《高等数学》高阶导数
高等数学理工类课件-高阶导数
用莱布尼兹公式求 n 阶导数
令பைடு நூலகம்
得
由
得
即
由
得
内容小结
(1) 逐阶求导法
(2) 利用归纳法
(3) 间接法
—— 利用已知的高阶导数公式
(4) 利用莱布尼兹公式
高阶导数的求法
如,
思考与练习
1. 如何求下列函数的 n 阶导数?
解:
解:
2. (填空题) (1) 设
则
提示:
各项均含因子 ( x – 2 )
设
求
其中 f 二阶可导.
备用题
规定 0 ! = 1
思考:
例7. 设
求
例8. 设
求
解:
一般地 ,
类似可证:
例9 . 设
解:
3.间接法 ——利用已知的高阶导数公式
常用的已知函数高阶导数公式：
例10 . 设
求
解:
例11 . 设
求
解:
例12.
求
解: 设
则
代入莱布尼兹公式 , 得
4.利用莱布尼兹公式
例13. 设
求
解:
(2) 已知
任意阶可导, 且
时
提示:
则当
3. 试从
导出
解：
同样可求
(见 P103 题4 )
作业 P103 1 (9) , (12) ; 3(2) ; 4 (2) ; 10 (2) , 11(2)
解:
二、高阶导数的求法
第三节
一、高阶导数的概念
高阶导数
第二章
一、高阶导数的概念
速度
即
加速度
即
引例：变速直线运动
高等数学隐函数求导高阶导数
一、隐函数求导简介d e f 变量 y 对变量x 的函数关系通过一个方程来给出()0,=y x F决定了一个关于x 的函数()x f y =，我们称它为由上述方程确定的隐函数。
例1： 122=+y x 0,11≥≤≤-y x ⇒21x y -= 11≤≤-x122=+y x 0,11≤≤≤-y x ⇒21x y --= 11≤≤-x例2： 12222=+by a x ⇒22x a a b y -±=()a x a ≤≤- 求导1、 求方程122=+y x 所确定隐函数的()x f y =导数.解 对方程进行微分022=+ydy xdx于是 ()yx dx dy x f -==' 可以利用21x y -=来验证2、 求方程0=--xy e e yx 所确定的隐函数()x f y =的导数. 解 对方程两端进行微分0=---xdy ydx dy e dx e y x于是 ()xe y e dx dy xf y x +-==' 二、高阶导数()x f 在区间I 上可导，则()x f '仍然是定义在I 上的函数，如果()x f '也在I 上可导，则称其导函数()()''x f 为()x f 的二阶导数，记为)(x f ''，表示方法还有,,22dx y d y ''22dx f d . 类似可以定义函数()x f y =的三阶、四阶以至n 阶导数.三阶导数皆为)(x f '''，四阶导数记为()()x f 4，n 阶导数记为()()x fn 或者分别记为()()n y y y ,,4'''，或者n n dx y d dx y d dx y d ,,4433，即()()()()()'=-x f x f n n 1或者⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--11n n n n dx y d dx d dx y d 例 设a x y =，求()n y解 1-='a ax y ，()()211---='=''a a x a a ax y …………()()()n a n x n a a a y -+--=11 m a =（整数），那么m n >时()0=n y例 设bx e y =求()n y解 bx be y ='，bx e b y 2='',, ()bx n n e b y =.例 设()x y +=1ln 求 ()n y解 x y +='11，()()21)1(11--+-='+=''x x y ,, ()()()()()()()()n n n n x n x n y +--=-+---=--1!1111211例 设x y sin =，求()n y .解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=='2sin cos πx x y ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-=''22sin sin πx x y ,, ()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2sin πn x y n Leibniz 公式()()[]()()()()()∑=-=n j j n j j n n x g x f C x g x f 0 条件是()()x g x f ,都有n 阶导数例 设x x y sin 2=，求()1998y解 ()()()()()()()xx x x x x x x x x y sin 3990006cos 3996sin sin 3990006sin 3996sin 219961997199821998++-=++=。
高等数学-§2.3 高阶导数
n
其中公式(2)称为莱布尼茨(Leibniz)公式.
高等数学 第2章 导数与微分
2.3 高阶导数
例2.3.7
y sin x cos x
4 4
2 2 2 2
, 求
y
n
.
解 将 y 变形得
y sin x cos x
1 cos 4 x 3 1 1 cos 4 x 4 4 4
2 2x 2 2 x x2 1 x 2x x2
y
y
2 1 x 2 x x 1 x
2
2x x2
2x x
2
2
2 x x 1 x 2x x
2
2 2x 2 2x x
2
高等数学 第2章 导数与微分
x
n
k
k n
高等数学 第2章 导数与微分
2.3 高阶导数
如果函数 u u x 和 v v x 在点 x 处具有 n 阶导数, 那么
u x v x 和 u x v x 在点 x 处也都具有
n 阶导数（ , 是常数）, 且
n
n 1 ! 1 n 1 x
n 1
通常规定 0! 1 , 因此这个公式当 n 1 时也成立.
高等数学 第2章 导数与微分
2.3 高阶导数
例2.3.6
解
求
yx
1
(
是任意常数)的 n 阶导数.
y 1 x 2
,
y x
y sin x cos( x ) sin( x 2 ) 2 2
高等数学2导数与微分3.
《高等数学》上册教案第二章导数与微分第二章导数与微分§3、高阶导数教学目的：熟练初等函数的求导方法，了解高阶导数的概念，会求简单的n阶导数教学重点：高阶导数的求法教学难点：高阶导数的归纳方法变速直线运动的质点的路程函数为s=s(t)，则速度为v(t)=s′(t)=lim加速度a(t)=lims(t+Δt)−s(t) Δt→0ΔtΔvv(t+Δt)−v(t)，即a(t)=v′(t)=[s′(t)]′。
=limΔt→0ΔtΔt→0Δt定义、设函数y=f(x)在点x的邻域内一阶导数f′(x)存在，如果极限Δx→0limf′(x+Δx)−f′(x) Δx存在，称函数y=f(x)在点x二阶可导，并称极限值为y=f(x)在点x的二阶导数，记d2yd⎛dy⎞d2f作：2=⎜⎟，2，f′′(x)或y′′ 。
dxdx⎝dx⎠dx同理，如果将二阶导数f′′(x)作为函数，可以定义出三阶导数：d3yf′′(x+Δx)−f′′(x)=lim 3Δx→0dxΔxd3yd⎛d2y⎞d3fdn−1y⎟，3，y′′′或f′′′(x)；一般利用函数y=f(x)的n−1阶导数n−1，记作：3=⎜2⎟⎜dxdxdx⎝dx⎠dxdnydnyf(n−1)(x+Δx)−f(n−1)(x)(n)可以定义出n阶导数：n=lim；并记为：y，n 等；称函数的Δx→0dxΔxdx二阶及其以上阶的导数为高阶导数。
通常记作：y′，y′′，y′′′，y(4)，y(5)，L,y(n),L。
d2s由此定义，质点的加速度可以写作：a(t)=s′′(t)=2。
dt例1．设函数y=sinx2，求y′′。
解：y′=2xcosx2，y′′=2xcosx2()′=2(cosx2+x−2xsinx2=2cosx2−4x2sinx2 ())《高等数学》上册教案第二章导数与微分例2．求函数y=ln(x++x2)的二阶导数。
解：y′=1x++x2⋅(1+12x2+x2=1+x32 −x122 y′′=(y′)′=( ′=−(1+x)⋅2x=−222+x(1+x)注：求二阶导数之前，应该将一阶导数作适当的化简、整理。
高等数学微积分第3章 第5节 高阶导数
(n)
( x0 )
y
(n) x x0
d y n dx
n
x x0
d f n dx
n
x x0
(4)求法
2至5阶,反复求导.
n阶导数,先求几阶再总结规律.
例1 设 y e sin x , 试证 y 2 y 2 y 0.
x
(e x sin x ) (e x ) sin x (sin x )e x 证 y
d2y x 1 t 例6 设 y cos t ,求 2 . dx sin t dy sint 解 2t 2t dx
2
d y d sin t d sin t dt ( ) ( ) 2 dx dx 2t dt 2t dx
2
cos t 2t 2 sint 1 2 4t 2t sint t cos t . 3 4t
y ( 1)( 2)( 3)(2 x 3)4 23
y
(n )
( 1) n !(2 x 3)
n
( n 1)
2
n
例4 求 y cos x 的n阶导数. 解 y sin x cos(x ) 2 y sin(x ) ( x ) cos( x 2 ) 2 2 2 y sin(x 2 ) ( x 2 ) 2 2
x x
2e cos x
x
代入得
y 2 y 2 y 0.
例2 求 y x (n为正整数)的n阶导数.
n
解
nx n1 y
y n( n 1) x
n 2
y n( n 1)( n 2) x
高等数学高阶导数
第二章
高阶导数
一、高阶导数的概念 二、几个常用函数的高阶导数 三、高阶导数的运算法则 四、隐函数的二阶导数 五、由参数方程确定的函数的二阶导数
一、高阶导数的概念
引例：变速直线运动 速度 加速度 即 即 v s
a ( s)
定义 如果函数f ( x )的导数f ( x )在点x处可导, 即 f ( x x ) f ( x ) ( f ( x )) lim x 0 x 存在, 则称( f ( x ))为函数f ( x )在点x处的二阶导数.
y (n) a n e ax
特别有: (e x ) ( n ) e x
f (n ) (0) 存在的最高 例6 设 f ( x) 3x x x , 求使
3 2
2 3 4x , x 0 f (x) 3 分析: 2x , x 0 2 x3 0 f (0) lim 0 12 x 2 , x x 0 f (x) 2 4 x3 0 6x , (0) lim f 0 x x 0 6x2 0 又 f (0) lim 24x , x x 0 f (x) 12x , 12 x 2 0 f (0) lim x x 0 但是 f (0) 12 , f (0) 24 , f (0) 不存在 .
若 为自然数 , y xn则 n
y
( n)
( x ) n! ,
n ( n)
y ( n 1) ( n! ) 0.
注意:求n阶导数时,求出1-3或4阶后, 分析结果的 规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明) 1 例2 设 y , 求y ( n) . xa n (1) n! ( n) 1 1 y . 解 ( x a) , n1 xa ( x a) 例3 设 y ln(1 x ), 求y (n) . 1 1 y 解 y 1 x (1 x ) 2 2! 3! (4) y y 3 (1 x ) (1 x ) 4 (n) n 1 ( n 1)! y ( 1) ( n 1, 0! 1) n (1 x )
高等数学二高阶偏导数及泰勒公式
高等数学二高阶偏导数及泰勒公式一、高阶偏导数对于函数f(x,y)的一阶偏导数来说，我们可以通过对x或y求导得到，分别记作∂f/∂x和∂f/∂y。
同样，我们可以对一阶偏导数再进行求导，得到二阶偏导数，记作∂^2f/∂x^2、∂^2f/∂x∂y和∂^2f/∂y^2，其中∂^2f/∂x^2表示先对x求导，再对x求导的结果，∂^2f/∂x∂y表示先对x求导，再对y 求导的结果。
类似地，我们可以继续进行求导的过程，得到高阶偏导数，如三阶偏导数、四阶偏导数等。
对于常用的高阶偏导数，我们可以通过迭代的方式求得。
例如，对于三阶偏导数∂^3f/∂x^3，我们可以先对x求一阶导数，再对x求一阶导数，再对x求一阶导数，即∂^3f/∂x^3=(∂/∂x)^3f(x)。
同样，我们也可以得到一些特殊的高阶偏导数，如混合偏导数∂^3f/∂x^2∂y，表示先对x求两阶导数，再对y求一阶导数。
高阶偏导数在数学物理学、工程数学等领域中有广泛的应用。
通过求取高阶偏导数，我们可以获得函数在其中一点的更精确的变化率信息，进而可以研究函数的特性、求解极值问题等。
二、泰勒公式泰勒公式是一种用多项式逼近函数的方法，通过将函数在其中一点的函数值和各阶导数的值带入多项式中得到。
泰勒公式主要有两种形式，即拉格朗日余项和佩亚诺余项。
1.拉格朗日余项形式设函数f(x)具有n+1阶导数，且在区间[a,b]上具有n+1阶连续导数，则对于该区间上的任意点x，存在一点ξ(x)在a和x之间，使得f(x)可以用泰勒公式表示为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+R_n(x)其中R_n(x)为拉格朗日余项，具体形式为R_n(x)=f^(n+1)(ξ(x))(x-a)^(n+1)/(n+1)!，其中f^(n+1)(ξ(x))为函数f(x)在点ξ(x)处的(n+1)阶导数。
高等数学第二章高阶导数
高阶导数的定义 几个基本初等函数的n阶导数 莱布尼茨(Leibniz)公式 小结 思考题 作业
1
第二章 导数与微分
一、高阶导数的定义 高阶导数也是由实
问题:变速直线运动的加速度. 际需要而引入的.
设 s s(t), 则瞬时速度为v(t) s(t)
加速度a是 速度v对时间t的变化率
y
x2
1 3x
2
令
1
AB
(x 2)(x 1) x 2 x 1
A (x 2) 原式
1
x2
B (x 1) 原式
1
x 1
y 1 1
x 2 x 1
y(n)
(1)n
n!
( x
1 2)n1
(x
1
1)
n1
18
(4) y sin6 x cos 6 x
d2 y 或 d2 y d (dy) dx2 d x 2 d x dx
2
二阶导数的导数称为三阶导数, f ( x),
y,
d3 y dx 3
.
三阶导数的导数称为四阶导数, f (4)( x),
y(4) ,
d4 y dx4 .
一般地, 函数f ( x)的n 1阶导数的导数称为
函数f ( x)的n阶导数,记作
2)n
cos
x2
16
,
则
f (n) (2)
n!
2 2
提示:
各项均含因
(x 2)n(x 1)n cos x2 子 ( x – 2 )
16
n !(x 1)n cos x2
高等数学：第十二讲 高阶导数
2
2
2
y(n) 3n sin(3x n )
2
归纳法:逐阶求出若干阶导数后,再归纳出 n 阶导数的一般表达式.
谢谢
仍是x的可导函数, 就称 y f (x) 的导数为 f (x)的二阶导数，记作
y，f
(x)
或
d2 y d x2
,
则
y
( y)，
f
(x)
f
(
x)，d
d
2y x2
d dx
(dy) dx
高阶导数的定义
二阶导数的导数称为三阶导数,记作
f (x),
y, d3 y . dx3
三阶导数的导数称为四阶导数,记作
f
(4)
( x),
y
(4)
,
d4 y dx 4
.
一般地,(n-1)阶导数的导数叫做n阶导数，记作
f
(n)
( x),
y
(n)
,
dn y dx n
.
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
例1：
已知y=2x4-3x2+x-1 ，求 y.
解 y=8x3-6x+1 y =(8x3-6x+1)'=24x2-6 y=(24x2-6)'=48x
逐阶求导法: 按高阶导数的定义逐阶求导.
例2：
设y=sin3x，求y(n).
cosx sin(x )
2
解 y 3cos3x 3sin(3x )
y [3sincos(3x
)
32
sin(3x
2)
2
2
2
y [32 sin(3x 2)] 33 cos(3x 2) 33 sin(3x 3)
《高等数学》(同济六版)教学★
平行 ? 写出其切线方程.
解:
令
得
相应
则在点(1,1) , (–1,–1) 处与直线
平行旳切线方程分别为
即
故在原点 (0 , 0) 有铅直切线
四、 函数旳可导性与连续性旳关系
定理1.
证:
设
在点 x 处可导,
存在 ,
所以必有
其中
故
所以函数
在点 x 连续 .
注意: 函数在点 x 连续，但在该点未必可导.
证明中利用了两个主要极限
初等函数求导问题
本节内容
一、四则运算求导法则
定理1.
旳和、
差、
积、
商 (除分母
为 0旳点外) 都在点 x 可导,
且
下面分三部分加以证明,
并同步给出相应旳推论和
例题 .
此法则可推广到任意有限项旳情形.
证: 设
则
故结论成立.
例如,
(2)
证: 设
则有
故结论成立.
推论:
( C为常数 )
反例:
在 x = 0 处连续 , 但不可导.
即
在点
旳某个右 邻域内
五、 单侧导数
若极限
则称此极限值为
记作
即
(左)
(左)
例如,
在 x = 0 处有
定义2 . 设函数
有定义,
存在,
定理2. 函数
在点
且
简写为
定理3. 函数
(左)
(左)
若函数
与
都存在 ,
则称
显然:
在闭区间 [a , b] 上可导
可导, 且
则
时, 有
高等数学 第二章 极限和导数2-12高阶导数
(2) 若函数 y = f (x) 的导数 y′ = f ′(x) 在区间 b) 在区间(a, 上可导, 上可导 则称 记作 或 的导数为 f (x)的二阶导 函)数 , 二阶导(函 数 d2 y d dy ( ) = 即 y′′ = ( y′)′ 或 2 d x dx dx
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 依次类推 , n −1阶导数的导数称为 n 阶导数 , 分别记作
三、高阶导数的运算法则
设函数 及 都有 n 阶导数 , 则 (C为常数 为常数) 为常数
n(n −1) 2! n(n −1)L n − k + 1) ( +L+ k!
(u(0) = u， (0) = v) v
—— 莱布尼茨 莱布尼茨(Leibniz) 公式
(uv)′ = u′v + uv′
(uv)′′= (u′v + uv′)′ = u′′v +2 u′v′+ uv′′
(n) n)
= sin( x + n⋅ π );
2
n) (cos x)(n) = cos( x + n⋅ π ) 2
(a )
x (n)
= a ln a;
x n
4. 利用莱布尼兹公式 5. 求由参数方程确定的函数的高阶导数时 从 求由参数方程确定的函数的高阶导数时, 低到高每次都用参数方程求导公式. 低到高每次都用参数方程求导公式
1 (n) n! ( ) = 其中a为常数 其中 为常数) n+1 (其中 为常数 a− x (a − x)
3. 利用已知高阶导数法 常用高阶导数公式： 常用高阶导数公式：
(e x )(n) = ex (1) (ax )(n) = ax ⋅ lnn a (a > 0) π (n) n (2) (sin kx) = k sin(kx + n⋅ ) 2 π (n) n (3) (cos kx) = k cos(kx + n⋅ ) 2 (4) ( xα )(n) = α(α −1)L α − n+1)xα−n (
高等数学(第四版) 上、下册(同济大学 天津大学等编) 电子教案-2_5 高阶导数-电子课件
(x 1)(n 1, 2,...).
注 0! 1,因此，这个结果n 1 时也成立.
例5
求函数 f (x)
1 x2 6x 5
(x 1,5)的 n 阶导数.
解
f
(x)
x2
1 6x 5
1 (x 1)(x 5)
1 4
1 x 5
1 x 1
f
( x)
1 4
(x
1 5)2
1 (x 1)2
例如，自由落体的位置函数 s(t) 1 gt2 ，一阶导数 2
v(t) s(t) gt 是瞬时速度， Biblioteka (t) (gt) g 是加速度 .
例 1 设 f (x) x5 4x2 3x, 求 f (x)及 f (1).
解 因为 f (x) 5x4 8x 3, 则 f (x) (5x4 8x 3) 20x3 8
所以 f (1) (20x3 8) |x1 12.
例 2 证明： y exsinx满足关系式 y 2 y 2 y 0.
证明 因为 y exsinx excosx ex (sinx cosx),
y ex sin x cos x ex cos x sin x 2ex sin x
一般地， f (x)的 n-1 阶导数的导数称为 f (x) 的 n 阶导数.
三阶导数的记号是
y,
f
( x),
d3 y dx3
或d3 f dx3
.
n
4时的
n
阶导数
的记号是
y(n) ,
f
(n) (x),
dn y dxn
或dn f dxn
.二阶或二阶以上的导数统
称为高阶导数.
二阶导数有明显的物理意义.变速直线运动的位置函 数s s(t)时，s(t)为瞬时速度v(t)，加速度是速度v(t)的变 化率，等于v(t) ，即位置函数 s(t)的二阶导数 s(t)为变速 直线运动的加速度 a(t ).
高等数学导数公式大全
高等数学导数公式大全一、基本导数公式1. 设常数a为导数常数，则有：（1）导数为零：d(ax)/dx = 0（2）导数为常数：d(ax)/dx = a2. 幂函数导数：（1）常数的幂函数导数：d(x^n)/dx = nx^(n-1)，其中n为正整数（2）自然指数函数的导数：d(e^x)/dx = e^x（3）指数函数的导数：d(a^x)/dx = ln(a)*a^x，其中a>0且a≠1（4）对数函数的导数：d(logₐx)/dx = 1/(xlna)，其中a>0且a≠1 3. 三角函数导数：（1）正弦函数的导数：d(sin x)/dx = cos x（2）余弦函数的导数：d(cos x)/dx = -sin x（3）正切函数的导数：d(tan x)/dx = sec^2 x（4）余切函数的导数：d(cot x)/dx = -csc^2 x（5）正割函数的导数：d(sec x)/dx = sec x * tan x（6）余割函数的导数：d(csc x)/dx = -csc x * cot x4. 反三角函数导数：（1）反正弦函数的导数：d(arcsin x)/dx = 1/√(1-x²)，(-1≤x≤1)（2）反余弦函数的导数：d(arccos x)/dx = -1/√(1-x²)，(-1≤x≤1)（3）反正切函数的导数：d(arctan x)/dx = 1/(1+x²)（4）反余切函数的导数：d(arccot x)/dx = -1/(1+x²)（5）反正割函数的导数：d(arcsec x)/dx = 1/(x√(x²-1))，(x>1或x<-1)（6）反余割函数的导数：d(arccsc x)/dx = -1/(x√(x²-1))，(x>1或x<-1)二、导数运算法则1. 基本导数运算法则：（1）和差法则：d(u±v)/dx = du/dx ± dv/dx（2）常数倍法则：d(cu)/dx = c * du/dx，其中c为常数（3）乘积法则：d(uv)/dx = u * dv/dx + v * du/dx（4）商法则：d(u/v)/dx = (v * du/dx - u * dv/dx) / v²，其中v≠02. 复合函数的导数：若y=f(u)和u=g(x)是可导函数，则有：d(f(g(x)))/dx = d(f(u))/du * d(g(x))/dx3. 反函数的导数：若y=f(x)的反函数为x=g(y)，则有：d(g(y))/dy = 1 / d(f(x))/dx，其中d(f(x))/dx≠0三、高级导数公式1. 高阶导数：（1）二阶导数：d²y/dx² = d(dy/dx)/dx（2）三阶导数：d³y/dx³ = d(d²y/dx²)/dx = d²(dy/dx)/dx²2. 高阶导数公式：（1）幂函数的n阶导数：d^n(x^m)/dx^n = (m)(m-1)(m-2)...(m-n+1)x^(m-n)（2）指数函数的n阶导数：d^n(e^x)/dx^n = e^x（3）对数函数的n阶导数：d^n(logₐx)/dx^n = (-1)^(n-1)(n-1)!/x^n四、隐函数求导公式设x和y是关于变量t的函数，则有：dy/dx = dy/dt / dx/dt例如，对于方程x^2 + y^2 = R^2，其中R为常数，可得：dy/dx = -x/y以上是高等数学导数公式的大全，涵盖了基本导数公式、导数运算法则、高级导数公式和隐函数求导公式。
高等数学 第三章 第3节 高阶导数(中央财经大学)
n −k ′ ) = n ( n − 1)( n − 2) ⋯ ( n − k + 1) x
(1 ≤ k ≤ n )
注意, 当 k = n 时
( x n ) ( n ) = n (n − 1) (n − 2) ⋯ 3 ⋅ 2 ⋅1 = n ! 从而, 当 k ≥ n + 1 时, ( x n ) ( k ) = 0 .
d f ( x) d d f ( x) = , n n−1 dx dx dx
n−1
一个函数的导函数不一定再可导 , 也不一定连 续. 如果函数 f ( x) 在区间 I 上有直到 n 阶的导数
f (n)(x) , 且 f (n)( x) 仍是连续的 (此时低于 n 阶的导
数均连续 ), 则称 f (x) 在区间 I 上 n 阶连续可导, 记为 f ( x ) ∈ C n ( I ) 或 f ( x ) ∈ C n . 如果 f (x) 在区间 I 上的任意阶的高阶导数均存 在且连续, 则称函数 f (x) 是无穷次连续可导的, 记为
x (n)
x 的任何阶导数仍为 ex y = ex
=e
x
(n ∈ N )
例
求 y = ax 的各阶导数 .
解
y ' = a ln a
x x 2 ′ ′ ′ y ' ' = ( y ) = (a ln a ) = a (ln a )
x
⋯⋯⋯
y ( k ) = a x (ln a ) k
运用数学归纳法可得 (a )
π 79π 1 = C x sin ( x + 80 ⋅ ) + C80 ( 2 x ) sin ( x + ) 2 2 π 2 + C80 ⋅ 2 ⋅ sin ( x + 78 ⋅ ) 2
高等数学-参数方程求导与高阶导数
本节内容
01 参数方程求导
02 高阶导数
7
02 高阶导数
1.二阶导数、三阶导数
定义2.4 一般地，如果函数 = ()的导数 ′ ()在
点处可导，那么称 ′ ()在点的导数为函数()在点
处的二阶导数，记作
″ (),
″
或
2
.
2
类似地，二阶导数 ″ () 的导数称为 = () 的三阶导数，
′ () ≠ 0， = ()具有单调连续的反函数 = −1 ()，
则参数方程确定的函数可以看成由 = ()与 = −1 ()
复合而成的函数，根据复合函数与反函数的求导法则，有
′ ()
.
=
⋅
= = ′
()
‴ = (−1)(−2)(−3)(1 + )−4 ，
(4) = (−1)(−2)(−3)(−4)(1 + )−5 ，
⋯，
()
= (−1) ∙ ! ∙ (1 + )
−(+1)
=
(−1) !
.
(1+)+1
11
4
01 参数方程求导
=
例1 已知椭圆的参数方程为 = ，求其在 = 6
处的切线方程．
解
当 =
时，椭圆上相应点的坐标是
6
即
3
,
2
2
．
由于
=
( )′
( )′
=
−
=
,
6
高等数学A第2章11-3(高阶导数隐函数求导法则)精品PPT课件
二、简单函数高阶导数的习例 例1.设f(x)xn,求各阶导. 函数 例 2 .设 yax,求 y(n ). 例 3 .设 f(x ) cx o ,求 s f(n )(x ). 例 4 . 设 y f (x l ) 且 n , f ( u ) 可 ,求 y .导 例5.由ddxyy1,求dd2yx2.
叫y做 f(x)的二.阶导数 记 :y为 或 f(x )或 d d 22 yx 或 d2 d f(2 x x ).
即 f(x )lim f(x x )f(x ).
x 0
x
记号与求导过程: d d22 yxd dxd dx yd d(dx)y dd dx 22 yx.
类似地，y=f(x)的二阶导数的导数叫做三阶导数. 记为 f(x),y,dd3x3y.
内容小结
课堂思考与练习
一、 高阶导数的定义与记号 问题:变速直线运动的加速度.
设sf(t), 则瞬时速 v(t)度 f(为 t) 加速 a是度 速 v对度 时 t的间 变化率 a ( t ) v ( t ) [ f ( t ) ] .
定义: 若 yf(x)的导 yf数 (x)在 x处可 ,这导 个
解：设 uco x,v sx2,则
u (k)co x sk 2 (k1, 2 ,2 , 0)
v 2 x ,v 2 ,v ( k ) 0( k 3 ,4 , ,2 )0
y ( 2 ) 0 u ( 2 ) v 0 C 2 1 u ( 1 0 ) v 9 C 2 2 u ( 1 0 ) v 8
f(x)sinx2 c ox s 2 2 c ox s2 2
f(x)sinx22cosx32
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500
x
已知 dx 100m min , x 500 m, 求 d .
dt
dt
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内容小结
1. 隐函数求导法则
直接对方程两边求导
2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数
3. 参数方程求导法 转化 极坐标方程求导
求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式
依次类推 , 可得
y(n) n!an
思考: 设 y x ( 为任意常数), 问
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例2. 设 y eax , 求 y(n).
解: y aeax , y a2 eax , y a3eax , ,
y(n) aneax
特别有: (ex )(n) e x
例3. 设
( rad/ min )
d t 2 500
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思考题: 当气球升至500 m 时停住 , 有一观测者以 100 m／min 的速率向气球出发点走来,当距离为500 m 时, 仰角的增加率是多少 ?
提示: tan 500
x
对 t 求导
sec2
d
dt
500 求二阶导数 .
x (t)
利用新的参数方程 dy (t) ,可得 dx (t)
d2 y d x2
d (dy) dx dx
d (dy) d t dx
dx dt
(t)(t) (t)(t)
2 (t)
(t )
(t
)
(t) (t 3 (t )
)
(t
)
yx xy x 3
4. 相关变化率问题 列出依赖于 t 的相关变量关系式
对 t 求导
相关变化率之间的关系式
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作业
P100：1（7）（9）（11），3，10，11双 P108：1单，3（3）（4），4双，6，7（2）， 8（4），11，12
第三节
第二章
高阶导数
一、高阶导数的概念 二、高阶导数的运算法则
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一、高阶导数的概念
引例：变速直线运动 速度
即 v s
加速度
即
a (s)
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定义. 若函数 y f (x) 的导数 y f (x) 可导,则称
的导数为 f (x) 的二阶导数 , 记作 或
求
y 1 1 x
y
1 (1 x)2
解:
y 1 , 1 x
y
(1
1 x)2
,
y
(1)2
1 2 (1 x)3
,
,
y(n)
(1)n1
(n 1)!
(1 x)n
规定 0 ! = 1
思考:
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例4. 设
求
解:
y
cos x
sin(
x
2
)
y
cos( x
2
)
sin(x
2
2
)
sin(x
两边对 x 求导
(含导数 y的方程)
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例1. 设曲线
由方程
确定 , 求
以及过x=0处的切线和法线方程。
解: 方程两边对 x 求导, 得
ey y y x y 0
①
再求导, 得
e y y2 (e y x) y 2 y 0
②
当 x 0 时, y 1, 故由 ① 得
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注意 : 已知
?
例4. 设
x f (t) y t f (t)
f
(t)
,
且
f
(t)
0,求
d2 dx
y
2
.
解:
d y dx
t f (t) f (t)
t,
d2 y d x2
1
f (t)
例5.
求
d2 dx
y
2
.
解:
dy 1; dx t
d2 y d x2
1 t2
t
(1) y 1 x 1 x
y(n)
2 (1)n
n! (1 x)n1
(2) y x3 1 x
y(n)
(1
n! x)n1
,
n3
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(3)
y
x2
1 3x
2
y(n)
(1)n n!
( x
1 2)n1
(x
1
1)
n1
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第四节
第二章
隐函数和参数方程求导
视线的仰角增加率是多少?
解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 ,
则 tan h
500
h
两边对 t 求导
500
sec2 d 1 d h
d t 500 dt
sec2 1 tan2
已知 d h 140m min , h = 500m 时, tan 1 ,sec2 2 ,
d t d 1 1 140
推导 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
高阶导数的求法
(1) 逐阶求导法
(2) 利用归纳法
(3) 间接法 —— 利用已知的高阶导数公式
如,
1 a
x
(n)
(1)n
(a
n! x)n1
a
1
x
(n)
(a
n! x)n1
(4) 利用莱布尼兹公式
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思考与练习
1. 如何求下列函数的 n 阶导数?
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .
例如, 两边取对数
ln y x ln a a[ ln b ln x ] b[ ln x ln a ] b
又如, y (x 1)(x 2)
(x 3)(x 4)
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二、由参数方程确定的函数的导数
若参数方程
可确定一个 y 与 x 之间的函数
相关变化率
一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率
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一、隐函数的导数
若由方程
可确定 y 是 x 的函数 , 则称此
函数为隐函数 .
由
表示的函数 , 称为显函数 .
例如,
可确定显函数
可确定 y 是 x 的函数 ,
隐函数求导方法:
但此隐函数不能显化 .
即
y ( y)
或
d2 y d x2
d (dy) d x dx
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 依次类推 ,
n 1 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 分别记作
或
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例1.设
求
解: y a1 2a2 x 3a3x2 nan xn1 y 2 1a2 3 2a3x n(n 1)an xn2
再代入 ② 得
y(0) 1
e
y(0)
1 e2
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例2. 求
的导数 .
解: 两边取对数 , 化为隐式
两边对 x 求导
1 y
y cos x ln x
sin x x
y xsin x(cos x ln x sin x ) x
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关系,
可导, 且
则
(t) 0时, 有
dy dx
dy dt d t dx
dy dt
1 dx
(t) (t )
(t) 0时, 有
dt
dx dx d t dy dt dy
dx dt
1 dy
(t) (t)
(此时看成 x 是 y 的函数 ) d t
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若上述参数方程中
2
2
)
y
cos( x
2
2
)
sin(x
3
2
)
一般地 ,
(sin
x)(n)
sin( x
n
2
)
类似可证:
(cos
x)(n)
cos( x
n
2
)
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二、高阶导数的运算法则
设函数
及
都有 n 阶导数 , 则
(C为常数) n(n 1) 2!
n(n 1)(n k 1) k!
莱布尼兹(Leibniz) 公式
1 t3
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三、相关变化率
为两可导函数
之间有联系
之间也有联系
相关变化率问题解法:
称为相关变化率
找出相关变量的关系式
对 t 求导
得相关变化率之间的关系式
求出未知的相关变化率
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例6. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,
其速率为 140 m min , 当气球高度为 500 m 时, 观察员