高中数学：用数形结合的方法,解决不等式的问题

高中数学：用数形结合的方法，解决不等式的问题

高中数学竞赛昨天

数与形是数学中两个最古老而又最基本的对象。正如华罗庚先生所说的：“数形结合千般好”，其特征主要体现是将代数问题几何化，即通过图形反映相关的代数关系，从而直观地解决有关的代数问题。一. 解含参不等式在解决含有参数的不等式时，由于涉及到参数，往往需要讨论，导致演算过程繁琐冗长。如果题设与几何图形有联系，那么利用数形结合的方法，问题将会简

练地得到解决。例1. 已知，解关于x的不等式。解：如图

1所示，在同一坐标系中，作和的图象。

图1解和交点的坐标，即在时，由，得。由图1知，当时，曲线的上方。所以原不等式的解集为：例2. 已知，解关于x的不等式。解：如图2所示，在同一坐标系中，作曲线及直线：。联立和，解得

。图2由图2知，曲线C在直线上方部分的点的横坐标范围，即为原不等式的解集：。二. 确定参数的范围在确定不等式参数的范围时，几何图形更能使问题直观而易于理解。

例3. 求实数a的范围，使当时，不等式恒成立。解：原不等式变形得：令如图3所示，在同一坐标系中作出曲线C：和直线。由于直线

恒经过定点，由图3可知，要使在

时恒成立，直线应在原点下方，即斜率a应该大于。所以a的取值范围

是。图3例 4. 已知关于x的不等式

的解集为，求实数a、b的值。解：将原不等式同解变形为如图4所示，在同一坐标系中作出曲线

和直线。图4根据题意，求出直线和曲线C的交点，将坐标代入的方程得：

解之得：三. 证明不等式把要证明的不等式赋予一定的几何意义，将使复杂的证明问题获得明快解决。例5.

已知：。求证：。分析：表示原点到点的距离，利用这种几何意义，问题就变得很简单了。证明：

如图5所示，设，则（1）当时，在△AOB中由得（2）当时，由

得综合（1）、（2）得