线代 1次作业和2次作业解答

2 A O 1
4
1 3 5
1 0
1
1 2 3 4 （2） 0 2 3 5
0 2 1 2
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
解：因为 0 2 3 5 r3 r2 0 2 3
5

，所以矩阵
0
2
3
5 的
0 2 1 2
0 0 2 3
0 2 1 2
（3）如果两个矩阵 A 和 B 行等价，则它们有相同的行最简形矩阵.
解：正确。根据矩阵行等价的定义及矩阵行最简形矩阵的唯一性可得。
2. 下列矩阵【 ABDE 】是行阶梯形矩阵，【 BE 】是行最简形矩阵.
1 1 0
1 0 0 1
1 0 0 1 1
（A）
1 0
2 1
2 1
（B）
0 0 0 0
1 2 2 1
1 0 8 1
1 2 2 1
解：因为 0 1 3 1 r1 2r2 0 1 3
1

，所以矩阵
0
1
3
1 的行最简形矩
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
1 0 8 1
阵为 0 1 3
（1）
0 1
2 2
1 3
注意：本题的题目要求是“只用一次初等行变换将下列矩阵变成行阶梯形矩阵”。
解：因为
0 1
2 2
1 3
r1
r 2
1 0
2 2
3 1
，所以矩阵
0 1
2 2
1 3
的行阶梯形矩阵为
1 0
2 2
3 1
，
其主元位置是：（1,1），（2,2）； 主元列是：第 1 列、第 2 列。
1

，其主元位置是：（1,1），（2,2）；
主元列是：第 1 列、第 2 列。
0 0 0 0
5. 利用高斯—约当消元法求解下列线性方程组．
2 x1 x2 x3 0
（1）

x1 3 x2 2 x3 0

4
x1

5 x2

3 x3

0
解：对该方程组的增广矩阵 A O 施行矩阵的初等行变换，将其化为行最简形矩阵
0 0
1 0
（C）
0 0
0 1
0 （D）

0
1
0
1 0 1 （E） 0 1 0
0 1 0
0 0 1
1 2
1 3
解：根据“航阶梯形矩阵”及“行最简形矩阵”的定义可知，ABDE 表示的矩阵是行阶梯形
矩阵，BE 表示的矩阵是行最简形矩阵。
3. 只用一次初等行变换将下列矩阵变成行阶梯形矩阵，并指出主元位置和主元列．
第 1 次作业 线性方程组及其解法（解答）
知识小结：
1. 概念：线性方程组；解；解集；等价；系数矩阵；增广矩阵；初等行变换；行等价；主元位
置；主元列；行阶梯形矩阵；行最简形矩阵；基本变量；自由变量.
2. 重点：（1）用初等行变换求矩阵的行最简形；（2）利用高斯-约当消元法解线性方程组.
3. 难点：行最简形矩阵
根据在化学反应中原有的原子不可能消失，也不可能产生新原子的原理，建立配平该化学方程式的线性方程组 模型.
解：要使化学方程式
(x1 )KMnO4 ( x2 )MnSO4 ( x3 )H2O ( x4 )MnO2 ( x5 )K2SO4 ( x6 )H2SO4
到平衡，则有：
钾元素 K ： x 1 2 x 5 ；

x3
x6 0
4. 判断下列命题是否正确，并说明理由．
（1）如果两个线性方程组有相同的解集，则它们等价．
解：正确。由线性方程组等价的定义“如果两个线性方程组有相同的解集，则称它们是等价
或同解”可知，该命题是正确的。
（2）一个矩阵可以通过不同的行变换序列变出不同的行最简形矩阵．
解：错误。因为一个矩阵的行最简形矩阵是唯一的。
锰元素 Mn ： x 1 x 2 x 4 ；
氧元素 O ： 4 x 1 4 x 2 x 3 2 x 4 4 x 5 4 x 6 ；
硫元素 S ：
x
2

x
5

x
；
6
氢元素 H ： 2 x 3 2 x 6 ；
从而，使得该化学方程式平衡的方程组为：

x
1

2x
5

练习
1. 写出与下列线性方程组对应的系数矩阵与增广矩阵．
（1）
x1 3x2 1 ,

2
x1

x2

0;
（2）
x1 2 x1
x2

x3 x3

1， 0；
则（1）的系数矩阵为：
；（1）的增广矩阵为：
.
1 3 2 1
1 3 1 2 1 0
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x
1
2x5 0
x1 x2 x4
x1 x2
x4 0
4 x 1 4 x 2 x 3 2 x 4 4 x 5 4 x 6 ，即

4
x
1

4x
2

x
3

2x
4

4x
5

4x
6

0

x
2

x
5

x
6

x2
x5 x6 0
2 x 3 2 x 6
1 0
1 2
2r2

0 0
1 0
1 1
r1 r2

0 0
1 0
0 1
，所以矩阵
0 0
1 0
1 2
的行最简形
矩阵为
0 0
1 0
0 1
，其主元位置是：（1,2），（2,3）；
主元列是：第 2 列、第 3 列。
1 2 2 1 （2） 0 1 3 1
主元位置是：（1,1），（2,2），（3,3）； 主元列是：第 1 列、第 2 列、第 3 列。
4. 下列矩阵均为行阶梯形矩阵，请用初等行变换将它们变成行最简形矩阵，并指出主元位置和主元列．
（1）
0 0
1 0
1 2
注意：本题的题目要求是“用初等行变换将它们变成行最简形矩阵”。
1
解：因为
0 0
（2）的系数矩阵为：
；（2）的增广矩阵为：
.
1 1 1 2 0 1
1 1 1 1

2
0
1
0

3. 高锰酸钾（ KMnO4 ）与硫酸锰在水中发生化学反应生成二氧化锰、硫酸钾和硫酸，其方程式为：
(x1 )KMnO4 ( x2 )MnSO4 ( x3 )H2O ( x4 )MnO2 ( x5 )K2SO4 ( x6 )H2SO4