平行线的判定和性质的综合应用

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素养集训：平行线的判定和性质综合应用的五种常用方法

解：AB∥CD.理由如下：如图，过点F作FH∥AB， ∴∠MFH＝∠2＝50°. ∵MF⊥NF，∴∠NFH＝90°－∠MFH＝40°. ∵∠1＝140°，∴∠1＋∠NFH＝180°. ∴FH∥CD. 又∵FH∥AB，∴AB∥CD.
5．如图，∠B＋∠BCD＋∠D＝360°. 求证：∠1＝∠2.
2．如图，∠BEF＝70°，∠B＝70°，∠DCE＝140°，且CD∥AB.求∠CEF的度数．
解：∵∠BEF＝70°，∠B＝70°，∴∠BEF＝∠B.∴AB∥EF. 又∵CD∥AB，∴EF∥CD. ∴∠DCE＋∠CEF＝180°. 又∵∠DCE＝140°， ∴∠CEF＝180°－140°＝40°.
素养集训
第七章平行线的证明
平行线的判定和性质综合应用的五种常用方法
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1．如图，在△ABC中，EF⊥AB，CD⊥AB，DG∥BC.试判断∠1，∠2的数量关系，并说明理由．
解：∠1＝∠2.理由如下： ∵EF⊥AB，CD⊥AB，∴EF∥CD.∴∠1＝∠BCD. ∵DG∥BC，∴∠2＝∠BCD. ∴∠1＝∠2.
3．如图，∠BED＝80°，∠B＝30°，∠D＝50°. 求证：AB∥CD.
证明：如图，过点E作EF∥AB， ∴∠BEF＝∠B＝30°. ∵∠BED＝80°，∴∠FED＝50°. 又∵∠D＝50°，∴∠FED＝∠D. ∴EF∥CD.∴AB∥CD.
4．如图，MF⊥NF于点F，MF交AB于点E，NF交CD于点G，∠1＝140°，∠2＝50°.试判断AB和CD的位置关系，并说明理由．
证明：如图，过点C作CP∥AB， ∴∠B＋∠5＝180°. 又∵∠B＋∠BCD＋∠D＝360°， ∴∠6＋∠D＝180°.∴CP∥ED. 又∵CP∥AB，∴AB∥ED. ∴∠3＝∠4. ∵∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠4＝180°， ∴∠1＝∠2.

七年级数学下册教学课件《平行线的判定与性质的综合运用》

（2）由（1）可知AB∥EF， ∴∠3=∠ADE(两直线平行，内错角相等). 又∠3=∠B(已知)， ∴∠ADE＝∠B(等量代换)． ∴DE∥BC(同位角相等，两直线平行). ∴∠EDG=∠BGD=55°(两直线平行，内错角相等)． ∵DE平分∠ADG(已知)， ∴∠ADG=2∠EDG=110°(角平分线的定义). 又AB∥EF， ∴∠1=∠ADG=110°(两直线平行，同位角相等).
（2）∵DE∥BC，∴∠C = ∠AED = 40°（两直线平行，
同位角相等）
4.已知：如图，∠1+∠B=∠C．试说明BD∥CE．
解：如图，作射线AP，使AP∥BD， ∴∠PAB=∠B(两直线平行，内错角相等)． P 又∠1+∠B=∠C(已知)， ∴∠1+∠PAB=∠C(等量代换)，即∠PAC＝∠C． ∴AP∥CE(内错角相等，两直线平行)．又AP∥BD， ∴BD∥CE(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行).
解：∵∠1=∠2(已知)，∠2=∠DHE(对顶角相等)， ∴∠1=∠DHE(等量代换). ∴AB∥CD (同位角相等，两直线平行). ∴∠B+∠D =180°(两直线平行，同旁内角互补). ∵∠D=50°(已知)， ∴∠B=180°－∠D=180°－50°=130°.
②如图，已知AB∥CD，DA平分∠CDE，∠A =∠AGB．
拓展提升
如图，点E在AB上，点F在CD上， CE ， BF分别交AD于点G，H．已知∠A =∠AGE，∠D=∠DGC．（1）AB与CD平行吗? 请说明理由．（ 2 ）若∠2+∠1=180° ，且∠BEC=2∠B+30° ，求∠C 的度数．
解:（1）AB∥CD．理由如下: ∵∠A=∠AGE，∠D=∠DGC，∠AGE=∠DGC(对顶角相等)，∴∠A=∠D (等量代换)． ∴AB∥CD (内错角相等，两直线平行).

7年级数学平行线判定及性质 (1)

D EEF1 23 A CO知识精讲7 年级数学下：平行线的性质定理模块一：平行线的性质定理平行线的性质定理（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；简记为：两直线平行，同位角相等．（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；简记为：两直线平行，内错角相等．（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；简记为：两直线平行，同旁内角互补．例题解析【例 1】如图，AC //DB ， ∠DBC = 56 ，则∠ACB = ．【答案】124 度．【解析】因为 AC //DB （已知），所以∠DBC + ∠ACB = 180︒ （两直线平行，同旁内角互补），因为∠DBC = 56 （已知），所以∠ACB = 180︒ - 56︒ = 124︒ （等式性质）D B【例 2】（1）如图，已知 DE //BC ，∠A = ∠C ，则与∠AED 相等的角（不包含∠AED ）有个；（2）如图，若 AB //FD ，则∠B = ，若 AC //ED ，则∠DFC = ．AAB C 【答案】（1）2 个；（2） ∠3 ；∠2．B D 【解析】（1）因为 DE //BC （已知），所以∠AED = ∠C （两直线平行，同位角相等），又因为∠A = ∠C （已知），所以∠A = ∠C = ∠AED （等量代换）；（2）∠B = ∠3（两直线平行，同位角相等）；∠DFC = ∠2．【例 3】如图，直线 a / /b ，则 x - y 的值等于（） aA ．20B ．80C ．120D ．180 b【答案】A【解析】因为 a / /b ，所以 x = 30又因为3y + x = 180 ，解得 y = 50 ，故 x - y = 30 - 50 = 20︒ ．【例 4】如图，直线 a / /b ，点 B 在直线b 上，且 AB ⊥ BC ， ∠1 =A ． 35B ． 45C ． 55D ．125【答案】A 【解析】因为 AB ⊥ BC （已知），所以∠ABC = 90︒ （垂直的意义）因为 a / /b （已知），所以 ∠1 = ∠CBD （两直线平行，同位角相等）因为∠1 = 55 （已知），所以∠CBD = 55 （等量代换）因为∠2 + ∠ABC + ∠CBD = 180 （平角的意义）所以∠2 = 180︒ - 55︒ - 90︒ = 35︒ （等式性质）B【例5】如图，直线a / /b ，c ⊥d ，则下列说法中正确的个数有（）（1）∠2 +∠4 = 90 ；（2）∠1 +∠4 = 90 ；（3）∠1 =∠3 ；（4）∠3 +∠4 = 90 ．A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【答案】B【解析】（1）正确：因为a / /b ，所以∠2 与∠3 互为同位角，d又因为c ⊥d ，所以∠3 +∠4 = 90︒，所以∠2 +∠4 = 90︒；（2）错误：∠1 =∠4 （两直线平行，同位角相等）；（3）错误∠1 +∠3 = 90︒；（4）正确．所以本题选B【例6】如果两个角的一边在同一条直线上，另一边互相平行，那么这两个角（）A．相等或互补B．互补C．相等D．相等且互余【答案】A【解析】分为同侧相等和异侧互补两种情况，故选A．【例7】如图，已知AB / /CD ，∠x 等于（）A．75 B．80 C．85 D．95 【答案】C【解析】如图可过的顶点作平行线，那么被分为上下两部分．上半部分与角B 互补；下半部分与角D 互为内错角；所以易知∠x = (180︒-120︒) + 25︒= 85︒．A B120°xD 25°C【例8】如图，AB / /CD，MP / / AB，MN 平分∠AMD，∠A = 40 ，∠D = 30 ，则∠NMP 等于（）A．10 B．15 C．5 D．7.5 【答案】C【解析】因为AB / /MP （已知）所以∠A =∠AMP （两直线平行，内错角相等）因为AB / /CD （已知），所以MP / /CD （平行的传递性）所以∠D =∠DMP （两直线平行，内错角相等）B MCAN PD因为∠AMD =∠AMP +∠DMP （角的和差），∠A = 40 ，∠D = 30 （已知）所以∠AMD = 30 + 40 = 70 （等式性质）因为MN平分∠AMD （已知），所以∠AMN =∠NMD = 35 （角平分线的意义）所以∠NMP = 40︒- 35︒= 5︒（等式性质）E【例9】如图，AB / /CD ，∠1 = (2x + 20) ，∠2 = (8x - 40) ，求∠1 及∠2 的度数．【答案】∠1 = 40︒，∠2 = 40︒． A1 B【解析】因为AB / /CD （已知），所以∠1 =∠2 （两直线平行，同位角相等）2 即(2x + 20) = (8x - 40) C DF 解得：x = 10所以∠1 = 40︒，∠2 = 40︒（等式性质）H 2G1C F D3 1 24【例 10】如图，已知∠1 = 40 ，∠2 = 140 ，∠3 = 40 ，能推断出 AB / /CD / / EF 吗？为什么？【答案】能；见解析．【解析】由题意，根据对顶角的性质，可知：∠2 + ∠1 = 180︒，∠2 + ∠3 = 180︒ 所以 AB //CD ，CD //EF （同旁内角互补，两直线平行）所以 AB //EF ，即 AB //CD //EF ，即证．N【例 11】已若∠A 的两边与∠B 的两边分别平行，且∠A 是∠B 的 2 倍少 30°，求∠A 与∠B 的度数．【答案】∠B = 30︒，∠A = 30︒ 或∠B = 70︒ ，∠A = 110︒ ．【解析】由题意可知， ∠A = ∠B 或∠A + ∠B = 180︒ ，又因为∠A 是∠B 的 2 倍少 30°，所以∠A = 2∠B - 30︒ ，即∠B = 30︒，∠A = 30︒ 或∠B = 70︒ ，∠A = 110︒【总结】本题考查平行线的性质及两个角的两边平行时的两种情况的讨论．【例 12】已知：如图， ∠1 = ∠2 ，∠3 = ∠B ，AC / / DE ，且 B 、C 、D 在一条直线上．试说明 AE / / BD ．AE【答案】见解析．【解析】因为 AC / / DE （已知），所以∠2 = ∠4 （两直线平行，内错角相等）因为∠1 = ∠2 （已知），所以∠1 = ∠（4 等量代换）所以 AB / /CE （内错角相等，两直线平行）所以∠B = ∠ECD （两直线平行，同位角相等） B 因为∠3 = ∠B （已知），所以∠3 = ∠ECD （等量代换）所以 AE / / BD （内错角相等，两直线平行）【例 13】已知：如图，E 、F 分别是 AB 和 CD 上的点，DE 、AF 分别交 BC 于 G 、H ，∠ A = ∠ D ， ∠ 1= ∠ 2，试说明： ∠ B = ∠ C ．E 【答案】见解析 A B【解析】因为∠1 = ∠（2 已知），∠1 = ∠AHB （对顶角相等）所以∠2 = ∠AHB （等量代换），所以 AF / / E D （同位角相等，两直线平行）所以∠D = ∠AFC （两直线平行，同位角相等）因为∠A = ∠D （已知），所以∠A = ∠AFC （等量代换）所以 AB / /CD （内错角相等，两直线平行）所以∠B = ∠C （两直线平行，内错角相等）【例 14】如图，直线 GC 截两条直线 AB 、CD ，AE 是∠GAB 的平分线，CF 是∠ACD 的平分线，且 AE / /CF ，那么 AB ∥CD 吗？为什么？【答案】见解析【解析】因为 AE 是∠GAB 的平分线，CF 是∠ACD 的平分线（已知）所以∠GAE = ∠EAB ，∠ACF = ∠FCD （角平分线的性质）因为 AE / /CF （已知），所以∠GAE = ∠ACF （两直线平行， 3A1 E2 D同位角相等）所以∠EAB =∠FCD（等量代换）所以AB / /CD ( 同位角相等，两直线平行)【例15】如图∠1 =∠2 ，DC / /OA ，AB / /OD ，那么∠C =∠B【答案】见解析【解析】因为DC / /OA （已知），所以∠COA =∠C（两直线平行，内错角相等），即∠COB +∠1 =∠C因为AB / /OD （已知），所以∠DOB =∠B即∠2 +∠COB =∠B ，又因为∠1 =∠2 （已知），所以∠B =∠C （等量代换）【总结】本题考查平行线的判定及性质的综合运用．【例16】如图，已知AD 平分∠BAC ，∠1 =∠2 ，试说明∠1 =∠F 的理由．【答案】见解析F【解析】因为AD 平分∠BAC （已知），所以∠2 =∠BAD （角平分线的意义）因为∠1 =∠2 （已知），所以∠1 =∠BAD （等量代换）所以EF / / AD （同位角相等，两直线平行）所以∠F =∠2 （两直线平行，同位角相等） B C 所以∠1 =∠F （等量代换）【总结】本题考查平行线的判定及性质的运用．【例17】已知：如图，∠AGH =∠B，∠CGH =∠BEF ，EF⊥AB 于F，试说明CG⊥AB．【答案】见解析【解析】因为∠AGH =∠B （已知）C所以HG / /CB （同位角相等，两直线平行）所以∠CGH =∠BCG （两直线平行，内错角相等）E 因为∠CGH =∠BEF （已知），H所以∠BEF =∠BCG （等量代换）A B所以EF / /CG （同位角相等，两直线平行）G F因为EF⊥AB（已知），所以CG⊥AB．【例18】已知，正方形ABCD 的边长为4 cm ，求三角形EBC 的面积．D【答案】8 平方厘米． A E 【解析】由题意可知：三角形EBC 与正方形同底BC，且其高即是正方形的边DC，故三角形面积为正方形面积的一半：4 ⨯ 4 ÷ 2 = 8cm2C【例19】如图，AD//BC，BC =5AD ，求三角形ABC 与三角形ACD 的面积之比．2A D【答案】5: 2 ．4B CBD EA GD【解析】因为 AD / /BC （已知）所以三角形 ABC 与三角形 ACD 的高相等（平行线间的距离处处相等）所以 S ∆ABC : S ∆ACD = BC : AD = 5：2 （两三角形高相等，面积比等于底之比）【例 20】如图， AB / /GE ， CD / / FG ，BE =EF =FC ，三角形 AEG 的面积等于 7，求四边形 AEFD 的面积．【答案】21 【解析】联结 BG 、CG ．因为 AB / /GE（已知）所以 S∆BEG B = S ∆AEG （同底等高的两个三角形面积相等） E F C因为 BE =EF （已知），所以 S ∆BEG = S ∆GEF （等底等高的两个三角形面积相等）所以 S ∆AEG = S ∆GEF =7（等量代换），同理 S ∆GEF = S ∆DFG = 7 ．所以 S 四边形AEFD = S ∆AEG + S ∆GEF + S ∆DFG = 7 + 7 + 7 = 21．【例 21】已知 E 是平行四边形 ABCD 边 BC 上一点，DE 延长线交 AB 延长线于 F ，试说明CS ∆ABE 与S ∆CEF 相等的理由．【答案】见解析 1A1 F【解析】因为 S △ADE = S △DCF = 2 S 四边形ABCD ，所以 S △CEF = S ∆DCF - S ∆DCE = 2S 四边形ABCD - S ∆DCE ，所以 S = S - S - S = S - 1 S - S = 1 S - S∆ABE 四边形ABCD ∆ADE ∆DCE 四边形ABCD 2 四边形ABCD ∆DCE 2 四边形ABCD ∆DCE所以 S ∆ABE = S ∆CEF模块二：辅助线的添加例题解析【例 1】如图，已知 AB ∥ED ，试说明：∠B +∠D ＝∠C ．【答案】见解析【解析】过点 C 作 AB 的平行线 CF ，因为 AB ∥ED （已知）所以 AB / /CF / / ED （平行的传递性）A BC F 所以∠B = ∠BCF ，∠D = ∠DCF （两直线平行，内错角相等）所以∠B + ∠D = ∠BCF + ∠DCF = ∠BCD （等式性质） E D【例 2】如图所示，已知， ∠A +∠B +∠C = 360︒ ，试说明 AE ∥CD ． 5F E【答案】见解析A E【解析】过点 B 向右作 BF //AE ，所以∠A + ∠ABF = 180（︒ 两直线平行，同旁内角互补）因为∠A +∠B +∠C = 360︒ （已知）B F所以∠FBC + ∠C = 180︒ （等式性质） C D所以 BF / /CD （同旁内角互补，两直线平行）所以 AE / /CD （平行的传递性）【例 3】如图，已知：AB //CD ，试说明： ∠ B + ∠ D + ∠ BED = 360︒ （至少用三种方法）．【答案】见解析 A【解析】方法一：连接 BD则∠EBD +∠EDB +∠E =180°（三角形内角和等于 180因为 AB //CD （已知），所以∠ABD +∠BDC =180°（两直线平行，同旁内角互补） C 所以∠ABD +∠EBD +∠EDB +∠BDC +∠E =360°，即∠B +∠D +∠BED =360°方法二：过点 E 作 EF //CD ，因为 AB / /CD （已知），所以 EF / / AB （平行的传递性）所以∠B +∠BEF =180°，∠D +∠DEF =180°（两直线平行，同旁内角互补）所以∠B +∠BEF +∠D +∠DEF =360°（等式性质）即∠B +∠D +∠BED =360°；方法三：过点 E 作 EF / / BA因为 AB / /CD （已知），所以 EF / / AB （平行的传递性）所以∠ABE + ∠BEF = 180︒ ，∠FED + ∠EDC = 180︒ （两直线平行，同旁内角互补）所以∠ B + ∠ D + ∠ BED = 360︒ （等式性质）；方法四：过点 E 作 EF ⊥CD 的延长线与 F ，EG 垂直于 AB 的延长线于 G ，则有：∠B =∠BGE +∠GEB ，∠D =∠EDF +∠DFE ，所以∠B +∠D +∠BED =∠BGE +∠DFE +∠GED =180+180=360°．【例4】如图所示，在六边形 ABCDEF 中，AF ∥CD ，∠A =∠D ，∠B=∠E ，试说明 BC ∥EF 的理由．【答案】见解析 A F【解析】连接 AD 、BEB因为 AF ∥CD （已知） E所以∠FAD = ∠ADC （两直线平行，内错角相等） C D因为∠BAF = ∠CDE （已知），所以∠BAD = ∠ADE （等式性质）所以 AB ∥DE （内错角相等，两直线平行）所以∠ABE = ∠BED （两直线平行，内错角相等）因为∠ABC = ∠FED （已知），所以∠EBC = ∠BEF （等式性质）所以 BC ∥EF （内错角相等，两直线平行）【例 5】如图已知，AB //CD ，∠ABF = 2 ∠ABE ，∠CDF = 2 ∠CDE ，求∠E 和∠F 的关系．3 3【答案】∠E : ∠F = 3：2 ． C【解析】过点 E 、点 F 分别作 AB 的平行线 EG 、FH ． 6A BD2 1 因为 EG / / AB ，FH / / AB所以 AB / / EG / FH / /CD (等量代换)所以∠ABF = ∠BFH （两直线平行，内错角相等）所以∠CDF = ∠DFH （两直线平行，内错角相等）所以∠BFD = ∠DFH + ∠BFH = ∠CDF + ∠ABF （等量代换）同理： ∠BED = ∠DEG + ∠BEG = ∠ABE + ∠CDE （等量代换）因为∠ABF = 2 ∠ABE ，∠CDF = 2 ∠CDE3 3所以∠BFD = ∠DFH + ∠BFH = ∠CDF + ∠ABF = 2 (∠ABE + ∠CDE ) = 2∠BED3 3 所以∠E : ∠F = 3：2【例 6】如图，已知：AC //BD ，联结 AB ，则 AC 、BD 及线段 AB 把平面分成①②③④四个部分，规定：线上各点不属于任何一个部分，当点 P 落在某个部分时，联结 PA 、PB ，构成 ∠ PAC 、∠ APB 、∠ PBD 三个角（提示：有公共角断点的两条重合的射线所组成的角是 0 °角）（1）当点 P 落在第①部分时，试说明： ∠ PAC + ∠ PBD = ∠ APB ；（2）当点 P 落在第②部分时，试说明： ∠ PAC + ∠ PBD = ∠ APB 是否成立?（3）当点 P 落在第③部分时，全面探究∠ PAC 、 ∠ APB 、 ∠ PBD 之间的关系是，并写出动点 P 的具体位置和相应的结论，选择其中一种加以证明．A 3 A 3C C C A 3 C2 1B 4 D B 4 D B 4 B 4 D【解析】（1）过点 P 作 PE // AC ．因为 AC / / BD ，所以 AC / / PE / / BD （平行的传递性）所以∠PAC = ∠APE ，∠BPE = ∠PBD （两直线平行，内错角相等）因为∠APB = ∠APE + ∠BPE （角的和差）所以∠APB = ∠PAC + ∠PBD （等量代换）（2）不成立，过点 P 作 AC 的平行线即可证明．（3）分类讨论如下：①当动点 P 在射线 BA 的右侧时，结论是∠PBD = ∠PAC + ∠APB ；②当动点 P 在射线 BA 上时，结论是∠PBD = ∠PAC + ∠APB 或∠PAC = ∠PBD + ∠APB 或∠APB = 0︒，∠PAC = ∠PBD （任写一个即可） ③当动点 P 在射线 BA 的左侧时，结论是∠PBD = ∠PAC + ∠APB ．2 P 1 A3 2 1随堂练习【习题1】填空：（1）如图（1），AB //CD ，CE 平分∠ACD ， ∠A = 120 ，则∠ECD ；（2）如图（2），已知 AB //CD ， ∠B = 100 ，EF 平分∠BEC ， EG ⊥ EF ，则∠DEG = ．【难度】★G B AFC 【答案】（1）30°；（2）50°．E图（2） C【解析】（1）因为 AB ∥CD （已知），所以∠A + ∠ACD = 180 （两直线平行，同旁内角互补）因为∠A = 120 （已知），所以∠ACD = 180 -120 = 60 （等式性质）又因为 CE 平分∠ACD （已知），所以∠ECD =30°（角平分线的意义）（2）因为 AB ∥CD （已知），所以∠B + ∠BEC = 180 （两直线平行，同旁内角互补）因为∠B = 100 （已知），所以∠BEC = 180 -100 = 80 （等式性质）又因为 EF 平分∠BEC （已知），所以∠BEF =40°（角平分线的意义）因为 EG ⊥EF （已知），所以∠GEF = 90 （垂直的意义）因为∠DEG + ∠GEF + ∠CEF = 180 （平角的意义）所以∠DEG = 180 - 90 - 40 = 50 （等式性质）【总结】本题考查平行线的性质的运用．【习题2】填空：（1）如图，直线 a / /b ，三角形 ABC 的面积是 42 cm 2 ，AB =6 cm ，则 a 、b 间的距离为；（2）如图，在三角形 ABC 中，点 D 是 AB 的中点，则三角形 ACD 和三角形 ABC 的面积之比为．【难度】★ 【答案】（1）14 厘米；（2） 1 ．2 AD【解析】（1）三角形 ABC 的高为： 42 ⨯ 2 ÷离B 为 14 厘米； C（2）因为三角形 ACD 和三角形 ABC 高相等，所以面积之比等于底之比，即 S ∆ACD = S ∆ABC AD =1AB 2【总结】本题考查平行线间距离及同高等底的三角形面积的之比．A B E 图（1） D D ．【习题3】如图，已知 FC //AB //DE ， ∠α : ∠D : ∠B = 2 : 3 : 4 ,则∠α 、∠D 、∠B 的度数分别为．【难度】★ 【答案】∠α = 72︒ ， ∠D = 108︒ ， ∠B = 144︒ ．【解析】因为 FC //AB //DE （已知），A 所以∠B + ∠CFB = 180 (∠D = ∠CFD （两直线平行，内错角相等）设∠α = 2x ，∠D = 3x ，∠B = 4x ，则可列方程：180 - 4x + 2x = 3x ，解得： x = 36︒则∠α = 72︒ ， ∠D = 108︒ ， ∠B = 144︒ ．【习题4】如果两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的 3 倍多 12°，则这两个角是( )．A ．42°和 138°B ．都是 10°C ．42°和 138°或都是 10°D ．以上都不对【难度】★★【答案】A【解析】由题意假设这两个角分别为 A 、B ，则有： ∠A = ∠B 或∠A + ∠B = 180︒ ，又因为∠A 是∠B 的 3 倍多 12°，则有： ∠A = 3∠B + 12︒ ，即180︒- ∠B = 3∠B + 12︒，解得：∠B = 42︒，∠A = 138︒ ．【总结】本题考查两角位置关系的可能性，注意两种情况的讨论．【习题5】如图，已知 QR 平分∠PQN ，NR 平分∠QNM ，∠1+∠2=90°，那么直线 PQ 、MN的位置关系．P Q【难度】★★ 【答案】见解析． 1【解析】因为 QR 平分∠PQN ，NR 平分∠QNM （已知） R所以∠PQN = 2∠1 ， ∠MNQ = 2∠2 （角平分线的意义）因为∠1+∠2=90°（因为），所以∠PQN +∠MNQ =180°（等式性质） 2 所以 PQ ∥MN （同旁内角互补，两直线平行） M N【总结】本题考查平行线的判定及角平分线意义的综合运用．【习题6】如图，已知：AB ∥CD ，EF 和 AB 、CD 相交于 G 、H 两点，MG 平分∠BGH ，NH平分∠DHF ，试说明：GM ∥NH ．【难度】★★ 【答案】略．【解析】 AB / /CD （已知） ∴∠BGH = ∠DHF （两直线平行，同位角相等）又 MG 平分∠BGH ，NH 平分∠DHF ∴∠1 = 1 ∠BGH , ∠2 = 1 ∠DHF 2 2 ∴∠1 = ∠（2 等量代换） ∴GM / / H N （同位角相等，两直线平行）【总结】本题考查平行线的判定A B 12 OC BC M1【习题7】如图所示，在直角三角形 ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =4，AB =5，三角形内一点 O 到各边的距离相等，求这个距离是多少．【难度】★★【答案】1．【解析】设这个距离是 x ，则有：S ∆ABC = 6 = 1( AC + BC + AB ) ⨯ x = 6x ，解得： x = 1 ． 2 【总结】本题可以用面积法求解比较简单．【习题8】如图，已知 AB ，CD 分别垂直 EF 于 B ，D ，且∠DCF =60°，∠1=30°．试说明： BM / / AF ．A【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】因为 CD ⊥EF ，所以∠CDF = 90 （垂直的意义）因为∠DCF =60°（已知），所以∠F =30°（三角形的内角F 和等于 1D 80°） B E 因为∠1=30°（已知），所以∠1=∠F （等量代换）所以 BM ∥AF （同位角相等，两直线平行）【总结】本题考查平行线的判定及垂直的意义的综合运用．【习题9】如图，已知直线l 1 / /l 2 ；（1）若∠1 = (x + 2 y ) ， ∠2 = x ， ∠4 = ( y + 30) 求∠1 ， ∠2 ， ∠4 的度数；（2）若∠2 = x ， ∠3 = y ， ∠4 = [2(2x - y )] ，求 x 、 y 的值． 1 2 3 l【难度】★★ 【答案】见解析 4l 2【解析】（1）因为∠1+∠2=180°（平角的意义），所以 x + 2 y + x 180︒ ，即 x +y =90°因为l 1∥l 2 （已知），所以∠2=∠4（两直线平行，同位角相等）即 x = y +30，解得：x =60°，y =30°，所以∠1=120°，∠2=60°，∠4=60°；（2）因为∠3+∠2=180°（平角的意义），所以 x +y =180°，因为l 1∥l 2 （已知），所以∠2=∠4（两直线平行，同位角相等）即 x = 4x - 2 y ，解得：x =72°，y =108°．【总结】本题考查平行线的性质及角度的简单计算．【习题10】如图， ∠ ADC =∠ABC ， ∠ 1+ ∠ FDB =180°，AD 是∠FDB 的平分线，试说明 BC 为∠DBE 的平分线．【难度】★★★ E【答案】见解析．【解析】因为∠ 1+ ∠ FDB =180°（已知），又因为∠1 = ∠ABD （对顶角相等）所以∠ABD + ∠BDF = 180 （等量代换）所以 AB / / F D （同旁内角互补，两直线平行）F D CA E C所以∠ABD = ∠2 （两直线平行，内错角相等）因为∠ADC = ∠ABC （已知），所以∠ADB = ∠CBD （等式性质）因为 AE / / FC （已证），所以∠EBD = ∠FDB （两直线平行，内错角相等）即∠ADB + ∠ADF = ∠CBD + ∠CBE （角的和差）因为 AD 是∠FDB 平分线，所以∠ADB = ∠ADF = ∠CBD = ∠EBC （角平分线的意义）即 BC 为∠DBE 的平分线【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的判定定理及性质定理以及角平分线的综合运用．【习题11】如图，已知∠ABC =∠ACB ，AE 是∠CAD 的平分线，问：△ABC 与△EBC 的面积是否相等?为什么? D【难度】★★★【答案】相等，证明见解析． F【解析】因为∠DAE + ∠EAC + ∠BAC = 180 （平角的意义）又∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180 （三角形内角和等于 180°）所以∠DAE + ∠EAC = ∠ABC + ∠ACB （等式性质） B 因为∠ABC =∠ACB ，AE 是∠CAD 的平分线（已知）所以∠ABC = ∠ACB = ∠DAE = ∠CAE所以 AE / / B C （内错角相等，两直线平行）所以 AE 与 BC 间的距离相等（夹在平行线间的距离处处相等）所以△ABC 与△EBC 的面积相等（同底等高的两个三角形面积相等）．【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用，同时还考查了三角形的面积问题．课后作业【作业1】如图，AB //CD ，直线l 分别交 AB 、CD 于 E 、F ，EG 平分∠BEF ，若∠EFG = 40 ，则∠EGF 的度数是（）A ． 60B ． 70C ． 80D ． 90【难度】★【答案】B 【解析】因为 AB //CD （已知），所以∠BEF + ∠EFG = 180 因为∠EFG = 40 （已知），所以∠BEF =140°（等式性质）因为 EG 平分∠BEF （已知），所以∠BEG = 1∠BEF = 70 （角平分线的意义）2 因为 AB //CD （已知），所以∠BEG = ∠EGF （两直线平行，内错角相等）所以∠EGF =70°（等量代换）【总结】本题考查平行线的性质及角平分线的意义的运用．【作业2】如图，AB //CD ，下列等式中正确的是（）A ． ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180B ． ∠1 + ∠2 - ∠3 = 90C ． ∠2 + ∠3 - ∠1 = 180D ． ∠2 + ∠3 - ∠1 = 90【难度】★【答案】C A B C D2D 1 2E 3 【解析】由题意可得： (180︒- ∠3) + (180︒- ∠2) + ∠1 = 180︒ ，解得： ∠2 + ∠3 - ∠1 = 180︒【总结】本题考查平行线的性质．【作业3】若两直线被第三条直线所截，则下列说法中正确的个数有（）（1）一对同位角的角平分线互相平行，（2）一对内错角的角平分线互相平行，（3）一对同旁内角的角平分线互相平行，（4）一对同旁内角的角平分线互相垂直A ．3 个B ．2 个C ．1 个D ．0 个【难度】★【答案】D【解析】（1）同位角不一定相等，×；（2）内错角不一定相等，×；（3）×；（4）只有当这对同旁内角互补时才成立，×【总结】本题考查三线八角的基本运用．【作业4】直线 a ∥c ，且直线 a 到直线c 的距离是 3；直线b / /c ，直线b 到直线c 的距离为5，则直线 a 到直线b 的距离为（）A ．2B ．3C ．8D ．2 或 8【难度】★★【答案】D【解析】当直线 a 和直线 b 在直线 c 的两侧时，距离为 8；当直线 a 和直线 b 在直线 c 的同一侧时，距离为 2．【总结】本题考查平行线的性质，注意分类讨论．【作业5】已知：如图 5，∠1=∠2=∠B ，EF ∥AB ．试说明∠3=∠C ． A【难度】★★【答案】略．【解析】因为∠1 = ∠B （已知）所以 DE / / B C （同位角相等，两直线平行）所以∠2 = ∠C （两直线平行，同位角相等）又因为 EF / / AB （已知），所以∠3 = ∠B 所以∠3 = ∠C （等量代换）B FC （两直线平行，同位角相等）【总结】本题考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用．【作业6】已知：∠1=60o ，∠2=60o ， AB //CD ．试说明：CD //EF ．【难度】★★ l【答案】略．【解析】设∠2 的对顶角为∠3，因为∠1=∠2 = 60o （已知），所以∠1=∠3（等量代换）所以 AB ∥EF （同位角相等，两直线平行）A 1 BC D 又因为 AB ∥CD （已知）所以 CD ∥EF （平行的传递性） E 2 F【总结】本题主要考查平行线的判定．D ′ C′ F【作业7】如图，已知∠4=∠B ，∠1=∠3，试说明：AC 平分∠BAD ．【难度】★★【答案】略．【解析】因为∠4=∠B （已知）所以 CD ∥AB （同位角相等，两直线平行）所以∠3=∠2（两直线平行，内错角相等）又因为∠1=∠3（已知），所以∠1=∠2（等量代换），A B所以 AC 平分∠BAD （角平分线的意义）【总结】本题考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用．【作业8】如图， AD / / BC ，BD 平分∠ABC ，且∠A : ∠ABC = 2 :1 ，求∠DBC 的度数．【难度】★★A D 【答案】30°．【解析】因为 AD ∥BC （已知）所以∠A +∠ABC =180°（两直线平行，同旁内角互补） B C又因为∠A ：∠ABC =2:1（已知），所以∠A =120°，∠ABC =60°（等式性质）又因为 BD 平分∠ABC （已知），所以∠DBC =30°（角平分线的意义）【总结】本题考查平行线的性质及角平分线的综合运用【作业9】如图，把一个长方形纸片沿 EF 折叠后，点 D 、C 分别落在 D ′、C ′的位置．若∠AED ′＝65°，则∠C 'FB 的度数为． A E D 【难度】★★【答案】65°【解析】因为翻折，所以∠D 'EF = ∠DEF （翻折的性质） B 因为∠AED ' + ∠D 'EF + ∠DEF = 180 （平角的意义）又∠AED ′＝65°（已知），所以∠D 'EF = ∠DEF = 180 - ∠AED '= 57.5 （等式性质）2 因为 AD / / BC （已知），所以∠DEF + ∠EFC = 180 （两直线平行，同旁内角互补） ∠EFB = ∠DEF （两直线平行，内错角相等）所以∠EFB = 57.5 ， ∠EFC = 180 - 57.5 = 122.5 （等式性质）因为∠EFC ' = ∠EFC （翻折的性质）所以∠C 'FB = ∠EFC ' - ∠EFB = 65︒ ．【总结】本题主要考查平行线的性质及翻折的性质的综合运用．【作业10】如图，已知 AD //BC ，AB //EF ，DC //EG ，EH 平分∠FEG ， ∠A = ∠D = 110 ，试说明线段 EH 的长是 AD 、BC 间的距离． AE D 【难度】★★【答案】见解析．【解析】因为 AD //BC （已知）所以∠A + ∠B = 180 ， ∠C + ∠D = 180 （两直线平行，同旁内角互补）因为∠A = ∠D = 110 （已知），所以∠B =∠C =70°（等式性质）B F H G因为 AB //EF ，DC //EG （已知），D4 3 C 1 2所以∠EFG=∠B，∠EGF=∠C（两直线平行，内错角相等）所以∠EFG = ∠EGF = 70°（等量代换），所以∠FEG=40°因为EH 平分∠FEG （已知），所以∠FEH=1∠FEG=20 （角平分线的意义）2所以∠FHE = 180 -∠FEH =∠EFH = 90 （三角形内角和等于180°）即EH 的长是AD、BC 间的距离．【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的性质及三角形的内角和以及平行线间的距离．【作业11】如图，AB ⊥l ，CD ⊥l （点B、D 是垂足），直线EF 分别交AB、CD 于点G、H．如果∠EGB =m ，∠FGB =n ，且∠EHD = (3m -n ) ，试求出∠EGB 、∠BGF 、∠EHD的度数．【难度】★★★【答案】∠EGB = 60︒，∠BGF = 120︒，∠EHD = 60︒．【解析】因为AB ⊥l ，CD ⊥l （已知）所以AB / /CD （垂直于同一直线的两直线平行）所以∠FGB +∠EHD =180 （两直线平行，同旁内角互补）∠EGB =∠EHD （两直线平行，同位角相等）即n + 3m -n = 180 ，m = 3m -n ，解得：m = 60︒，n = 120︒．所以∠EGB = 60︒，∠BGF = 120︒，∠EHD = 60︒．【总结】本题主要考查平行线的性质的运用．【作业12】如图，已知AB / /CD ，EG、FH 分别平分∠AEF 、∠DFN ，那么∠GEF +∠DFH = 90 ，试说明理由．【难度】★★【答案】见解析．【解析】因为AB / /CD （已知）所以∠AEF =∠CFN （两直线平行，同位角相等）因为∠CFN +∠DFN = 180︒（平角的性质）又因为EG、FH 分别平分∠AEF 、∠DFN （已知）所以∠AEG +∠GEF +∠DFH +∠NFH = 180︒（角的和差）即2∠GEF +∠DFH = 180︒，所以∠GEF +∠DFH = 90 ．【总结】本题考查平行线的性质及角平分线性质的综合应用．【作业13】如图，已知AB∥EF，∠B=45°，∠C=x°，∠D=y°，∠E=z°，试说明x、y、z 之间的关系．【难度】★★★【答案】见解析．【解析】由题意，过C、D 两点分别作AB 的平行线CM、DN 因为AB∥EF（已知）所以AB / /CM / / DN / / EF （平行的传递性）N所以∠B =∠BCM ，∠MCD =∠CDN ，∠EDN =∠E （两直线平行，内错角相等）因为∠B=45°，∠C=x°，∠D=y°，∠E=z°（已知）所以x - 45 =y -z （等式性质）即x -y +z = 45 ．【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的性质以及辅助线的添加，注意观察角度间的关系．。

平行线的性质与判定(典型例题)

E
B
C
例4.如图，∠A+∠C=1800，∠D=∠E,则AB与EF平行吗？为什么？
A
B
C
E
D F
解：∵∠A+∠C=1800（已知） ∴AB//CD（同旁内角互补，两直线平行）又∵∠D=∠E（已知） ∴EF//CD（内错角相等，两直线平行） ∴AB//EF（两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行)
C D F B 2 E 3 A G
1
D 4．如图，若m∥n，∠1 = 105°，则∠2 =（ A．55° B．60° C．65° D．75°
）
1 2
m n
5．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，O为垂足，如果∠EOD = 38°，则∠AOC = 52°，∠COB = 128 。 °
A O C
E D B
6.如图所示，下列推理正确的是（C ） A．∵∠1=∠4，∴BC∥AD B．∵∠2=∠3，∴AB∥CD C．∵AD∥BC，∴∠BCD＋∠ADC=180° D．∵∠1＋∠2＋∠C=180°，∴BC∥AD B A 1 2 4 3 D
1 B C
例7.如图，若AB⊥BC,BC⊥CD,∠1=∠2 求证：BE//CF A
1 证明： ∵AB⊥BC,BC⊥CD（已知） ∴∠ABC=∠BCD =900（垂直的定义） 2 ∵∠1=∠2（已知） E C ∴∠ABC－∠1=∠BCD－∠2（等式的性质）即∠EBC=∠BCF ∴ BE// CF （内错角相等，两直线平行） B F
例2、如图有一块梯形的玻璃，已知量得 ∠A＝115°，∠D＝100°，请你想一想，梯形的另外两个角各是多少度。
解：∵AD∥BC （已知） ∴ A ＋ B＝180°

平行线的性质和判定综合公开课课件

参考文献与拓展阅读
《几何原本》
主要参考文献
《平行线的性质和判定》
《几何学基础》
《平行线的应用》
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平行线的性质和判定综合公开课课件
平行线的性质和判定综合公开课教案
平行线的定义：在同一平面内，两条直线永不相交平行线的性质：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补平行线的判定：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补平行线的性质定理的应用：解决几何问题，提高解题效率
平行线的判定方法
定义法：根据平行线的定义进行判断
同一平面内：两条直线在同一平面内不相交，则它们平行
培养学生的几何思维和空间观念
提高学生对数学的兴趣和热爱
课程内容
平行线的性质
平行线的判定
综合应用
公开课课件
教学方法
讲解与演示相结合
互动与讨论相结合
案例分析与练习相结合
归纳总结与拓展延伸相结合
授课时间
授课时长：45分钟
授课时间：每周五下午3:004:00
授课地点：学校多媒体教室

《平行线的性质和判定及其综合运用》教案 (公开课)2022年人教版数学

第2课时平行线的性质与判定及其综合运用一、教学目标1．理解平行线的性质与平行线的判定是相反的问题，掌握平行线的性质．2．会用平行线的性质进行推理和计算．3．通过平行线性质定理的推导，培养学生观察分析和进行简单的逻辑推理的能力．4．通过学习平行线的性质与判定的联系与区别，让学生懂得事物是普遍联系又相互区别的辩证唯物主义思想．二、学法引导1．教师教法：采用尝试指导、引导发现法，充分发挥学生的主体作用，表达民主意识和开放意识．2．学生学法：在教师的指导下，积极思维，主动发现，认真研究．三、重点·难点解决方法〔一〕重点平行线的性质公理及平行线性质定理的推导．〔二〕难点平行线性质与判定的区别及推导过程．〔三〕解决方法1．通过教师创设情境，学生积极思维，解决重点．2．通过学生自己推理及教师指导，解决难点．3．通过学生讨论，归纳小结．四、课时安排1课时五、教具学具准备投影仪、三角板、自制投影片．六、师生互动活动设计1．通过引例创设情境，引入课题．2．通过教师指导，学生积极思考，主动学习，练习稳固，完成新授．3．通过学生讨论，完成课堂小结．七、教学步骤〔一〕明确目标掌握和运用平行线的性质，进行推理和计算，进一步培养学生的逻辑推理能力．〔二〕整体感知以情境创设导入新课，以教师引导，学生讨论归纳新知，以变式练习稳固新知．〔三〕教学过程创设情境，复习导入师：上节课我们学习了平行线的判定，回忆所学内容看下面的问题〔出示投影片1〕．1．如图1，〔1〕∵〔〕，∴〔〕．〔2〕∵〔〕，∴〔〕．〔3〕∵〔〕，∴〔〕．2．如图2，〔1〕，那么与有什么关系？为什么？〔2〕，那么与有什么关系？为什么？图2 图33．如图3，一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，第一次拐的角是，第二次拐的角是多少度？学生活动：学生口答第1、2题．师：第3题是一个实际问题，要给出的度数，就需要我们研究与判定相反的问题，即两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角有什么关系，也就是平行线的性质．板书课题：【教法说明】通过第1题，对上节所学判定定理进行复习，第2题为性质定理的推导做好铺垫，通过第3题的实际问题，引入新课，学生急于解决这个问题，需要学习新知识，从而激发学生学习新知识的积极性和主动性，同时让学生感知到数学知识来源于生活，又效劳于生活．探究新知，讲授新课师：我们都知道平行线的画法，请同学们画出直线的平行线，结合画图过程思考画出的平行线，找一对同位角看它们的关系是怎样的？学生活动：学生在练习本上画图并思考．学生画图的同时教师在黑板上画出图形〔见图4〕，当同学们思考时，教师有意识地重复演示过程．【教法说明】让同学们动手、动脑、观察思考，使学生养成自己发现问题得出规律的习惯．学生活动：学生能够在完成作图后，迅速地答出：这对同位角相等．提出问题：是不是每一对同位角都相等呢？请同学们任画一条直线，使它截平行线与，得同位角、，利用量角器量一下；与有什么关系？学生活动：学生按老师的要求画出图形，并进行度量，答复出不管怎样画截线，所得的同位角都相等．根据学生的答复，教师肯定结论．师：两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线平行，那么同位角相等．我们把平行线的这个性质作为公理．［板书］两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．【教法说明】在教师提出问题的条件下，学生自己动手，实际操作，进行度量，在有了大量感性认识的根底上，动脑分析总结出结论，不仅充分发挥学生主体作用，而且培养了学生分析问题的能力．提出问题：请同学们观察图5的图形，两条平行线被第三条直线所截，同位角是相等的，那么内错角、同旁内角有什么关系呢？学生活动：学生观察分析思考，会很容易地答出内错角相等，同分内角互补．师：教师继续提问，你能论述为什么内错角相等，同旁内角互补吗？同学们可以讨论一下．学生活动：学生们思考，并相互讨论后，有的同学举手答复．【教法说明】在前面复习引入的第2题的根底上，通过学生的观察、分析、讨论，此时学生已能够进行推理，在这里教师不必包办代替，要充分调动学生的主动性和积极性，进而培养学生分析问题的能力，在学生有成就感的同时也鼓励了学生的学习兴趣．教师根据学生答复，给予肯定或指正的同时板书．［板书］∵〔〕，∴〔两条直线平行，同位角相等〕．∵〔对项角相等〕，∴〔等量代换〕．师：由此我们又得到了平行线有怎样的性质呢？学生活动：同学们积极举手答复以下问题．教师根据学生表达，板书：［板书］两条平行经被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：西直线平行，内错角相等．师：下面清同学们自己推导同分内角是互补的，并归纳总结出平行线的第三条性质．请一名同学到黑板上板演，其他同学在练习本上完成．师生共同订正推导过程和第三条性质，形成正确板书．［板书］∵〔〕，∴〔两直线平行，同位角相等〕．∵〔邻补角定义〕，∴〔等量代换〕．即：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成，两直线平行，同旁内角互补．师：我们知道了平行线的性质，在今后我们经常要用到它们去解决、论述一些问题，所需要知道的条件是两条直线平行，才有同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，即它们的符号语言分别为：∵〔见图6〕，∴〔两直线平行，同位角相等〕．∵〔〕，∴〔两直线平行，内错角相等〕．∵〔〕，∴．〔两直线平行，同旁内角互补〕〔板书在三条性质对应位置上．〕尝试反响，稳固练习师：我们知道了平行线的性质，看复习引入的第3题，谁能解决这个问题呢？学生活动：学生给出答案，并很快地说出理由．练习〔出示投影片2〕：如图7，平行线、被直线所截：图7〔1〕从，可以知道是多少度？为什么？〔2〕从，可以知道是多少度？为什么？〔3〕从，可以知道是多少度，为什么？【教法说明】练习目的是稳固平行线的三条性质．变式训练，培养能力完成练习〔出示投影片3〕．如图8是梯形有上底的一局部，量得，，梯形另外两个角各是多少度？图8学生活动：在教师不给任何提示的情况下，让学生思考，可以相互之间讨论并试着在练习本上写出解题过程．【教法说明】学生在小学阶段对于梯形的两底平行就已熟知，所以学生能够想到利用平行线的同旁内角互补来找和的大小．这里学生能够自己解题，教师防止包办代替，可以培养学生积极主动的学习意识，学会思考问题，分析问题．学生板演教师指正，在几何里我们每一步结论的得出都要有理有据，标准学生的解题思路和格式，培养学生严谨的学习态度，修改学生的板演过程，可形成下面的板书．［板书］解：∵〔梯形定义〕，∴，〔两直线平行，同旁内角互补〕．∴．∴．变式练习〔出示投影片4〕1．如图9，直线经过点，，，．〔1〕等于多少度？为什么？〔2〕等于多少度？为什么？〔3〕、各等于多少度？2．如图10，、、、在一条直线上，．〔1〕时，、各等于多少度？为什么？〔2〕时，、各等于多少度？为什么？学生活动：学生独立完成，把理由写成推理格式．【教学说明】题目中的为什么，可以用语言表达，为了培养学生的逻辑推理能力，最好用推理格式说明．另外第2题在求得一个角后，另一个角的解法不惟一．对学生中出现的不同解法给予肯定，假设学生未想到用邻补角求解，教师应启发诱导学生，从而培养学生的解题能力．〔四〕总结、扩展〔出示投影片1第1题和投影片5〕完成并比较．如图11，〔1〕∵〔〕，∴〔〕．〔2〕∵〔〕，∴〔〕．〔3〕∵〔〕，∴〔〕．学生活动：学生答复上述题目的同时，进行观察比较．师：它们有什么不同，同学们可以相互讨论一下．〔出示投影6〕学生活动：学生积极讨论，并能够说出前面是平行线的判定，后面是平行线的性质，由角的关系得到两条直线平行的结论是平行线的判定，反过来，由直线平行，得到角相等或互补的结论是平行线的性质．【教法说明】通过有形的具体实例，使学生在有充足的感性认识的根底上上升到理性认识，总结出平行线性质与判定的不同．稳固练习〔出示投影片7〕1．如图12，是上的一点，是上的一点，，，．〔1〕和平行吗？为什么？图12〔2〕是多少度？为什么？学生活动：学生思考、口答．【教法说明】这个题目是为了稳固学生对平行线性质与判定的联系与区别的掌握．知道什么条件时用判定，什么条件时用性质、真正理解、掌握并应用于解决问题．八、布置作业〔一〕必做题课本第99～100页A组第11、12题．〔二〕选做题课本第101页B组第2、3题．作业答案A组11．〔1〕两直线平行，内错角相等．〔2〕同位角相等，两直线平行．两直线平行，同旁内角互补．〔3〕两直线平行，同位角相等．对顶角相等．12．〔1〕∵〔〕，∴〔内错角相等，两直线平行〕．〔2〕∵〔〕，∴〔两直线平行，同位角相等〕，〔两直线平行，同位角相等〕．B组2．∵〔〕，∴〔两直线平行，同位角相等〕，〔两直线平行，内错角相等〕．∵〔〕，∴〔两直线平行，同位角相等〕，〔同上〕．又∵〔已证〕，∴．∴．又∵〔平角定义〕，∴．3．平行线的判定与平行线的性质，它们的题设和结论正好相反．4．5一次函数的应用第1课时利用一次函数解决实际问题1．根据问题条件找出能反映出实际问题的函数；(重点)2．能利用一次函数图象解决简单的实际问题，开展学生的应用能力；(重点)3．建立一次函数模型解决实际问题．(难点)一、情境导入联通公司话费收费有A 套餐(月租费15元，通话费每分钟0.1元)和B 套餐(月租费0元，通话费每分钟0.15元)两种．设A 套餐每月话费为y 1(元)，B 套餐每月话费为y 2(元)，月通话时间为x 分钟．(1)分别表示出y 1与x ，y 2与x 的函数关系式；(2)月通话时间为多长时，A 、B 两种套餐收费一样？(3)什么情况下A 套餐更省钱？二、合作探究探究点：一次函数与实际问题【类型一】利用图象(表)解决实际问题我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费的方法收费：月用水10t 以内(包括10t)的用户，每吨收水费a 元；月用水超过10t 的用户，10t 水仍按每吨a 元收费，超过10t 的局部，按每吨b 元(b >a )收费．设某户居民月用水x t ，应收水费y 元，y 与x 之间的函数关系如以下列图．(1)求a 的值，并求出该户居民上月用水8t 应收的水费；(2)求b 的值，并写出当x >10时，y 与x 之间的函数表达式；(3)上月居民甲比居民乙多用4t 水，两家共收水费46元，他们上月分别用水多少吨？解析：(1)用水量不超过10t 时，设其函数表达式为y ＝ax ，由上图可知图象经过点(10，15)，从而求得a 的值；再将x ＝8代入即可求得应收的水费；(2)可知图象过点(10，15)和(20，35)，利用待定系数法可求得b 的值和函数表达式；(3)分别判断居民甲和居民乙用水比10t 多还是比10t 少，然后用相对应的表达式分别求出甲、乙上月用水量．解：(1)当0≤x ≤10时，图象过原点，所以设y ＝ax .把(10，15)代入，解得ayx (0≤x ≤10)．当x ＝8时，y ×8＝12，即该户居民的水费为12元；(2)当x >10时，设y ＝bx ＋m (b ≠0)．把(10，15)和(20，35)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧10b ＋m ＝15，20b ＋m ＝35，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，m ＝－5，即超过10t 的局部按每吨2元收费，此时函数表达式为y ＝2x －5(x >10)； (3)因为10×1.5＋10×1.5＋4×2＝38<46，所以居民乙用水比10t 多．设居民乙上月用水x t ，那么居民甲上月用水(x ＋4)t.y 甲＝2(x ＋4)－5，y 乙＝2x ，得[2(x ＋4)－5]＋(2x －5)＝46，解得x t ，居民乙用水12t.方法总结：此题的关键是读懂图象，从图象中获取有用信息，列出二元一次方程组得出函数关系式，根据关系式再得出相关结论．广安某水果店方案购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示：(1)假设该水果店预计进货款为1000元，那么这两种水果各购进多少千克？(2)假设该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？解析：(1)根据方案购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，进而利用该水果店预计进货款为1000元，得出等式求出即可；(2)利用两种水果每千克的利润表示出总利润，再利用一次函数增减性得出最大值即可．解：(1)设购进甲种水果x千克，那么购进乙种水果(140－x)千克，根据题意可得5x＋9(140－x)＝1000，解得x＝65，∴140－x＝75(千克)．答：购进甲种水果65千克，乙种水果75千克；(2)由图表可得甲种水果每千克利润为3元，乙种水果每千克利润为4元．设总利润为W，由题意可得W＝3x＋4(140－x)＝－x＋560，故W随x的增大而减小，那么x越小，W 越大．∵该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，∴140－x≤3x，解得x≥35，∴当x＝35时，W最大＝－35＋560＝525(元)，故140－35＝105(千克)．答：当购进甲种水果35千克，购进乙种水果105千克时，此时利润最大为525元．方法总结：利用一次函数增减性得出函数最值是解题关键．如图①，底面积为30cm2的空圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体〞，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h(cm)与注水时间t(s)之间的关系如图②所示．请根据图中提供的信息，解答以下问题：(1)圆柱形容器的高为多少？匀速注水的水流速度(单位：cm3/s)为多少？(2)假设“几何体〞的下方圆柱的底面积为15cm2，求“几何体〞上方圆柱的高和底面积．解析：(1)根据图象，分三个局部：注满“几何体〞下方圆柱需18s；注满“几何体〞上方圆柱需24－18＝6(s)；注满“几何体〞上面的空圆柱形容器需42－24＝18(s)，再设匀速注水的水流速度为x cm3/s，根据圆柱的体积公式列方程，再解方程；(2)由图②知几何体下方圆柱的高为a cm，根据圆柱的体积公式得a·(30－15)＝18×5，解得a＝6，于是得到“几何体〞上方圆柱的高为5cm，设“几何体〞上方圆柱的底面积为S cm2，根据圆柱的体积公式得5×(30－S)＝5×(24－18)，再解方程即可．解：(1)根据函数图象得到圆柱形容器的高为14cm，两个实心圆柱组成的“几何体〞的高度为11cm，水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体〞到注满用了42－24＝18(s)，这段高度为14－11＝3(cm)．设匀速注水的水流速度为x cm3/s，那么18·x＝30×3，解得x＝5，即匀速注水的水流速度为5cm3/s；(2)由图②知“几何体〞下方圆柱的高为a cm，那么a·(30－15)＝18×5，解得a＝6，所以“几何体〞上方圆柱的高为11－6＝5(cm)．设“几何体〞上方圆柱的底面积为S cm2，根据题意得5×(30－S)＝5×(24－18)，解得S＝24，即“几何体〞上方圆柱的底面积为24cm2.方法总结：此题考查了一次函数的应用：把分段函数图象中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题．【类型二】建立一次函数模型解决实际问题某商场欲购进A 、B 两种品牌的饮料共500箱，两种饮料每箱的进价和售价如下表所示．设购进A 种饮料x 箱，且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为y 元．(1)求y 关于x 的函数表达式；(2)如果购进两种饮料的总费用不超过20000元，那么该商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润．(注：利润＝售价－本钱)解析：再根据它们的数量求出利润，进而利用函数的图象性质求出最大利润．解：(1)由题意，知B 种饮料有(500－x )箱，那么y ＝(63－55)x ＋(40－35)(500－x )＝3xy ＝3x ＋2500(0≤x ≤500)；(2)由题意，得55x ＋35(500－x )≤x ≤125.∴当x ＝125时，y 最大值＝3×125＋2500＝2875.∴该商场购进A 、B 两种品牌的饮料分别为125箱、375箱时，能获得最大利润2875元．方法总结：此类题型往往取材于日常生活中的事件，通过分析、整理表格中的信息，得到函数表达式，并运用函数的性质解决实际问题．解题的关键是读懂题目的要求和表格中的数据，注意思考的层次性及其中蕴含的数量关系．【类型三】两个一次函数图象在同一坐标系内的问题为倡导低碳生活，绿色出行，某自行车俱乐部利用周末组织“远游骑行〞活动．自行车队从甲地出发，途经乙地短暂休息完成补给后，继续骑行至目的地丙地，自行车队出发1小时后，恰有一辆邮政车从甲地出发，沿自行车队行进路线前往丙地，在丙地完成2小时装卸工作后按原路返回甲地，自行车队与邮政车行驶速度均保持不变，，如图表示自行车队、邮政车离甲地的路程y (km)与自行车队离开甲地时间x (h)的函数关系图象，请根据图象提供的信息解答以下各题：(1)自行车队行驶的速度是________km/h ；(2)邮政车出发多少小时与自行车队首次相遇？(3)邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地多远？解析：(1)由速度＝路程÷时间就可以求出结论；(2)由自行车的速度就可以求出邮政车的速度，再由追击问题设邮政车出发a 小时两车相遇建立方程求出其解即可；(3)由邮政车的速度可以求出B 的坐标和C 的坐标，由自行车的速度就可以D 的坐标，由待定系数法就可以求出BC ，ED 的解析式就可以求出结论．解：(1)由题意得，自行车队行驶的速度是72÷3＝24km/h.(2)由题意得，邮政车的速度为24×2.5＝60(km/h)．设邮政车出发a 小时两车相遇，由题意得24(a ＋1)＝60a ，解得a ＝23. 答：邮政车出发23小时与自行车队首次相遇；(3)由题意，得邮政车到达丙地所需的时间为135÷60＝94(h)，∴邮政车从丙地出发的时间为94＋2＋1＝214(h)，∴B (214，135)，C ，0)．自行车队到达丙地的时间为：135÷24＋0.5＝458＋0.5＝498(h)，∴D (498，135)．设BC 的解析式为y 1＝k 1x ＋b 1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧135＝214k 1＋b 1，0k 1＋b 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－60，b 1＝450，∴y 1＝－60x ＋450，设ED 的解析式为y 2＝k 2x ＋b 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧72k 2＋b 2，135＝498k 2＋b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝24，b 2＝－12，∴y 2＝24xy 1＝y 2时，－60x ＋450＝24x －12，解得x ＝5.5.y 1＝－60×5.5＋450＝120.答：邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地120km.方法总结：此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次方程的综合运用，解答时求出函数的解析式是关键．三、板书设计一次函数与实际问题1．建立一次函数模型解实际问题2．利用图象(表)解决实际问题对于分段函数的实际应用问题中，学生往往无视了自变量的取值范围，同时解决有交点的两个一次函数图象的问题还存在一定的困难，有待在以后的教学中加大训练,力争逐步提高.。

平行线的判定与性质

平行线的判定与性质平行线是几何学中的重要概念，应用广泛且有着丰富的性质。

本文将介绍平行线的判定方法，并探讨平行线的性质及其应用。

一、平行线的判定方法1.基于角的判定：当两条直线上的对应角相等时，这两条直线是平行线。

例如，在直线l上，直线m与n分别和l交于A和B点，若∠CAB = ∠DBE，则直线m与n平行。

2.基于距离的判定：当两条直线上任意一点到另一条直线的距离相等时，这两条直线是平行线。

例如，在直线l上，直线m与n分别垂直相交于AB和CD两点，若AB = CD，则直线m与n平行。

3.基于平行线定理的判定：若两条直线分别与第三条直线相交，且在同一侧的内角或外角互补，则这两条直线是平行线。

例如，在直线l上，直线m与n分别与另一条直线k相交，若∠CAB + ∠DEF = 180°，则直线m与n平行。

二、平行线的性质1.对应角性质：对应角相等，并且对应角的性质（如内角、外角、同旁内角等）保持不变。

例如，若两条平行线被一条横切线相交，内角和同旁内角相等。

2.同位角性质：同位角互补，并且同位角的性质（如内角、外角、同旁内角等）保持不变。

例如，若两条平行线被一条横切线相交，同位角互补。

3.对顶角性质：对顶角相等，并且对顶角的性质（如内角、外角、同旁内角等）保持不变。

例如，若两条平行线被一条横切线相交，对顶角相等。

4.平行线间距性质：平行线之间的距离保持不变。

例如，两条平行线之间的距离始终相等。

三、平行线的应用1.平行线在三角形中的应用：平行线可以用来证明三角形的相似性、等腰性、等边性等性质，并推导出各种定理。

例如，通过平行线判定，我们可以得出等腰三角形的底角相等定理，即一个等腰三角形的底角相等于另一个等腰三角形的底角。

2.平行线在平面图形中的应用：平行线可以用来构造平行四边形、平行六边形等特殊图形，并应用于计算几何中的平行线夹角、相交角等概念的计算。

3.平行线在工程中的应用：平行线在建筑工程、道路规划、电路设计等领域中都有广泛应用。

平行线判定和性质的应用课件

条件
图形
结论．
定义、判定
定义、判定
知3－练
• 1 (202X·十堰)如图，AB∥EF，CD⊥EF于点D，若∠ABC＝40°，则∠BCD等于( ) •A．140° •B．130° •C．120° •D．110°
知3－练
2 如图，如果AB∥DE，∠1＝∠2，那么AE∥DC，请说明理由．
从图形中得出结论是图形的性质；而从具备什么条件推理出图形是图形的判定；特别说明，图形的定义既是图形的判定，也是图形的性质；即：
所以∠ABC＝∠BCD(两直线平行，内错角相等)．
因为∠1＝∠2(已知)，
所以∠ABC－∠1＝∠BCD－∠2(等式的性质)，
即∠PBC＝∠BCQ.
所以PB∥CQ(内错角相等，两直线平行)．
所以∠P＝∠Q(两直线平行，内错角相等)．
总结
知3－讲
一个数学问题的构成含有四个要素：题目的条件、解题的根据、解题的方法、题目的结论，如果题目所含的四个要素解题者已经知道或者结论虽未指明，但它是完全确定的，这样的问题就是封闭性的数学问题．
例2 •如图，将一张长方形的纸片沿EF折叠后，点D， •C分别落在D′，C′位置上，ED′与BC的交点为点 •G，若∠EFG＝50°，求∠EGB的度数．
知1－讲
导引：本题根据长方形的定义得出其对边是平行的，利用平行线的性质：两直线平行，内错角相等，先求∠DEF＝50°，再根据折叠前后的对应角相等求得∠D′EF＝50°，然后根据平角的定义得∠AEG＝80°，最后根据两直线平行，同旁内角互补求得∠EGB ＝100°.
知1－讲
•所以∠AEG＝180°－∠DEF－∠D′EF＝80°(平 • 角的定义)． •又因为AD∥BC， •所以∠AEG＋∠EGB＝180°(两直线平行，同旁内 • 角互补)， •即∠EGB＝180°－∠AEG＝180°－80°＝ 100°.

(完整版)《平行线的判定与性质的综合运用》教学课件

6.如图，AB，CD，EF，MN均为直线，∠2=∠3=70°， ∠GPC=80°，GH平分∠MGB，求∠1的度数.
解：∵∠2=∠3=70°(已知)， ∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)， ∴∠BGP=∠GPC(两直线平行，内错角相等)， ∵∠GPC=80°(已知)， ∴∠BGP=80°(等量代换)， ∴∠BGM=180°-∠BGP=100°(平角的定义)，
(完整版)《平行线的判定与性质的综合运用》教学课件
平行线的性质
第2课时平行线的判定与性质的综合运用
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
三、平行线的基本性质3
思考：类似地，已知两直线平行，能否得到同旁内角
之间的数量关系？如图,已知a//b,那么2与4有什么关系呢？为什么?
解: ∵a//b （已知）,
A.80° B.65° C.60°
D.55°
3.如图，BD⊥AB，BD⊥CD，则∠a的度数是（ A ） A.50° B.40° C.60° D.45°
4.已知AB∥DE，试问∠B，∠E，∠BCE有什么关系.请
完成填空：
A 解：过点C作CF∥AB，则_∠__B__=_∠__1__ （两直线平行，内错角相等）. C
B
1
F
2
又∵AB∥DE，AB∥CF，
D
E
∴__C_F__∥__D_E____（平行于同一直线的两条直线平行）.
∴∠E＝∠__2__（两直线平行，内错角相等）.
∴∠B＋∠E＝∠1＋∠2（等式的性质），
即∠B＋∠E＝∠BCE．
5.已知：如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC与G， ∠E=∠3，试问：AD是∠BAC的平分线吗？若是，请说明理由．

人教版数学第5章平行线的性质与判定及辅助线模型

平行线判定和性质以及四大模型汇总第一部分平行线的判定判定方法l：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行，判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．另有平行公理推论也能证明两直线平行：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．第二部分平行线的性质性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称：两直线平行，内错角相等性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补第三部分平行线的四大模型模型一“铅笔”模型点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔”模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.模型二“猪蹄”模型（M模型）点P在EF左侧，在AB、CD内部“猪蹄”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.模型三“臭脚”模型点P在EF右侧，在AB、CD外部“臭脚”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.模型四“骨折”模型点P在EF左侧，在AB、CD外部“骨折”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.第四部分平行线的四大模型证明（1）已知AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°.（2）已知∠P=∠AEP+∠CFP，求证AE∥CF．（3）已知AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP.（4）已知∠P= ∠CFP -∠AEP,求证AE //CF.第五部分平行线的四大模型的应用案例1如图，a∥b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠l+∠2+∠3= ．2如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是．3如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE =140°，则∠BCD= .4如图，射线AC∥BD，∠A= 70°，∠B= 40°，则∠P= ．5如图所示，AB ∥CD ，∠E =37°，∠C = 20°，则∠EAB 的度数为．6 如图，AB ∥CD ，∠B =30°，∠O =∠C ．则∠C = .7如图，已知AB ∥DE ，BF 、 DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、 ∠F 的关系.8如图，已知AB ∥DE ，∠FBC =n 1∠ABF ，∠FDC =n1∠FDE . (1)若n =2,直接写出∠C 、∠F 的关系； (2)若n =3，试探宄∠C 、∠F 的关系；(3)直接写出∠C 、∠F 的关系（用含n 的等式表示）.9如图，已知AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ．求证：∠E = 2 (∠A +∠C ) .10如图，己知AB∥DE，BF、DF分别平分∠ABC、∠CDE，求∠C、∠F的关系.11如图，∠3==∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D= 180°．12如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠l+∠2= 90°，M、N分别是BA、CD的延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线相交于点F则∠F的度数为（）．A. 120°B. 135°C. 145°D. 150°133如图，直线AB∥CD，∠EF A= 30°，∠FGH= 90°，∠HMN=30°，∠CNP= 50°，则∠GHM= .14如图，直线AB∥CD，∠EFG =100°，∠FGH =140°，则∠AEF+ ∠CHG= .15 已知∠B =25°，∠BCD=45°，∠CDE =30°，∠E=l0°，求证：AB∥EF．16已知AB∥EF，求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.17如图(l )，已知MA 1∥NA n ，探索∠A 1、∠A 2、…、∠A n ，∠B 1、∠B 2…∠B n -1之间的关系．(2)如图(2)，己知MA 1∥NA 4，探索∠A 1、∠A 2、∠A 3、∠A 4，∠B 1、∠B 2之间的关系． (3)如图(3)，已知MA 1∥NA n ，探索∠A 1、∠A 2、…、∠A n 之间的关系．如图所示，两直线AB ∥CD 平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．18如图1，直线AB ∥CD ，P 是截线MN 上的一点，MN 与CD 、AB 分别交于E 、F ． (1) 若∠EFB =55°，∠EDP = 30°，求∠MPD 的度数；(2) 当点P 在线段EF 上运动时，∠CPD 与∠ABP 的平分线交于Q ,问：DPBQ∠∠是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围；(3) 当点P 在线段EF 的延长线上运动时，∠CDP 与∠ABP 的平分线交于Q ，问DPBQ∠∠的值足否定值，请在图2中将图形补充完整并说明理由．第六部分平行线的四大模型实战演练1.如图，AB // CD // EF , EH ⊥CD 于H ,则∠BAC +∠ACE +∠CEH 等于( ).A . 180°B . 270°C . 360°D . 450° 2 若AB ∥CD ，∠CDF =32∠CDE ，∠ABF =32∠ABE ，则∠E ：∠F =( )．A ．2:1B ．3:1C ．4:3D ．3:23.如图3，己知AE ∥BD ，∠1=130°，∠2=30°，则∠C = .4.如图，已知直线AB ∥CD ，∠C =115°，∠A = 25°，则∠E = ．5． 6． 7．8．如阁所示，AB∥CD，∠l=l l0°，∠2=120°，则∠α= .9．如图所示，AB∥DF，∠D =116°，∠DCB=93°，则∠B= .10．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b.∠1=50°，∠2 =60°，则∠3的度数为 .11．如图，AB∥CD，EP⊥FP, 已知∠1=30°，∠2=20°．则∠F的度数为．9.如图，若AB∥CD，∠BEF=70°，求∠B+∠F+∠C的度数.10．已知，直线AB∥CD．(1)如图l，∠A、∠C、∠AEC之间有什么关系？请说明理由；（2）如图2，∠AEF、∠EFC、∠FCD之间有什么关系？请说明理由；(3)如图3，∠A、∠E、∠F、∠G、∠H、∠O、∠C之间的关是.第七部分平行线的性质和判定综合应用1．如图，直线AB∥EF，点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若∠BCD ＝95°，∠CDE＝25°，则∠DEF的度数是（）A．110°B．115°C．120°D．125°2．如图，将一副直角三角板按图中所示位置摆放，保持两条斜边互相平行，则∠1＝（）A．30°B．25°C．20°D．15°3．如图，AE∥BF，∠1＝110°，∠2＝130°，求∠3的度数为（）4．如图，∠B+∠C＝180°，∠A＝50°，∠D＝40°，则∠AED＝．5．如图，如果∠C＝70°，∠B＝135°，∠D＝110°，那么∠1+∠2＝6．如图，AB∥CD，求∠1+∠2+∠3+∠4＝7．如图，AB∥CD，试找出∠B、∠C、∠BEC三者之间的数量关系．8．如图，三角形ABC中，点E为BC上一点（1）作图：过点E作EM∥AC交AB于M，过点E作EN∥AB交AC于N；（2）求∠A+∠B+∠C的度数，写出推理过程．9．如图，AB∥CD，BE平分∠ABF，DE平分∠CDF，∠BFD＝120°，求∠BED．10．如图，AC∥BD．（1）作图，过点B作BM∥AP交AC于M；（2）求证：∠PBD﹣∠P AC＝∠P．11．如图，AB∥CD，∠B＝∠C，求证：BE∥CF．12．如图①，木杆EB与FC平行，木杆的两端B，C用一橡皮筋连接，现将图①中的橡皮筋拉成下列各图②③的形状，请问∠A、∠B、∠C之间的数量关系?。

知识卡片-平行线的判定与性质

平行线的判定与性质能量储备平行线的判定和性质的区别与联系平行线的性质描述的是“数量关系”，它的前提是两直线平行，然后得出角相等或互补的关系，是由“位置关系”到“数量关系”；而平行线的判定，是以角的相等或互补为前提，然后推导出两直线平行，是由“数量关系”到“位置关系”．通关宝典★ 基础方法点方法点1.平行线的判定和性质的综合运用综合分析法：对于比较复杂的证明题，可先从求证的结论入手，分析要得到这个结论需要有哪些条件，再结合已知条件进行推证，看由这些条件能推导出哪些结论，最后把两个方面综合，找到解题思路，写出证明过程．例1：如图所示，已知∠BAE ＋∠AED ＝180°，AM 平分∠BAE ，EN 平分∠AEC.求证：∠M ＝∠N.分析：要证∠M ＝∠N, 根据两直线平行，内错角相等需要证AM ∥EN ；要证AM ∥EN ，根据内错角相等，两直线平行需要证∠EAM ＝∠AEN ；要证∠EAM ＝∠AEN ，条件中AM 平分∠BAE ，EN 平分∠AEC ，所以只需要证∠BAE ＝∠AEC ；要证∠BAE ＝∠AEC ，根据两直线平行，内错角相等需要证AB ∥CD ，因为∠BAE ＋∠AED ＝180°，所以AB ∥CD 得证．证明：∵ ∠BAE ＋∠AED ＝180°，∴ AB ∥CD (同旁内角互补，两直线平行)，∴ ∠BAE ＝∠AEC (两直线平行，内错角相等)．∵ AM 平分∠BAE ，EN 平分∠AEC ，∴ ∠EAM ＝12∠BAE ，∠AEN ＝12∠AEC ， ∴ ∠EAM ＝∠AEN (等量代换)，∴ AM ∥EN (内错角相等，两直线平行)，∴ ∠M ＝∠N (两直线平行，内错角相等)．方法点2.利用平行线的性质和判定解决生活实际问题例1：如图所示，MN ，EF 表示两面互相平行的镜面，一束光线AB 照射到镜面MN 上，反射光线为BC ，此时∠1＝∠2；光线BC 经过镜面EF 反射后的光线为CD ，此时∠3＝∠4.试判断入射光线AB 与反射光线CD 的位置关系，并说明理由．解：AB∥CD.理由：∵ MN∥EF，∴∠2＝∠3(两直线平行，内错角相等)．∵∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠3＝∠4，∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4.∵∠1＋∠ABC＋∠2＝180°，∠3＋∠BCD＋∠4＝180°，∴∠ABC＝∠BCD，∴ AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．★★易混易误点1.混淆平行线的判定和性质例1：如图:所示，已知∠1＝∠A，∠2＝40°，则∠3＝________.解析：∵∠1＝∠A，∴ AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．∴∠3＝∠2＝40°(两直线平行，内错角相等)．答案：40°蓄势待发考前攻略平行线的判定方法常与平行线的性质综合命题，有一定难度．完胜关卡。

北师大八年级数学下册第七章7.3平行线的判定和性质综合应用

∠A+∠B＝180°
B
C
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）你能说明AD∥BC吗？
如图甲所示
∵ ∠ADE＝ ∠DEF（已知）
∴ AD ∥ EF （内错角相等，两直线平行）又∵ ∠EFC+ ∠C= 180 ° ∴ EF ∥ BC （同旁内角互补，两直线平行） ∴ AD ∥
BC
。
（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
练习
1、观察右图并填空： (1)∠1 与 ∠4 是同位角; (2) ∠5 与 ∠3 是同旁内角; (3) ∠1 与 ∠2 是内错角;
m
2
n
3 5
a b
1
4
2、当图中各角满足下列条件时,你能指出哪两条直线平行? n (1) ∠1 = ∠4; a∥b. (2) ∠2 = ∠4; l∥m. (3) ∠1 + ∠3 = 180; l∥n .
m
l
4
a
2
1 3
b
看图填空：
C D
1
A 2
（1）如右图，∵∠1＝∠2
∴ AC∥ DE ，
3
E
( 内错角相等，两直线平行 )
∵∠2＝ ∠4 或 ∵∠3＋∠4＝180° ∴DE∥ FG ，( 同旁内角互补，两直线平行) ∴AC∥FG.
4 F
∴DE∥ FG（同位角相等，两直线平行）
B
G
看图填空：
(2)如右图，∵ ∠2=（ ∠4 ） A
C
A
B
（变式训练二）如果 AB∥CD ，且 ∠ B=∠D ，你能推理得出AD∥BC吗？
题组训练（5） 1 B E G 3 4D C2 F H
A
如图，∠1= ∠2=45 °，∠3=70 °，则∠4等于（ B ）（A）70 ° （B）110 ° （C）45 ° （D）35°

平行线的判定与性质(含答案)-

22.平行线的判定与性质知识纵横在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线(parallel lines).角是平面几何图形中最活跃的元素,前面我们已学习过特殊角、•数量关系角等角的知识。

当两条直线相交或分别与第三条直线相交，就产生对顶角、同位角、内错角、同旁内角等位置关系角，进一步丰富了角的知识，它们在角的计算与证明中有广泛的应用。

与平行线相关的问题一般都是平行线的判定与性质的综合运用，主要体现在如下两个方面：1.由角定角已知角的关系−−−→判定两直线平行−−−→性质确定其他角的关系.2.由线定线已知两直线平行−−−→性质角的关系−−−→判定确定其他两直线平行.例题求解【例1】如图,AB ∥CD,AC ⊥BC,图中与∠CAB 互余的角有_______个.(2003年安徽省中考题)思路点拨充分运用对顶角、平行线性质等与角相关的知识，借助互余的概念判断。

解：3个提示:分别为∠BCD,∠ABC,∠EBF. 【例2】如图,平行直线AB 、CD 与相交直线EF 、GH 相交,图中的同旁内角共有( • ).A.4对B.8对C.12对D.16对 (第11届“希望杯”邀请赛试题) 思路点拨每一个“三线八角”基本图形都有两对同旁内角，从对原图形进行分解入手。

解：选D 提示:原图形可分解出如下8个基本图形.BFDG E C AB FHD GECA【例3】如图,已知∠B=25°,∠BCD=45°,∠CDE=30°,∠E=10°,求证:AB∥EF思路点拨解本例的困难在于图形中没有“三线八角”，考虑创造条件，在图中添置“三线八角”或作出与AB或CD平行的直线。

解：过C点作CG∥AB,过点D作DH∥AB,可证得∠HDE=10°=∠DEF,故HD∥EF,•又HD∥AB,所以AB∥EF.【例4】如图,在△ABC中,CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,AC∥ED,CE是∠ACB的平分线.•求证:∠EDF=∠BDF.思路点拨综合运用角平分线、垂直(vertical)的定义、平行线的判定与性质等知识,因图形复杂,故需恰当分解图形.解:提示:由DF∥CE得,∠BDF=∠BCE,∠FDE=∠DEC,由AC∥DE得,∠DEC=∠ECA【例5】探究:(1)如图a,若AB∥CD,则∠B+∠D=∠E,你能说明为什么吗?(2)反之,若∠B+∠D=∠E,直线AB与CD有什么位置关系?请证明;(3)若将点E移至图b所示位置,此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系?请证明;(4)若将E点移至图c所示位置,情况又如何?(5)在图d中,AB∥CD,∠E+∠G与∠B+∠F+∠D又有何关系?(6)在图e中,若AB∥CD,又得到什么结论?B F DE CAB FDECAB (a)DE CA B (b)DEC A(c)B D EC A B (d)F DG E C A F 2E nE 2F n-1F 1B(e)DE 1CA思路点拨:已知AB ∥CD,连结AB 、CD 的折线内折或外折；或改变E 点位置、•或增加折线的条数，通过适当地改变其中的一个条件，就能得出新的结论，给我们创造性的思考留下了极大的空间。

北师大版数学七年级下册平行线的判定与性质的综合应用教案与反思

第2课时平行线的判定与性质的综合应用师者，所以传道，授业，解惑也。

韩愈市实验学校陈思思【知识与技能】经历掌握平行线性质与判定的过程，能用它们进行简单的推理和计算.【过程与方法】经历观察、测量、推理、交流等活动，进一步提高推理能力.【情感态度】通过学习平行线性质和判定直线平行条件的联系与区别，让学生懂得事物既是普遍联系又是相互区别的辩证唯物主义思想．【教学重点】平行线的三条性质及简单应用.【教学难点】平行线的性质与平行线判定方法的区别.一、情景导入，初步认知在前几节课我们探究了如何去判别两条直线是平行的，即平行线的判定.下面我想请同学来回答一下有哪些方法可以判定两条直线平行？二、思考探究，获取新知请用学过的同位角、内错角、同旁内角的概念及两直线平行的条件填空：（1）因为∠1=∠5(已知)；所以a∥b（）.（2）因为∠4=∠ (已知)；所以a∥b（内错角相等，两直线平行）.（3）因为∠4+∠ =180°(已知)；所以a∥b（）.【教学说明】判定平行线的条件和平行线的性质是互逆的,对初学者来说易将它们混淆．因此,复习判定直线平行的条件能为后面学习性质做好准备.三、运用新知，深化理解1.见教材52例1、例2、例3，2.如果两条直线被第三条直线所截，那么一组内错角的平分线（D）A.互相垂直B.互相平行C.互相重合D.以上均不正确3.如图已知∠1＝∠2，∠BAD＝∠BCD，则下列结论(1)AB∥CD；(2)AD∥BC；(3)∠B＝∠D；(4)∠D=∠ACB中正确的有（C）A.1个B.2个C.3个D.４个4.如图，如果∠1=∠2，那么∠2+∠3=180°吗？为什么？解：∵∠1=∠2，∴L1∥L2. ∴∠2+∠3=180°.5.如图，AB∥CD，BF∥CE，则∠B与∠C有什么关系？请说明理由.解：∵AB∥CD，∴∠B=∠1.∵BF∥CE，∴∠C=∠2.∵∠1+∠2=180°，∴∠B+∠C=180°.即∠B与∠C互补.6.如图，已知AB∥CD，∠1=∠2，试探索∠BEF与∠EFC之间的关系，说明理由.解：∠BEF=∠EFC.理由如下：分别延长BE.DC相交于点G.∵AB∥CD，∴∠1=∠G（两直线平行，内错角相等）.∵∠1=∠2，∴∠2=∠G，∴BE∥FC.∴∠BEF=∠EFC（两直线平行，内错角相等）.【教学说明】通过练习及时巩固所学知识，进一步激发学生的探究兴趣，灵活运用所学知识解决一些数学问题.四、师生互动，课堂小结通过刚才的应用，大家能谈一谈今天学习的平行线的性质和上一节判定直线平行的条件有什么不同么？五、教学板书1.布置作业:教材习题2.6”中第1、2、3题.2.完成同步练习册中本课时的练习.在平行线的性质这一课时中，重点内容为平行线性质的探究及应用，所以在授课过程中应将着眼点放在学生对性质的理解上，并强化学生基于性质之上的应用，使学生掌握并进行实际应用.在挖掘概念的过程中提炼出内容的实质并注重知识的落实.【素材积累】1、2019年，文野31岁那年，买房后第二年，完成了人生中最重要的一次转变。

平行线的判定及性质课件

05
总结与展望
总结
01
02
03
04
05

直线平行的定义
直线平行的判定方法
直线平行的性质
平行线在实际生活中的应用
平行线在数学中的地位
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。
两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。
在几何图形中，平行线具有非常重要的应用价值，如矩形、菱形、正方形等都有平行线的性质。
平行线是数学几何学中的重要概念之一，是研究平面图形性质的基础之一。掌握平行线的判定方法和性质对于学习数学几何学非常重要。
展望
进一步探索平行线的性质
加强实际应用
除了已经学习的平行线的基本性质外，还有许多复杂的性质和定理，值得进一步探索和学习。
详细描述
在制造业中，机器人使用平行线来定位和移动物体，进行高效和精确的生产操作。例如，在汽车制造中，机器人通过使用平行线来定位和抓取车辆部件，以提高生产效率和质量。在医疗领域，手术机器人使用平行线来精确控制手术器械，提高手术的准确性和安
全性。
04
平行线在数学问题中的应用
代数中与平行线相关的知识点
在道路交通中，平行线是确保车辆安全行驶的重要标志。它们被用来划分车道、标识道路边缘以及引导驾驶员在正确的车道上行驶。在高速公路上，平行线被用来表示应急车道和车道分隔线，帮助驾驶员在紧急情况下做出正确的反应。
机器人在工作中的应用
总结词
机器人广泛应用于生产制造、医疗服务和军事等领域，平行线在机器人的工作中发挥着重要作用。