线面垂直与面面垂直垂直练习题

2.3线面垂直和面面垂直

线面垂直专题练习

一、定理填空：

1.直线和平面垂直

如果一条直线和 ，就说这条直线和这个平面垂直.

2.线面垂直判定定理和性质定理

线面垂直判定定理：

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. 判定定理1：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么 判定定理2：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么 . 线面垂直性质定理：

垂直于同一个平面的两条直线互相平行.

性质定理1：垂直于同一条直线的两个平面互相平行。

二、精选习题：

1.设M 表示平面，a 、b 表示直线，给出下列四个命题：

①M b M a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊥// ②b a M b M a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥ ③⇒⎭⎬⎫⊥⊥b a M a b ∥M ④⇒⎭

⎬⎫⊥b a M a //b ⊥M . 其中正确的命题是 ( )

A.①②

B.①②③

C.②③④

D.①②④

2.如图所示，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点.现在沿DE 、DF 及EF 把△ADE 、△CDF 和△BEF 折起，使A 、B 、C 三点重合，重合后的点记为P .那么，在四面体P —DEF 中，必有 ( )

A.DP ⊥平面PEF

B.DM ⊥平面PEF

C.PM ⊥平面DEF

D.PF ⊥平面DEF

3.设a 、b 是异面直线，下列命题正确的是 ( )

A.过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一条直线和a 、b 都相交

B.过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一个平面和a 、b 都垂直

C.过a 一定可以作一个平面与b 垂直

D.过a 一定可以作一个平面与b 平行

4.如果直线l ,m 与平面α,β,γ满足:l =β∩γ,l ∥α,m ⊂α和m ⊥γ,那么必有 ( )

A.α⊥γ且l ⊥m

B.α⊥γ且m ∥β

C.m ∥β且l ⊥m

D.α∥β且α⊥γ

5.有三个命题：

①垂直于同一个平面的两条直线平行；

②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直；

③异面直线a 、b 不垂直，那么过a 的任一个平面与b 都不垂直

其中正确命题的个数为 ( )A.0 B.1 C.2 D.3

6.设l 、m 为直线，α为平面，且l ⊥α，给出下列命题

① 若m ⊥α，则m ∥l ；②若m ⊥l ，则m ∥α；③若m ∥α，则m ⊥l ；④若m ∥l ，则m ⊥α，

第3题图

其中真命题

．．．的序号是( )

A.①②③

B.①②④

C.②③④

D.①③④

7.如图所示,三棱锥V-ABC中,AH⊥侧面VBC,且H是△VBC的垂心，BE是VC边上的高.

求证:VC⊥AB;

8.如图所示，P A⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.

(1)求证：MN∥平面P AD.

(2)求证：MN⊥CD.

(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.

9.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1，AA1=6，M是CC1的中点，求证：AB1⊥A1M．

10.如图所示，正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为a，M是AD的中点，N是BD′上一点，且D′N∶NB＝1∶2，MC与BD交于P.

(1)求证：NP⊥平面ABCD.

(2)求平面PNC与平面CC′D′D所成的角.

11.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面.

解：已知a∥b，a⊥α.求证：b⊥α.

12. 已知点P为平面ABC外一点，PA⊥BC，PC⊥AB，求证：PB⊥AC.

13.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.

14.如图，四面体A—BCD的棱长都相等，Q是AD的中点，求CQ与平面DBC所成的角的正弦值.

15.如图11(1)，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，

已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC.

(1)求证：D1C⊥AC1；

（2）设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，

并说明理由.

16.如图12，在正方体ABCD—A1B1C1D1，G为CC1的中点，

O为底面ABCD的中心.

求证：A1O⊥平面GBD.

17.如图，已知a、b是两条相互垂直的异面直线，线段AB与两异面直线a、b垂直且相交，线段AB的长为定值m，定长为n（n＞m）的线段PQ的两个端点分别在a、b上移动，M、N分别是AB、PQ的中点.

求证：（1）AB⊥MN；（2）MN的长是定值.

18.如图，已知在侧棱垂直于底面三棱柱ABC—A1B1C1中,

AC=3，AB=5，BC=4,AA1=4,点D是AB的中点.

（1）求证：AC⊥BC1;

（2）求证：AC1∥平面CDB1.

面面垂直专题练习

一、定理填空

面面垂直的判定定理： 面面垂直的性质定理：

二、精选习题

1、正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角后，AB 与CD 所成的角等于____________

2、三棱锥P ABC -的三条侧棱相等，则点P 在平面ABC 上的射影是△ABC 的____心.

3、一条直线与两个平面所成角相等，那么这两个平面的位置关系为______________

4、在正三棱锥中，相邻两面所成二面角的取值范围为___________________

5、已知l αβ--是直二面角，,,A B A B l αβ∈∈∉、，设直线AB 与α成30角，AB=2，B 到A 在l 上的射影N

，则AB 与β所成角为______________.

6、在直二面角βα--AB 棱AB 上取一点P ，过P 分别在βα,平面内作与棱成 45°角的斜线PC 、PD ，则∠CPD 的大小是_____________

7、正四面体中相邻两侧面所成的二面角的余弦值为___________________.

8. 如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 中. 求证：平面ACD 1 ⊥ 平面BB 1D 1D

10、如图，三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，求证：平面PAC ⊥平面PBC ．

11、如图，三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，平面PAC ⊥平面PBC ．问△ABC 是否为直角三角形，若是，请给出证明；若不是，请举出反例．

A

B

C P