《高等数学》高阶导数

视线的仰角增加率是多少?
解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 ,
则 tan h
500
h
两边对 t 求导
500
sec2 d 1 d h
d t 500 dt
sec2 1 tan2
已知 d h 140m min , h = 500m 时, tan 1 ,sec2 2 ,
d t d 1 1 140
(1) y 1 x 1 x
y(n)
2 (1)n
n! (1 x)n1
(2) y x3 1 x
y(n)
(1
n! x)n1
,
n3
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(3)
y
x2
1 3x
2
y(n)
(1)n n!
( x
1 2)n1
(x
1
1)
n1
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第四节
第二章
隐函数和参数方程求导
( rad/ min )
d t 2 500
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思考题: 当气球升至500 m 时停住 , 有一观测者以 100 m／min 的速率向气球出发点走来,当距离为500 m 时, 仰角的增加率是多少 ?
提示: tan 500
x
对 t 求导
sec2
d
dt
500 x2
dx dt
两边对 x 求导
(含导数 y的方程)
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例1. 设曲线
由方程
确定 , 求
以及过x=0处的切线和法线方程。
解: 方程两边对 x 求导, 得
ey y y x y 0
①
再求导, 得
e y y2 (e y x) y 2 y 0
②
当 x 0 时, y 1, 故由 ① 得
求
y 1 1 x
y
1 (1 x)2
解:
y百度文库 1 , 1 x
y
(1
1 x)2
,
y
(1)2
1 2 (1 x)3
,
,
y(n)
(1)n1
(n 1)!
(1 x)n
规定 0 ! = 1
思考:
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例4. 设
求
解:
y
cos x
sin(
x
2
)
y
cos( x
2
)
sin(x
2
2
)
sin(x
相关变化率
一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率
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一、隐函数的导数
若由方程
可确定 y 是 x 的函数 , 则称此
函数为隐函数 .
由
表示的函数 , 称为显函数 .
例如,
可确定显函数
可确定 y 是 x 的函数 ,
隐函数求导方法:
但此隐函数不能显化 .
关系,
可导, 且
则
(t) 0时, 有
dy dx
dy dt d t dx
dy dt
1 dx
(t) (t )
(t) 0时, 有
dt
dx dx d t dy dt dy
dx dt
1 dy
(t) (t)
(此时看成 x 是 y 的函数 ) d t
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若上述参数方程中
推导 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
高阶导数的求法
(1) 逐阶求导法
(2) 利用归纳法
(3) 间接法 —— 利用已知的高阶导数公式
如,
1 a
x
(n)
(1)n
(a
n! x)n1
a
1
x
(n)
(a
n! x)n1
(4) 利用莱布尼兹公式
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思考与练习
1. 如何求下列函数的 n 阶导数?
500
x
已知 dx 100m min , x 500 m, 求 d .
dt
dt
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内容小结
1. 隐函数求导法则
直接对方程两边求导
2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数
3. 参数方程求导法 转化 极坐标方程求导
求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式
第三节
第二章
高阶导数
一、高阶导数的概念 二、高阶导数的运算法则
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一、高阶导数的概念
引例：变速直线运动 速度
即 v s
加速度
即
a (s)
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定义. 若函数 y f (x) 的导数 y f (x) 可导,则称
的导数为 f (x) 的二阶导数 , 记作 或
二阶可导, 且
则由它确定的函数
可求二阶导数 .
x (t)
利用新的参数方程 dy (t) ,可得 dx (t)
d2 y d x2
d (dy) dx dx
d (dy) d t dx
dx dt
(t)(t) (t)(t)
2 (t)
(t )
(t
)
(t) (t 3 (t )
)
(t
)
yx xy x 3
2
2
)
y
cos( x
2
2
)
sin(x
3
2
)
一般地 ,
(sin
x)(n)
sin( x
n
2
)
类似可证:
(cos
x)(n)
cos( x
n
2
)
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二、高阶导数的运算法则
设函数
及
都有 n 阶导数 , 则
(C为常数) n(n 1) 2!
n(n 1)(n k 1) k!
莱布尼兹(Leibniz) 公式
再代入 ② 得
y(0) 1
e
y(0)
1 e2
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例2. 求
的导数 .
解: 两边取对数 , 化为隐式
两边对 x 求导
1 y
y cos x ln x
sin x x
y xsin x(cos x ln x sin x ) x
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即
y ( y)
或
d2 y d x2
d (dy) d x dx
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 依次类推 ,
n 1 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 分别记作
或
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例1.设
求
解: y a1 2a2 x 3a3x2 nan xn1 y 2 1a2 3 2a3x n(n 1)an xn2
1 t3
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三、相关变化率
为两可导函数
之间有联系
之间也有联系
相关变化率问题解法:
称为相关变化率
找出相关变量的关系式
对 t 求导
得相关变化率之间的关系式
求出未知的相关变化率
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例6. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,
其速率为 140 m min , 当气球高度为 500 m 时, 观察员
4. 相关变化率问题 列出依赖于 t 的相关变量关系式
对 t 求导
相关变化率之间的关系式
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作业
P100：1（7）（9）（11），3，10，11双 P108：1单，3（3）（4），4双，6，7（2）， 8（4），11，12
依次类推 , 可得
y(n) n!an
思考: 设 y x ( 为任意常数), 问
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例2. 设 y eax , 求 y(n).
解: y aeax , y a2 eax , y a3eax , ,
y(n) aneax
特别有: (ex )(n) e x
例3. 设
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注意 : 已知
?
例4. 设
x f (t) y t f (t)
f
(t)
,
且
f
(t)
0,求
d2 dx
y
2
.
解:
d y dx
t f (t) f (t)
t,
d2 y d x2
1
f (t)
例5.
求
d2 dx
y
2
.
解:
dy 1; dx t
d2 y d x2
1 t2
t
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .
例如, 两边取对数
ln y x ln a a[ ln b ln x ] b[ ln x ln a ] b
又如, y (x 1)(x 2)
(x 3)(x 4)
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二、由参数方程确定的函数的导数
若参数方程
可确定一个 y 与 x 之间的函数