本科概率论及数理统计课件第六章新

4、样本k 阶原点矩
Ak
1 n
n i 1
X
k i
它反映了总体k 阶矩的信息。
k 1,2, , n.
5、样本k 阶中心矩
Bk
1 n
n i 1
(Xi
X )k
可见
X
A1
,
S2
n
n
1
B2
注：统计量的分布称为抽样分布。
k 1,2,
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总体中每个研究对象(元素)称为个体。 例如：测试矿大全体男生的身高；
总体
总体 …
研究某批灯泡的质量 考察国产轿车的质量
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有限总体：一个厂某个月生产灯泡的个数的全体 总体
无限总体：一个厂生产灯泡的个数的全体
总体可以用一个随机变量 X 及其分布来描述。
由辛钦定理
1 n
n i1
X
k i
P k
即 Ak P k .
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第三节
几种常用的分布
第六章
一般情况来说要得到某一统计量的分布是困难的， 而在正态总体的条件下一些统计量的分布能较方便地
被确定。 下面我们介绍最常用的三类随机变量：
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二 、样本
( X1, X 2,K , X n )
样本：在总体中抽取若干个有代表性的个体。
样本容量：样本中所含个体的数目n 。
① 代表性：样本的每个分量 X i 与总体X 有相同的
分布函数；
② 独立性：X1, X 2,K , X n 为相互独立的随机变量，
一 、 2 分布
二 、t 分布 三 、F 分布
(一)
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第三节 几种常用的分布
分布
1. 定义
设 X1, X 2, , X n 相互独立, 都服从正态分布N(0,1),
则称随机变量：
2
X
2 1
X
2 2
X
2 n
所服从的分布为自由度为 n 的 2 分布.记为 2 ~ 2 (n)
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2 . 性质 (1) 可加性
12
~
2
(n1
),
2 2
~
2 (n2 ),
且 相互独立，
有12
2 2
~
2 (n1
n2 )
(2) 2 ~ 2 (n), 则 E( 2 ) n D( 2 ) 2n
证明
2
X
2 1
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X 22
2 k 1
Xk
2
k 1
不是统计量。
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几种常用的统计量
设 X1, X 2, , X n 是来自总体X 的一个样本，
1、样本均值
X
1 n
n k 1
Xk
它反映了总体X 取值的平均值的信息，常用来估计EX.
2、样本方差
S 2
1 n 1
n k 1
(Xk
X )2
1
n
(
n 1 k 1
X
2 k
nX
2)
3、样本标准差 S
S2
1 n 1
n i1
(Xi
X
)2
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结论：
为来自总体X的样本
有E(X ) ____, D(X ) _____,
E(S 2 ) ____,
例：设 X1，X 2，L ，X n 是来自总体X的一个样本，总体的
k阶矩
(k=1,2,…l)存在，证明：
E(Ak)= E(Xk)
Ak p E( X k )
证明 因为样本 X1, X 2,K , X n 相互独立且与总体X
服从相同的分布。则
X
k 1
,
X
k 2
,K
,
X
k n
也相互独立，且
与 X k 服从相同的分布。
L
X
2 n
Xi ~ N (0,1) ，则
E
(
X
2 i
)
D(
X
i
)
E
2
(
X
i
)
1
D(
X
2 i
)
E
(
X
4 i
)
E
2
(
X
2 i
)
3
1
2
所以
E
(
2
)
nE
(
X
2 i
)
n
D(
2
)
nD(
X
2 i
)
2n
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2 分布的分位点
定义：对于给定的正数
满足以上条件的样本 ( X1, X 2,K , X n ) 称为来自总体
X 的容量为n 的一个简单随机样本（简称样本）。
样本的一次具体实现 (x1, x2,K , xn ) 称为样本值。
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第二节 统计量 定义1 设 X1, X 2 , , X n 是来自总体X 的一个样本，
g (x1, x2 , , xn ) 便是一个数。
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例如 总体 X ~ N (, 2 ), X1, X 2, , X nn是一个样本，
期望已知而方差未知，则 2X1 X 2 , X k
均为统计量， 1 n
2 (n)
的点2 (n)为
称满足条件
的上 分位点。
2
(
n)
例： 0.1, n 25
2 0.1
(25)
34.382
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（二）t 分布
1. 定义: 设X～N(0,1) , Y～ 2(n) , 且X与Y相互独立， 则称变量 T X Yn
g ( X1, X 2 , , X n ) 为一连续函数，其不包含任何
未知参数，则称 g (X1, X 2, , X n ) 为一个统计量。 g (x1, x2 , , xn ) 为 g (X1, X 2, , X n ) 的观测值。 注：g (X1, X 2, , X n ) 是随机变量的函数仍为随机变量。
所服从的分布为自由度为 n 的 t 分布. 记为 T～t (n)。 T 的密度函数为：
f (x; n)
[(n 1)
2]
(1
x2
)
n1 2
(n 2) n n
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第六章 样本及抽样分布
一 、总体与样本 二 、统计量 三 、几个常用的分布 四 、正态总体统计量的分布
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第一节 总体与样本
一 、总体
研究对象的某项数量指标值的全体称为总体。