高中数学：角及三角函数

1. 角的概念的推广

（1）角的概念、正角、负角、零角的概念。在这些概念中要注意旋转的方向。

（2）象限角的概念，这个概念的前提是这个角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴非负半轴重合。在这个前提下，才能由终边所在象限来判定某角为第几象限角。在上述前提下，如果某角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任一象限。

①会表示象限角、区间角、终边相同的角及其它特殊角。

（3）终边相同角的统一记法，与角α终边相同的角的一般形式为α＋k·360°。要注意：①k∈Z；②α是任意角；③终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。终边相同的角有无限多个，它们相差360°的整数倍。

2. 弧度制

（1）把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度的角。这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制。

（2）弧度制的意义：首先是定义三角函数及绘制三角函数图象的需要，其次弧度数是实数，它把角集合与实数集合之间建立了一一对应关系，再次可简化弧长公式与扇形面积公式。

（3）角度制与弧度制的换算：180°＝πrad是角度与弧度换算公式的基础，这里π是圆周率，应注意π≠3.14，π≠1 rad。

3. 任意角的三角函数

（1）三角函数的概念：

设α是一个任意角，α的终边上任意一点P的坐标是（x，y），它与原点的距离为r，三个量的六种比值是：

这六种比值分别叫做α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。这种以角为自变量，以比值为函数值的函数，统称为三角函数。由于角α终边确定，由几何知识知，这六个比

值与P点在α终边上的位置无关。

（2）三角函数线

借助三角函数定义，可用单位圆中的有向线段MP，OM，AT等分别表示α角的正弦，余弦，正切。可见三角函数线是三角函数定义的形象表示。（注意课本上字母的确定位置。）（3）三角函数值以及符号

由于用角α终边上点的坐标来定义三角函数，因此，由点的坐标的符号，就可以决定α的六个三角函数值符号。

（4）终边相同的三角函数值

由三角函数的定义知：终边相同的角的同一三角函数值相同。即：

它可以把求任意角的三角函数值转化为求0°到360°之间角的三角函数值。

4. 同角三角函数基本关系式

（1）根据一个角的某一三角函数值求其它的三角函数值。需注意先用平方关系，后用商数关系，最后用倒数关系，关键注意符号问题。

（2）三角函数式的化简，注意化简的结果做到“五个尽量”，即①项数尽量少，②次数尽量低，③尽量不含分母，④尽量不带根号，⑤尽量化为数值。

（3）三角恒等式的证明，掌握常规的化弦法（即：切割化弦）以及由繁到简法等。5. 诱导公式

同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。

此外，我们还证明了诱导公式

对于α为任意角都能成立。

（1）［0°，360°］间的角用［0°，90°］间的角表示。

若0°≤α≤90°，则［90°，180°］间的角可表示为180°－α。

［180°，270°］间的角可表示为180°＋α，

［270°，360°］间的角可表示为360°－α。

6. 两角和与差的正弦、余弦、正切

（2）变换α与β的取值及运用公式与同角三角函数关系式得：

说明：（1）对于公式（*）初中要求α、β为锐角，事实上可以取任意角。

倍角公式：

它们的内在联系及其推导线索如下：

7. 三角函数的图象和性质

［要点1］用“五点法”作图。五个特殊点。

［要点2］正弦函数、余弦函数性质。研究函数性质通常从五个方面研究：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性。

（1）五点法画图（2）变换

9. 已知三角函数值求角

（1）反正弦概念

反正弦的定义

理解反正弦概念须注意以下几点：arcsina无意义。

（2）反余弦概念

反余弦的定义

理解反余弦定义须注意：

（3）反正切概念

（二）第五章

1. 向量既有大小又有方向，可用有向线段表示。

2. 零向量、单位向量、平行向量、共线向量。

3. 向量相等，相反向量。

向量减法：

5. 运算律（交换律）（加法）

7. 向量基本定理：

8. 向量坐标运算：

10. 平面向量数量积及运算律

运算律：

11. 数量积的坐标表示

12. 平移：

13. 正弦定理：

余弦定理：

【典型例题】

例1. 试求函数y＝sinx＋cosx＋2sinxcosx＋2的最大值和最小值。

解：

说明：本题主要通过换元将三角问题转化为代数问题。

例2.

解：

说明：本题关键是将sinαcosβ与cosαsinβ看成一个整体，通过解方程组而求解。例3.

解：

说明：

然后再求值。

例4.

（1）求f(x)的最小正周期。

（2）求f(x)取得最值时x 的值。 （3）求f(x)单调递增区间。 解：

())

62sin 454532cos 4

5

2sin 232cos 21432sin 232cos 121

⎪⎭⎫ ⎝

⎛

--+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-=+-+=

ππx x x x x x （或

例5.

解：

例6.

解：

例7. 如图在地面上有一旗杆OP，为了测得它的高h，在地面上选一基线AB，AB＝20m，在A点测得P点仰角∠OAP＝30°，在B点测得P点的仰角∠OBP＝45°，又测得∠AOB ＝60°，求旗杆的高度。

解：

在△AOB中，运用余弦定理：

答：旗杆的高度为20m。

【模拟试题】

一. 选择题。

1. （）

A. B. C. D.

2. 已知：，则D点坐标为（）

A. （10，4）

B. （10，-4）

C. （-10，4）

D. （-10，-4）

3. 已知，并且，则y值为（）