《平面向量的加法》公开课课件 (1)
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《平面向量的加法》公开课课件-(1)
速为2km/h，则船的实际航行速度大小最大
是7km/h ，最小是 3km/h 。
小结与回顾
（要点：两向量首尾连接） （要点：两向量起点重合组成平行四边形两邻边）
ab ba (ab)c a(bc)
a
b
A
B
C
ACab
B
CA
ACab
注： a00aa
思考
• 使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可 以推广到n个向量相加。 (首尾相接，首尾连）
A BB CC D DEAE
C
Ed
D
c
C
A
b
aB
AB BC CA 0
A
B
向量加法的平行四边形法则
(1)研究向量是否满足交换律: abba
作法 :作平行四边形,使AABBCaD ,ADb
ABBCAC
二、向量加法的三角形法则
例1已知 a,向 b求 , 量 作a向 b量
b
作法（1）在平面内任取一点O
a
(2)作 O Aa,AB b
(3)则 OB ab
这种作法叫做向量加法
o·
A 的三角形法则
（B“首尾相接，首尾 连”）
当向a,量 b为共线向 a量 b又时 如, 何作出
(1) 同向
a
b
(2)反向
ABCD， AC就 则是船实际航行 。的速度
在Rt△A|B AC |B中 2|， B, C |23
|AB|2， |BC|2 3
B
C
2
2
|AC| |AB||AC|4
又tanCAB|BC| 3 |AB|
CA 6B0
答：船实际航行速度的大小为4km/h，方向 与流 速 间的夹角为60°．
是7km/h ，最小是 3km/h 。
小结与回顾
（要点：两向量首尾连接） （要点：两向量起点重合组成平行四边形两邻边）
ab ba (ab)c a(bc)
a
b
A
B
C
ACab
B
CA
ACab
注： a00aa
思考
• 使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可 以推广到n个向量相加。 (首尾相接，首尾连）
A BB CC D DEAE
C
Ed
D
c
C
A
b
aB
AB BC CA 0
A
B
向量加法的平行四边形法则
(1)研究向量是否满足交换律: abba
作法 :作平行四边形,使AABBCaD ,ADb
ABBCAC
二、向量加法的三角形法则
例1已知 a,向 b求 , 量 作a向 b量
b
作法（1）在平面内任取一点O
a
(2)作 O Aa,AB b
(3)则 OB ab
这种作法叫做向量加法
o·
A 的三角形法则
（B“首尾相接，首尾 连”）
当向a,量 b为共线向 a量 b又时 如, 何作出
(1) 同向
a
b
(2)反向
ABCD， AC就 则是船实际航行 。的速度
在Rt△A|B AC |B中 2|， B, C |23
|AB|2， |BC|2 3
B
C
2
2
|AC| |AB||AC|4
又tanCAB|BC| 3 |AB|
CA 6B0
答：船实际航行速度的大小为4km/h，方向 与流 速 间的夹角为60°．
向量的加法课件(公开课获奖课件)
要点二
性质
数乘满足交换律和结合律，即k*(a+b)=k*a+k*b， (k+l)*a=k*a+l*a。
数乘的几何意义
表示伸缩
数乘可以表示向量在坐标轴上的伸缩，当k>0时，表示 向量在原方向上放大；当k<0时，表示向量在原方向上 缩小。
表示旋转
通过数乘可以将向量绕原点旋转一定的角度，旋转角度 与k的绝对值成正比。
力的分解
一个力可以分解为两个或多个分 力，分力的方向和大小同样可以 通过向量加法得到。
速度与加速度的研究
速度的合成
当物体在多个方向上运动时，其速度可以看 作是各个方向上速度的向量和，即速度的合 成。
加速度的研究
加速度的大小表示速度变化的快慢，方向表 示速度变化的方向，可以通过向量加法来研 究加速度的方向和大小。
交换律是指向量加法的结果不依赖于向量的顺序，即向量加法满足可交换性。
详细描述
交换律是向量加法的基本性质之一，它表明向量加法不具有方向性。无论向量是按什么顺序相加，其 结果都是相同的。例如，向量$vec{A} + vec{B}$和向量$vec{B} + vec{A}$是相等的。
结合律
总结词
结合律是指向量加法的结果不依赖于括 号的位置，即向量加法满足可结合性。
题目2
已知点$O(0,0)$，点$A(3,5)$，点$B( - 2, - 1)$，求 $overset{longrightarrow}{OA} + overset{longrightarrow}{OB}$。
综合练习题
• 总结词：综合运用向量加法的知识解决复杂问题
• 题目1：已知点$A(1,2)$，点$B(3,4)$，点$C(5,6)$，点$D(7,8)$，求证：四边形ABCD是平行四边形。 • 题目2：已知$\overset{\longrightarrow}{a} = (1,2)$，$\overset{\longrightarrow}{b} = (3, - 1)$，
新教材高中数学第六章平面向量的运算：向量的加法运算pptx课件新人教A版必修第二册
又 = 35∘ , = 55∘ , ∠ = 35∘ + 55∘ = 90∘ .所以
=
2
+
2
= 8002 + 8002 = 800 2 km .
其中 ∠ = 45∘ ,所以方向为北偏东 35∘ + 45∘ = 80∘ .
从而飞机飞行的路程是 1 600 km ,两次飞行的位移和的大小为 800 2 km ,方向为北偏
（2） + + = ___.
知识点3 + 与 ， 之间的关系
对任意两个向量 , ,有 + ≤ + ,当且仅当 , 方向相同时等号成立.
名师点睛
当 与 不共线时, + < + 的几何意义为三角形两边之和大于第三边.
6.2 平面向量的运算
6.2.1 向量的加法运
算
课程
标准
1.借助实例掌握向量加法的概念以及向量加法的几何意义.
2.掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则,会进行向量的加法运算.
3.掌握向量加法的交换律和结合律,会用它们进行计算.
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
01
基础落实·
,则 = + ;再作 = ,以 与 为邻边作平行四边形 ,则
= + + .
规律方法
变式训练1 如图,已知正方形 , = , = , = ,试作向量 + + .
解 由已知得 + = + = ,又 = ,所以延长
（1）任意两个向量的和仍然是一个向量.
=
2
+
2
= 8002 + 8002 = 800 2 km .
其中 ∠ = 45∘ ,所以方向为北偏东 35∘ + 45∘ = 80∘ .
从而飞机飞行的路程是 1 600 km ,两次飞行的位移和的大小为 800 2 km ,方向为北偏
（2） + + = ___.
知识点3 + 与 ， 之间的关系
对任意两个向量 , ,有 + ≤ + ,当且仅当 , 方向相同时等号成立.
名师点睛
当 与 不共线时, + < + 的几何意义为三角形两边之和大于第三边.
6.2 平面向量的运算
6.2.1 向量的加法运
算
课程
标准
1.借助实例掌握向量加法的概念以及向量加法的几何意义.
2.掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则,会进行向量的加法运算.
3.掌握向量加法的交换律和结合律,会用它们进行计算.
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
01
基础落实·
,则 = + ;再作 = ,以 与 为邻边作平行四边形 ,则
= + + .
规律方法
变式训练1 如图,已知正方形 , = , = , = ,试作向量 + + .
解 由已知得 + = + = ,又 = ,所以延长
（1）任意两个向量的和仍然是一个向量.
高中数学 第二章 平面向量 2.1.2 向量的加法 公开课课
人教B版必修4
第二章 平面向量
2.1.2 向量的加法
实际例子1
思考：飞机从海南经青海到北京，两次位移结果与飞机 从青海直接到北京的位移关系如何呢？
青海Ｂ●
● Ｃ 北京
结果相同,即:
AC AB BC
● Ａ海南
实际例子2
思考：图1表示橡皮条在两个力的作用下延水平方向伸长了5 厘米，图2表示橡皮条在一个力的作用下延水平方向伸长了5 厘米。则F与F1、F2的关系如何？
b
ab
b
a
A
B
有没有满足加法结合率呢？请同学们构造一个图形证？
应用举例
长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输,如 图所示,一艘船从长江南岸A点出发,以5km/h的速度向垂直 对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h．
⑴试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度。
⑵求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度间的 夹角表示，精确到度）。
Ｄ
Ｃ
Ａ
Ｂ
课堂练习
1、根据图示回答
① a d DA ；
② c b CB ；
2、根据图示回答
① ab c ②cd g ③ab d ④cd e
；
；
g；
f；
C
D dc
Ob
a
A
B
E
e
D
f
g
d
A
cC ab
B
课堂练习
3、下列各式子正确的有 Ｄ ．
① AB+BC=AC
西ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
东
南
2、如图,已知向量 a、b，用平行四边形法则作出a b。
[Ⅰ]
第二章 平面向量
2.1.2 向量的加法
实际例子1
思考：飞机从海南经青海到北京，两次位移结果与飞机 从青海直接到北京的位移关系如何呢？
青海Ｂ●
● Ｃ 北京
结果相同,即:
AC AB BC
● Ａ海南
实际例子2
思考：图1表示橡皮条在两个力的作用下延水平方向伸长了5 厘米，图2表示橡皮条在一个力的作用下延水平方向伸长了5 厘米。则F与F1、F2的关系如何？
b
ab
b
a
A
B
有没有满足加法结合率呢？请同学们构造一个图形证？
应用举例
长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输,如 图所示,一艘船从长江南岸A点出发,以5km/h的速度向垂直 对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h．
⑴试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度。
⑵求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度间的 夹角表示，精确到度）。
Ｄ
Ｃ
Ａ
Ｂ
课堂练习
1、根据图示回答
① a d DA ；
② c b CB ；
2、根据图示回答
① ab c ②cd g ③ab d ④cd e
；
；
g；
f；
C
D dc
Ob
a
A
B
E
e
D
f
g
d
A
cC ab
B
课堂练习
3、下列各式子正确的有 Ｄ ．
① AB+BC=AC
西ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
东
南
2、如图,已知向量 a、b，用平行四边形法则作出a b。
[Ⅰ]
《向量的加法》示范公开课教学课件【高中数学北师大】
借助向量加法的三角形法则，对任意不共线的两个向量a，b，|a＋b|与|a|＋|b|，|a|－|b|之间有怎样的大小关系?
||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|（当且仅当a与b同向或反向时取等号）．
互为相反向量的两个向量的和是多少？
互为相反向量的两个向量的和为零向量，即a＋(－a)＝(－a)＋a＝0．
也可以把n个向量分为若干组，先求每组向量之和，再求出这些组向量和的和．
在平行四边形ABCD中， ＋ ＋ ＝( )A. B. C. D.
解：∵ 与 为相反向量，故＋ ＝0， ∴ ＋ ＋ ＝ ，故选A．
A
故选 D ．
我们熟知，数的加法满足结合律和交换律，那么向量的加法满足哪些运算律呢？
向量加法满足交换律：a＋b＝b＋a．
向量加法满足结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
证明：如图，a＋b+=，b＋a+=，
所以a＋b＝b＋a．
特别地：对于零向量与任一向量a的和有0＋a＝a＋0＝a.
证明：如图，(a＋b)＋c＝．
由=2，得∠CAD=60°．
因此，此时轮船位于A港北偏东30°且距A港40(n mile)的C处．
如图，已知向量a ，b ，c ，d，作出a+b+c+d，并说出多个向量求和的方法及依据．
解：可以按照不同的次序与组合进行这四个向量的加法.
方法1： 如图，在平面上任取一点A，作=a ， =b ， =c ， =d ，则a+b+c+d=[(a+b)+c]+d=(+c)+d=d=.
向量的加法
第二章 平面向量及其应用
合力
在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个重物，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．
||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|（当且仅当a与b同向或反向时取等号）．
互为相反向量的两个向量的和是多少？
互为相反向量的两个向量的和为零向量，即a＋(－a)＝(－a)＋a＝0．
也可以把n个向量分为若干组，先求每组向量之和，再求出这些组向量和的和．
在平行四边形ABCD中， ＋ ＋ ＝( )A. B. C. D.
解：∵ 与 为相反向量，故＋ ＝0， ∴ ＋ ＋ ＝ ，故选A．
A
故选 D ．
我们熟知，数的加法满足结合律和交换律，那么向量的加法满足哪些运算律呢？
向量加法满足交换律：a＋b＝b＋a．
向量加法满足结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
证明：如图，a＋b+=，b＋a+=，
所以a＋b＝b＋a．
特别地：对于零向量与任一向量a的和有0＋a＝a＋0＝a.
证明：如图，(a＋b)＋c＝．
由=2，得∠CAD=60°．
因此，此时轮船位于A港北偏东30°且距A港40(n mile)的C处．
如图，已知向量a ，b ，c ，d，作出a+b+c+d，并说出多个向量求和的方法及依据．
解：可以按照不同的次序与组合进行这四个向量的加法.
方法1： 如图，在平面上任取一点A，作=a ， =b ， =c ， =d ，则a+b+c+d=[(a+b)+c]+d=(+c)+d=d=.
向量的加法
第二章 平面向量及其应用
合力
在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个重物，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．
平面向量的加法减法与数乘运算课件
数乘的运算性 质
结合律
$\lambda(\mu\mathbf{a})=(\lambda\mu)\mathbf{a}$。
分配律
$\lambda(\mathbf{a}+\mathbf{b})=\lambda\mathbf{a}+\lambd a\mathbf{b}$。
反交换律
$\lambda\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\lambda(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})$。
2023
PART 04
平面向量的加法减法与数 乘运算的应用
REPORTING
在物理学中的应用
力的合成
电磁学中的向量表示
在物理中，向量加法可以应用于力的 合成，例如两个力的向量和可以表示 为它们的加法运算。
在电磁学中，向量加法可以用于表示 电磁场中的向量，例如电场强度和磁 场强度。
速度和加速度
速度和加速度是物理学中重要的向量 概念，通过向量加法可以计算出物体 在不同方向上的速度和加速度。
详细描述
2. 这类题目需要学生灵活运用所学知识，进行深入思考 和细致计算。
2023
REPORTING
THANKS
感谢观看
求解向量与轴的夹角
通过数乘运算可以求得向量与 轴之间的夹角。
投影问题
通过数乘运算可以求得一个向 量在另一个向量上的投影。来自 2023PART 03
平面向量的加法减法与数 乘运算的几何意 义
REPORTING
平面向量的几何意 义
01
02
03
04
向量表示为有向线段
向量的起点为线段的起点，终 点为线段的终点
向量的长度和方向
平面向量的加法PPT演示文稿(1)
2020/8/21
例1.如图，已知向量 a, b，求做向量 a b 。
作法1：在平面内任取一点O，
b
作 OA a ，AB b ，
a
则 OB a b 。
O
a
A
b
ab
B
2020/8/21
三角形法则
例1.如图，已知向量 a, b，求做向量 a b 。
作法2：在平面内任取一点O，
b
作 OA a ，OB b ，
段，能构成一个三角形吗？
请同学们
总结向量加法的“三角形法则”与 “平行四边形”法则的联系与区别。
2020/8/21
2020/8/21
思考：如图，当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法和
数的加法有什么关系？
aHale Waihona Puke ab（1）
A
B
C
ab
b
（2）
C
A
B
ab
若a，b方向相同，则 | a b || a | | b |
1.化简: AB DF CD BC FA
2.已
知|
a
|
6,|
b
|
14,|
c
|
3, 则
|
a
b
c
|
有
最大值和最小值吗?
2020/8/21
课后作业： P84练习B 1、3
2020/8/21
如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以2 3 km/h的速度向
垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.
（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹
角来表示）。
例1.如图，已知向量 a, b，求做向量 a b 。
作法1：在平面内任取一点O，
b
作 OA a ，AB b ，
a
则 OB a b 。
O
a
A
b
ab
B
2020/8/21
三角形法则
例1.如图，已知向量 a, b，求做向量 a b 。
作法2：在平面内任取一点O，
b
作 OA a ，OB b ，
段，能构成一个三角形吗？
请同学们
总结向量加法的“三角形法则”与 “平行四边形”法则的联系与区别。
2020/8/21
2020/8/21
思考：如图，当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法和
数的加法有什么关系？
aHale Waihona Puke ab（1）
A
B
C
ab
b
（2）
C
A
B
ab
若a，b方向相同，则 | a b || a | | b |
1.化简: AB DF CD BC FA
2.已
知|
a
|
6,|
b
|
14,|
c
|
3, 则
|
a
b
c
|
有
最大值和最小值吗?
2020/8/21
课后作业： P84练习B 1、3
2020/8/21
如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以2 3 km/h的速度向
垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.
（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹
角来表示）。
《平面向量的运算》平面向量及其应用PPT课件(第1课时向量的加法运算)
AO OC,OB DO因, A此B D∥C, 且| A|=B CD
AB
| DC|，即四边形ABCD是平行四边形.
【素养·探】 在用向量加法证明几何问题时，经常利用核心素养中的 逻辑推理，通过对条件与结论的分析，确定论证思路及 方法予以证明.
若将本例改为：四边形ABCD中，
AB DC,且 BC BA
又因为AP AQ=＝0A，B所 A以C BP CQ.
BP CQ
AP AQ＝AB AC.
类型四 航行中的向量加法问题 【物理情境】 在长江南岸的某渡口A处，江水以12.5 km/h的速度向 东流，“顺风号”渡船要以25 km/h的速度，由南向北 垂直地渡过长江，其航向应如何确定？
【转化模板】 1. —由题意可得渡船的实际垂直过江的速度是船 的速度与水流速度的和，因此解决此问题可建立向量 加法模型.
AC
AO
AD
类型三 利用向量加法解决几何问题 【典例】用向量方法证明对角线互相平分的四边形是 平行四边形. 世纪金榜导学号
【思维·引】将互相平分利用向量表示，以此为条件 推证使四边形为平行四边形的向量等式成立.
【解析】如图，设四边形ABCD的对角线AC，BD相交于
点O，AB AO OB, DC ADCO与 BOCD.互相平分，
【类题·通】 向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的 依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的.实际 上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向
量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进 行. (2)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律， 使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整 向量相加的顺序.
【习练·破】 化简：
平面向量的加减法-课件
50
分析思考
1．若λa＝0，则λ＝0对吗？ 提示：不对．当λa＝0时，λ＝0或a＝0. 2．共线向量定理中b＝λa，a若为0如何？ 提示：当a＝0时，则λ不存在(b≠0时)或者不唯一(b＝0时 )． 3．已知向量a，b不共线，则m＝a－3b与n＝－2a＋6b 共线吗？ 提示：n＝－2m，故m与n共线． 4．与非零向量a共线的单位向量是什么？
新课讲解
问题1：一个数a的相反数是什么？ 提示：－a. 问题2：一个向量有相反向量吗？ 提示：有，向量a的相反向量是－a.
相反向量
与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量， 记作－a.
(1)规定：零向量的相反向量 仍是零向量 ； (2)－(－a)＝ a ； (3)a＋(－a)＝ (－a)＋a ＝0； (4)若a与b互为相反向量，则a＝ －b ，b＝－a ， a＋b＝ 0 .
提示：方向相同或方向相反或其中一者为零向量． 问题2：根据向量的数乘运算，λa与a(λ≠0，a≠0)的方 向有何关系． 提示：相同或相反． 问题3：向量a与λa(λ为常数)共线吗？ 提示：共线．
49
1．共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有 唯一一个实数λ，使 b＝λ a. 2．向量的线性运算 向量的 加 ， 减 ， 数乘 运算统称为向量的线性运 算．对于任意向量a，b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有 λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a＋λμ2b.
51
深化理解
52
53
例题讲解
54
55
跟踪练习
答案：B
56
57
例题讲解
58
59
60
跟踪练习
答案：C
61
62
3．已知e1，e2是两个不共线的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋ e2.若a与b是共线向量，求实数k的值．
分析思考
1．若λa＝0，则λ＝0对吗？ 提示：不对．当λa＝0时，λ＝0或a＝0. 2．共线向量定理中b＝λa，a若为0如何？ 提示：当a＝0时，则λ不存在(b≠0时)或者不唯一(b＝0时 )． 3．已知向量a，b不共线，则m＝a－3b与n＝－2a＋6b 共线吗？ 提示：n＝－2m，故m与n共线． 4．与非零向量a共线的单位向量是什么？
新课讲解
问题1：一个数a的相反数是什么？ 提示：－a. 问题2：一个向量有相反向量吗？ 提示：有，向量a的相反向量是－a.
相反向量
与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量， 记作－a.
(1)规定：零向量的相反向量 仍是零向量 ； (2)－(－a)＝ a ； (3)a＋(－a)＝ (－a)＋a ＝0； (4)若a与b互为相反向量，则a＝ －b ，b＝－a ， a＋b＝ 0 .
提示：方向相同或方向相反或其中一者为零向量． 问题2：根据向量的数乘运算，λa与a(λ≠0，a≠0)的方 向有何关系． 提示：相同或相反． 问题3：向量a与λa(λ为常数)共线吗？ 提示：共线．
49
1．共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有 唯一一个实数λ，使 b＝λ a. 2．向量的线性运算 向量的 加 ， 减 ， 数乘 运算统称为向量的线性运 算．对于任意向量a，b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有 λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a＋λμ2b.
51
深化理解
52
53
例题讲解
54
55
跟踪练习
答案：B
56
57
例题讲解
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59
60
跟踪练习
答案：C
61
62
3．已知e1，e2是两个不共线的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋ e2.若a与b是共线向量，求实数k的值．
平面向量的加法运算课件
平面向量的加法运算件
录
• 平面向量的加法定义 • 平面向量的加法运算性质 • 平面向量的加法运算律 • 平面向量的加法运算应用 • 平面向量加法运算的练习和巩固
contents
01
平面向量的加法定
定义及意义
平面向量的加法定 义
对于两个向量$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$，其和向量$\mathbf{c}$定义为 $\mathbf{c} = \mathbf{a} + \mathbf{b}$，其中$\mathbf{c}$的方向是 $\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$的平行四边形的对角线方向。
向量$\mathbf{c}$等于零向量，即$\mathbf{c} = \mathbf{0}$。
向量加法的几何意 义
• 向量加法的几何意义：向量加法可以理解为将两个向量首尾相 连，得到一个新的向量，这个向量的长度等于两个向量的长度 之和，方向与两个向量的平行四边形的对角线方向一致。
02
平面向量的加法运算性
向量加法的多边形法则
总结词
向量加法满足多边形法则
详细描述
多边形法则是指将一个多边形的起点与另一 个多边形的终点相连，得到的向量等于两个 多边形的向量之和。这个法则可以用于求解 多个向量的和以及判断多边形的方向。
04
平面向量的加法运算用
解向量方程
求解与向量相关的方 程，例如平行向量、 垂直向量、共线向量 等。
03
平面向量的加法运算律
向量加法的平行四边形法则
总结词
向量加法满足平行四边形法则
详细描述
根据平行四边形的性质，向量加法满足平行四边形法则，即以两个向量为邻边的平行四边形的对角线 向量等于两个向量的和。
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• 平面向量的加法定义 • 平面向量的加法运算性质 • 平面向量的加法运算律 • 平面向量的加法运算应用 • 平面向量加法运算的练习和巩固
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01
平面向量的加法定
定义及意义
平面向量的加法定 义
对于两个向量$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$，其和向量$\mathbf{c}$定义为 $\mathbf{c} = \mathbf{a} + \mathbf{b}$，其中$\mathbf{c}$的方向是 $\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$的平行四边形的对角线方向。
向量$\mathbf{c}$等于零向量，即$\mathbf{c} = \mathbf{0}$。
向量加法的几何意 义
• 向量加法的几何意义：向量加法可以理解为将两个向量首尾相 连，得到一个新的向量，这个向量的长度等于两个向量的长度 之和，方向与两个向量的平行四边形的对角线方向一致。
02
平面向量的加法运算性
向量加法的多边形法则
总结词
向量加法满足多边形法则
详细描述
多边形法则是指将一个多边形的起点与另一 个多边形的终点相连，得到的向量等于两个 多边形的向量之和。这个法则可以用于求解 多个向量的和以及判断多边形的方向。
04
平面向量的加法运算用
解向量方程
求解与向量相关的方 程，例如平行向量、 垂直向量、共线向量 等。
03
平面向量的加法运算律
向量加法的平行四边形法则
总结词
向量加法满足平行四边形法则
详细描述
根据平行四边形的性质，向量加法满足平行四边形法则，即以两个向量为邻边的平行四边形的对角线 向量等于两个向量的和。
平面向量的加法运算(课件)高一数学下学期课件(人教A版2019必修第二册)
本堂课结束
祝各位同学学业进步
END
向量的加法运算律
课堂探究 小组合作，证明向量加法的交换律和结合律,并派出小 组代表进行成果展示。
向量的加法运算法则
规定
思考
对于零向量与任意向量
a 我们规定： a0 0a a
思考：
a (a) 0
向量加法运算的结果属于 什么量？
向量加法运算的结果 仍是向量
6.2.1
向量加法的应用
part 3
已知向量 a ，b 共线，你能作出向量 a b 吗？
a b
ab
a b
ab
思考： 向量的加法和数的 加法间有什么关系？
向量的加法运算法则
课堂探究
试分析 | a |,| b |,和 | a b | 之间的关系
a b
ab
a b
ab
ab
a b
向量的加法运算法则
课堂探究
试分析| a |,| b |, 和| a b | 之间的关系
在平面内任取一点O， 作 OA a, AB b，则 向量 OB 叫做a和 b 的和，记作 a b .即：
OA AB OB
01
求两个向量的和的运算叫做
向量的加法.
根据向课量程加导法入的定义得出的
02
求向量和的方法，称为向量
加法的三角形法则.
03 首尾相连首尾连
O ab
a b
A
B OA AB OB
向量关系
a，b 共线
同向
反向
a，b 不共线
模长关系 | a | | b || a b | | a | | b |＞| a b | | a | | b |＞| a b |
几何关系
平面向量的加法PPT课件
04Biblioteka 向量加法的应用解决物理问题
力的合成与分解
通过向量加法，可以计算多个力的合 力或分力，从而解决与力相关的物理 问题。
速度和加速度的合成
在运动学中，向量加法用于计算物体 在多个方向上的速度和加速度，以解 决运动问题。
解决数学问题
向量模的计算
向量加法可以用于计算向量的模，即向量的 长度或大小。
02 向量加法的坐标表示
坐标表示的定义
总结词
坐标表示是平面向量加法中的一种重要方法，通过坐标系将向量表示为坐标形式 ，进而进行向量的加法运算。
详细描述
在平面直角坐标系中，任意一个向量$overrightarrow{AB}$可以表示为从原点$O$ 到点$B$的有向线段，记作$(x_2-x_1, y_2-y_1)$，其中$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$ 分别是点$A$和点$B$的坐标。
结合律
总结词
向量加法的结合律是指向量的加法满足 结合性，即改变向量的加法括号，结果 不变。
VS
详细描述
结合律也是向量加法的基本性质之一，表 示向量加法不依赖于括号的组合方式。设 $vec{A}$、$vec{B}$和$vec{C}$为任意 三个向量，则有$(vec{A} + vec{B}) + vec{C} = vec{A} + (vec{B} + vec{C})$。
坐标表示的几何意义
总结词
坐标表示不仅将向量数量化，还揭示了向量的方向和大小。
详细描述
在坐标系中，向量的坐标表示形式不仅包含了向量的长度信 息（即模长），还包含了向量的方向信息。例如，向量$(3, 4)$和$(-3, -4)$的模长相等，但方向相反。
坐标表示的性质
力的合成与分解
通过向量加法，可以计算多个力的合 力或分力，从而解决与力相关的物理 问题。
速度和加速度的合成
在运动学中，向量加法用于计算物体 在多个方向上的速度和加速度，以解 决运动问题。
解决数学问题
向量模的计算
向量加法可以用于计算向量的模，即向量的 长度或大小。
02 向量加法的坐标表示
坐标表示的定义
总结词
坐标表示是平面向量加法中的一种重要方法，通过坐标系将向量表示为坐标形式 ，进而进行向量的加法运算。
详细描述
在平面直角坐标系中，任意一个向量$overrightarrow{AB}$可以表示为从原点$O$ 到点$B$的有向线段，记作$(x_2-x_1, y_2-y_1)$，其中$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$ 分别是点$A$和点$B$的坐标。
结合律
总结词
向量加法的结合律是指向量的加法满足 结合性，即改变向量的加法括号，结果 不变。
VS
详细描述
结合律也是向量加法的基本性质之一，表 示向量加法不依赖于括号的组合方式。设 $vec{A}$、$vec{B}$和$vec{C}$为任意 三个向量，则有$(vec{A} + vec{B}) + vec{C} = vec{A} + (vec{B} + vec{C})$。
坐标表示的几何意义
总结词
坐标表示不仅将向量数量化，还揭示了向量的方向和大小。
详细描述
在坐标系中，向量的坐标表示形式不仅包含了向量的长度信 息（即模长），还包含了向量的方向信息。例如，向量$(3, 4)$和$(-3, -4)$的模长相等，但方向相反。
坐标表示的性质
6.2.1平面向量的加法运算(上课课件)
F2 B
A F1
图6.2-3
B
b
C
Oa A
C
A
B
思考2：向量的平行四边形法则与三角形法则是一致的吗？
三、猜想验证 得出结论
第六章 平面向量及其应用
例题1：如图6.2-5，已知向量 a, b ，求作向量 a b .
b
a
a
a
bb
图6.2-5
三角形
平行四边形
三、猜想验证 得出结论
第六章 平面向量及其应用
| a b || a | | b |
练习2：当向量 a, b 满足什么条件时 | a b || a | | b | (或 | b | | a | )？
三、猜想验证 得出结论
第六章 平面向量及其应用
探究2 数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交
换律与结合律呢？
Da
b ab
A
a
C
三、猜想验证 得出结论
第六章 平面向量及其应用
练习5：有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河.小船航行速
度的大小为15km/h，方向为北偏西30O，河水的速度为向东7.5km/h，求小船实 际航行速度的大小与方向.
四、运用新知 巩固内化
第六章 平面向量及其应用
1．下列各式不一定成立的是( B．0＋a＝aC.
第六章 平面向量及其应用
第六章 平面向量的基本概念
6.2 平面向量的运算（1）
6.2.1 向量的加法运算
一、呈现背景 提出问题
第六章 平面向量及其应用
问题1：我们知道，数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷. 那么，向量是否也能像数一样进行运算呢？
O
《平面向量的运算》平面向量及其应用 PPT教学课件 (第1课时向量的加法运算)
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
2.如图，E，F，G，H 分别是梯形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 的中点，化简下列各式： (1)D→G＋E→A＋C→B； (2)E→G＋C→G＋D→A＋E→B. 解：(1)D→G＋E→A＋C→B＝G→C＋B→E＋C→B＝G→C＋C→B＋B→E＝G→B＋B→E＝ → GE. (2)E→G＋C→G＋D→A＋E→B＝E→G＋G→D＋D→A＋A→E＝E→D＋D→A＋A→E＝E→A ＋A→E＝0.
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
■名师点拨 (1)两个法则的使用条件不同． 三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用 于两个不共线的向量求和． (2)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形 法则时应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同． (3)位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型．力的合成 可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型．
解：设A→B，B→C分别表示飞机从 A 地按北偏东 35°的方向飞行 800 km，从 B 地按南偏东 55°的方向飞行 800 km， 则飞机飞行的路程指的是|A→B|＋|B→C|； 两次飞行的位移的和指的是A→B＋B→C＝A→C. 依题意有|A→B|＋|B→C|＝800＋800＝1 600(km)， 又 α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，
6.2 平面向量的运算 6.2.1 向量的加法运算
第六 理解向量加法的概念以及
的几何意义 向量加法的几何意义
掌握向量加法的平行四边 平行四边形法则
形法则和三角形法则， 和三角形法则
会用它们解决实际问题
平面向量加法 掌握向量加法的交换律和
的运算律 结合律，会用它们进行计算
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由此得什么结论？
A
AB BC AC
例1已知向量a , b, 求作向量 ab
b a
作法（1）在平面内任取一点O
(2)作 OA a , AB b
(3)则OB a b
这种作法叫做向量加法
o·
A
的三角形法则
B （“首尾相接，首尾 连”） Nhomakorabea当向量a, b为共线向量时, a b又如何作出来?
D
由此可推广到多个向量 加法运算可按照任意的 次序与任意的组合进行
abc
A
例子
c
C
bc
ab
(a b) (c d ) (b d ) (a c) a b c d [d (a c)] b
a
B
b
三、看图填写
ad cb
C
D
d
O
c b
在Rt△ABC中, | AB| 2， |BC| 2 3
|AB| 2， |BC | 2 3 |AC|
B
2
C
|AB | |AC| 4
|BC | 3
答：船实际航行速度的大小为4km/h，方向 与流 速 间的夹角为60°．
2
又tanCAB
|AB| CAB 60
四、课堂练习
B
a
A
例2：如图，一艘船从A点出发以2 3 km 的速度向垂直于对岸 h 的方向行驶，同时河水的流速为2 km ，求船实际航行速度的 h A 大小和方向。（用与水流速间的夹角表示） 解：如图，设AD 表示船向垂直于对岸行驶的速度
D
AB 表示水流的速度，以AD、AB为邻边作平行四边形 ABCD，则AC就是船实际航行的速度。
A
B
(1)研究向量是否满足交换律:
ab ba
作法: 作平行四边形ABCD ,使AB a, AD b
则 BC b,DC a
依作法有： AC AB BC a b AC AD DC b a
D
a b
C
b a
A
b a
B
(2)研究向量是否满足结合律:
(a b) c a (b c)
(1)一人从A到B，再从B按原方向到C，则两次的位移之和 AB BC 是 AC
A B C
(2)飞机从A到B,再改变方向从B到C,则两次的位移的和 AB BC 应 是: AC C A B
(3)船的速度为 A B ，水流的速度为 BC ，则两个速度的和 AB BC B C 是： AC
(1) 同向
a
(2)反向
a
b
A B
b
C
B C
A
AC a b
AC a b
注： a 0 0 a a
思考
• 使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可 以推广到n个向量相加。 (首尾相接，首尾连）
E
d
D
AB BC CD DE AE
C
C
c
A
b
a
B
AB BC CA 0
ab ba ( a b ) c a ( b c)
一、用三角形法则求向量的和
（2）
b
ab b
a
（4）
ab
a
b b
二、用平行四边形法则求向量的和
（1）
（2）
b
ab b a
b a
ab
a
课堂练习
1.一架飞机向西飞行 100km，然后改变方向向 南飞行 100km，则飞机两次位移的和 为 向西南方向飞行 100 2km
2.化简 OA OC BO CO BA 3.一艘船以5km/h的速度在行驶，同时河水的流 速为2km/h，则船的实际航行速度大小最大 是 7km/h ，最小是 3km/h 。
平面向量的加法
1.三角形法则
2.平行四边形法则
• 向量的概念: 既有大小又有方向的量叫向量。 • 向量的表示方法: 用一条有向线段，或用 a ,或用有向线段的起 点和终点字母表示 • 零向量和单位向量: 长度为0的向量叫零向量，长度为1个单位长度 的向量叫单位向量。 • 平行向量: 方向相同或相反的向量叫平行向量，平行向量 也叫做共线向量。 • 相等向量: 长度相等且方向相同的向量叫相等向量。