A 、 B ，线段 AB 的中点为 M ，直线OM2 与椭圆 E 交于C 、 D ，证明： | MA | | MB |=| MC | | MD | ．2213【例 7】（2010•江苏）椭圆 1的左右顶点为 A , B 右焦点为 F ．设过点T 9, m 秒杀秘籍：第二讲 曲线系及其应用方程形如 ax 2 + by 2 + cxy + dx + ey + f = 0 的曲线，叫做二次曲线，它包括圆、椭圆、双曲线、抛物线以 及退化的二次曲线——两条直线．有必要解释一下什么叫做两条直线，注意如下方程： (A 1x + B 1 y + C 1 )(A 2 x + B 2 y + C 2 )= 0．显然，在它上面的点，要么满足 A 1x + B 1 y + C 1 = 0，要么满足 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ，故点的集合是两条直线．而这个方程展开后，是一个二次式，因此是退化的二次曲线．设这条二次曲线的方程分别为 S 1 = 0 , S 2 = 0 ,其中 S 1 ， S 2 均为二次式，有λS 1 + μS 2 = 0 表示所有经过这 两个曲线交点的二次曲线，即曲线系．同样，如果能确定你需要的曲线不是 S 1 = 0 或 S 2 = 0本身，我们可以只设一个参数．当我们已知曲线 H = 0 ,要求某些未知数值的时候，我们利用方程：λS 1 + μS 2 = H ，两边对比系数即可． 同样，如果 H 不为 S 1 或 S 2 本身，通过除以λ或者μ，可知上式的两个待定系数可以放在任两个方程前 面，应选择方便计算的．x 2 + y 2= ( ) 9 5 与椭圆交于 M (x 1，y 1 )， N (x 2，y 2 )，其中 m > 0 ， y 1 > 0 ， y 2 < 0 ．求证：直线 MN 必过 x 轴上一个定点．总结：设 MN : x = ky + n ，是因为 MN 能竖着但不能横着． 利用二次曲线系求解某个未知数的基本步骤： 1. 找到四个点，他们为两个二次曲线的交点． 2. 找出另一个过这个四个点的二次曲线，构造等式． 3. 两边对某些项的系数，找出未知数．需要说明的是，对比系数时，要通过感觉和尝试选出有用的等式．千万不要将式子展开，那样会很繁， 只需要单独算出某些待定项的系数就可以了．另外，将两个直线方程相乘，变成二次曲线，是一个很重要的技巧．的直线TA ， TB 分别2142 + = > > 【例 8】（2016•山东）已知椭圆C : x a 2 （1）求椭圆C 的方程；y 2 b 21(a b 0) 的长轴长为 4，焦距为 2 ．（2）过动点 M (0 ， m )(m > 0) 的直线交 x 轴与点 N ，交 C 于点 A ， P (P 在第一象限），且 M 是线段 PN 的中点．过点 P 作 x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点 B ．①设直线 PM ，QM 的斜率分别为 k ， k ，证明 k2 为定值；1②求直线 AB 的斜率的最小值．k 1达 标 训 练1．已知抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) ， AB 为过抛物线焦点 F 的弦， AB 的中垂线交抛物线 E 于点 M 、N ．若 A 、M 、 B 、 N 四点共圆，求直线 AB 的方程．2y 2 2．（2002•广东）设 A 、 B 是双曲线x - = 1上的两点，点 N (1 , 2) 是线段 AB 的中点．2（1）求直线 AB 的方程（2）如果线段 AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么 A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？2221573．（2005•湖北）设 A 、B 是椭圆3x 2 + y 2 = λ上的两点，点 N (1 , 3) 是线段 AB 的中点，线段 AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、 D 两点．（1）确定λ的取值范围，并求直线 AB 的方程；（2）试判断是否存在这样的λ，使得 A 、 B 、C 、 D 四点在同一个圆上？并说明理由．x 2+y 2=> >14．（2015•乌鲁木齐模拟）已知椭圆 a 2顶点，且| AB |= ． （1）试求椭圆的方程；b21(a b 0) 的离心率为 ，点 A 、B 分别为椭圆的右顶点和上 2（2）斜率为 3的直线l 与椭圆交于 P 、Q 两点，点 P 在第一象限，求证 A 、 P 、 B 、Q 四点共圆．25．（2019•大理期中）已知椭圆 E 中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过 A (-2,0), B (2,0),C ⎛1, 3 ⎫三点．2 ⎪ ⎝ ⎭ （1）求椭圆 E 的方程;（2）在直线 x = 4 上任取一点T (4 , m )(m ≠ 0),连接TA , TB ，分别与椭圆 E 交于 M 、N 两点,判断直线 MN 是否过定点？若是,求出该定点;若不是,请说明理由．2162 x 2 y 26．（2019•岳麓月考）已知椭圆C : a 2 + b2 = 1(a > b > 0) 的左、右焦点分别是 F 1 、F 2 ，左右顶点分别是 A 1 、A 2 ，离心率是 2，过 F 的直线与椭圆交于两点 P 、Q （不是左、右顶点），且△ F PQ 的周长是 4 ，直线 A P2 2 1 1与 A 2Q 交于点 M ． （1）求椭圆的方程；（2）①求证直线 A 1 P 与 A 2Q 的交点 M 在一条定直线l 上；② N 是定直线l 上的一点，且 PN 平行于 x 轴，证明： | PF 2 |是定值．| PN |x 2 y 27．（2018•太原模拟）已知椭圆C : a 2 + b2 = 1(a > b > 0) 的左、右顶点分别为 A 1 ， A 2 ，右焦点为 F 2 (1 , 0) ，3 B (1 , ) 2在椭圆C 上．（1）求椭圆方程；（2）若直线l : y = k (x - 4)(k ≠ 0) 与椭圆C 交于 M ，N 两点，已知直线 A 1M 与 A 2 N 相交于点G ，证明：点G 在定直线上，并求出定直线的方程．点3y +=>>8．（2017•徐汇模拟）如图，A, B 是椭圆C : x2+22= 1长轴的两个端点，M , N 是椭圆上与A, B 均不重合的相异两点，设直线AM , BN, AN 的斜率分别是k1 , k2, k3．（1）求k2 ⋅k3的值；⎛ 2 ⎫（2）若直线MN 过点, 0 ，求证：k ⋅k =-1 ；2 ⎪ 13 6⎝⎭（3）设直线MN 与x 轴的交点为(t, 0) ( t 为常数且t ≠ 0 )，试探究直线AM 与直线BN 的交点Q 是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．9．已知O 为坐标原点，椭圆C : xa2 y2b21(a b 0) 的焦距等于其长半轴长，M ，N 为椭圆C 的上下顶点，且| MN |= 2 ．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P(0 , 1) 作直线l 交椭圆C 于异于M ，N 的A , B 两点，直线AM、BN 交于点T ，求证：点T 的纵坐标为定值3．2217218()C 0 , 1+ = 21210． 在平面直角坐标系 xoy 中，已知椭圆 x + y= 1 的左右顶点为 A ，B ，右焦点为 F ，设过点T (t , m ) 的9 5直线TA ， TB 与椭圆分别交于点 M (x 1 , y 1 ) ，N (x 2 , y 2 ) ，其中 m > 0 , y 1 > 0 , y 2 < 0（1）设动点 P 满足 PF 2 - PB 2 = 4 ，求点 P 的轨迹．（2）若 x 1 = 2 , x 2 = 3，求点T 的坐标．（3）设t = 9 ，求证：直线 MN 必过 x 轴上的一定点（其坐标与 m 无关）．11．（2011•四川）如图，椭圆有两顶点 A (-1 , 0) 、 B (1 , 0) ，过其焦点 F (0 , 1) 的直线l 与椭圆交于C , D 两点，并与 x 轴交于点 P ．直线 AC 与直线 BD 交于点Q ． 当点 P 异于 A , B 两点时，求证： OP ⋅ O Q 为定值．x 2 y 2 12．（2011•四川）如图，过点的椭圆( > > )的离心率为，椭圆与 x 轴交于两点 a 2 b 21 a b 02A (a , 0)，B (- a , 0)，过点C 的直线l 于椭圆交于另一点D ，并与 x 轴交于 P ，直线 AC 与直线 BD 交于点Q ． （1）当直线l 过椭圆右焦点时，求线段CD 的长；（2）当点 P 异于点 B 时，求证： OP ⋅ OQ 为定值．3。
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2
1
1
52 16 16
5(
8 )2
16
2
2
55
当 8 时, S 4
5
min
5
故 所求圆为 5x 2 + 5y 2 + 26x －12y + 37 = 0
例4、求圆 x 2 + y 2 + 2x + 4y －3 = 0 关于直线 x + y －1 = 0 对称的圆方程。
法一：转移法
x 1 y
__A_1_x_+__B__1y__+__C_1__+___(_A__2_x_+__B_2_y__+_C__2_)_=__0__
_(___为__参__数__,_不__包___括__直__线___A_2_x___B_2_y___C__2___0_)
【典型例题】
1.已知直线 l :(1 m)x (2 m) y (1 m) 0 ，
1
y 1
1
x
故 所求圆为 x 2 + y 2 －6x －4y + 5 = 0
法二：对称法 ( x + 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 8
( x －3 ) 2 + ( y －2 ) 2 = 8
练习： 1、求过圆 x 2 + y 2 －6x －8y + 20 = 0 和 x 2 + y 2 －10x + 4y + 4 = 0 的交点，且过点 ( 3 , －1 ) 的 圆方程。 2、求过圆 x 2 + y 2－2y = 0 和直线 2x + y －3 = 0 的交点，且圆心在 x 轴上的圆方程。 3、求过圆 x 2 + y 2 = 4 和 x 2 + y 2－2x－4y + 4=0 的交点，且和直线 x + 2y = 0 相切的圆方程。
x2 y2 Dx Ey F＋ ( Ax By C ) 0
例3、过直线 2x + y + 4 = 0 和圆 x 2 + y 2 + 2x －4y + 1 = 0 的交点，面积最小的圆方程
解：设所求圆方程为
x 2 + y 2 + 2x －4y + ( 2x + y + 4 ) = 0
r 1 (2 2)2 ( 4)2 4(4 1)
x2 y2 D1 x E1 y F1 ( x2 y2 D2 x E2 y F2 ) 0 ( 1 )
新课
常见的圆系方程：
3、 过 直 线 与 圆 的 交 点 的圆 系 方 程 直线 l : Ax By C 0 圆 C : x2 y2 Dx Ey F 0
x2 y2 Dx Ey F＋ ( Ax By C ) 0
解：设所求圆方程为
x 2 + y 2 －4x + 2y + ( x 2 + y 2 －2y －4 ) = 0
由圆心( 2 , 1)代入2 x 4 y 1 1 1 1
3 ∴ x 2 + y 2 －3x + y －1 = 0
[例 3] 过两圆 x2＋y2－4＝0 和 x2－4x＋y2＝0 的交点， 且圆心在直线 x－ 3y－6＝0 上的圆的方程．
变式1、求过圆C1,C2 的交点，且圆心在 直线 2x y 0上的圆的方程
圆系的定义： 具有某种共同性质的圆的集合，称为圆系。
常见的圆系方程：
1、同心圆系 ( x a)2 ( y b)2 r 2 (a, b是常数，r是参数)
2、 过 两 圆Ci : x 2 y2 Di x Ei y Fi 0 ( i 1,2 ) 交点的圆系方程
4.过两直线y 2x 3和3x y 2 0的交点, 且垂直于第一条直线的直线方程是: _x+_2_y_-11=0
圆系方程
圆系
1、定义：具有某种 _共__同___ 性质的圆叫做圆系； 它的方程叫 __圆__系__方__程_____
2、常见的圆系方程：
(1) 半径相等的圆系方程为 _(_x_－__a__) 2__+_(_y__－_b__)_2_=__r _2 _( _a_、__b_为__参__数__)___
法：设所求圆的方程为： x2＋y2－4＋λ(x2＋y2－4x)＝0(λ≠－1)． 整理得：x2＋y2－14＋λλx－1＋4 λ＝0， ∵圆心(12＋λλ，0)在直线 x－ 3y－6＝0 上， ∴12＋λλ－6＝0. 解得 λ＝－32. ∴所求圆的方程为 x2＋y2－12x＋8＝0.
例2、求圆心为 ( 2 , 1 ) 且与已知圆 x 2 + y 2 － 3x = 0 的公共弦所在直线经过点 ( 5 , －2 ) 的 圆方程。
直线系方程
直线系方程的定义
具有某种共同性质的所有直线的集合叫做直线系。
它的方程叫直线系方程。
共同性质如： 平行于已知直线的直线系方程； 垂直于已知直线的直线系方程； 过定点的直线系方程
直线系方程的种类1:
1、与直线l：Ax By C 0平行的 直线系方程为Ax By C1 0 y (其中C C1，C1为待定系数)
和原点的直线方程是: __y=_x___
2.过两直线2x 3 y 10 0和3x 4 y 2 0的交点, 且垂直于直线3x 2 y 4 0的直线是:2x_+_3_y-_2_=0_
3.过两直线2x y 8 0和x 2 y 1 0的交点, 且平行于直线4x - 3 y 7 0的直线是: 4_x_-3_y_-6=0
o x
直线系方程的种类2:
2、与直线l：Ax By C 0垂直的 直线系方程为Bx Ay C2 0 (其 中C 2为 待 定 系 数)
y
o
x
直线系方程的种类3:
3、过定点P( x0 , y0 )的直线系方程为
y y0 k(x x0 )
此方程不包括直线x x0
y
o
x
直线系方程的种类4:
例题
1、求过圆 C1 : x 2 y 2 2x 3 0, C2 : x2 y2 4x 2y 3 0 的交点，且过原点的圆的方程
变式2、求过圆C1 ,C2 的交点， 且面积最小的圆的方程
4. 若直线L1：A1x+B1y+C1=0与直线L2：A2x+B2y+C2=0 相交，交点为P（x0，y0），则过两直线的交点的 直线系方程为:
A1x+B1y+C1 +k( A2x+B2y+C2)=0(2) 其中k为待定系 数.方程少一条直线。
y
o
x
4、中心直线系方程： 过相交直线 A 1x + B 1y + C 1 = 0 和 A 2x + B 2y + C 2 = 0 的交点的直线系方程为
解：设所求圆为 x 2 + y 2 －4x －2y + F = 0 则公共弦方程： x + 2y －F = 0 过 ( 5 , －2 )
∴ F=1 故 所求圆方程为 x 2 + y 2 －4x －2y + 1 = 0
例题
变式2、求过直线2x y 4 0 与 圆 x2 y2 2x 4y 1 0 的 交 点 且 面 积 最 小 的 圆的 方 程
2.已知直线 l :(1 m)x (2 m) y (1 m) 0 ， 求当m在实数范围内变化时,原点到直线l的距离的最大值。
解: 由第1题，知直线过定点(3,2) 由图可知，当l OP时，原点到直线l的距离最大。 原点到直线的最大距离d 13
3.已知直线l :(1 m)x (2 m) y (1 m) 0 ， 求证l与圆：( x 2)2 ( y 3)2 25总有两个公共点
求证：无论m取何实数,直线l 恒过定点,并求出定点坐标。
1) 0
该方程表示过 l1 : x 2 y 1 0 和l2 : x y 1 0交点的直线。 解方程组，得交点：(3, 2) 故无论m取何值，直线恒过定点 (3,2)
【典型例题】
答案： 1、 x 2 + y 2 －8x －2y + 12 = 0 2、 x 2 + y 2 + 4x －6 = 0 3、 x 2 + y 2 －x －2y = 0
例题
1、求过圆 C1 : x 2 y 2 2x 3 0, C2 : x2 y2 4x 2y 3 0 的交点，且过原点的圆的方程
_x_2 __y_2 __D_1 x___E_1 y___F_1 ___( _x2___y2___D_2 x___E_2 y___F_2 )__0
当 = －1 时，方程表示两圆___公__共__弦_方__程_
故求两圆的公共弦方程，只需消去 x 2、y 2 项
例1、求过两圆 x 2 + y 2 －4x + 2y = 0 和 x 2 + y 2 －2y －4 = 0 的交点，且圆心在直线 2x + 4y = 1 上的圆方程。
已知圆：( x 1)2 ( y 1)2 1, 直线：kx y 2k 1 0 则 直 线 与 圆 公 共 点 的 个数 A、1个 B、2个 C、1个或2个 D、0个1个或2个
练习
一. 已知直线分别满足下列条件，求直线的方程： 1.过两直线x 2 y 3 0和x 2 y 9 0的交点
图象特点：__大__小__一_样__，__位__置__不_同_______
(2) 同心圆系方程为 __(_x_－__a__) _2 _+_(_y__－__b_)_2_=__k_2_(_k__为_参__数___) ___ 图象特点：_位__置__相__同_，__大__小__不__同____
(3) 过两圆交点的圆系：若两圆 x 2 + y 2 + D1x + E1y + F1 = 0 和 x 2 + y 2 + D2x + E2y + F2 = 0 相交，则过这两圆交点的圆系方程为