复变函数论文完整版

摘要:在自动控制原理中,应用比较多的一种数学模型是频率特性,频率特性是系统频率响应与正弦输入信号之间的关系,频率特性虽然是一种稳态特性,但它不仅反映系统稳态性能,而且还可以用来研究系统稳态性和暂态性能。

在实际应用中,求解正弦信号稳态响应时,用解析方法求解往往十分复杂,对于高阶系统就更加困难,因此常常在频域分析中把输出的稳态响应和输入的正弦信号用复数表示,可化为实频和虚频特性并且利用图解分析法,从复数的角度更容易理解和计算。

关键词:复数,时域，频域，频率特性,自动控制,实频,虚频,稳态特性
在自动控制中，分析系统首先要建立数学模型,然后采用各种方法对系统进行分析,由于多数控制系统是以时间作为独立变量,所以往往用时间域的分析方法,即用解析方法求解系统的稳态响应,虽然用解析的方法不难求出线性定常量一、二阶系统的稳态响应,但是如果遇到高阶系统用求解的方法就会十分复杂。

随着科学和技术的发展,复数理论已越来越显示出它的作用,它不仅对于数学本身的发展有着极其重要的意义,而且在解决系统分析中,系统常常通过从实域变换到频域中研究频率特性起到重要作用。

在复变函数中,复数是指能写成如下形式的数a+bi,这里a和b是实数,i是虚数单位,复数有多种表示方法,诸如向量表示,三角表示,指数表示等,欧拉在1748年发现了关系式后,并且第一次用i来表示-1的平方根,首创了用符号i作为虚数的单位,虚数实际上不是想象出来的,而它是确实存在的,德国数学家在1806年公布了虚数的图象表示法,即所有实数都能用一条数轴表示,同样虚数也能用一个平面上的点来表示,这就是复数的复平面特性,在直角坐标系中,横轴上取对应实数a的点A,纵轴上取对应实数b的点B,并且这两点引平行于坐标轴的直线,它们的交点c就表示复数a+bi ,复数z=a+bi(a,b=R)与有序实数对(a,b)是一一对应的关系,这是因为对于任何一个复数z=a+bi由复数相等定义可知,可以有一个有序实数对(a,b)唯一确定,如z=3+2i可以由有序实数对(3,2)确定,又如z=-2+i可以由有序实数对(-2,1)来确定,又因为有序实
数对(a,b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的,由此可知,复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系,点z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi可以用点z(a,b)表示,这个建立直角坐标系来表示的平面就是复平面。

在线性系统的频域分析中，人们常常借助于在通信领域中发展起来的频域分析法，在通信系统中，较常见的信号是正弦信号，在正弦输入信号的作用下，系统输出的稳态分量称为频率响应，系统频率响应与正弦输入信号之间的关系称为频率特性，在研究稳态响应时若把输出的稳态响应与输入的正弦信号用复数表示，并求它们的复数比，就可以得到频率特性G(jw)。

从理论上讲在时域中很难求的问题如果利用复数在频率的角度理解会更加容易。

在自动控制中,一个物理系统是由许多元件组合而成，虽然各种元件的具体结构和作用原理是多种多样的，但若不考虑其具体结构和物理特点，研究其运动规律和数学模型，就可以分为不同的环节去处理，各环节的数学模型也在一定理想条件下得到。

通常在对RC电路求传递函数时,需要建立数学模型，往往从时域解析方法求解,比如如图所示RC电路：
图（1）所示RC电路
当输出阻抗足够大时,可以列出如下方程:
u1=Ri+u2 (1)
u2=1/C ∫id(t/c ) (2)
从两式中消去中间变量之后可得
t*d/dt u2+u2=u1 (3)
对(3)式进行拉普拉斯变换,可以求出此电路的传递函数
U2(s)/U1(s)=1/（ts+1） (4)
所求系统为一阶系统，此式表示：一节系统的单位阶跃响应的图形将是一条单调上升的指数曲线。

当t=2时，此惯性环节的单位阶跃响应曲线如图（2）所示：
00.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Step Response
Time (sec)A m p l i t u d e
图（2）单位阶跃响应曲线 通过图形分析这种指数曲线的特点是：在t=0处时，曲线的斜率最大，时间常数t 反映了系统响应速度，时间常数t 越小，则响应速度越快，所以以上分析中决定一阶系统性能的是它的唯一参量t 。

通常情况下，实际系统往往不是一阶或二阶的，而是高于二阶的，高阶系统的的传递函数一般可写成如下形式：
n n n n m m m m a s a s a s a b s b s b s b s ++++++=Φ----11101110......)( （5）
将上式分子分母分解因式，则又可写为：
)
()2)(1()()2)(1(1)(Sn S S S S S Zm S Z S Z S k s ------=Φ （6） 式中 Zm 为传递函数的零点
Sn 为传递函数的极点
假设系统所有零点、极点互不相同，并假定极点中有实数极点和复数极点，而零点中只有实数零点。

当输入为单位阶跃函数时，其阶跃响应的象函数为：
∏∏∏===++--=1211221)2()()(1)(n i n k nk nk k m
i S S
Si S Zj S k s c ωωξ
∑∑==++-+++-+=r k nk nk k k nk k nk k k q I i i s s C s B s s A s 1222121)(1ωωξξωωξ （7）
式中 m 为传递函数的零点总数；
n 为传递函数的极点总数;
q 为实极点数;
r 为共轭复数极点的对数；
对上式求取原函数，即的高阶系统的单位阶跃响应：
)1cos(][1)(2
11k k nk t r
k k q i t s t e D Ae t c nk k i θξωωξ+-++=-==∑∑ （8）
由此可见，在高阶系统中利用时域分析法求解系统的时域响应十分不便，其计算结果复杂，因此就需要转化为频域分析法。

因为RC 电路中输入的电压为正弦电压，即
u1=m U 1 *Sin ωt （9） 上式的拉普拉斯变换为
U1(s)= m U 1 *ω/（S^2+ω^2 ） (10) 将U1(s)代入式(4),可得:
U2(s)=1/（1+ts ）*m U 1 *ω/（S^2+ω^2） （11） 对上式进行拉普拉斯变换，可得：
u2=U1m*t ω/1+(t ω ^2*e^(-t/T)+ m U 1 /2^)(1tw +*sin(ωt+φ) (12) 式中a=-arctgt ω
上式中,第一项是输出的暂态分量,第二项是输出的稳态分量,当时间t=∞时,暂态分量趋近于零,所以电路的稳态响应可以表示为
2lim u t ∞
→ = m U 1 /2^)(1tw +*sin(ωt+φ) = m U 1 | 1/1+j ωt | sin(+∠1/（1+j ωt)） （13） 以上分析表明,当电路的输入为正弦信号时,其输出稳态响应(频率响应)也是一个正弦信号,其频率和输入信号的频率相同,但是幅值和相角发生了变化,其变化仅取决于w,所以若把输出的稳态响应和输入的正弦信号用复数表示,并求它们的复数比,就可以研究时频特性和虚频
特性，人们常常把s用jw代替即把式G(s)=1/(1+ts)变为G(jω)=1/（1+jωt）=A(ω)*e^jφ(ω)即变为复数的指数形式,通过利用复数的性质把G(S)分为实部和虚部,
即G(jω)=1/(1+jωt)
=1/{1+(ωt)^2}-jωt/{1+(ωt) ^2}
=X(ω)+jY(ω)
在自动控制中X(ω)称为实频特性,T(ω)称为虚频特性,在G(ω)平面上,以横坐标表示X(ω),以纵坐标表示jY(ω),根据上式画出RC电路频率特性,如图所示：
图（3）RC电路频率特性极坐标图
图中A(ω)表示输出信号的幅值与输入信号幅值之比；
φ(ω)表示输出信号相角与输出信号相角之差；
由上图可知利用极坐标的形式能直观的表示出系统频率响应与正弦输入信号之间的关系，在工程实际中还常常将频域特性化成对数坐标图的形式，其主要优点在于利用对数运算可以将幅值的乘除运算化为加减运算并且可以用简便的方法绘制近似的对数幅频特性，从而使
频率特性的绘制过程大为简化。

在对电路频率响应与输入正弦信号复数比：
G(jω)=1/(1+jωt)
=A(ω) e^jφ(ω)中（14）其中A(ω)= | 1/(1+jωt )|=√1+(tω) ^2
φ(ω)=∠1/(1+jωt)=-arctgtω
因此惯性环节的对数幅频和相频特性分别为：
L(ω)=20Lg A(ω)=-20 Lg √1+(tω) ^2
φ(ω)= -arctgtω
当tω=2时,画出频率特性的伯德图,如图(4)所示:
-30-25-20-15-10-5
M a g n i t u d e (d B
)
10-210-110
0101-90
-45
0P h a s e (d e g )Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
图（4）频率特性的伯特图
由图形分析表明，在正弦输入信号的作用下，系统的稳态响应仍然是一个正弦函数，它反映了正弦输入信号的作用下，系统稳态响应与输入正弦信号之间的关系。

通过以上频率特性的图解分析法可以直观的根据系统开环频率特性去判断闭环系统的性能,根据输入的正弦信号来对系统稳态响应造成的影响，而且较方便的分析系统中的稳态响应和参量对系统暂态响应的影响,从而研究进一步改善系统的性能途径的方法,而并不需要从时域的分析法通过求解的方法分析,使分析的方法更加简单化，是
一种比较实用的工程方法。

复数不仅在线性系统频域特性分析中起到重要的作用,而且在复平面上通过求根轨迹法看复平面上的零点和奇点的位置来判断系统的稳定性,比如在复平面上实轴的线段上判断根轨迹存在的条件是在这些线段右边的开环零点和开环极点数目之和为奇数,当系统奇点都位于左半平面,则这个系统是稳定的。

参考文献
（1）.陆庆乐,王绵森主编复变函数北京:高等教育出版社,1996 （2）.夏德锦,翁贻方编著自动控制北京:机械工业出版社2007.6
（3）.马立新主编复变函数学习指导山东大学出版社2009.5
（4）.陈玉光编著电气自动控制原理与系统机械工业出版社2008.6
（5）.程丽萍主编自动控制原理与系统天津大学出版社2008.7。