数形结合解不等式问题

数形结合解不等式问题
省玉田县林南仓中学 金志刚(邮编064106)
不等式问题是高中数学中的重要容，也是历年高考的必考题目。

有些题目因为计算量大很多学生感觉学起来困难太大，以至产生了畏难情绪。

本文试图将抽象数学问题与具体直观图形结合起来，充分利用图形性质和特点，对问题理行分析思考，化抽象为直观，化繁琐为简洁。

例1 已知集合}
{21)1(1g a x g x A <+-，集合}{0)2)((>--=x a x x B ，若A ∪B=R ，则实数a 的取值围是_________。

分析：如用代数法解不等式，求a 的取值围，需分三种情况讨论，而用数形结合方法则可一步获解。

由}{21)1(1g a x g x A <+-=
得}{11+<<-=a x a x A 。

又由{}0)2()(>--=x a x x B ，
令)2)(()(--=x a x x f ，
据图可见A ∪ B=R 的充要条件是
.3101030)1(,0)1(<<⇒⎩⎨⎧>->-⇒⎩⎨⎧>+>-a a a a f a f
例2 设函数ｆ（ｘ）＝｛，ｘ＞，ｘｘ，－ｘ001221
≤若f(0x )>1,则0x 的取值围是（ ）
A 、（-1，1）
B 、（－1，＋∞ ）
C 、（-∞，－2）⋃（0，+∞）
D 、（-∞，－1）⋃（1，+∞） 分析:本题主要考查函数的基本知识，利用函数的单调性
解不等式以及考生借助数形结合思想解决问题的能力。

一般解法：10
{21
>>x x 或 1120{>-≤x x 解得得ｘ＜-1或ｘ
＞1。

解法2：如图1，在同一坐标系中，作出函数ｙ=f(x ）的图象
和直线ｙ=l ，它们相交于（-1，1）和（1，1）两点，
由 f(ｘ)>1 得 ｘ＜-1 或 ｘ＞1
例3 解不等式x x +>2 常规解法：原不等式等价于（Ｉ）x x x x
≥+≥+>⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪02022或（II ）⎩⎨⎧≥+<020x x 解（Ｉ）得02≤<x ；解（II ）得-≤<20x
综上可知，原不等式的解集为{}{}x x x x x ||-≤<≤<=-≤<200222或 数形结合解法：令y x y x 122=
+=，，则不等式x x +>2的解就是使y x 12=
+的图象在y x 2=的上方的那段对应的横坐标。

如右图，不等式的解集为{}x x x x A B |≤<，而x B
可由x x +=2解得x x B A ==-22，，故不等式的
解集为{}x x |-≤<22
例4 若-3<1x
<2，则x 的取值围是（ ） A 、（-13 ，12 ） B 、（12 ，13
） C 、（-13 ，0）⋃（12 ，+∞） D 、（-∞，-13 ）⋃（12
，+∞） 分析：本题若用常规解法则比较花时间，若用函数y=1x
的 图象求解，则比较简单。

如右图不难得出 -3＜1x
＜2 的 解是 ｘ＜-13 或 ｘ＞12
例5． 设对于任意实数，函数总有意义，数a 的取值围。

解法1：函数有意义，则，即在上总成立。

设，即当时，总成立。

-3
2
∴依抛物线的特征，将其定位，有，如下图1所示。

图1。

解法2：对于不等式，因为，所以，不等式可化成。

的最大值即可。

设的图象如下图2所示，可知的最大值为10，故最大值为4，则。

图2
点评：解法1抓住了抛物线的特征，由实数a 的不等式组，将抛物线定位，再求解围。

另外，由于涉及到一元二次方程根的分布，所以又提供了一次数形结合的机会。

解法2将实数a 从不等式中分离出来，对后边函数中换元后，利用典型函数图象直观地求其最大值，求得a 的围，体现数形结合的思想，不失为好办法。

例6．解不等式：
分析：本题是道高考的容易题，但实际上当年考生得分并不高，错误的原因就在于绝大多数同学只会用分类讨论的方法解此无理不等式，而在讨论时，又分类不全，错误率很高，其实只要有数形结合的思想，利用图象求解，本题还是很容易的.
《解》作与y=x+1的图象于同一坐标系，解方程组
得出交点A(2，2)，注意到B(，0)，结合题意可能不等式的解为：（2）
例7．解关于x 的不等式
（Ⅰ）)2
12lg()21lg()3lg(-≤-+-x x x ； （Ⅱ）)2
1227lg()21227lg()21lg()3lg(--≤--≤-+-mx x mx x x x ，其中3
51<<m 。

.解：（Ⅰ）)2
12()21lg()3lg(-≤-+-x x x ，
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧-≤-⋅->->-⇔.212)21(
)3(,021,03x x x x x ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥+-<<⇔.0123,3212x x x
∵016
7)43(12322>+-=+-x x x ， ∴原不等式的解集为⎭
⎬⎫⎩⎨⎧<≤321|x x 。

（Ⅱ）)3
51)(21227lg()21lg()3lg(<<--≤-+-m mx x x x ，等价于 ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧<<--≤-⋅->->-).351(,21227)21()3(,021,03m mx x x x x x ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧<<≥+-<<⇔).351(,012,3212m mx x x
))3
5,1(),3,21((,12∈∈+≤⇔m x x x m 。

令直线)451(,2:<<=m m y l ，曲线)3,2
1(,1:∈+=x x x y c ，作出直线l 与曲线c 的图象。

（1）当2522<<m ，即4
51<<m 时，直线l 与曲线c 有两个公共点，公共点的横坐标是1,12221-+=--=m m x m m x ，此时不等式的解集为
)3,1[]1,2
1(22-+⋃--∈m m m m x 。

（2）当310225<≤m ，即3
545<≤x 时，直线l 与曲线c 有一个公共点，公共点的横坐标是12-+=m m x ，此时不等式的解集为)3,1[2-+∈m m x 。

点评：本题的关键是将不等式问题转化为直线)4
51(,2:<<=m m y l 与曲线)3,2
1(,1:∈+=x x x y c 之间的图像关系问题，通过数形结合直接写出不等式的解集。

例8． 已知全集，集合，，
．
（1）试数的取值围，使；
（2）试数的取值围，使．
解 ∵，，
，
∴，．
，．
∵，
∴ 当时，．
当时，，
当时，
（1）如图，的充要条件是
解得．
（2）如图，的充要条件 是
解得
点评:将集合，，标在数轴上，则和的关系的几何意义就是数轴上区间的覆盖关系，借助于图形的直观性再转化为与之等价的关于字母系数的不等式组，可见不等式的解集的区间表示是很有意义的．
例9 试证：对任何a ＞0,b ＞0,c ＞0都有：
ac c a bc c b ab b a ++≥-++-+222222（当c a b 111+=时等号成立）。

证明：根据数式特征，可构造如右图形，其中的AB=a ，BC=c ，BD=b ，则 ︒-+=60cos 222ab b a AD
ab b a -+=22，
bc c b CD -+=22，
ac c a AC ++=22。

由图知AC+DC ≥AC ， 故原不等式成立。

当A 、D 、C 共线时等号成立。

此时有
CBD ABD ABC S S S ∆∆∆+=，
故bc ab ac +=， 即
c a b 111+=。

这说明了解决不等问题转化为图形处理，利用数形结合，开拓解题思路，真是耳目一新，化难为易。

例10．已知函数f(x)=tanx ，x ∈(0,π/2)若x 1,x 2
证明：)2(2)()(2121x x f x f x f +>+ 错证：作出y=tanx,x ∈(0,π/2)的图象。

（如图） 则点A(x 1,f(x 1))、点B(x 2 ,f(x 2))
线段AB 的中点C 的坐标是：)2
)()(,2(2121x f x f x x ++ 设C 在X 轴上的射影是C 1。

CC 1交y=f(x)的图象于D ，由图象知C 1C>C 1D 即)2
(2)()(2121x x f x f x f +>+命题得证。

剖析：上述证法利用了图象的直观性，看似思路清晰、证法简洁，但实际上是不严密的。

事实上，上述证明过程中用到了“y=tanx 的图象在上下凸”的特性，而这个特性在初等数学中未加证明，故上述证法缺乏严密性因而是错误的。

（正解略）
数形结合思想是数学中基本的思想，是高考中明确规定要求考查的主要思想之一。

灵活运用数形结合思想解题，常使问题的解决变得巧妙而快捷，使一些复杂棘手的问题的解决变得简单而生动。

在我们的学习中，必须随时注意运用数形结合思想，从而培养良好的思维品质，以提高分析问题解决问题的能力。

数形结合思想是一个重要且有效的数学解题思想，同学们一定要下点工夫掌握它，掌握它你将大受其益。