自动控制原理4卢京潮
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第四章根轨迹法习题及答案4-1 系统的开环传递函数为
)4
)(
2
)(
1
(
)
(
)
(
*
+
+
+
=
s
s
s
K
s
H
s
G
试证明点3
1
1
j
s+
-
=在根轨迹上，并求出相应
的根轨迹增益*
K和开环增益K。
解若点
1
s在根轨迹上，则点
1
s应满足相角条
件π)1
2(
)
(
)
(+
±
=
∠k
s
H
s
G，如图解4-1所示。
对于3
1j
s+
-
=，由相角条件
=
∠)
(
)
(1
1s
H
s
G
=
+
+
-
∠
-
+
+
-
∠
-
+
+
-
∠
-)4
3
1
(
)2
3
1
(
)1
3
1
(
0j
j
j
π
π
π
π
-
=
-
-
-
6
3
2
满足相角条件，因此3
1
1
j
s+
-
=在根轨迹上。将
1
s代入幅值条件：
1
4
3
1
2
3
1
1
3
1
)
(
*
1
1=
+
+
-
⋅
+
+
-
⋅
+
+
-
=
j
j
j
K
s
H
s
G）
（
解出：12
*=
K，
2
3
8
*
=
=
K
K
4-2 已知开环零、极点如图4-22所示，试绘制相应的根轨迹。
（ａ）（ｂ）（ｃ）（ｄ）
解根轨如图解4-2所示：
4-3 已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。
⑴
)1
5.0
)(1
2.0(
)
(
+
+
=
s
s
s
K
s
G
⑵
)3
)(
2
(
)5
(
)
(
*
+
+
+
=
s
s
s
s
K
s
G
（ｅ）（ｆ）（ｇ）（ｈ）
题4-22图开环零、极点分布图
图解4-2 根轨迹图
⑶ )
12()
1()(++=
s s s K s G
解 ⑴ )
2)(5(10)15.0)(12.0()(++=++=
s s s K
s s s K s G
系统有三个开环极点：01=p ,22-=p ,53-=p ① 实轴上的根轨迹： (]5,-∞-,
[]0,2-
② 渐近线： ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧±=+=-=--=πππϕσ,33)12(3
73520k a a
③ 分离点：
02
1
511=++++d d d 解之得：88.01-=d ，7863.32-d (舍去)。
④ 与虚轴的交点：特征方程为 010107)(2
3
=+++=k s s s s D
令 ⎩⎨⎧=+-==+-=0
10)](Im[0
107)](Re[3
2ωωωωωj D k j D 解得⎩⎨
⎧==7
10k ω
与虚轴的交点（0，j 10±）。 根轨迹如图解4-3(a)所示。
⑵ 根轨迹绘制如下： ① 实轴上的根轨迹：
[]3,5--, []0,2-
② 渐近线： ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
±=+==----=22)12(02
)5(320ππϕσk a a
③ 分离点： 5
1
31211+=
++++d d d d 用试探法可得 886.0-=d
。根轨迹如图解4-3(b)所示。
⑶ )
2
1(2)
1()
12()1()(++=
++=
s s s K s s s K s G 根轨迹绘制如下：
① 实轴上的根轨迹：(]1,-∞-, []0,5.0- ② 分离点：
1
1
5.011+=
++d d d 解之得：707.1,293.0-=-=d d 。根轨迹如图解4-3(c)所示。 4-4已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出相应的根轨迹。
⑴ )21)(21()
2()(*j s j s s K s G -++++=
⑵ )
1010)(1010()
20()(*j s j s s s K s G -++++=
解 ⑴ )
21)(21()
2()(*j s j s s K s G -++++=
根轨迹绘制如下：
① 实轴上的根轨迹： (]2,-∞-
② 分离点：21211211+=
-++++d j d j d
解之得：23.4-=d
③ 起始角：
43.15390435.631801
=-+=p θ
由对称性得另一起始角为
43.153-。 根轨迹如图解4-4(a)所示。
⑵ )
1010)(1010()
20()(*j s j s s s K s G -++++=