概率论与数理统计作业与解答

概率论与数理统计作业及解答

第一次作业 ★ 1.甲.乙.丙三门炮各向同一目标发射一枚炮弹•设事件ABC 分别表示甲.乙.丙 击中目标.则三门炮最多有一门炮击中目标如何表示• 事件E 丸事件A, B,C 最多有一个发生｝,则E 的表示为

E =ABC ABC ABC ABC;或工 ABU AC U B C;或工 ABU ACU BC;

或工 ABACBC ；或工 ABC_(AB C ABC A BC ).

(和 A B 即并AU B,当代B 互斥即AB 二'时.AU B 常记为AB)

2. 设M 件产品中含m 件次品.计算从中任取两件至少有一件次品的概率

★ 3.从8双不同尺码鞋子中随机取6只.计算以下事件的概率

A 二｛8只鞋子均不成双｝, B=｛恰有2只鞋子成双｝, C 珂恰有4只鞋子成双｝.

C 6 (C 2 )6 32

C 8C 4(C 2)4 80

0.2238, P(B) 8 皆 0.5594,

P(A) 8

/143

★ 4.设某批产品共50件.其中有5件次品•现从中任取3件•求 (1) 其中无次品的概率-(2)其中恰有一件次品的概率‘ /八 C 5 1419 C ：C 5 99

⑴冷

0.724.⑵虫产

0.2526. C 50 1960

C 50

392

5. 从1〜9九个数字中•任取3个排成一个三位数•求 (1) 所得三位数为偶数的概率-(2)所得三位数为奇数的概率•

4

(1) P ｛三位数为偶数｝ = P ｛尾数为偶数｝=-,

9

⑵P ｛三位数为奇数｝ = P ｛尾数为奇数｝ = 5,

9

或P ｛三位数为奇数｝ =1 -P ｛三位数为偶数｝ =1 -彳=5.

9 9

6. 某办公室10名员工编号从1到10任选3人记录其号码 求(1)最小号码为5的概率 ⑵ 最大号码为5的概率 记事件A =｛最小号码为5｝, B=｛最大号码为5｝.

1 1

2 C m C M m C m

m(2M - m -1)

M (M -1)

6 —

C 16

143

P(C)二 C 8

CJC 2

)

30

0.2098.

143

C 16

C 2 i

C 2

⑴ P(A)=# 詁;(2) P(B )X =

C 10 12

C 10

7. 袋中有红、黄、白色球各一个 每次从袋中任取一球.记下颜色后放回 共取球三次 求下列事件的概率：A=｛全红｝ B =｛颜色全同｝ C =｛颜色全不同｝ D =｛颜色不全同｝ E =｛无 黄色球｝ F =｛无红色且无黄色球｝ G =｛全红或全黄｝.

1 1

1

A 3!

2 8

P (A

)

=3^2?P (B )

=3P (A )

=9

, P(C

^#=?

=9

, P(DH ^P(BH

?

2

8 1 1 2

P(E)

亏方P(F)亏审 P(G r 2P(A)盲

☆某班n 个男生m 个女生（m^n 1）随机排成一列•计算任意两女生均不相邻的概率

☆ •在[0 ■ 1]线段上任取两点将线段截成三段•计算三段可组成三角形的概率

1

4

第二次作业

1.设 A B 为随机事件 P(A)=0.92 ■ P(B)=0.93 P(B|Z)=0.85 求 ⑴ P(A|B) (2) P (AU B) ■ (1) 0.85 =P(B| A) =P(A B )P (AB ),P (A B )=0.85 0.08=0.068,

P(A) 1-0.92

P(AB)二 P(A) -P(AB)二 P(A) - P(B) P(AB) = 0.92 -0.93 0.068 = 0.058,

P(A| B): = P(AB) = 0.。

58

胡.83. P(B) 1-0.93

(2)P(AUB) =P(A) P(B)-P(AB) =0.92 0.93-0.862 = 0.988.

2.投两颗骰子 已知两颗骰子点数之和为7求其中有一颗为1点的概率. 记事件 A 二{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)} , B 二{(1,6),(6,1)}

2

P(B|A)

話

★在1 — 2000中任取一整数•求取到的整数既不能被5除尽又不能被7除尽的概率 记事件A 珂能被5除尽｝, B 珂能被7除尽｝.

400 1 命碱 一2000] 285 57 一2000] 57

P （A ） ,取整

285, P （B ） , 57, P （AB ） , 2000 5

1 7」 2000

400 厅 7」

2000

p （AB ）=P （A U B ）=1 -P （A U B ） =1 _P （A ） _P （B ）P （AB ）

1 57

57

=1 一丄一竺 57

0.686.

5 400 2000

1

20

285 57

3. 由长期统计资料得知•某一地区在4月份下雨（记作事件A）的概率为4/15刮风（用B

表示)的概率为7/15 .既刮风又下雨的概率为1/10 .求P(A|B)、P(B|A)、P(A B).

P (A|BrfO=如仝，P(B|Ar

P(AB

)_

1/10

_3

,

P(B) 7/15

14

P(A) 4/15 8

4

7 1 19

P(AUB) =P(A) P(B)-P(AB)二喜 ---=--.

15 15 10

30

4 .设某光学仪器厂制造的透镜第一次落下时摔破的概率是 1/2若第一次落下未摔破 第

二次落下时摔破的概率是7/10若前二次落下未摔破第三次落下时摔破的概率是 9/10 .

试求落下三次而未摔破的概率•

记事件A =｛第i 次落下时摔破｝ i =1,2,3.

P(AA 2A 3)= P(AjP(A 2 |A 1)P(A 3 |入1入2)=

5 ■设在n 张彩票中有一张奖券 有3个人参加抽奖 分别求出第一、二、三个人摸到奖券 概率•

记事件A =｛第i 个人摸到奖券｝ i =1,2,3.

一 1 由古典概率直接得 P(A 1HP(A 2^P(A 3) .

n

n _ 1 1

1

或

P(A

2

)=P(A 1

A

2

)=

P(A 1

)P(A 2

|A 1

)

,

n n -1 n

n -1 n - 2 1 1

P(A 3)=P(A^A 2A 3^ P(A 1)P(A 2 | A 1)P(A 3 | A 1A 2)=

n n —1 n —2 n

1

或 第一个人中奖概率为p (A )二-,

n

2 1

前两人中奖概率为 P(A 1 A 2H P(A 1) P(A 2^-,解得P(A 2)= —,

n n

3

1 前三人中奖概率为 P(A 1 A ， A 3^P(A 1) P(A 2) P(A 3) ,解得 P(A 3)

. n

n

6甲、乙两人射击•甲击中的概率为08.乙击中的概率为07・两人同时射击•假定中 靶与否是独立的 求(1)两人都中靶的概率・(2)甲中乙不中的概率-(3)甲不中乙中的概率• 记事件A=｛甲中靶｝ B=｛乙中靶｝.

(1) P(AB)二P(A)P(B) =0.7 0.7 =0.56, (2) P(AB)二 P( A) -P( AB) =0.8 -0.56 =0.24, (3) P(AB)二 P(B) -P(AB) =0.7 -0.56 =0.14.

★ 7 -袋中有a 个红球b 个黑球•有放回从袋中摸球•计算以下事件的概率 (1) A 冗在n 次摸球中有k 次摸到红球｝-

.1.7.9 1 1 1 ——

2 . 10 . 10

3 200