必修5 解三角形、数列、不等式

第一章 解三角形

例1 某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩，其一角已破损，现测得如下数据：

BC=2.57cm,CE=3.57cm,BD=4.38cm,B=450,C=1200.为了复原，请计算原玉佩两边的长（结果精确到0.01cm ）

例2台风中心位于某市正东方向300km 处，正以40km/h 的 速度向西北方向移动，距离台风中心250km 范围内将会受到其影响。如果台风速度不变，那么该市从何时起要遭受台风影响？这种影响持续多长时间（结果精确到0.1h ）?

例3如图 在△ABC 中，=（x,y ），AC =(u,v),求证：△ABC 的面积S=

2

1︱xv-yu ︱.

例4 如图所示，有两条直线AB 和CD 相交成800角，交点是O,甲、乙两人同时从点O 分别沿OA,OC 方向出发，速度分别是4km/h,4.5km/h,3时后两人相距多远（结

例5 如图 是公元前约400年古希腊数学家泰特托斯用来构造无理数2，3，5，、、、的图形，试计算图中线段BD 的长度及∠DA B 的大小（长度精确到0.1，角度精确到10）。

例6如图，在梯形ABCD 中，A D ∥BC,AB=5，AC=9，

∠BCA=300，∠ADB=450

，求BD 的长。

例7 一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A 开始作匀速直线运动，到达点B 时，发现足球在点D 处正以2倍于自己的速度向点A 作匀速直线滚动。如图，已知AB=42dm,AD=17dm,

∠BAC=450

.若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在何处截住足球？

例8 如图所示，已知⊙O 的半径是1，点C 在直径AB

○1若∠POB=θ,试将四边形OPDC的面积y表示成θ的函数。

○2求四边形OPDC面积的最大值。

例9自动卸货汽车采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杠BC的长度，如图，已知车厢的最大仰角为600，（指车厢AC与水平线的夹角），油泵顶点B与车厢支点A 之间的距离为 1.95m,AB与水平线之间的夹角为6020/,AC长为 1.40m.计算BC的长度（结果精确到0.01m）。

例10如图所示，两点C,D与烟囱底部在同一水平直线上，在点C1，D1,利用高为1.5m的测角仪器，测得烟囱的仰角分别是α=450和β=600，C,D间的距离是12m,计算烟囱的高AB（结果精确到0.01m）。

例11图是曲柄连杆机构的示意图。当曲柄CB绕点C旋转时，通过连杆AB的传递，活塞作直线往复运动。当曲柄在CB0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端○1当曲柄自CB0按顺时针方向旋转角为θ时，其中00≤θ<3600，求活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距离A0A）.

○2当l=340mm,r=85mm,θ=800时，求A0A的长（结果精确到0.01mm）。

例12如图所示，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个水声监测点B,C 分别在A的正东方20km处和54km处。某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8s后监测点A，20s后监测点C相继收到这一信号，在当时气象条件下，

声波在水中的传播速度是1.5km/s. ○1设A到P的距离为xkm,用x表示B,C到P的距离，并求x的值。

○2求静止目标P到海防警戒线a的距离（结果精确到0.01km）。

第二章 数列

例1根据下面的通项公式，分别写出数列的前5项。 （1）a n =

2n +n (2) a n =(-1)n cos 4

n

例2写出下列数列的一个通项公式。

（1）3,5,7，9，… (2)1,2,4,8… (3)9,99,999,9999，…

例3判断下列无穷数列的增减性。 （1）2,1,0，-1, …,3-n, … (2) 2 1,3 2,4

3,…,1n n +, …

例3作出数列-

2 1，4 1，-8 1，16

1，…，（-2

1）n ,…的图

像，并分析数列的增减性。

例4一辆邮车每天从A 地往B 地运送邮件，沿途（包括A,B ）共有8站，从A 地出发时，装上发往后面7站的邮件各一个，到达后面各站后卸下前面各站发往该站的一个邮件，同时装上该站发往下面各站的邮件各一个。试写出邮车在各站装卸完毕后剩余邮件个数所成的数列，画出该数列的图像，并判断该数列的增减性。

例5判断下列数列是否为等差数列。 （1）a n =2n-1 ; (2) a n =(-1)n .

例6已知等差数列{a n }，a 1=1,d=2，求通项a n .

例7（1）求等差数列9,5,1，的第10项；

（2）已知等差数列{a n }，a n =4n-3,求首项a 1和公差d.

例8已知在等差数列{a n }中，a 5=-20，a 20=-35，试求出数列的通项公式。

例9已知（1，1），（3,5）是等差数列{a n }图像上的两点。（1）求这个数列的通项公式。 （2）画出这个数列的图像。 （3）判断这个数列的单调性。

例10一个木制梯形架的上、下两底边分别为33cm,75cm,把梯形的两腰各6等分，用平行木条连接各对应分点，构成梯形架的各级，试计算梯形架中间各级的宽度。

例11求前n个正奇数的和。

例12在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9有关的设计。例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成（如图），最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共9圈，请问：（1）第九圈共有多少块石板？

(2) 前9圈一共有多少块石板？

例13在数列{a n}中，a n=2n+3,求这个数列自第100项到第200项之和S的值。

例14 在新城大道一侧A处，运来20棵新树苗，一名工人从A处起沿大道一侧路边每隔10米栽一棵树苗，这名工人每次只能运一棵，要栽完这20棵树苗，并返回A 处，植树工人共走了多少路程？

例15九江抗洪指挥部接到预报，24h后有一洪峰到达，第二道防线，经计算，需调用20台同型号翻斗车，平均每车工作24h后方可筑成第二道防线。但目前只有一辆车投入施工，其余的需从昌九高速公路沿线抽调，每隔２０min能有一辆车到达。指挥部最多可调集25辆车，那么在24h内能否构筑成第二道防线？

例16以下数列中，那些是等比数列？

（1）1，-

2

1

，

4

1

，-

8

1

，

16

1

，

(2)1,1,1，…,1；(3)1,2,4,8，12,16,20；

（4）a, a2, a3,…, a n.

例17一个等比数列的首项是2，第2项与第3项的和是12，求它的第8项的值。

例18在各项为负数的数列{a n}中，已知2a n=3a n+1，且

a2·a5=

27

8

.

（1）求证：{a n}是等比数列，并求出通项。

（2）试问-

81

16

是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由。