数形结合法解不等式
数形结合思想与初中一元一次不等式求解教学
数形结合思想与初中一元一次不等式求解教学
数形结合思想是数学教学中的一种教学方法，它通过将数学概念与图形进行结合，使
学生能够通过对图形的观察、分析和推理，深入理解数学概念，提高数学思维能力和解决
问题的能力。
在初中一元一次不等式求解的教学中，数形结合思想也可以发挥重要作用。
可以通过绘制数值的线段图或数轴图来将不等式问题可视化。
对于不等式x-2>3，可
以在数轴上找出满足条件的x的取值范围，并用阴影区域表示。
这样，学生可以通过观察
图形直观地理解不等式的含义，提高对不等式问题的认识和理解。
可以通过绘制几何图形来解决一元一次不等式问题。
对于求解不等式2x+3<9，可以将不等式化为2x<6，然后绘制2x=6的直线和y=9的直线，通过观察两者的交点来确定x的取值范围。
这样，学生可以通过几何图形的观察和推理，解决不等式问题，提高解决问题的
能力和思维能力。
数形结合思想还可以通过实际问题的分析和图形的绘制来提高学生的解决问题的能力。
通过绘制不等式2x+3>0的线段图，可以找出满足条件的x的取值范围，并根据实际问题的要求确定具体的解。
这样，学生不仅可以将数学知识应用到实际问题中，还可以通过图形
的分析和推理解决问题，提高解决问题的能力和思维能力。
数形结合法在一元二次不等式解法教学中的应用
、
数 形 结合 的 内 涵
恩 格 斯 认 为 ： 数 学 是 研 究 现 实 世 界 的 量 的 关 系 与 宅 问 “
形 式 的科 学．” 与 形 是 数 学 中 的 两 个 最 古 老 ， 是 最 基 ｌ 数 也 本 的研 究 对 象 ， 们 在 一 定 条 件 下 可 以 相 互 转 化 ．“数 ”与 它 “ ” 映 了事 物 两 个 方 面 的 属 性 ， 形 结 合 主 要 指 的 是 数 形 反 数
△ ＝ （ ～５１ 一４ ×４ × １ ＞０．
中 ， 求 复 数 和三 角 函 数 问 题 中 ， 用 数 形 结 合 思 想 ， 仪 存 应 不 直 观 发 现 解 题 途 径 ， 且 能 避 免 复 杂 的 计 算 与 推 理 ， 大 简 而 大
化 ｒ解 题 过 程 ． 教 学 中要 培 养 学 生 数 形 结 合 的 思 想 意 识 ， 在 做 到胸 巾 有 图 ， 数 想 图 ， 开 阔 他 们 的思 维 视 野 ． 见 以 下 面 着 重 探 讨 数 形 结 合 法 在 一 元 二 次 不 等 式 解 法 教 学 中 的应 用．
即求 方 程 一 一１ ０的 实根 ， 后 通 过 观 察 二 次 函 数 Ｙ ２＝ 然 ＝
一 一
１ 的 简 图 写 出 不 等 的 解 集 ． ２
二 、 形 结 合 的 意 义 数 我 国著 名数 学 家 华 罗 庚 曾 说 过 ： 数 形 结 合 百 般 好 ， “ 隔
解 方 程 一 一１ ０的根 为 ＝ 一３ ： ． ２＝ ，， ４
与形 之 间 的 一 一 对 应 关 系 ． 谓 数 彤 结 合 ， 是 根 据 数 与 形 所 就 之 问 的 对 应 关 系 ， 过 数 与 形 之 问 的 相 互 转 化 来 解 决 数 学 通
从数形结合角度解绝对值不等式
从数形结合角度解绝对值不等式文︳吴远觉绝对值不等式的常见解法有定义法、平方法、零点分区法，要点在于去掉绝对值。
如果运用绝对值的几何意义，或者运用绝对值函数图像，从数形结合角度来解绝对值不等式，则显得直观、简便。
下面笔者结合实例加以说明。
例1（2017年全国卷Ⅲ）已知函数f（x）= |x+1|-|x-2|，求不等式f（x）≥1的解集。
解析：|x+1|-|x-2|表示x与-1的距离和x与2的距离之差，f（x）≥1表示这个差不小于1。
结合数轴可知，x需位于1或者1的右边（如图1），故不等式的解集为{x|x≥1}。
图1当然也可以通过零点分区讨论求解，还可以作出函数f（x）与y=1的图像，从图像上发现f（x）的解是{x|x≥1}。
例2（2009年辽宁卷）设函数f（x）=|x-1|+|x-a|。
（1）若a=-1，解不等式f（x）≥3；（2）如果xf（x）≥2恒成立，求a的取值范围。
解析：（1）a=-1时，f（x）=|x-1|+|x+1|表示x到-1的距离和到1的距离之和。
如图2，当x位于-1和1中间时，f（x）=2＜3，显然不成立，故x需位于-1左侧或者1的右侧。
由线段长可知，x∈（-∞，-1.5］∪［1.5，+∞）。
图2（2）xf（x）≥2恒成立表示f（x）的最小值大于等于2。
而f（x）最小时x位于1和a的中间，故a应该在1的左边或者右边最少相距2的位置，故a∈（-∞，-1］∪［3，+∞）。
本题常规做法需要对a与1进行比较，分三种情况讨论，显得繁琐。
数形结合让题目变得简单直观，方便快捷。
例3设函数f（x）的定义域为D，如果存在正实数k，使对任意x∈D，都有x+k∈D，且f（x+k）>f（x）恒成立，则称函数f（x）为D上的“k型增函数”。
已知f（x）是定义在上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x-a|-2a，若f（x）为上的“2015型增函数”，则实数a的取值范围是（）A.（-∞，20154） B.（20154，+∞）C.（-∞，20156） D.（20156，+∞）解析：本题的常规方法是由奇函数的性质可得f（x）的解析式：f（x）=|x-a|-2a，x＞0，0，x=0，-|x-a|+2a，x＜0。
解答含参不等式问题常用的几种方法
考点透视含参不等式问题较为复杂，常与导数、函数、方程等知识相结合.这类问题侧重于考查不等式的性质、简单基本函数的图象和性质、导数的性质等，对同学们的运算和分析能力有较高的要求.下面举例说明解答含参不等式问题的几种常用方法.一、判别式法判别式法主要适用于求解含参二次不等式问题.解答这类问题主要有三个步骤：第一步，根据二次不等式构造一元二次方程；第二步，运用二次方程的判别式，建立关于参数的新不等式；第三步，解新不等式，求得问题的答案.例1.若ax2-2ax+1≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围为_____.解：当a=0时，1≥0，不等式ax2-2ax+1≥0成立；当a≠0时，{a>0，Δ≤0，解得0<a≤1；综上所述，实数a的取值范围为0≤a≤1.该二次不等式的二次项和一次项中含有参数，需分a=0和a≠0两种情况进行讨论.运用判别式法求解含参一元二次不等式问题，需先根据不等式构造一元二次函数和一元二次方程；然后根据一元二次方程的根的分布情况，建立关于判别式、根与系数、对称轴的不等式，从而求得参数的取值范围.二、分离参数法分离参数法适用于求解变量和参数可分离的不等式问题.解题时，需先判断出参数系数的正负；然后根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端含有参数、另一端含有变量的不等式；再求出含变量一边的式子的最值；最后求出参数的取值范围.例2.当x∈()1,+∞时，(e x-1-1)ln x≥a(x-1)2恒成立，则实数a的取值范围为_____.解：因为x∈()1,+∞，则x-1>0，由(e x-1-1)ln x≥a(x-1)2，可得e x-1-1x-1⋅ln xx-1≥a，即e x-1-1x-1⋅1x-1ln x≥a，则e x-1-1x-1⋅1e ln x-1ln x≥a，令f()x=e x-1x()x>0，则f′()x=()x-1e x+1x2，令g()x=()x-1e x+1，则g′()x=xe x>0，所以g()x在()0,+∞上单调递增，则g()x>g()0=0，即f′()x>0，所以f()x在()0,+∞上单调递增，则f()x>0，令h()x=ln x-x+1，则h′()x=1-xx<0，则h()x在()1,+∞上单调递减，则h()x<h()1=0，即ln x-x+1<0，则x-1>ln x，所以f()x-1>f()ln x>0，即e x-1-1x-1>eln x-1ln x>0，可得e x-1-1x-1⋅1e ln x-1ln x>1，则a≤1，解答本题，要先将不等式进行整理，使参数和变量分离；再构造出函数f()x=e x-1x()x>0，将问题转化为函数最值问题.对其求导，判断其单调性，即可求得参数的取值范围.三、函数性质法若含参不等式中含有简单基本函数，则可直接将不等式进行变形，将其构造成函数，把问题转化为f(x,a)≥0、f(x,a)<0、f(x,a)≥g(x,a)、f(x,a)<g(x,a)等函数不等式问题.再根据简单基本函数的单调性，以及导数与函数单调性之间的关系，判断出函数的单调性，即可根据函数的单调性，求得函数的最值，顺利求出问题的答案.例3.若不等式sin x-ln()x+1+e x≥1+x+ax2-13x3恒成立，则a的取值范围为_____.解：由x>-1得，sin x-ln(x+1)+e x-x-1-ax2+13x3≥0，设f(x)=sin x-ln(x+1)+e x-x-1-ax2+13x3，则g(x)=f′(x)=cos x-1x+1+e x-1-2ax+x2，则h(x)=g′(x)=-sin x+1(x+1)2+e x-2a+2x，则z(x)=h′(x)=-cos x-2(x+1)3+e x+2，z′(x)=sin x+6(x+1)4+e x，当x>-1时，z′(x)>0，则h(x)单调递增，又当x∈(-1,0)时，z(x)<0，则h(x)单调递减，当x∈(0,+∞)时，z(x)>0，则h(x)单调递增，又h(0)=2-2a，①当2-2a≥0，即1≥a时，h(0)≥0，则当x∈(-1,+∞)孙小芳35考点透视时，h (x )≥0，此时g (x )单调递增，又g (0)=0，故当x ∈(-1,0)时，g (x )<0，则f (x )单调递减，当x ∈(0,+∞)时，g (x )>0时，f (x )单调递增，所以f (x )min =f (0)，又f (0)=0，故f (x )≥0恒成立，满足题意；②当2-2a <0，即a >1时，h (0)<0，x →+∞，h (x )→+∞，故存在x 0>0，且h (x 0)=0，则当x ∈(-1,x 0)时，h (x )<0，则g (x )单调递减，当x ∈(x 0,+∞)时，h (x )>0，所以g (x )单调递增，又g (0)=0，故g (x 0)<0，x →+∞，g (x )→+∞，故存在x 1>x 0，且g (x 1)=0，所以当x ∈(-1,x 1)时，g (x )<0，则f (x )单调递减，又因为f (0)=0，所以f (x )<f (0)=0，与f (x )≥0恒成立不相符；综上所述，a ≤1.根据不等式构造函数f (x )=sin x -ln(x +1)+e x -x -1-ax 2+13x 3，通过多次求导，判断出导函数的符号，进而判断出函数的单调性，求得函数最值.求得使f (x )min ≥0成立时a 的取值范围，即可解题.四、主参换位法主参换位法，也叫反客为主法，适用于解答已知参数的范围求自变量取值范围的不等式问题.解答这类问题一般分三个步骤：第一步，将原不等式转化成关于参数的不等式；第二步，以参数为自变量，构造函数式，将问题转化为函数问题；第三步，根据函数的性质、图象讨论不等式成立的情形，建立关系即可解题.例4.已知函数f ()x =ax 2+bx -6，不等式f ()x ≤0的解集为[]-3,2.若当0≤m ≤4时，不等式mf ()x +6m <x +1恒成立，求实数x 的取值范围．解：由题意知：-3,2是方程ax 2+bx -6=0的根，且a >0，∴ìíîïï-b a=-3+2，-6a=(-3)×2，解得a =1，b =1．∴f ()x =x 2+x -6，∴mf ()x +6m <x +1可变形为()x 2+x m -x -1<0，令g ()m =()x 2+x m -x -1，∴{g (0)<0，g (4)<0，即{-x -1<0，4x 2+3x -1<0，解得ìíîx >-1，-1<x <14，-1<x <14．解答本题主要采用了主参换位法.因为已知参数m 的取值范围，故把m 当成自变量，通过主参换位，将问题转化为g ()m =()x 2+x m -x -1对任意0≤m ≤4恒成立，根据一次函数的性质，列出不等式组，即可解题．五、数形结合法当把不等式两边的式子看成两个函数式时，可根据其几何意义画出两个函数的图象，分析两个曲线间的位置，确保不等式恒成立，即可通过数形结合，求得参数的取值范围.例5.若关于x 的不等式||||kx -4-x 2-3≤3k 2+1恒成立，则k 的取值范围是_____.解：由题意可得4-x 2≥0，得-2≤x ≤2，则||||kx -4-x 2-3≤3k 2+1可转化为：||kx -4-x 23，设直线l :kx -y -3=0，上半圆C :x 2+y 2=4()y >0，即y =4-x 2，半径为r =2，||kx -4-x 2≤3表示圆C 小于或等于3，如图，设圆心（原点O ）到直线l 的距离为d ，由于圆C 上半部分上的点到直线l 的最大距离为d +r =d +2，所以d +2≤3，即d ≤1，即||0-0-3k 2+1≤1，解得k ≤-22或k ≥22，所以k 的取值范围为(]-∞,-22⋃[)22,+∞.解答本题，需挖掘代数式的几何意义，采用数形结合法，将原问题转化为使圆C 上半部分上的任意一点到直线l 的距离小于或等于3时参数的取值范围.分析直线与圆的位置关系，便可建立新不等式.由此可见，求解含参不等式问题的方法多样.但由于不等式与函数的关系紧密，且利用函数的单调性和图象容易建立不等关系式，因此函数思想是破解含参不等式问题的主要思想.（作者单位：江苏省南京市大厂高级中学）36。
绝对值不等式数形结合法
绝对值不等式数形结合法1. 引言绝对值不等式是数学中常见的一种不等式形式，其解集可以用数轴上的区间表示。
为了更好地理解和解决绝对值不等式，数形结合法是一种有效的方法。
本文将详细介绍绝对值不等式数形结合法的基本原理、应用技巧以及实例演示，帮助读者掌握这一重要的解题方法。
2. 基本原理2.1 绝对值函数绝对值函数是指将一个实数映射到其非负的绝对值的函数，通常用符号|x|表示。
其定义如下：|x|={x,x≥0−x,x<02.2 绝对值不等式绝对值不等式是指一个含有绝对值符号的不等式。
通常有以下两种形式：•|f(x)|<a•|f(x)|>a其中，f(x)是一个关于x的函数，a是一个正实数。
3. 应用技巧3.1 基本思路使用数形结合法解决绝对值不等式时，我们需要将问题转化为图形的几何关系，从而更直观地理解和解决问题。
基本思路如下：1.将绝对值不等式转化为数轴上的几何问题。
2.根据不等式的形式，确定数轴上的区间。
3.根据区间的性质，求解不等式。
3.2 求解步骤以|x−3|<5为例，介绍绝对值不等式数形结合法的求解步骤：1.绘制数轴，并在数轴上标出x=3这个点。
2.在x=3左边画一个长度为5的线段，表示|x−3|。
3. 确定数轴上x −3取值范围所对应的区间。
由于|x −3|<5，所以x −3必须在以x =3为中心、半径为5的开区间内。
即(−2,8)。
4. 最后得到x ∈(−2,8)，即解集为开区间。
3.3 注意事项在使用绝对值不等式数形结合法时，需要注意以下几点：1. 对于不等号方向（大于或小于），要根据实际问题进行判断。
2. 在确定区间时，要根据绝对值函数的定义和性质进行分析。
3. 需要注意区间的开闭性，根据不等式的严格性确定解集的类型。
4. 实例演示4.1 例题一求解不等式|2x −1|>3。
解答步骤：1. 绘制数轴，并在数轴上标出x =12这个点。
2. 在x =12左边和右边分别画一个长度为3的线段，表示|2x −1|。
浅谈数形结合的思想方法在列不等式解实际问题中的数学构想(教学实践类)
ｔ 、
解得 ： ｘ ≤３ ０ ．
ｊ
答： 她 家每 月 用气 最 多 ３ ０ ｍ 。
ｊ
５ ． 车费 问题 ： 某市 出租 车 的 收费 标 准 ： 起 步价 ３元 （ 即行 驶距 离 不 超过 ３千 象这样 ， 用一条线段 Ａ Ｂ来 表 示 总 费 用 ． 它包含两部分 ， 即线 ， 超过 ３ 千米 ， 每增 加 １ 千米 ， 加收 １ ． ２元 （ 不 足 段 Ａ Ｃ （ 月租费） 和 线段 Ｃ Ｂ （ 通话费） 。 很 直 观 又形 象 ， 学 生 理解 起 来 米都 需 付 ３元 车 费 ） １千米 按 １千米计 ） ， 某 人 乘 出 租 车 从 甲 地 到 乙 地 ， 共 支 付 车 费 ２ １ 很 容 易懂 ， 教 学效 果 也好 。 元． 问此 人 从 甲地 到 乙地 经过 的路 程最 远 是 多少 千米 ？ 解： 高小 明 家平 均 每 月通 话次 数 为 ｘ次 分析 ： 则有 ： ２ ２ ． ８ ８ ＋ ０ ． １ ８ ｘ ＞ ２ ８ 总路 程 ｘ ｋ ｍ
浅 谈 数 形 结 合 的 思 想 方 法 在 列 不 等 式 解 实 际
问题 中的数 学构 想 （ 教 学实 践 类 ）
罗 庆 莲 （ 重 庆市 渝 高 中学 重 庆
４ ０１ ５ ５ ４）
中图分类号 ： Ｇ６ ３
文献标识码 ： Ａ
文章编号 ： １ ６ ７ ３ — ５ ８ １ １ （ ２ ０ １ ３ ） ０ １ － ０ １ ３ ８ － ０ ２
１ Ａ
解得 ： ｘ ＞ ２ ８
・ ．
收费 ３元
３ ｋ ｍ
非 负数 整 数 Ｘ 最小为 ２ ９ 答： 小 明家 平 均每 月 通话 至 少 ２ ９次 ２ ． 水 费 用 问题 ： 某市 自来水 公 司按 如 下标 准 收取 水 费 ．若 每 户 每月 用 水 不超 过５ ｍ３ ． 则 每立 方 米 收 费 １ ． ５元 ： 若 每 户 每 月 用水 超 过 ５ ｍ ３ ， 则超出 部分每立方米收费 ２ 元 ． 小 童家 某 月 的水 费 不 少 于 １ ０元 ． 那 么她 家这 个 月 的用 水 量至 少是 多 ｍ３ ７
解不等式的转化方法
教学实践新课程NEW CURRICULUM解不等式的问题一直是高考考查的重点和热点，解不等式的关键是学会转化，通常有以下几种转化方法。
一、利用数形结合的思想转化例1.已知：函数f （x ）是R 上的增函数，A （0，-1），B （3，1）是其图象上的两点，那么|f （x +1）|<1的解集是（）A .（1，4）B .（-1，2）C .（-∞，1］∪［4，+∞）D .（-∞，-1］∪［2，+∞）分析：本题没有给出函数f （x ）的解析式，解题时可以画一个符合条件的特征图加以解决，由图象可知：|f （x ）|<1的x 的取值范围是（0，3），而y =|f(x +1)|的图象是由y =|f （x ）|图象向左平移1个单位得到，所以不等式|f （x +1）|<1的解集为（-1，2），故选B 。
二、利用不等式与方程的关系进行转化不等式解区间的端点横坐标是对应的方程的根，这样可以将解不等式的问题转化为解方程来处理。
例2.已知不等式2x -log a x <0的解集为（0，12），求实数a 的值。
分析：从图象角度看，不等式表示的几何意义是y =log a x 图象在y =2x 图象上方x 的取值范围是（0，12），故有：0<a<1log a 12=212{，所以a =（12）2√2三、利用函数的单调性转化例3.不等式log 2（x +1x+6）≤3的解集为。
分析：本题利用对数函数的单调性，结合不等式本身的限制条件，将原不等式变成代数不等式组x +1x+6>0x +1x+6≤0⎧⎩⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐，所以解集为｛x/-3-22√<x <-3+22√或x =1｝。
四、利用分类讨论的思想转化例4.解关于x 的不等式：x -a x 2-x -2>0。
分析：有关分式不等式问题，可以考虑两边同乘以（x 2-x -2）2，也可以讨论分母x 2-x -2的符号去分母，将分式不等式转化为整式不等式来求解，然后讨论根a 与2，-1的大小关系，明确根的大小，使含参数a 的不等式具体化，进而写出不等式的解。
利用数形结合思想解决不等式问题
解： 由线性 规划 可知不 等式组 ②确定 的区域 是 ｏ ， 不 等式组 ①
确 定 的区域是 ｂ ，
一 ｌ ２Ｉ ， 由图像６可知 ｓ （ ） ＞ ｒ （ ） ≥ｏ 恒成立．
事实 上 ， 当 ≤ ２时 ， ５ （ ）一ｒ （ ）＝２［ （ 一１ ） 。 ＋１ 】一
显然 ， 命题 Ｐ成立是 命题 ｑ 成立 的充 分不必 要条 件．
一
的各个章 节都 有 着千 丝 万 缕 的联 系 。不 等式 是 解决 数 学 问 题 的 个强有 力 的工具 ， 集合 问题 、 方程 （ 组） 的解 的讨 论 、 函数 单调 性
注 ： 此 题 有 一 错 误 解 口 由 ： 解 得 寻 ３ ③
的研 究 、 函数 定义 域的确 定 、 各 种 类型 的最 大值 、 最小 值 问题 无 一 且 ｏ ≤） ， ≤ ＠ ， 再 由③ × ４＋ ④ ×（ 一 ２ ） 得３ ≤４ 一 ２ ｙ ＜１ ￣ ２ ． 事实 不与不 等式有 着 密 切 的联 系。也 正 是这 个 原 因使 得 不 等式 问 题 满足限制条件③和④的点（ ， Ｙ ） 构成 图５区域 ６ ， 显然区域 ６ 的求解 方法灵 活 多 样 ， 除 了应 用 不 等 式本 身 的性 质 进 行 等 价 转 上， ， 所 以扩大 了限制条件 的范 围而导 致出错 。 化、 分 类讨论 以外 ， 还 可 以 运用 数 形 结合 的思想 赋 予 不 等式 相 应 大 于区域 ｏ ｙ Ｊ 的几 何特 征 ， 借助 于图 形 的性 质 ， 可 以使 抽 象 的数 量 关 系变 得 直
ｙ Ｊ
观而 形象 ， 常常有 事 半 功倍 的效 果 ， 下 面就 以 几个 简 单 的例 子 作 为说 明 。
一
、
用数形结合思想解方程(组)与不等式
他 在 １９ ６ ２年 的 论 文 中 第 一 次 提 出 函 数 这 一 概 念 ， 其 含 义 与 现 在 对 函数 但
的理 解 大 不 相 同 。 代 初 中数 学 课 程 中 ， 数 定 义 采 用 的 是 “ 量 说 ” 即 ： 现 函 变 。 在 某 变 化 过 程 中 ， 两 个 变 量 Ｘ，Ｙ， 果 对 于 Ｘ在 某 一 范 围 内 的 每 有 如
鼍豳露墨嚣嚣固
分析
例 １ 利 用 函数 图象 解 方 程 ３ 一 ６— ０ ．
在 坐 标 系 中 先 画 方 程 所 对 应 的 一 次 函 数 一 ３ － ６的 ｘ－
图 象 ， 于 解 析 式 中 函数 值 就 是 图 象 上 点 的 纵 坐 标 ， 由 当 一 ０时 ， 对
一 — ｊ Ｄ ３ ２ ｌ ●
图４
维普资讯
学 数 学 中 ， 数 及 其 函 有关 的 内容 很 丰 富 ， 占份 量 重 ， 握 好 函数 的 概 念 对 今 后 的 学 习 非 常 有 所 掌 用． 回顾 函 数 概 念 的 发 展 史 ， 函 数 ” 为数 学 术 语 是 莱 布 尼 兹 首 次 采 用 的 ， “ 作
所 示 ， 图象 知 ｌ 由 和 ｚ 交 点 为 Ｐ（ ，一 １ ． ｚ的 ３ ）
Ｄ ＼ ｌ
ｖ 一２ ＋４ 一
０
掌ｒ
。 ｉ
所 以不等 式 一 ２ ｘ＋ ４＜ ０的 解 集 为 ＞ ２ ．
例 ３ 利 用 函数 图象 解 不 等 式 ： ｚ＋ ５＜ ＋ ８ ４ ．
‘‘ 一
分析
本 题可 以将 不等 式化 为 ３ 一 ３＜ ０， 利 用 例 ２的 方 再
法 求 解 ； 可 以 在 坐 标 系 中 分 别 画 出 Ｙ一 ４ 也 ｘ＋ ５和 Ｙ— ＋ ８的 图 象 ， 找
灵活运用数形结合思想，提升解不等式题的效率
数形结合思想是解答高中数学问题常用的一种数学思想.在解答不等式问题时，灵活运用数形结合思想，根据不等式的几何意义画出几何图形，通过图形和数量关系之间的转化，可以使解题的过程变得更加简单，有利于提升解题的效率.一、求参数的取值范围在运用数形结合思想解答含参不等式问题时，可先根据不等式的结构特征，将参数与变量分离，使参数在不等式的一侧；再将不等式另一侧的式子构造成函数，判断出函数的单调性，画出函数的图象，或根据另一侧式子的几何意义画出几何图形，即可通过研究图形的变化趋势，确定不等式另一侧式子的最值，进而求得参数的取值范围.例1.已知集合A ={}|()x ,y m 2≤()x -22+y 2≤m 2,x ,y ∈R ，B ={}|()x ,y 2m ≤x +y ≤2m +1,x ,y ∈R ，若A ⋂B ≠∅，则实数m 的取值范围为_____.解：由A ⋂B ≠∅可知A ≠∅，故m 2≤m 2，可得m ≤0或m ≥12，①当m ≤0时，集合A 表示以()2,0为圆心、以||m 为半径的圆，集合B 表示两平行线y =2m 和y =2m +1之间的区域，而点()2,0到直线y =2m 的距离d 1=||2-2m 2=2-2m >-m ，点()2,0到直线到y =2m +1的距离d 2=||2-2m -12=-2m >-m ，可知集合A 与集合B 无交集，所以不等式无解.②当m ≥12时，集合A 表示以()2,0为圆心、和||m 为半径的圆环，如图1所示.图1则圆心A 到直线y =2m 的距离d 1=||2-2m 2=2-2m ≤m ，解得12≤m ≤2+2，故实数m 的取值范围为éëêùûú12,2+2.解答本题，需将集合A 中的元素看作以()2,0为圆心，||m 为半径的圆环上的点，集合B 中的元素看作两平行线y =2m 和y =2m +1之间的点，通过研究圆与直线之间的位置关系，建立满足题意的关系式，进而求得参数的取值范围.运用数形结合思想解答此类问题，要仔细挖掘代数式的几何意义，并画出相应的几何图形，借助几何图形来分析问题.例2.已知f ()x =x ||x ，若对任意x ∈éëêùûút -2,1t ，不等式f ()x +t ≥4f ()x 恒成立,则实数t 的取值范围为_____.解：由题意可知f ()x =x ||x =ìíîx 2,x ≥0,-x 2,x <0,由图2可知f ()x 在R 上单调递增.图2因为4f ()x =4x ||x =2x ||2x =f ()2x ，所以f ()x +t ≥4f ()x ⇔f ()x +t ≥f ()2x ，即x +t ≥2x ⇔t ≥x 在x ∈éëêùûút -2,1t 上恒成立.图3解题宝典39由图3可知,ìíîïïïït ≥1t,t -2≤1t ,①当t >0时，ìíîïïïït ≥1t,t -2≤1t ,⇔ìíît 2-1≥0,t 2-2t -1≤0,解得1≤t ≤1+2，②当t <0时，ìíîïïïït ≥1t,t -2≤1t ,⇔ìíît 2-1≤0,t 2-2t -1≥0,解得-1≤t ≤1-2，综上可知，实数t 的取值范围为[]-1,1-2⋃[]1,1+2.解答本题,需先根据函数f ()x =x ||x 的解析式画出图象,以根据其图象和单调性去掉f ()x +t ≥4f ()x 的符号“f ”，将不等式转化为常规不等式；然后借助数轴来讨论满足不等式的t 的取值范围.在解不等式时，要学会将问题转化为函数图象、数轴上的点的集合的问题，运用数形结合思想来解题，这样能有效地提升解题的效率.二、求不等式的解集含参不等式问题往往较为复杂，运用数形结合思想来辅助解题，能有效地提升解题的效率.在解题时，要先将不等式变形，构造出合适的函数模型.可构造一个函数模型，将不等式化为f ()x >0、f ()x <0的形式；也可以构造两个函数模型，将不等式化为f ()x >g ()x 、f ()x <g ()x 的形式.再画出函数的图象，研究函数图象与x 轴、图象之间的位置关系，找到使不等式成立的情形，从而建立新不等式.通过解新不等式，求得不等式的解集.例3.解关于x 的不等式：a 2-2x 2>x +a .解：设y 1=x +a ，y 2=a 2-2x 2，则y 1=x +a 表示的是一条直线，y 2=a 2-2x 2表示的是半个椭圆，如图4所示.图4由a 2-2x 2=x +a ，可得x =0或x =-2a 3，移动直线，由图4可知，当-2a3<x <0时，直线始终在椭圆的下方，故不等式的解集为{}|x -2a3<x <0.先将不等式两侧的式子分别构造成函数y 1=x +a ，y 2=a 2-2x 2，并画出两个函数的图象；然后移动直线的位置，即可发现要使不等式恒成立，需使直线始终在椭圆的下方；再求得两个函数的交点，就能发现当-2a3<x <0时，直线始终在椭圆的下方.运用数形结合思想解不等式，关键要根据题意找出临界的情形，并求出相应的值.例4.已知f ()x 是R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递减，若f ()a =0()a >0，则不等式xf ()x <0的解集为_____.解：由题意可画出f ()x 的图象，如图5所示.图5由xf ()x <0，可知x 与f ()x 异号.由图5可知，当x ∈()-a ,0⋃()a ,+∞时，x 与f ()x 异号，故不等式的解集为{}|x -a <x <0或x >a .若采用常规方法解答本题，则需进行分类讨论，解题的过程较为复杂.我们运用数形结合思想，根据函数的解析式画出图象，讨论满足不等式的情形，即可确定x 的取值范围.运用数形结合思想解不等式，需通过研究图象，找出满足题意的一段曲线，并求出与之对应的x 的取值范围.运用数形结合思想，将不等式问题转化为几何图形问题或函数图象问题，即可通过研究图形或图象的位置关系，快速获解.这样不仅能使题目中的条件变得直观，还能使解题的思路更加明朗，有助于提升解题的效率.（作者单位：新疆巴楚县第一中学）解题宝典40。
柯西不等式数形结合
柯西不等式数形结合
柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，它广泛应用于各个领域，包括物理、工程、经济等。
数形结合是数学中一种非常有用的解题方法，它可以通过将抽象的数学问题转化为直观的图形问题，从而更好地理解和解决这些问题。
当我们使用数形结合的方法来理解柯西不等式时，可以将不等式左边视为一个向量的模长的平方，右边视为各个向量与单位向量的数量积的平方。
这样，柯西不等式可以理解为：一个向量的模长的平方总是大于或等于各个向量与单位向量的数量积的平方。
通过数形结合的方法，我们可以将柯西不等式与几何图形结合起来，从而更好地理解这个不等式的意义和作用。
例如，我们可以将柯西不等式应用于解决直线和圆的位置关系问题。
如果我们设直线的方向向量为a，圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，那么柯西不等式可以转化为：a·b≤(a²+b²)/2，其中b为圆心到直线的垂直距离。
这个不等式可以帮助我们判断直线与圆的位置关系，以及求出圆心到直线的最短距离。
此外，数形结合的方法还可以帮助我们解决其他一些问题，例如向量模长问题、线性规划问题等。
通过将这些问题转化为图形问题，我们可以更加直观地理解和解决这些问题，从而更加高效地解决数学问题。
综上所述，数形结合是一种非常有用的解题方法，它可以让我们更好地理解和解决数学问题。
通过将柯西不等式与几何图形结合起来，我们可以更加深入地理解这个不等式的意义和作用，从而更好地应用于各个领域。
破解含参不等式问题的几个“妙招”
含参不等式恒成立问题具有较强的综合性，且难度一般较大，通常会综合考查方程、函数、导数、不等式等知识点的应用.解答这类问题，可以从不同的角度入手，寻找到不同的解题思路.下面介绍几个破解含参不等式问题的“妙招”，以帮助大家提升解题的效率.一、数形结合数形结合法是解答数学问题的常用方法.通过数与形之间的相互转化，将不等式恒成立问题转化为函数图象的交点、位置关系问题，即可通过研究图形，破解不等式恒成立问题.在研究图形时，要特别关注临界的情形，如有1个交点、有2个交点、相切等情形.例1.若当x ∈(1,2)时，不等式(x -1)2<log a x 恒成立，求a 的取值范围.解：设f 1(x )=(x -1)2，f 2(x )=log a x ，在同一个平面直角坐标系中画出两个函数的图象，如图所示.要使不等式(x -1)2<log a x 在x ∈(1,2)上恒成立，需使f 2(x )=log a x 的图象始终在f 1(x )=(x -1)2的上方，即使a >1，由图可知，在x ∈(1,2)上，f 1(x )∈()0,4，且f 1(x )=(x -1)2的最高点为（2,4），当x =2时，由f 2(x )=log a x =4得a =2，所以a 的取值范围为(1,2].不等式两边的式子都是简单基本函数，于是分别画出两个函数的图象，将不等式恒成立问题转化为f 2(x )=log a x 的图象始终在f 1(x )=(x -1)2的上方的位置关系问题.结合图形来分析f 2(x )=log a x 的图象始终在f 1(x )=(x -1)2的上方的临界情形：两个图象的最高点在同一个位置，即可解题.二、分离参数对于含有参数的不等式恒成立问题，通常需将参数与变量分离，可先将不等式化为一边有参数、另一边无参数的形式；再根据已知条件，讨论不含有参数的式子的取值范围，进而确定参数的取值范围.例2.已知函数f ()x =ax -4x -x 2，当x ∈(0,4]时，f ()x <0恒成立，求实数a 的取值范围.解：由f ()x =ax -4x -x 2<0可得a<，因为函数g ()x在x ∈(0,4]上为减函数，所以在x ∈(0,4]上，函数g ()x>g ()4=0，故a <0，即实数a 的取值范围为(-∞,0).解答本题，要先将实数a 与变量x 分离开；再根据g ()x 的单调性求得当x ∈(0,4]时g ()x 的值域，进而求出实数a 的取值范围.在分离参数时，要注意判断参数的正负值是否会对不等式的符号产生影响.三、分类讨论由于参数的取值往往不确定，所以在解答不等式恒成立问题时，我们通常需要对参数或某些变量进行分类讨论.确定分类讨论的标准和对象是用分类讨论法解题的关键.例3.设f ()x =x 2-2mx +2，当x ∈[-1,+∞)时，f ()x =x 2-2mx +2≥0恒成立，求参数m 的取值范围.解：设F ()x =x 2-2mx +2-m ，则问题就转化为当x ∈[-1,+∞)时，F ()x =x 2-2mx +2-m ≥0恒成立.①当△=4()m -1()m -2<0，即-2<m <1时，F ()x =x 2-2mx +2-m >0恒成立；②当△=4()m -1()m -2≥0时，ìíîïïïï△≥0,F ()-1≥0,--2m 2≤-1,即ìíîïïïï4()m -1()m +2≥0,m +3≥0,--2m 2≤-1,解得-3≤m ≤-2.综上所述，参数m 的取值范围为[-3,1).该不等式为二次式，且二次项的系数大于0，但方程的判别式对函数F ()x 和m 的取值有影响.于是采用分类讨论法，分△≥0和△<0两种情况讨论F ()x ≥0时m 的取值.虽然不等式恒成立问题的难度较大，但是我们只要掌握了解答此类问题的几个“妙招”，就能在解题时做到游刃有余.（作者单位：华东师范大学盐城实验中学）O47Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
不等式的解题方法
不等式的解题方法不等式是数学中常见的问题，它涉及到比较两个或多个数值的大小。
解决不等式问题需要掌握一些基本的方法和技巧。
1.比较法：这是最直接的方法，用于比较两个数或表达式的大小。
通过直接计算或化简，可以得出它们之间的大小关系。
2.作差法：如果两个数或表达式A 和B，我们想知道A 是否大于B。
一个常用的方法是计算A 和B 的差，即A - B。
如果差是正的，则A 大于B；如果差是负的，则A 小于B；如果差是零，则A 等于B。
3.作商法：对于两个正数或表达式A 和B，我们想知道A 是否大于B。
另一种方法是计算A 和B 的商，即A / B。
如果商大于1，则A 大于B；如果商小于1，则A 小于B；如果商等于1，则A 等于B。
4.不等式的性质：对于不等式的基本性质，例如传递性、可加性、可乘性和同号得正等，需要熟练掌握。
这些性质可以帮助我们在解决不等式问题时进行简化。
5.不等式的解法：对于一元一次不等式和一元二次不等式，需要掌握基本的解法技巧。
例如，对于一元一次不等式ax + b > c，可以通过移项、合并同类项和化简来求解。
对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0，可以通过求解对应的等式来确定不等式的解集。
6.数形结合：在解决不等式问题时，结合图形可以帮助我们直观地理解问题。
例如，对于线性不等式组，可以通过在坐标系中画出直线和区域来直观地找出解集。
7.特殊值法：对于一些难以直接解决的问题，可以通过代入一些特殊的数值来检验或验证不等式的正确性。
综上所述，解决不等式问题需要掌握多种方法和技巧，根据具体问题选择合适的方法进行求解。
数形结合巧解不等式两例
图 １
一 一
６ 函数 ＿ ｚ 一 ｚ＋ 图 与 厂 ） （
象 的交点 （ ３ ２ ２ 一 ６ （ ３ ２ ２ 一６ ， 一 — √ ， ）和 一 ＋ √ ， ）
得原不等式的解集为（ —２ 一３ ）Ｕ ～３ √ ， ＋２
｛） １．
推 广 中 图形 变化 较 多 ， 文 仅举 一 例 加 以证 本
点则 Ｐ ｒＳ， ｒｓ， ＝ｃ詈 ，０—ｃ号∞一ｃ譬Ｏ ｒ ， Ｏ 。 Ｒ ｏ ｓ
由余 弦定理 ， 知
Ｐ Ｑ 一 Ｏ Ｐ ＋ Ｏ Ｑ 一 ２ Ｐ ０ ・ （ ・
学 课程 标 准 》中对 复数 要 求较 低 ， 用复 数 变 换来 证 学生难 以理解 ， 而综合法 的证 明又较复 杂 ， 面 下
［ ］ 朱 汉 林 ． 道 普 特 南数 学 竞 赛 题 之 教 学 札 记 ［］ 中 １ 一 Ｊ．
学 数 学 月刊 。０ ９ １ ） ２０ （０ ．
）
一ｒ ；［ｓ＋ｏｐ ｏ ６） ｏ ０ ｃ 口 ｃ ｓ ＋ ０ ～ｃ６ 一 ＋ ｏ ｓ—ｃ（ 。 ｓ。
ｃ ｓａ ｏ （ ＋卢 ６ 。 ～ ｃ ｓ卢 ６ 。］ ＋ Ｏ） ｏ （ ＋ ０）
一
）］ ， ）
２１ ０ ０年第 ４期
中学 数学 月刊
・４ ・ ５
式 若用数 形结 合求 解 ， 可简 化过程 ， 使分类 讨 则 或
论 更合理 ．
一
道４ ９届 Ｉ ＭＯ 预 选 题 的推 广
４ １５ ） ０ ５ ５
例 不 式ｌ （ ＋） 的 集 ｌ 等 。ｚ ｇ 十 ６ ｚ ≤３ 解
一
而
一
一 （ ＋ ） ，
一
等 ＋ｎ＋ 。 ｓＺ３ 一 ｓ０ ［ ｓ ３ ＋ｎ＋ｏ ｃ２ 号 ｉ ０ ｉ 。 。４ ） （ ） （。
数形结合在不等式证明中的应用
数形结合在不等式证明中的应用不等式是数学中非常重要的一个概念，它用于描述数量之间的大小关系。
在进行不等式证明时，数形结合方法是一种常用的技巧。
数形结合是指将代数方法与几何图形相结合，通过对几何图形的分析和推理，得到不等式的证明。
数形结合方法在不等式证明中的应用主要有以下几个方面：1.图形的面积与不等式之间的关系几何图形的面积是一个可以直观表示数量大小的概念。
在不等式证明中，可以利用图形的面积与不等式之间的关系来推导不等式的成立。
例如，通过比较两个图形的面积大小来推导不等式的大小关系，或者通过拆分图形的面积来推导不等式的性质。
2.图形的周长与不等式之间的关系几何图形的周长是指图形边界上的线段的长度之和，它也可以用来表示一些数量之间的大小关系。
在不等式证明中，可以通过图形的周长与不等式之间的关系来推导不等式的成立。
例如，通过比较两个图形的周长大小来推导不等式的大小关系，或者通过拆分图形的周长来推导不等式的性质。
3.图形的长度、宽度与不等式之间的关系几何图形的长度、宽度是指图形边界上的线段的长度，它们也可以用来表示一些数量之间的大小关系。
在不等式证明中，可以通过图形的长度、宽度与不等式之间的关系来推导不等式的成立。
例如，通过比较两个图形的长度、宽度大小来推导不等式的大小关系，或者通过拆分图形的长度、宽度来推导不等式的性质。
4.图形的角度与不等式之间的关系几何图形的角度是指两条交叉线之间的夹角，它也可以用来表示一些数量之间的大小关系。
在不等式证明中，可以通过图形的角度与不等式之间的关系来推导不等式的成立。
例如，通过比较两个图形的角度大小来推导不等式的大小关系，或者通过拆分图形的角度来推导不等式的性质。
5.图形的对称性与不等式之间的关系几何图形的对称性是指图形经过一些中心点或中心轴旋转、平移或反射后仍与原来的图形完全相同，它们在不等式证明中也起到了重要的作用。
通过利用图形的对称性，可以推导出不等式的对称性质，从而进一步证明不等式的成立。
数形结合法解不等式
数形结合解不等式宜都市一中王从志纵观2008年高考试卷，关于不等式的命题重点考查不等式的基础知识，基本技能和基本思想方法。
预测在2009年的高考试卷中，考查不等式的命题仍将主要考查“三基”。
而准确求解不等式是解决不等式相关问题的基本功。
因此，我们在复习过程中要根椐不等式能成立、恰成立及恒成立等问题的特点，选择各类不等式问题的最佳解法。
类型一：简单不等式的解法例1：解下列不等式：2 (1).2x x x->1 (2). -3<<2x【解析】：（1）解法一（公式法）原不等式等价于x2-2x>x或x2-2x<-x 解得x>3或x<0或0<x<1∴原不等式的解集为﹛x︱x<0或0<x<1或x>3﹜解法2（数形结合法）作出示意图，易观察原不等式的解集为﹛x︱x<0或0<x<1或x>3﹜第（1）题图第（2）题图【解析】：此题若直接求解分式不等式组，略显复杂，且容易解答错误；若能结合反比例函数图象，则解集为1|2x x⎧⎫>⎨⎬⎩⎭1或x<-3,结果一目了然。
例2：解不等式：1||x x≥ 【解析】作出函数f(x)=|x|和函数g(x)=1x 的图象，易知解集为01∞⋃∞（－，）[，＋）类型二：解含参数不等式问题例2变式：解关于x 的不等式：||ax x ≥ 分析：此题若直接求解，需对x 和a 的取值分情况讨论，易混淆。
结合绝对值和反比例函数图象的性质，很容易得到（1）a>0时，解集为a ∞（,＋）（2）a=0时，解集为0(0∞⋃∞（－，），＋）（3）a<0时，解集为,a ∞-（-）练习：1、.|1||1|0x x +--≥解不等式 【引导学生归纳、比较诸如分类讨论、平方法、几何意义法，数形结合等不同等价转化方法，并相互展示交流。
】2、变式练习：如果将以上不等式右边不为0，以上哪些方法更佳 例如：.|1||1|32x x +--≥解不等式 。
数形结合思想与初中一元一次不等式求解教学
数形结合思想与初中一元一次不等式求解教学数形结合思想是数学教学中的一种重要思维方式，它通过将抽象的数学概念与具体的图形进行结合，帮助学生更直观地理解数学知识，提高他们的数学思维能力。
在初中数学教学中，一元一次不等式求解是一个重要的内容，通过数形结合思想教学，可以使学生更深入地理解不等式的性质和解题方法，提高他们的数学学习兴趣和成绩。
本文将探讨数形结合思想与初中一元一次不等式求解的教学方法，并提出一些教学实践建议。
1.引导学生观察图形，培养数形结合思维在教学中，教师可以通过引导学生观察图形的方式来培养他们的数形结合思维。
对于简单的一元一次不等式如x+2>0，教师可以画出x轴和表示不等式对应的直线x=-2，然后让学生观察直线所在的位置和不等式的关系，引导他们发现不等式解的性质和规律。
通过这样的观察和思考，学生可以更直观地理解不等式的意义和解题方法，从而提高他们的数学思维能力。
2.利用图形演示不等式解的过程在教学中，教师可以利用图形来演示不等式解的过程，例如通过画图的方式来解一元一次不等式的题目，让学生直观地理解解题的过程和方法。
通过这样的演示，学生可以更形象地理解不等式的解题过程，提高他们的解决问题的能力和学习兴趣。
3.提出实际问题，引导学生运用数形结合思想解决问题在教学中，教师可以提出一些实际问题，引导学生运用数形结合思想来解决问题。
通过实际问题引入不等式的内容，然后让学生利用数形结合思想来解决问题，从而提高他们的数学思维能力和解决问题的能力。
通过这样的实际问题引入，可以使学生更加深入地理解不等式的意义和应用，提高他们的学习兴趣和成绩。
1.注重引导学生观察和思考2.注重利用实例和案例引入不等式内容3.注重培养学生的解决问题能力。
用数形结合法解一元二次不等式
一元二次不等式解法的启发——数形结合解不等式相信同窗们都熟知，在教材中有一个图表，那个图表深刻地揭露了：一元二次不等式的解集与一元二次方程的根及一元二次函数的图像三者的紧密关系。
对那个图表，很多教师可能确实是要求同窗们熟记其中的结论而没有更多的指导，因此同窗们也就机械地进行硬背那个图表的结论。
但是没有明白得又怎么能记得牢固呢？也很少同窗会从这种利用二次方程的根及二次函数的图像来解一元二次不等式的方式中取得什么启发。
我以为在那个图表中，咱们的重点应该是看二次函数的图像：在图（1）中函数的图像被x 轴分成两部份：在x 轴上方即0>y 对应着1x x <或2x x >，在x 轴下方即0<y 对应着21x x x <<；因此由图像直观地有一元二次不等式（0>a ）02>++=c bx ax y 的解为1x x <或2x x >，而不等式（0>a ）02<++=c bx ax y 的解为21x x x <<。
在另两个图中情形类似。
若是咱们把x 轴看成函数0=y ，R x ∈，那么就能够够从上面这种一元二次不等式的解法取得启发，并把这种方式推行用到解其它的不等式中去。
即一样地有：在同一直角坐标系中，画出两个函数)(11x f y =和)(22x f y =的图像，那么①两图像的交点的x 坐标确实是方程)()(21x f x f =的解，其中有几个交点就有几个解，没有交点就没有解；②在某些区间内均有)(11x f y =的图像在)(22x f y =的上（下）方，那么这些区间确实是不等式)()(21x f x f >（或)()(21x f x f <）的解。
下面咱们来看几个例子：例1、解不等式652>+-x x 。
解：易知方程652=+-x x 的解为21=x ，32=x又函数x x y 521+-=和函数62=y 的图像草图如图（2）那么直观地有原不等式的解为32<<x 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数形结合解不等式
宜都市一中王从志
纵观2008年高考试卷，关于不等式的命题重点考查不等式的基础知识，基本技能和基本思想方法。
预测在2009年的高考试卷中，考查不等式的命题仍将主要考查“三基”。
而准确求解不等式是解决不等式相关问题的基本功。
因此，我们在复习过程中要根椐不等式能成立、恰成立及恒成立等问题的特点，选择各类不等式问题的最佳解法。
类型一：简单不等式的解法
例1：解下列不等式：
2 (1).2
x x x
->
1 (2). -3<<2
x
【解析】：（1）解法一（公式法）
原不等式等价于x2-2x>x或x2-2x<-x解得x>3或x<0或0<x<1
∴原不等式的解集为﹛x︱x<0或0<x<1或x>3﹜
解法2（数形结合法）
作出示意图，易观察原不等式的解集为﹛x︱x<0或0<x<1或x>3﹜
第（1）题图第（2）题图
【解析】：此题若直接求解分式不等式组，略显复杂，且容易解答错误；若能结合反
比例函数图象，则解集为
1
|
2
x x
⎧⎫
>
⎨⎬
⎩⎭
1
或x<-
3
,结果一目了然。
例2：解不等式：
1 ||x
x
≥
【解析】作出函数f(x)=|x|和函数g(x)=1
x 的图象，
易知解集为01∞⋃∞（－，）[，＋）
类型二：解含参数不等式问题
例2变式：解关于x 的不等式：
||a
x x ≥ 分析：此题若直接求解，需对x 和a 的取值分情况讨论，易混淆。
结合绝对值和反比例函数图象的性质，很容易得到
（1）a>0时，解集为a ∞（,＋）
（2）a=0时，解集为0(0∞⋃∞（－，），＋）
（3）a<0时，解集为,a ∞-（-）
练习：1、.|1||1|0x x +--≥解不等式
【引导学生归纳、比较诸如分类讨论、平方法、几何意义法，数形结合等不同等价转化方法，并相互展示交流。
】
2、变式练习：如果将以上不等式右边不为0，以上哪些方法更佳 例如：
.|1||1|32x x +--≥
解不等式 。
除了分类讨论、几何意义等方法外，以下函数
转化、数形结合方法可供参考：
【解法1】令2(1)()|1||1|2(11)
2(1)x g x x x x x x -<-⎧⎪=+--=-≤≤⎨⎪>⎩
令()32h x =
，分别作出函数g(x)和h(x)的图象，知原不等式的解集为3[,)4+∞
【解法2】原不等式等价于|1||1|32x x +≥+-
令3()|1|,()|1|2g x x h x x =+=-+
分别作出函数g(x)和h(x)的图象，易求出g （x ）和h （x ）的图象的交点坐标为37(,)44
所以不等式|1||1|32x x +--≥的解集为3[,)4+∞
【解法3】 由|1||1|32x x +--≥
的几何意义可设Ｆ1（－１，０），Ｆ２（１，０），
Ｍ（x ，y ），若
1232MF MF -=，可知Ｍ的轨迹是以Ｆ1、Ｆ2为焦点的双曲线的右支，其中右顶点为（，０），由双曲线的图象和｜x+1｜－｜x-1｜≥知x≥.
3、探究深入：如果以上不等式右边不为具体数值，而是一个参变量m,怎样解关于x 的不等式：|1||1|x x m +--≥
解析：结合函数y=|1||1|x x +--的图象，易知
（1）当m>2时，解集为Φ
（2）
m 22[
,+)2m -≤≤∞时，解集为
（3）m<－2时，解集为R
4、等价转化：若关于x 的不等式|1||1|x x m +--≥分别满足(1)解集为空集(2)解集非空集 (3)解集为R ，求m 的取值范围。
这个问题实际上包含了高考不等式常见的三大类型（能成立问题、恰成立问题和恒成立问题）中的两种。
类型三：不等式恰能成立问题、恰成立问题、恒成立问题。
例3：若不等变2
-2x -2ax+62≤≤恰有一解，求实数a 的值
引导分析：此题若解不等式组，就特别麻烦了。
结合二次函数的图形就会容易得多。
图解：
由图象易知：a=2或者a=-2 例4、若不等式
21log ,(0,)2a x x x <∈对恒成立，则实数a 的取值范围是 此题直接求解无从着手，结合函数
21y y=log 0,2
a x x =及在（）上的图象 易知，a 只需满足条件：
0＜a ＜1，且11log 24a ≥即可从而解得
1[,1)16a ∈ 专题小结
数形结合解不等式是历年高考重点内容之一。
有效借助“以形助数”或“以数解形”，可以使复杂问题简单化，抽象问题形象化，从而起到优化解题途径的目的。
正如著名数学家华罗庚先生所说：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事非。
”。