第8节 拉普拉斯定理

它们的代数余子式为
A1 ( 1)1 31 2 0 1 0, 0 1 A3 ( 1)
1 3 2 3
A2 ( 1)1 3 2 4 1 1 2, 1 1 A4 ( 1)
1 31 2
1 2 5, 1 3
0 1 0, 0 1
A5 ( 1)411 3 0 2 0, 0 3
a11 a1n 0 an1 ann 0 1 b11 1 bn1

0 0 0 0 0 0 1 b1n 1 bnn
c11 c n1 b11 bn1

c1n cn1 b1n bnn
注释1 ① 一个行列式的k 级子式和余子式有很多。 ② k=1时A的行列式的每个元素都是一个1级子式， k=n时A本身是一个n级子式（没有余子式）。
二、Laplace定理
定理8.3 在矩阵A中取定k行，则这k行确定的所有k
阶子式和它们的代数余子式的乘积和等于 A .
注释2
① 理解引理和Laplace定理以及会用定理即可 ② k=1时Laplace定理就是行列式按行(列)展开法则 ③ Laplace定理不适合计算一般行列式（见下例）
2 2 2 D a11 a12 a1n 2 2 2 a21 a22 a2n
n
作业：P130 Ex 1 (2), (4), 2 (1)(3)

2 2 2 an1 an 2 ann
2 nD aij 0. i 1 j 1
n
n
因此，由上面两方面知，结论成立。
到第k 行, j , k 1,2,, n.
a11 a1n 0 an1 ann 0 1 b11 1 bn1 0 0 0 0 0 0 1 b1n 1 bnn c11 c n1 b11 bn1 c1n cn1 b1n bnn
a11 a1n b11 b1n D an1 ann bn1 bnn
a 例4 计算行列式 D b c d a 解 D2 b c d a b c d b a d c b a d c c d a b c d a b d c b a d c b a
A6 ( 1)1 31 2 0 1 0. 0 1
D ( 2) 0( 2) ( 1)5 20 60 ( 1)0 7 1
例2 证明
熟记该结论，后面 经常用
a11 a1m 0 0 a11 a1m b11 b1n am 1 amm 0 0 c11 c1m b11 b1n am 1 amm bn1 bnn cn1 cnm bn1 bnn
D 2 ( D n 2 1) 0.
a1n A11 a2 n A12 ann A1n
Dn
A21 A22 A2 n
An1 An 2 Ann
另一方面， 对 i 1,2, n,
D aij Aij a 2 . ij
n j 1 j 1
c d a b
d c b a
a 2 b2 c 2 d 2 0 0 0 0 a 2 b2 c 2 d 2 0 0 0 0 a 2 b2 c 2 d 2 0 0 0 0 a 2 b2 c 2 d 2
a b c d
2 2 2

2

4
由于a 4在D中的系数是1，于是 D a b c d
证明 把左边行列式按照前m行展开， 则该m行左上
而其它m阶子式至少有 上角的m阶子式M不等于0， 一列全是0，从而其它m阶子式都等于0.
其中
a11 a1m M , am 1 amm
它的代数余子式为
b11 b1n b11 b1n N ( 1)(1 2 m ) (1 2 m ) . bn1 bnn bn1 bnn
A11 A12 于是 D A21 A22 An1 An 2
由行列式按行列展开法则得
D, i k ai 1 Ak 1 ai 2 Ak 2 ain Akn 0, i k

一方面，
a11 a12 a21 a22 2 D D D a n1 a n 2
D D D
b a d c a b c d a b c d
c d a b b a d c
d c b a c d a b c d a b db c d
b a d c
c d a b
d c b a
a b c d
b a d c
1 例1 计算行列式 D 0 1 0
2 1 0 1
1 2 1 3
4 1 3 1
解 取前两行，考虑它的2阶子式和余子式
1 2 2, M1 1 0 1 4 1, M3 1 3 M 5 2 4 6, 0 3 1 1 0, M2 1 1 2 1 2, M4 0 1 M 6 1 4 1 1 3
除左上角的n阶 子式不等于0，其 余n阶子式都有0 列
应用拉普拉斯定理，按照前n行展开
a11 a1n b11 b1n D an1 ann bn1 bnn
下面采用另外的方法计算行列式D。 以便把它化成一个 为此，对D应用行列式的性质， 左上角为零的2n阶行列式：把第n j行的akj 倍加
因此，由Laplace定理得
原行列式=MN, 结论成立。
例3 设有两个n级行列式
a11 a21 D1 a n1 a12 a22 an 2 a1n b11 b12 a2 n b21 b22 , D2 ann bn1 bn 2 b1n b2 n ， bnn
其中
cij ai 1b1 j ai 2b2 j ainbnj , i , j 1,2, , n.
把上面第二个行列式按前n行展开得
c11 c12 c1n 1 c21 c22 c2 n 1 D ( 1)(1 2 n )(( n1)( n 2) 2 n ) 1 cn1 cn 2 cnn c11 c12 c1n c c c2 n 21 22 cn1 cn 2 cnn
记
cij ai 1b1 j ai 2b2 j ainbnj；i , j 1,2, , n
则
c11 c21 D1 D2 cn1
c12 c22 cn 2

c1n c2 n cnn
证明 作一个2n阶的行列式
a11 a1n 0 an1 ann 0 D 1 b11 1 bn1 0 0 b1n bnn
2 2 2

2

2
.
例5 设D是实元素的n阶行列式，且元素不全等于0。 假设D的每个元素的与其代数余子式相等。 证明当
n 2时，D 1.
证明 记
a11 a12 a21 a22 D a n1 a n 2 a1n a2 n a A , i , j 1,2, , n. ， ij ij ann A1n A11 A2 n A12 Ann A1n A21 A22 A2 n An1 An 2 Ann