数形结合解不等式问题
数形结合法解不等式
数形结合解不等式宜都市一中王从志纵观2008年高考试卷，关于不等式的命题重点考查不等式的基础知识，基本技能和基本思想方法。
预测在2009年的高考试卷中，考查不等式的命题仍将主要考查“三基”。
而准确求解不等式是解决不等式相关问题的基本功。
因此，我们在复习过程中要根椐不等式能成立、恰成立及恒成立等问题的特点，选择各类不等式问题的最佳解法。
类型一：简单不等式的解法例1：解下列不等式：2 (1).2x x x->1 (2). -3<<2x【解析】：（1）解法一（公式法）原不等式等价于x2-2x>x或x2-2x<-x 解得x>3或x<0或0<x<1∴原不等式的解集为﹛x︱x<0或0<x<1或x>3﹜解法2（数形结合法）作出示意图，易观察原不等式的解集为﹛x︱x<0或0<x<1或x>3﹜第（1）题图第（2）题图【解析】：此题若直接求解分式不等式组，略显复杂，且容易解答错误；若能结合反比例函数图象，则解集为1|2x x⎧⎫>⎨⎬⎩⎭1或x<-3,结果一目了然。
例2：解不等式：1||x x≥ 【解析】作出函数f(x)=|x|和函数g(x)=1x 的图象，易知解集为01∞⋃∞（－，）[，＋）类型二：解含参数不等式问题例2变式：解关于x 的不等式：||ax x ≥ 分析：此题若直接求解，需对x 和a 的取值分情况讨论，易混淆。
结合绝对值和反比例函数图象的性质，很容易得到（1）a>0时，解集为a ∞（,＋）（2）a=0时，解集为0(0∞⋃∞（－，），＋）（3）a<0时，解集为,a ∞-（-）练习：1、.|1||1|0x x +--≥解不等式 【引导学生归纳、比较诸如分类讨论、平方法、几何意义法，数形结合等不同等价转化方法，并相互展示交流。
】2、变式练习：如果将以上不等式右边不为0，以上哪些方法更佳 例如：.|1||1|32x x +--≥解不等式 。
不等式恒成立问题——数形结合法
不等式恒成立问题——数形结合法一、基础知识：1、函数的不等关系与图像特征：（1）若x D ∀∈，均有()()()f x g x f x <⇔的图像始终在()g x 的下方； （2）若x D ∀∈，均有()()()f x g x f x >⇔的图像始终在()g x 的上方。
2、在作图前，可利用不等式的性质对恒成立不等式进行变形，转化为两个可作图的函数；3、要了解所求参数在图像中扮演的角色，如斜率，截距等；4、作图时可“先静再动”，先作常系数的函数的图像，再做含参数函数的图象（往往随参数的不同取值而发生变化）；5、在作图时，要注意草图的信息点尽量完备；6、什么情况下会考虑到数形结合？利用数形结合解决恒成立问题，往往具备以下几个特点： （1）所给的不等式运用代数手段变形比较复杂，比如分段函数，或者定义域含参等，而涉及的函数便于直接作图或是利用图像变换作图； （2）所求的参数在图像中具备一定的几何含义； （3）题目中所给的条件大都能翻译成图像上的特征。
二、典型例题：例1：已知不等式()21log a x x -<在()1,2x ∈上恒成立，则实数a 的取值范围是_________。
思路：本题难于进行参变分离，考虑数形结合解决，先作出()21y x =-的图像，观察图像可 得：若要使不等式成立，则log a y x =的图像应在()21y x =-的上方，所以应为单增的对数函数，即1a >，另一方面，观察图像可得：若要保证在()1,2x ∈时不等式成立，只需保证在2x =时，()21log a x x -<即可，代入2x =可得：1log 22a a ≤⇒≤，综上可得：12a <≤答案：12a <≤小炼有话说：（1）通过常系数函数图像和恒成立不等式判断出对数函数的单调性，进而缩小了参数讨论的取值范围。
（2）学会观察图像时要抓住图像特征并抓住符合条件的关键点（例如本题中的2x =） （3）处理好边界值是否能够取到的问题例2：若不等式log sin 2(0,1)a x x a a >>≠对于任意的0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦都成立，则实数a 的取值范围是___________。
数形结合思想与初中一元一次不等式求解教学
数形结合思想与初中一元一次不等式求解教学
数形结合思想是数学教学中的一种教学方法，它通过将数学概念与图形进行结合，使
学生能够通过对图形的观察、分析和推理，深入理解数学概念，提高数学思维能力和解决
问题的能力。
在初中一元一次不等式求解的教学中，数形结合思想也可以发挥重要作用。
可以通过绘制数值的线段图或数轴图来将不等式问题可视化。
对于不等式x-2>3，可
以在数轴上找出满足条件的x的取值范围，并用阴影区域表示。
这样，学生可以通过观察
图形直观地理解不等式的含义，提高对不等式问题的认识和理解。
可以通过绘制几何图形来解决一元一次不等式问题。
对于求解不等式2x+3<9，可以将不等式化为2x<6，然后绘制2x=6的直线和y=9的直线，通过观察两者的交点来确定x的取值范围。
这样，学生可以通过几何图形的观察和推理，解决不等式问题，提高解决问题的
能力和思维能力。
数形结合思想还可以通过实际问题的分析和图形的绘制来提高学生的解决问题的能力。
通过绘制不等式2x+3>0的线段图，可以找出满足条件的x的取值范围，并根据实际问题的要求确定具体的解。
这样，学生不仅可以将数学知识应用到实际问题中，还可以通过图形
的分析和推理解决问题，提高解决问题的能力和思维能力。
数形结合的思想解一元不等式
实数 ｍ、 ｉ １ 满足 ｆ （ ｍ ） ＞ ｎ ） 足， 则 ｍ、 ｎ的大小关系为 。 ５ ． 课堂 小 结 （ 以提 问 形式 让 学 生 总结 ） 提问 ： 本 课 我们 主 要 学 习 了哪 些 内 容 ？你 有 什 么 收获 ？
问题 １ ： 某 种 细 胞 分裂 时 ， 由 一个 分 裂 成 ２个 ， ２个 分 裂 成 ４个 ， …… ， 这样 的细 胞 分 裂 ｘ次 后 ， 细 胞 个 数 ｙ与 ｘ的 函数 关 系式为 ： ｙ ＝ ２ ｘ （ ｘ ∈Ｎ ） 问题 ２ ： 一根 １ 米 长的绳子 ， 第一次 剪掉绳子 的一半 ， 第 二 次 剪 掉 剩 余 绳 子 的一 半 … 剪 了 ｘ次 后 剩 余 绳 子 的 长 度 为
教学 ・ 信 息
２ ． 新课 引入 观看 解 答 下 面两 个 问 题 ：
课程教育 研究
Ｃ ｏ ｕ ｒ ｓ ｅ Ｅ ｄ ｕ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｒ ｅ ｓ ｅ ａ ｒ ｃ ｈ
ａ ＞ ｌ
２ ０ １ ３ 年 ３ 月 下旬 － ｒ ， Ｊ
Ｏ ＜ ａ ＜ ｌ
（ ３ ） 研 究 函 数 的一 般 思 路是 什么 ？
特征？ 答： 函数 解 析 式都 是 指 数 形 式 ． 底 数 为 定 值 且 自变 量在 指 数位置。 （ 若 用 ａ代换 两 个 式 子 中 的 底数 。 并 将 自变 量 的取 值 范 围 扩 展 到 实 数集 则 得 到 … … ） 师 板 书课 题 ： 指数 函数 （ 一） ３ ． 探 索新 知 （ 一＞ 指 数 函数 的定 义 般地 ， 函数 ｙ ＝ ａ ｘ （ ａ ＞ Ｏ ， 且ａ ≠１ ） ｎ ｑ 做 指 数 函数 ， 其中 ｘ 是 自变 量 。 提 问： 在 本 定 义 中 要注 意 哪 些 要 点 ？ 追 问： 为什 么 规 定 定义 中 ａ ＞ ｌ且 ａ ≠１ ７ 方法： 学 生 讨 论后 回答 ， 师讲解 。 再 多 媒 体 投影 以下 内容 ： 将 ａ 如数 轴所示分为 ： ａ ＜ Ｏ ， ａ ＝ Ｏ ， Ｏ ＜ ａ ＜ ｌ ， ａ ＝ ｌ和 ａ ＞ ｌ 五 部 分 进 行
从数形结合角度解绝对值不等式
从数形结合角度解绝对值不等式文︳吴远觉绝对值不等式的常见解法有定义法、平方法、零点分区法，要点在于去掉绝对值。
如果运用绝对值的几何意义，或者运用绝对值函数图像，从数形结合角度来解绝对值不等式，则显得直观、简便。
下面笔者结合实例加以说明。
例1（2017年全国卷Ⅲ）已知函数f（x）= |x+1|-|x-2|，求不等式f（x）≥1的解集。
解析：|x+1|-|x-2|表示x与-1的距离和x与2的距离之差，f（x）≥1表示这个差不小于1。
结合数轴可知，x需位于1或者1的右边（如图1），故不等式的解集为{x|x≥1}。
图1当然也可以通过零点分区讨论求解，还可以作出函数f（x）与y=1的图像，从图像上发现f（x）的解是{x|x≥1}。
例2（2009年辽宁卷）设函数f（x）=|x-1|+|x-a|。
（1）若a=-1，解不等式f（x）≥3；（2）如果xf（x）≥2恒成立，求a的取值范围。
解析：（1）a=-1时，f（x）=|x-1|+|x+1|表示x到-1的距离和到1的距离之和。
如图2，当x位于-1和1中间时，f（x）=2＜3，显然不成立，故x需位于-1左侧或者1的右侧。
由线段长可知，x∈（-∞，-1.5］∪［1.5，+∞）。
图2（2）xf（x）≥2恒成立表示f（x）的最小值大于等于2。
而f（x）最小时x位于1和a的中间，故a应该在1的左边或者右边最少相距2的位置，故a∈（-∞，-1］∪［3，+∞）。
本题常规做法需要对a与1进行比较，分三种情况讨论，显得繁琐。
数形结合让题目变得简单直观，方便快捷。
例3设函数f（x）的定义域为D，如果存在正实数k，使对任意x∈D，都有x+k∈D，且f（x+k）>f（x）恒成立，则称函数f（x）为D上的“k型增函数”。
已知f（x）是定义在上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x-a|-2a，若f（x）为上的“2015型增函数”，则实数a的取值范围是（）A.（-∞，20154） B.（20154，+∞）C.（-∞，20156） D.（20156，+∞）解析：本题的常规方法是由奇函数的性质可得f（x）的解析式：f（x）=|x-a|-2a，x＞0，0，x=0，-|x-a|+2a，x＜0。
浅谈数形结合的思想方法在列不等式解实际问题中的数学构想(教学实践类)
ｔ 、
解得 ： ｘ ≤３ ０ ．
ｊ
答： 她 家每 月 用气 最 多 ３ ０ ｍ 。
ｊ
５ ． 车费 问题 ： 某市 出租 车 的 收费 标 准 ： 起 步价 ３元 （ 即行 驶距 离 不 超过 ３千 象这样 ， 用一条线段 Ａ Ｂ来 表 示 总 费 用 ． 它包含两部分 ， 即线 ， 超过 ３ 千米 ， 每增 加 １ 千米 ， 加收 １ ． ２元 （ 不 足 段 Ａ Ｃ （ 月租费） 和 线段 Ｃ Ｂ （ 通话费） 。 很 直 观 又形 象 ， 学 生 理解 起 来 米都 需 付 ３元 车 费 ） １千米 按 １千米计 ） ， 某 人 乘 出 租 车 从 甲 地 到 乙 地 ， 共 支 付 车 费 ２ １ 很 容 易懂 ， 教 学效 果 也好 。 元． 问此 人 从 甲地 到 乙地 经过 的路 程最 远 是 多少 千米 ？ 解： 高小 明 家平 均 每 月通 话次 数 为 ｘ次 分析 ： 则有 ： ２ ２ ． ８ ８ ＋ ０ ． １ ８ ｘ ＞ ２ ８ 总路 程 ｘ ｋ ｍ
浅 谈 数 形 结 合 的 思 想 方 法 在 列 不 等 式 解 实 际
问题 中的数 学构 想 （ 教 学实 践 类 ）
罗 庆 莲 （ 重 庆市 渝 高 中学 重 庆
４ ０１ ５ ５ ４）
中图分类号 ： Ｇ６ ３
文献标识码 ： Ａ
文章编号 ： １ ６ ７ ３ — ５ ８ １ １ （ ２ ０ １ ３ ） ０ １ － ０ １ ３ ８ － ０ ２
１ Ａ
解得 ： ｘ ＞ ２ ８
・ ．
收费 ３元
３ ｋ ｍ
非 负数 整 数 Ｘ 最小为 ２ ９ 答： 小 明家 平 均每 月 通话 至 少 ２ ９次 ２ ． 水 费 用 问题 ： 某市 自来水 公 司按 如 下标 准 收取 水 费 ．若 每 户 每月 用 水 不超 过５ ｍ３ ． 则 每立 方 米 收 费 １ ． ５元 ： 若 每 户 每 月 用水 超 过 ５ ｍ ３ ， 则超出 部分每立方米收费 ２ 元 ． 小 童家 某 月 的水 费 不 少 于 １ ０元 ． 那 么她 家这 个 月 的用 水 量至 少是 多 ｍ３ ７
解不等式的转化方法
教学实践新课程NEW CURRICULUM解不等式的问题一直是高考考查的重点和热点，解不等式的关键是学会转化，通常有以下几种转化方法。
一、利用数形结合的思想转化例1.已知：函数f （x ）是R 上的增函数，A （0，-1），B （3，1）是其图象上的两点，那么|f （x +1）|<1的解集是（）A .（1，4）B .（-1，2）C .（-∞，1］∪［4，+∞）D .（-∞，-1］∪［2，+∞）分析：本题没有给出函数f （x ）的解析式，解题时可以画一个符合条件的特征图加以解决，由图象可知：|f （x ）|<1的x 的取值范围是（0，3），而y =|f(x +1)|的图象是由y =|f （x ）|图象向左平移1个单位得到，所以不等式|f （x +1）|<1的解集为（-1，2），故选B 。
二、利用不等式与方程的关系进行转化不等式解区间的端点横坐标是对应的方程的根，这样可以将解不等式的问题转化为解方程来处理。
例2.已知不等式2x -log a x <0的解集为（0，12），求实数a 的值。
分析：从图象角度看，不等式表示的几何意义是y =log a x 图象在y =2x 图象上方x 的取值范围是（0，12），故有：0<a<1log a 12=212{，所以a =（12）2√2三、利用函数的单调性转化例3.不等式log 2（x +1x+6）≤3的解集为。
分析：本题利用对数函数的单调性，结合不等式本身的限制条件，将原不等式变成代数不等式组x +1x+6>0x +1x+6≤0⎧⎩⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐，所以解集为｛x/-3-22√<x <-3+22√或x =1｝。
四、利用分类讨论的思想转化例4.解关于x 的不等式：x -a x 2-x -2>0。
分析：有关分式不等式问题，可以考虑两边同乘以（x 2-x -2）2，也可以讨论分母x 2-x -2的符号去分母，将分式不等式转化为整式不等式来求解，然后讨论根a 与2，-1的大小关系，明确根的大小，使含参数a 的不等式具体化，进而写出不等式的解。
绝对值不等式数形结合法
绝对值不等式数形结合法
绝对值不等式是数学中常见的一种不等式形式，解决这类不等式时可以使用数形结合法。
该方法可以帮助我们通过图形的几何性质来找到不等式的解集。
以下是使用中文进行说明的绝对值不等式数形结合法：
1. 首先，我们来回顾一下绝对值的定义。
对于任意实数x，绝对值|x|表示x到0的距离，即|x|=x（当x≥0时），|x|=-x（当x<0时）。
2. 在解决绝对值不等式时，我们可以将其表示为一个图形问题。
我们可以将不等式|x|<a（a为正实数）表示为以原点O为中心，半径为a的开区间（-a，a）上的点构成的图形。
3. 同样地，对于不等式|x|>b（b为正实数），我们可以将其表示为以原点O为中心，半径为b的开区间（-∞， -b)∪(b，∞）之外的点构成的图形。
4. 对于不等式|x|≥c（c为正实数），我们可以将其表示为以原点O为中心，半径为c的闭区间[-c， c]上的点构成的图形。
5. 解决绝对值不等式的关键是确定图形的解集。
我们可以根据题目给出的不等式关系来确定图形的部分或全部区域。
6. 最后，我们根据图形的区域表示来确定解集。
如果要求解不等式的解集，我们需要找出表示该区域的数值，即满足不等式的实数值。
通过数形结合法，我们可以将抽象的绝对值不等式问题转化为具体的图形问题，从而更直观地理解和解决这类不等式。
利用数形结合思想解决不等式问题
解： 由线性 规划 可知不 等式组 ②确定 的区域 是 ｏ ， 不 等式组 ①
确 定 的区域是 ｂ ，
一 ｌ ２Ｉ ， 由图像６可知 ｓ （ ） ＞ ｒ （ ） ≥ｏ 恒成立．
事实 上 ， 当 ≤ ２时 ， ５ （ ）一ｒ （ ）＝２［ （ 一１ ） 。 ＋１ 】一
显然 ， 命题 Ｐ成立是 命题 ｑ 成立 的充 分不必 要条 件．
一
的各个章 节都 有 着千 丝 万 缕 的联 系 。不 等式 是 解决 数 学 问 题 的 个强有 力 的工具 ， 集合 问题 、 方程 （ 组） 的解 的讨 论 、 函数 单调 性
注 ： 此 题 有 一 错 误 解 口 由 ： 解 得 寻 ３ ③
的研 究 、 函数 定义 域的确 定 、 各 种 类型 的最 大值 、 最小 值 问题 无 一 且 ｏ ≤） ， ≤ ＠ ， 再 由③ × ４＋ ④ ×（ 一 ２ ） 得３ ≤４ 一 ２ ｙ ＜１ ￣ ２ ． 事实 不与不 等式有 着 密 切 的联 系。也 正 是这 个 原 因使 得 不 等式 问 题 满足限制条件③和④的点（ ， Ｙ ） 构成 图５区域 ６ ， 显然区域 ６ 的求解 方法灵 活 多 样 ， 除 了应 用 不 等 式本 身 的性 质 进 行 等 价 转 上， ， 所 以扩大 了限制条件 的范 围而导 致出错 。 化、 分 类讨论 以外 ， 还 可 以 运用 数 形 结合 的思想 赋 予 不 等式 相 应 大 于区域 ｏ ｙ Ｊ 的几 何特 征 ， 借助 于图 形 的性 质 ， 可 以使 抽 象 的数 量 关 系变 得 直
ｙ Ｊ
观而 形象 ， 常常有 事 半 功倍 的效 果 ， 下 面就 以 几个 简 单 的例 子 作 为说 明 。
一
、
柯西不等式数形结合
柯西不等式数形结合
柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，它广泛应用于各个领域，包括物理、工程、经济等。
数形结合是数学中一种非常有用的解题方法，它可以通过将抽象的数学问题转化为直观的图形问题，从而更好地理解和解决这些问题。
当我们使用数形结合的方法来理解柯西不等式时，可以将不等式左边视为一个向量的模长的平方，右边视为各个向量与单位向量的数量积的平方。
这样，柯西不等式可以理解为：一个向量的模长的平方总是大于或等于各个向量与单位向量的数量积的平方。
通过数形结合的方法，我们可以将柯西不等式与几何图形结合起来，从而更好地理解这个不等式的意义和作用。
例如，我们可以将柯西不等式应用于解决直线和圆的位置关系问题。
如果我们设直线的方向向量为a，圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，那么柯西不等式可以转化为：a·b≤(a²+b²)/2，其中b为圆心到直线的垂直距离。
这个不等式可以帮助我们判断直线与圆的位置关系，以及求出圆心到直线的最短距离。
此外，数形结合的方法还可以帮助我们解决其他一些问题，例如向量模长问题、线性规划问题等。
通过将这些问题转化为图形问题，我们可以更加直观地理解和解决这些问题，从而更加高效地解决数学问题。
综上所述，数形结合是一种非常有用的解题方法，它可以让我们更好地理解和解决数学问题。
通过将柯西不等式与几何图形结合起来，我们可以更加深入地理解这个不等式的意义和作用，从而更好地应用于各个领域。
高中数学：用数形结合的方法,解决不等式的问题
高中数学：用数形结合的方法，解决不等式的问题数与形是数学中两个最古老而又最基本的对象。
正如华罗庚先生所说的：“数形结合千般好”，其特征主要体现是将代数问题几何化，即通过图形反映相关的代数关系，从而直观地解决有关的代数问题。
一. 解含参不等式在解决含有参数的不等式时，由于涉及到参数，往往需要讨论，导致演算过程繁琐冗长。
如果题设与几何图形有联系，那么利用数形结合的方法，问题将会简练地得到解决。
例1. 已知，解关于x的不等式。
解：如图1所示，在同一坐标系中，作和的图象。
图1解和交点的坐标，即在时，由，得。
由图1知，当时，曲线的上方。
所以原不等式的解集为：例2. 已知，解关于x的不等式。
解：如图2所示，在同一坐标系中，作曲线及直线：。
联立和，解得。
图2由图2知，曲线C在直线上方部分的点的横坐标范围，即为原不等式的解集：。
二. 确定参数的范围在确定不等式参数的范围时，几何图形更能使问题直观而易于理解。
例3. 求实数a的范围，使当时，不等式恒成立。
解：原不等式变形得：令如图3所示，在同一坐标系中作出曲线C：和直线。
由于直线恒经过定点，由图3可知，要使在时恒成立，直线应在原点下方，即斜率a应该大于。
所以a的取值范围是。
图3例4. 已知关于x的不等式的解集为，求实数a、b的值。
解：将原不等式同解变形为如图4所示，在同一坐标系中作出曲线和直线。
图4根据题意，求出直线和曲线C的交点，将坐标代入的方程得：解之得：三. 证明不等式把要证明的不等式赋予一定的几何意义，将使复杂的证明问题获得明快解决。
例5. 已知：。
求证：。
分析：表示原点到点的距离，利用这种几何意义，问题就变得很简单了。
证明：如图5所示，设，则（1）当时，在△AOB中由得（2）当时，由得综合（1）、（2）得图5▍ ▍ ▍。
破解含参不等式问题的几个“妙招”
含参不等式恒成立问题具有较强的综合性，且难度一般较大，通常会综合考查方程、函数、导数、不等式等知识点的应用.解答这类问题，可以从不同的角度入手，寻找到不同的解题思路.下面介绍几个破解含参不等式问题的“妙招”，以帮助大家提升解题的效率.一、数形结合数形结合法是解答数学问题的常用方法.通过数与形之间的相互转化，将不等式恒成立问题转化为函数图象的交点、位置关系问题，即可通过研究图形，破解不等式恒成立问题.在研究图形时，要特别关注临界的情形，如有1个交点、有2个交点、相切等情形.例1.若当x ∈(1,2)时，不等式(x -1)2<log a x 恒成立，求a 的取值范围.解：设f 1(x )=(x -1)2，f 2(x )=log a x ，在同一个平面直角坐标系中画出两个函数的图象，如图所示.要使不等式(x -1)2<log a x 在x ∈(1,2)上恒成立，需使f 2(x )=log a x 的图象始终在f 1(x )=(x -1)2的上方，即使a >1，由图可知，在x ∈(1,2)上，f 1(x )∈()0,4，且f 1(x )=(x -1)2的最高点为（2,4），当x =2时，由f 2(x )=log a x =4得a =2，所以a 的取值范围为(1,2].不等式两边的式子都是简单基本函数，于是分别画出两个函数的图象，将不等式恒成立问题转化为f 2(x )=log a x 的图象始终在f 1(x )=(x -1)2的上方的位置关系问题.结合图形来分析f 2(x )=log a x 的图象始终在f 1(x )=(x -1)2的上方的临界情形：两个图象的最高点在同一个位置，即可解题.二、分离参数对于含有参数的不等式恒成立问题，通常需将参数与变量分离，可先将不等式化为一边有参数、另一边无参数的形式；再根据已知条件，讨论不含有参数的式子的取值范围，进而确定参数的取值范围.例2.已知函数f ()x =ax -4x -x 2，当x ∈(0,4]时，f ()x <0恒成立，求实数a 的取值范围.解：由f ()x =ax -4x -x 2<0可得a<，因为函数g ()x在x ∈(0,4]上为减函数，所以在x ∈(0,4]上，函数g ()x>g ()4=0，故a <0，即实数a 的取值范围为(-∞,0).解答本题，要先将实数a 与变量x 分离开；再根据g ()x 的单调性求得当x ∈(0,4]时g ()x 的值域，进而求出实数a 的取值范围.在分离参数时，要注意判断参数的正负值是否会对不等式的符号产生影响.三、分类讨论由于参数的取值往往不确定，所以在解答不等式恒成立问题时，我们通常需要对参数或某些变量进行分类讨论.确定分类讨论的标准和对象是用分类讨论法解题的关键.例3.设f ()x =x 2-2mx +2，当x ∈[-1,+∞)时，f ()x =x 2-2mx +2≥0恒成立，求参数m 的取值范围.解：设F ()x =x 2-2mx +2-m ，则问题就转化为当x ∈[-1,+∞)时，F ()x =x 2-2mx +2-m ≥0恒成立.①当△=4()m -1()m -2<0，即-2<m <1时，F ()x =x 2-2mx +2-m >0恒成立；②当△=4()m -1()m -2≥0时，ìíîïïïï△≥0,F ()-1≥0,--2m 2≤-1,即ìíîïïïï4()m -1()m +2≥0,m +3≥0,--2m 2≤-1,解得-3≤m ≤-2.综上所述，参数m 的取值范围为[-3,1).该不等式为二次式，且二次项的系数大于0，但方程的判别式对函数F ()x 和m 的取值有影响.于是采用分类讨论法，分△≥0和△<0两种情况讨论F ()x ≥0时m 的取值.虽然不等式恒成立问题的难度较大，但是我们只要掌握了解答此类问题的几个“妙招”，就能在解题时做到游刃有余.（作者单位：华东师范大学盐城实验中学）O47Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
不等式的解题方法
不等式的解题方法不等式是数学中常见的问题，它涉及到比较两个或多个数值的大小。
解决不等式问题需要掌握一些基本的方法和技巧。
1.比较法：这是最直接的方法，用于比较两个数或表达式的大小。
通过直接计算或化简，可以得出它们之间的大小关系。
2.作差法：如果两个数或表达式A 和B，我们想知道A 是否大于B。
一个常用的方法是计算A 和B 的差，即A - B。
如果差是正的，则A 大于B；如果差是负的，则A 小于B；如果差是零，则A 等于B。
3.作商法：对于两个正数或表达式A 和B，我们想知道A 是否大于B。
另一种方法是计算A 和B 的商，即A / B。
如果商大于1，则A 大于B；如果商小于1，则A 小于B；如果商等于1，则A 等于B。
4.不等式的性质：对于不等式的基本性质，例如传递性、可加性、可乘性和同号得正等，需要熟练掌握。
这些性质可以帮助我们在解决不等式问题时进行简化。
5.不等式的解法：对于一元一次不等式和一元二次不等式，需要掌握基本的解法技巧。
例如，对于一元一次不等式ax + b > c，可以通过移项、合并同类项和化简来求解。
对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0，可以通过求解对应的等式来确定不等式的解集。
6.数形结合：在解决不等式问题时，结合图形可以帮助我们直观地理解问题。
例如，对于线性不等式组，可以通过在坐标系中画出直线和区域来直观地找出解集。
7.特殊值法：对于一些难以直接解决的问题，可以通过代入一些特殊的数值来检验或验证不等式的正确性。
综上所述，解决不等式问题需要掌握多种方法和技巧，根据具体问题选择合适的方法进行求解。
数形结合巧解不等式两例
图 １
一 一
６ 函数 ＿ ｚ 一 ｚ＋ 图 与 厂 ） （
象 的交点 （ ３ ２ ２ 一 ６ （ ３ ２ ２ 一６ ， 一 — √ ， ）和 一 ＋ √ ， ）
得原不等式的解集为（ —２ 一３ ）Ｕ ～３ √ ， ＋２
｛） １．
推 广 中 图形 变化 较 多 ， 文 仅举 一 例 加 以证 本
点则 Ｐ ｒＳ， ｒｓ， ＝ｃ詈 ，０—ｃ号∞一ｃ譬Ｏ ｒ ， Ｏ 。 Ｒ ｏ ｓ
由余 弦定理 ， 知
Ｐ Ｑ 一 Ｏ Ｐ ＋ Ｏ Ｑ 一 ２ Ｐ ０ ・ （ ・
学 课程 标 准 》中对 复数 要 求较 低 ， 用复 数 变 换来 证 学生难 以理解 ， 而综合法 的证 明又较复 杂 ， 面 下
［ ］ 朱 汉 林 ． 道 普 特 南数 学 竞 赛 题 之 教 学 札 记 ［］ 中 １ 一 Ｊ．
学 数 学 月刊 。０ ９ １ ） ２０ （０ ．
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２１ ０ ０年第 ４期
中学 数学 月刊
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数形结合在不等式证明中的应用
数形结合在不等式证明中的应用不等式是数学中非常重要的一个概念，它用于描述数量之间的大小关系。
在进行不等式证明时，数形结合方法是一种常用的技巧。
数形结合是指将代数方法与几何图形相结合，通过对几何图形的分析和推理，得到不等式的证明。
数形结合方法在不等式证明中的应用主要有以下几个方面：1.图形的面积与不等式之间的关系几何图形的面积是一个可以直观表示数量大小的概念。
在不等式证明中，可以利用图形的面积与不等式之间的关系来推导不等式的成立。
例如，通过比较两个图形的面积大小来推导不等式的大小关系，或者通过拆分图形的面积来推导不等式的性质。
2.图形的周长与不等式之间的关系几何图形的周长是指图形边界上的线段的长度之和，它也可以用来表示一些数量之间的大小关系。
在不等式证明中，可以通过图形的周长与不等式之间的关系来推导不等式的成立。
例如，通过比较两个图形的周长大小来推导不等式的大小关系，或者通过拆分图形的周长来推导不等式的性质。
3.图形的长度、宽度与不等式之间的关系几何图形的长度、宽度是指图形边界上的线段的长度，它们也可以用来表示一些数量之间的大小关系。
在不等式证明中，可以通过图形的长度、宽度与不等式之间的关系来推导不等式的成立。
例如，通过比较两个图形的长度、宽度大小来推导不等式的大小关系，或者通过拆分图形的长度、宽度来推导不等式的性质。
4.图形的角度与不等式之间的关系几何图形的角度是指两条交叉线之间的夹角，它也可以用来表示一些数量之间的大小关系。
在不等式证明中，可以通过图形的角度与不等式之间的关系来推导不等式的成立。
例如，通过比较两个图形的角度大小来推导不等式的大小关系，或者通过拆分图形的角度来推导不等式的性质。
5.图形的对称性与不等式之间的关系几何图形的对称性是指图形经过一些中心点或中心轴旋转、平移或反射后仍与原来的图形完全相同，它们在不等式证明中也起到了重要的作用。
通过利用图形的对称性，可以推导出不等式的对称性质，从而进一步证明不等式的成立。
数形结合思想与初中一元一次不等式求解教学
数形结合思想与初中一元一次不等式求解教学数形结合思想是数学教学中的一种重要思维方式，它通过将抽象的数学概念与具体的图形进行结合，帮助学生更直观地理解数学知识，提高他们的数学思维能力。
在初中数学教学中，一元一次不等式求解是一个重要的内容，通过数形结合思想教学，可以使学生更深入地理解不等式的性质和解题方法，提高他们的数学学习兴趣和成绩。
本文将探讨数形结合思想与初中一元一次不等式求解的教学方法，并提出一些教学实践建议。
1.引导学生观察图形，培养数形结合思维在教学中，教师可以通过引导学生观察图形的方式来培养他们的数形结合思维。
对于简单的一元一次不等式如x+2>0，教师可以画出x轴和表示不等式对应的直线x=-2，然后让学生观察直线所在的位置和不等式的关系，引导他们发现不等式解的性质和规律。
通过这样的观察和思考，学生可以更直观地理解不等式的意义和解题方法，从而提高他们的数学思维能力。
2.利用图形演示不等式解的过程在教学中，教师可以利用图形来演示不等式解的过程，例如通过画图的方式来解一元一次不等式的题目，让学生直观地理解解题的过程和方法。
通过这样的演示，学生可以更形象地理解不等式的解题过程，提高他们的解决问题的能力和学习兴趣。
3.提出实际问题，引导学生运用数形结合思想解决问题在教学中，教师可以提出一些实际问题，引导学生运用数形结合思想来解决问题。
通过实际问题引入不等式的内容，然后让学生利用数形结合思想来解决问题，从而提高他们的数学思维能力和解决问题的能力。
通过这样的实际问题引入，可以使学生更加深入地理解不等式的意义和应用，提高他们的学习兴趣和成绩。
1.注重引导学生观察和思考2.注重利用实例和案例引入不等式内容3.注重培养学生的解决问题能力。
高考数学 高频考点归类分析 不等式问题中“数形结合法”的应用(真题为例)
高频考点分析不等式问题中“数形结合法”的应用典型例题：例1. （2012年湖南省理5分）已知两条直线1l ：y m =和2l ：()802+1y m >m =，1l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于点A ，B ，2l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于C ,D .记线段AC 和BD 在X 轴上的投影长度分别为a , b ,当m 变化时，ba的最小值为【 】A ．162 B. 82 C. 384 D. 344 【答案】B 。
【考点】数形结合，函数的图象，基本不等式的应用。
【解析】如图，在同一坐标系中作出y m =，()802+1y m >m =，2log y x =图像，由2log =x m ，得122,2m mx x -==，由28log 2+1x m =，得882121342,2m m x x -++==。
根据题意得8218888212121218212222,22,22222mm m mmmm m m m m m b a b a+-+-++++--+-=-=-===- 。
∵814117412122222m m m m +=++-≥-=++，∴72min ()2=82b a =。
故选B 。
例 2. （2012年重庆市理5分）设平面点集{}221(,)()()0,(,)(1)(1)1A x y y x y B x y x y x ⎧⎫=--≥=-+-≤⎨⎬⎩⎭，则A B I 所表示的平面图形的面积为【 】（A ）34π （B ）35π （C ）47π （D ）2π 【答案】D 。
【考点】数形结合，函数的图象，双曲线和圆的对称性。
【分析】∵1()()0y x y x --≥，∴010y x y x -≥⎧⎪⎨-≥⎪⎩或010y x y x -≤⎧⎪⎨-≤⎪⎩。
又∵22(1)(1)1x y -+-≤，∴满足上述条件的区域为如图所示的圆内部分Ⅰ和Ⅲ。
∵1)1()1(,122=-+-=y x xy 的图象都关于直线=y x 对称， ∴Ⅰ和Ⅳ区域的面积相等，Ⅱ和Ⅲ区域的面积相等，即圆内部分Ⅰ和Ⅲ的面积之和为单位圆面积的一半，为2π。
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数形结合解不等式问题河北省玉田县林南仓中学 金志刚(邮编064106)不等式问题是高中数学中的重要内容，也是历年高考的必考题目。
有些题目因为计算量大很多学生感觉学起来困难太大，以至产生了畏难情绪。
本文试图将抽象数学问题与具体直观图形结合起来，充分利用图形性质和特点，对问题理行分析思考，化抽象为直观，化繁琐为简洁。
例1 已知集合}{21)1(1g a x g x A <+-，集合}{0)2)((>--=x a x x B ，若A ∪B=R ，则实数a 的取值范围是_________。
分析：如用代数法解不等式，求a 的取值范围，需分三种情况讨论，而用数形结合方法则可一步获解。
由}{21)1(1g a x g x A <+-= 得}{11+<<-=a x a x A 。
又由{}0)2()(>--=x a x x B ， 令)2)(()(--=x a x x f ， 据图可见A ∪ B=R 的充要条件是.3101030)1(,0)1(<<⇒⎩⎨⎧>->-⇒⎩⎨⎧>+>-a a a a f a f例 2 设函数ｆ（ｘ）＝｛，ｘ＞，ｘｘ，－ｘ01221 ≤若f(0x )>1,则0x 的取值范围是（ ）A 、（-1，1）B 、（－1，＋∞ ）C 、（-∞，－2）⋃（0，+∞）D 、（-∞，－1）⋃（1，+∞） 分析:本题主要考查函数的基本知识，利用函数的单调性解不等式以及考生借助数形结合思想解决问题的能力。
一般解法：1{21>>x x 或 1120{>-≤x x 解得得ｘ＜-1或ｘ＞1。
解法2：如图1，在同一坐标系中，作出函数ｙ=f(x ）的图象 和直线ｙ=l ，它们相交于（-1，1）和（1，1）两点， 由 f(ｘ)>1 得 ｘ＜-1 或 ｘ＞1例3 解不等式x x +>2常规解法：原不等式等价于（Ｉ）x x x x≥+≥+>⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪02022或（II ）⎩⎨⎧≥+<020x x解（Ｉ）得02≤<x ；解（II ）得-≤<20x综上可知，原不等式的解集为{}{}x x x x x ||-≤<≤<=-≤<200222或 数形结合解法：令y x y x 122=+=，，则不等式x x +>2的解就是使y x 12=+的图象在y x 2=的上方的那段对应的横坐标。
如右图，不等式的解集为{}x x x x A B |≤<，而x B 可由x x +=2解得x x B A ==-22，，故不等式的解集为{}x x |-≤<22例4 若-3<1x <2，则x 的取值范围是（ ）A 、（-13 ，12 ）B 、（12 ，13 ）C 、（-13 ，0）⋃（12 ，+∞）D 、（-∞，-13 ）⋃（12，+∞）分析：本题若用常规解法则比较花时间，若用函数y=1x 的图象求解，则比较简单。
如右图不难得出 -3＜1x＜2 的解是 ｘ＜-13 或 ｘ＞12例5． 设对于任意实数，函数总有意义，求实数a 的取值范围。
-32解法1：函数有意义，则，即在上总成立。
设，即当时，总成立。
∴依抛物线的特征，将其定位，有，如下图1所示。
图1。
解法2：对于不等式，因为，所以，不等式可化成。
的最大值即可。
设的图象如下图2所示，可知的最大值为10，故最大值为4，则。
图2点评：解法1抓住了抛物线的特征，由实数a 的不等式组，将抛物线定位，再求解范围。
另外，由于涉及到一元二次方程根的分布，所以又提供了一次数形结合的机会。
解法2将实数a 从不等式中分离出来，对后边函数中换元后，利用典型函数图象直观地求其最大值，求得a 的范围，体现数形结合的思想，不失为好办法。
例6．解不等式：分析：本题是道高考的容易题，但实际上当年考生得分并不高，错误的原因就在于绝大多数同学只会用分类讨论的方法解此无理不等式，而在讨论时，又分类不全，错误率很高，其实只要有数形结合的思想，利用图象求解，本题还是很容易的.《解》作与y=x+1的图象于同一坐标系，解方程组得出交点A(2，2)，注意到B(，0)，结合题意可能不等式的解为：（2）例7．解关于x 的不等式（Ⅰ）)212lg()21lg()3lg(-≤-+-x x x ；（Ⅱ）)21227lg()21227lg()21lg()3lg(--≤--≤-+-mx x mx x x x ，其中351<<m 。
.解：（Ⅰ）)212()21lg()3lg(-≤-+-x x x ，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≤-⋅->->-⇔.212)21()3(,021,03x x x x x⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-<<⇔.0123,3212x x x ∵0167)43(12322>+-=+-x x x ， ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤321|x x 。
（Ⅱ）)351)(21227lg()21lg()3lg(<<--≤-+-m mx x x x ，等价于⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<--≤-⋅->->-).351(,21227)21()3(,021,03m mx x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<≥+-<<⇔).351(,012,3212m mx x x))35,1(),3,21((,12∈∈+≤⇔m x x x m 。
令直线)451(,2:<<=m m y l ，曲线)3,21(,1:∈+=x x x y c ，作出直线l 与曲线c 的图象。
（1）当2522<<m ，即451<<m 时，直线l 与曲线c 有两个公共点，公共点的横坐标是1,12221-+=--=m m x m m x ，此时不等式的解集为)3,1[]1,21(22-+⋃--∈m m m m x 。
（2）当310225<≤m ，即3545<≤x 时，直线l 与曲线c 有一个公共点，公共点的横坐标是12-+=m m x ，此时不等式的解集为)3,1[2-+∈m m x 。
点评：本题的关键是将不等式问题转化为直线)451(,2:<<=m m y l 与曲线)3,21(,1:∈+=x x x y c 之间的图像关系问题，通过数形结合直接写出不等式的解集。
例8． 已知全集，集合，，．（1）试求实数的取值范围，使； （2）试求实数的取值范围，使． 解 ∵，，，∴，．，．∵，∴ 当时，．当时，，当时，（1）如图，的充要条件是解得．（2）如图，的充要条件 是解得点评:将集合，，标在数轴上，则和的关系的几何意义就是数轴上区间的覆盖关系，借助于图形的直观性再转化为与之等价的关于字母系数的不等式组，可见不等式的解集的区间表示是很有意义的．例9 试证：对任何a ＞0,b ＞0,c ＞0都有：ac c a bc c b ab b a ++≥-++-+222222（当c a b 111+=时等号成立）。
证明：根据数式特征，可构造如右图形，其中的AB=a ，BC=c ，BD=b ，则︒-+=60cos 222ab b a AD ab b a -+=22，bc c b CD -+=22， ac c a AC ++=22。
由图知AC+DC ≥AC ， 故原不等式成立。
当A 、D 、C 共线时等号成立。
此时有CBD ABD ABC S S S ∆∆∆+=，故bc ab ac +=，即c a b 111+=。
这说明了解决不等问题转化为图形处理，利用数形结合，开拓解题思路，真是耳目一新，化难为易。
例10．已知函数f(x)=tanx ，x ∈(0,π/2)若x 1,x 2证明：)2(2)()(2121x x f x f x f +>+错证：作出y=tanx,x ∈(0,π/2)的图象。
（如图）则点A(x 1,f(x 1))、点B(x 2 ,f(x 2))线段AB 的中点C 的坐标是：)2)()(,2(2121x f x f x x ++ 设C 在X 轴上的射影是C 1。
CC 1交y=f(x)的图象于D ，由图象知C 1C>C 1D 即)2(2)()(2121x x f x f x f +>+命题得证。
剖析：上述证法利用了图象的直观性，看似思路清晰、证法简洁，但实际上是不严密的。
事实上，上述证明过程中用到了“y=tanx 的图象在上下凸”的特性，而这个特性在初等数学中未加证明，故上述证法缺乏严密性因而是错误的。
（正解略）数形结合思想是数学中基本的思想，是高考中明确规定要求考查的主要思想之一。
灵活运用数形结合思想解题，常使问题的解决变得巧妙而快捷，使一些复杂棘手的问题的解决变得简单而生动。
在我们的学习中，必须随时注意运用数形结合思想，从而培养良好的思维品质，以提高分析问题解决问题的能力。
数形结合思想是一个重要且有效的数学解题思想，同学们一定要下点工夫掌握它，掌握它你将大受其益。