空间中的夹角和距离

第十二讲—空间中的夹角和距离

一．课标要求：

1．掌握两条直线所成的角和距离的概念及等角定理；（对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离）。

2．掌握点、直线到平面的距离，直线和平面所成的角；

3．掌握平行平面间的距离，会求二面角及其平面角；

二．命题走向

高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道, 解答题1道), 共计总分27分左右,考查的知识点在20个以内。随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着“多一点思考,少一点计算”的发展，从历年的考题变化看, 以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证，角与距离的探求是常考常新的热门话题。

预测2010年高考试题：

（1）单独求夹角和距离的题目多为选择题、填空题，分值大约5分左右；解答题中的分步设问中一定有求夹角、距离的问题，分值为6分左右；

（2）选择、填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提。

三．要点精讲

1．距离

空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线线距，线面距，面面距。其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离．因此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的。

求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。（1）两条异面直线的距离

两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；求法：如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度。

（2）点到平面的距离

平面外一点P在该平面上的射影为P′，则线段PP′的长度就是点到平面的距离；求法：○1“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。○2等体积法。

（3）直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；

（4）平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。

求距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方

法，把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：

①找出或作出表示有关距离的线段；②证明它符合定义；③归到解某个三角形．若表示距离的线段不容易找出或作出，可用体积等积法计算求之。异面直线上两点间距离公式，如果两条异面直线a 、b 所成的角为 ，它们的公垂线AA ′的长度为d ，在a 上有线段A ′E ＝m ，b 上有线段AF ＝n ，那么EF ＝θcos 2222mn n m d ±++（“±”符号由实际情况选定）

2．夹角

空间中的各种角包括异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，要理解各种角的概念定义和取值范围，其范围依次为(0°，90°]、[0°，90°]和[0°，180°]。 （1）两条异面直线所成的角

求法：○1先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；○2通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是]2

,

0(π，向量所成的角范围是],0[π，如果求出的是钝角，要注

意转化成相应的锐角。 （2）直线和平面所成的角

求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。除特殊位置外，主要是指平面的斜线与平面所成的角，根据定义采用“射影转化法”。 （3）二面角的度量是通过其平面角来实现的

解决二面角的问题往往是从作出其平面角的图形入手，所以作二面角的平面角就成为解题的关键。通常的作法有：（Ⅰ）定义法；（Ⅱ）利用三垂线定理或逆定理；（Ⅲ）自空间一点作棱垂直的垂面，截二面角得两条射线所成的角，俗称垂面法．此外，当作二面角的平面角有困难时，可用射影面积法解之，cos ＝

S

S '

，其中S 为斜面面积，S ′为射影面积， 为斜面与射影面所成的二面角。 3．等角定理

如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。

四．典例解析

题型1：直线间的距离问题

例1．已知正方体的棱长为1，求直线DA'与AC

的距离。

解法1：如图1连结A'C'，则AC ∥面A'C'D'， 连结DA'、DC'、DO'，过O 作OE ⊥DO'于E

因为A'C'⊥面BB'D'D ，所以A'C'⊥OE 。

又O'D ⊥OE ，所以OE ⊥面A'C'D 。

因此OE 为直线DA'与AC 的距离。 在Rt △OO'D 中，，可求得

点评：此题是异面直线的距离问题：可作出

异面直线的公垂线。

解法2：如图2连接A'C'、DC'、B'C 、AB'A'，

得到分别包含DA'和AC 的两个平面A'C'D 和平

面AB'C ，

又因为A'C'∥AC ，A'D ∥B'C ，所以面A'C'D

∥面AB'C 。 故DA'与AC 的距离就是平面A'C'D 和平面

AB'C 的距离，连BD'分别交两平面于两点，易证

是两平行平面距离。

不难算出，所以，所以异面直线BD 与之间

的距离为。

点评：若考虑到异面直线的公垂线不易做出，可分别过两异面直线作两平面互相平行，则异面直线的距离就是两平面的距离。 题型2：线线夹角

例2．如图1，在三棱锥S —ABC 中，，，，，求异面直线SC 与AB 所成角的余弦值。

S

A

C

B

图1

解法1：用公式 当直线平面，AB 与所成的角为，l 是内的一

条直线，l 与AB 在内的射影所成的角为，则异面直线l 与AB 所成的角满足。以此为据求解。

由题意，知平面ABC ，，由三垂线定理，知，所以平面SAC 。

B C

A D

B' C'

O'

A' D'

图1 E

O C B

D A

C' O 2 B'

D' A'

O 1