wilson法和newmark法的理论过程

第三章离散化结构动力方程的解法(2013.4.24）

§3.1 绪言

对于一个实际结构，由有限元法离散化处理后，应用瞬时最小势能原理可导出动力方程

[]{}[]{}[]{}{}

&&&（3.1）

++=

M u C u K u F(t)

这里，{}u&&、{}u&、{}u及{}

F t分别表示加速度、速度、位移及所

()

作用的外力矢量，他们都是与时间有关的。

从数学的角度来看，式（3.1）是一个常系数的二阶线性常微分方程组，对于它的求解原则上并无困难。但是，由于[]M、[]C 和[]K的阶数非常高，使得式（3.1）的求解必须花费很大的代价，便促使人们去寻求一些效率高的近似计算方法。目前，用于求解式（3.1）的方法，大致可分为两大类。

一是坐标变换法，它是对结构动力方程式（3.1），在求解之前，进行模态坐标变换，实际上就是一种Ritz变换，即把原物理空间的动力方程变换到模态空间中去求解。现在，普遍使用的方法是模态（振型）迭加法，即用结构的前q阶实际主模态集（主振型阵）构成坐标变换阵进行变换。通过这一变换，实现降阶，求较好的近似解，而且，还用解除耦合的办法，简化方程的计算。还有一种所谓假设模态法，即是用一组假设模态，构成模态坐标变换阵进行变换，获得一组降阶的而不解耦的模态基坐标方程。显然，这种方法的计算精度，取决于所假设的模态。用Ritz矢量法求解的近似模态作为假设模态，可得到满足要求的精度。

二是直接积分法，它是对式（3.1）在求解之前，不进行坐标变换，直接进行数值积分计算。这种方法的特点是对时域进行

离散，将式（3.1）分为各离散时刻的方程，然后，将该时刻的加速度和速度用相邻时刻的各位移线性组合而成，于是，式（3.1）就化为一个由位移组成的该离散时刻上的响应值，通常又称为逐步积分法。线性代数方程组的解法与静力时刻的位移来线性组合，就导致了各种不同的方法。主要有中央差分法，Houbolt 方法，Wilson -θ法和Newmark 方法等。

§3.2 模态（振型）迭加法

设有n 个自由度的系统，在外力{}()F t 的作用下，常常被激起较低阶的一部分模态（即振型），而绝大部分高阶模态被激起的分量很小，一般可忽略不计。例如，在地震载荷作用下，通常，只有最低的二阶，三阶模态起主要作用。所以，对于这样的一些问题，采用模态迭加法是有效的。

设有式（3.1）的n 阶动力方程，起主要作用的是其前q 阶模态，通常取q n =。按Ritz 变换，则可将式（3.1）中的{}u 用前q 个模态的线性组合来表示，即

11221

{}{}{}...{}{}q

q q j j j u Y Y Y Y φφφφ==+++=∑

[]{}Y Φ= (3.2)

其中，[]n q Φ⨯为结构的已知的保留主模态矩阵，而×q 1{Y }是维的模 态基坐标矢量，它形成了一个q 维的模态空间。它表示在{Y }中，各阶主模态所占有的成分的多少。

假定[]Φ已用第二章所述的某一方法解出，再将式（3.2）代入（3.1），并左乘以[]T Φ，可得

****[]{}[]{}[]{}{}M Y C Y K Y F ++=&&& (3.3)

式中

***

*[][][][][][][][][][][][]{}[]{}

T T T

T M M K K C C F F ΦΦΦΦΦΦΦ====

显然，式（3.3）是一个q 阶的微分方程组。由于q n <，所以，它比式（3.1）的n 阶就小的多了，实现了降阶，因而也就容易求解多了。

若展开上述的*[]M 的表达式，根据主模态（主振型）关于[]M 的表达式，根据主模态的（主振型）关于[M]的正交性质，可知

*ij m 0(i j )=≠

所以，*[]M 是一个对角阵。同理可知*[]K 也是一个对角阵。然而，在一般的情况下，*[]C 是一个非对角阵，即在模态空间中，系统的的阻尼一般是耦合的。因此，式（3.3）是一个完全解耦的动力学方程。但是，它是一个已降阶的q 阶的动力方程，可使用后面即将介绍的直接积分法求解。

当系统的阻尼为比例阻尼时，即[]C 可以表示为

***[][][]C M K αβ=+ (3.4)

则*[]C 为对角阵。此外，若系统的阻尼是一般的的线性阻尼，并非比例阻尼，但是只要结构的固有频率不相等，而且不十分接近，则可用舍去*[]C 阵中的非对角元来实现*[]C 的对角阵，也不会引起太大的误差。

在上述两种情况下，可以获得对于模态坐标的完全解耦的动力学方程。即式（3.3）是q 个独立的方程，每个方程只包含一个未知量，相互之间不耦合。因而式（3.3）可按单自由度的动

力学方程写为

****

()(1,2,...)ii i ii i ii i i m y c y k y F t i q ++==&&& (3.5)

或

2*+2+()(1,2,...)i i i i i i i y y y f t i q ξωω==&&& (3.6)

其中

****2/,()()/i i ii ii i i ii c m f t F t m ξω==。式（3.6）可用直接积

分法计算，或用Duhamel 积分求得其解为

()

1

()()sin {sin cos }(1,2,...)

i i i i t

t i i i i

t

i i i i y t f e

d e

a t

b t i q ξωτξωτωτωωω---=

+

+=⎰

-

-

-

(3.7)

式中，i i ωω=i a ，i b 由初始条件

*100*100

{}([])[][]{}

{}([])[][]{}T T

y M M u y M M u ΦΦ--==g

& (3.8)

得出的

0i y 与0i y &决定。

由于有阻尼的存在，由初始条件所激发的振动，随时间的增长而衰减以致消失。因此，常可不计式（3.7）中的第二项，即是由初始条件激发的自由衰减振动。

计算出()i y t 后，便可利用式（3.2），计算出物理坐标的响应

{()}u t 。

数学计算步骤可归纳如下:

第一步：根据结构的离散化模型，建立系统的[],[]M K 以及

{()}F t ，并进行结构的固有特性分析，即求解特征值问题