第六节-定积分的应用课件

则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
dA1()2d
2
所求曲边扇形的面积为
r()
d
A1 22()d
x
例5. 计算阿基米德螺线 r a( a 0 )对应 从 0 变
到 2 所围图形面积 .
解: A 2 1(a )2 d 02
a2 2
1 3
3
2 0
o
d
2a
x
4 3 a2
3
例6. 计算心形线 r a ( 1 c) o ( a 0 ) 所s 围图形的
面积 .
解: A2 1a2(1cos)2d 02
a2 4cos4 d
0
2
令t 2
8a2 2co4tsdt 0
8a2 3 1 3 a 2
422 2
(利用对称性)
d
o
2a x
例7. 计算心形线 r a ( 1 c) o ( a 0 ) 与s 圆 ra
所围图形的面积 .
1 2 co cs 2 os
4
1a2co2s
d
02
y
4
a2 4c2 od ( s 2) 0
o
ax
a2si2n4 a2
0
4
思考: 用定积分表示该双纽线与圆 r a2 sin
所围公共部分的面积 .
答案: A206a2sin2d6412a2co2sd
二、平面曲线的弧长
定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 , 当折线段的最大
应用定积分换元法得
A 4
0
bsint( a sti)d n t4ab 2sin2tdt
0
2
4ab
1 2
2
ab
当 a = b 时得圆面积公式
一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程
yx
(t) (t)
给出时, 按顺时针方向规定起点和终点的参数值 t1 , t2 y
oa
bx
(t1对 x 应 a )
则曲边梯形面积 A t2(t)(t)dt t1
例4. 求由摆线 x a ( t s t ) , i y a n ( 1 c t ) (o a0) s
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .
解:
2
Ad 0 A a ( 1 cto )a ( 1 s ct) o d ts
a22 (1co t)2s dt y 0
当考虑连续曲线段
o ax b x
x ( y ) ( c y d )
y
绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,
有
V d[(y)]2d y c
d y x(y) c
ox
例13.
计算由椭圆
x2 a2
y2 b2
1
所围图形绕
x
轴旋转而
转而成的椭球体的体积.
y
解: 方法1 利用直角坐标方程
b
yba2x2 ( axa) a
oa x b x
xdx
d A f(x )d x
b
Aa f(x)dx
y yf1(x) yf2(x)
右下图所示图形面积为
b
Aaf1(x)f2(x)dx
o axxdx b x
例1. 计算两条抛物线 y2x,yx2在第一象限所围
所围图形的面积 .
y2 x
解: 由 y x2
y
得交点 (0,0),(1,1)
s 2 (t) 2 (t)d t
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
r r ()( )
令 x r ( ) c,y o r ( ) s, i 则得n
弧长元素(弧微分) :
ds [x ()2 ][y ()2 d ]
r2 () r2 ()d
因此所求弧长
s r2 () r2 ()d
边长 →0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 , 则称
此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即
n
slim 0
Mi1Mi
i1
并称此曲线弧为可求长的.
y Mi1
AM0 o
定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.
Mi
BMn x
(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:
y f ( x )( a x b )
弧长元素(弧微分) :
的球体的体积
4 3
a3 .
例14. 计算摆线 yxaa((1tcsiontt))s(a0)的一拱与 y＝0
所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .
解: 绕 x 轴旋转而成的体积为
y
Vx02ay2dx
y
o a 2ax
2a2(1cot)s2a ( 1 ct) o d ts 利用对称性 0
例9. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量,下垂
成悬链线 . 悬链线方程为 ycch x (bxb) c
求这一段弧长 .
y c
b o b x
解: ds1y2dx
1sh2 xdx ch x dx
c
c
s20bchcxdx
2csh
x c
b 0
(c c2hc sxh)b c1sh x cc c c
思考与练习
1.用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s .
提示: 交点为( 1 , 1 ),( 9 ,3 ),以 x 为积分变量 , 则要分
两段积分, 故以 y 为积分变量.
y x2y30
A3(2y3) y2 dy 32
1
3
3 y
弧线段部分
直线段部分
s
3 1
14y2
dy
3 1
122 dy
解: 利用对称性 , 所求面积
A
1
2
a2
22 1 2a2(1co )s2d
1 2(1co2s)
1 2a2a22 (2 32co s1 2co 2ys)d
1a2a2(32)
2
4
5a2 2a2
4
o a 2a x
例8. 求双纽线 r2a2co2s所围图形面积 .
解: 利用对称性 , 则所求面积为
A4
的弧长 .
y
解: ds (d dxt)2(d dyt)2dt
o
a 2(1 co t)2 sa2si2tnd t
2a x
a2 ( 1 cto )d ts 2asint dt
2
s022asi2 tndt2a2cos2t02 8a
例12. 求阿基米德螺线 r a( a 0 ) 相应于 0≤≤2
2. 平面曲线的弧长
弧微分: d s(x d )2 (y d )2注意: 求弧长时积分上
下限必须上大下小
直角坐标方程
曲线方程 参数方程方程
极坐标方程 d sr 2 () r 2 ()d
3. 已知平行截面面面积函数的立体体积
b
VaA(x)dx
旋转体的体积
绕 x 轴 : A(x)y2
yy(x)
绕 y 轴 : A(x)x2
4a2 2si4ntdt
0
2
o
8a2 si4nudu 0
(令u t ) 2
1a 62 2si4nudu 0
16a2 3 1 3a2
42 2
2a x
2. 极坐标情形
设 ( ) C [ ,] ,( ) 0 ,求由曲线 r()及
射 线 , 围成的曲边扇形的面积 .
在区间[,]上任取小区间 [, d ]
2 a30 (1co t)3d st16a30 si6n2 t dt
(令u
t) 2
32a302si6nudu32a3
5 6
3 4
1 2
2
52a3
xa(tsint) ya(1cots)
(a0)
y
2a
xx2(y)
绕 y 轴旋转而成的体积为
o a 2ax
Vy02ax2 2(y)dy02ax12(y)dyxx1(y)
2a 3 a20 2 ( t( t s s it0n )2 tia ) 2 2 a n (s stititsd d n tn ittn )2asi注td n 意t上下限 !
63a3 注
例15. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 , 并
与底面交成 角, 计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .
上连续, 则对应于小区间[x,xdx]的体积元素为
d V A (x )d x
因此所求立体体积为
b
VaA(x)dx
A(x)
a xxdx b x
特别 , 当考虑连续曲线段 y f( x )( a x b ) 绕 x 轴
轴旋转一周围成的立体体积时, 有
V b[f(x)]2d x a
y
yf(x)
o 1
x
x y2
3 3 5 7 5 1 l6 n 3 () 7 l2 n 5 ( )
4
2. 试用定积分求圆 x 2 ( y b ) 2 R 2 ( R b )绕 x 轴
旋转而成的环体体积 V.
提示:
上 下
半圆为
yb R 2x2
y
b
求体积 : 利用对称性
RoR x
V2 R(bR 2x2)2(bR 2x2)2dx 0 22R2b
o x ax
则 V 2 a y2dx 0
(利用对称性)
2b a22
a(a2x2)dx
0
2ba22a2x13x30a
4 ab2
3
方法2 利用椭圆参数方程
x acost y bsint
则 V20ay2dx202 a2bsi3tndt
2ab2 2 1
3
4 ab2
3
特别当b
=
a
时,
就得半径为a
一段的弧长 .
解: d sr 2 () r 2 ()d
a 2 2a 2d
a1 2d
o
2ax
ra
sa2 12d (P349 公式39) 0
a2
121ln
2
12
2 0
a 1 4 2 a ln 2 (1 4 2) 2
三、已知平行截面面积函数的立体体积
设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), A(x)在[a,b]
为简便计算, 选取 y 作积分变量, 则有
Ad A 4 2(y41 2y2)d y
o yx4x
(2,2)
1 2
y2
4y16y34218
例3.
求椭圆
x2 a2
y2 b2
1
所围图形的面积
.
解: 利用对称性 , 有 dAydx
y b
a
A40 ydx
利用椭圆的参数方程
oxxdxa x
x y a bc sio ttns (0t2)
第二节
第六章
定积分在几何学上的应用
一、 平面图形的面积
二、 平面曲线的弧长 三、已知平行截面面积函数的
立体体积
四、 旋转体的侧面积 (补充)
一、平面图形的面积
1. 直角坐标情形
设曲线 yf(x)(0)与直线
y yf(x)
x a ,x b ( a b )及 x 轴所围曲
边梯形面积为 A , 则
此时截面面积函数是什么 ?
如何用定积分表示体积 ? 提示:
A(y)2xytan
2 ta n yR 2y2 V2tan Ry R2y2dy
0
y
o
R (x, y) x
内容小结
1. 平面图形的面积
上下限按顺时针方向 确定
直角坐标方程
边界方程 参数方程 Att12(t)(t)dt
极坐标方程 A1 22()d
y2 x (1,1)
Ad A 1 x x 2 d x 0
2
3
x2
1 x3
1
3 30
1
3
y x2 ox 1 x
x d x
例2. 计算抛物线 y2 2x与直线 yx4所围图形
的面积 .
解: 由 y2 2x 得交点 yx4
( 2 , 2 ),( 8 ,4 )
y y2 2x ydy
y
(8, 4)
chxex ex 2
shxex ex 2
(cxh)shx
(sxh)chx
例10. 求连续曲线段
x
y 2
cotsdt的弧长.
解: cx o 0 s ,2x2
s
2
2
1y2dx
22 1( co x)2 sdx 0
2 2
2coxsdx
0
2
222sin2x204
例11. 计算摆线 yxaa((1tcsiontt))s(a0)一拱 (0 t 2 )
解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为 x2y2R2
垂直于x 轴 的截面是直角三角形, 其面积为
A(x)1(R2x2)tan ( R x R )
2 利用对称性
V20 R1 2(R 2x2)tan dx
2tanR2x1x3R 2R3 tan
3 03
y
ox
R x
思考: 可否选择 y 作积分变量 ?
d s(x d )2 (y d )2
1y2dx
因此所求弧长
sb 1y2dx a
b
a
1f2(x)dx
y
yf(x)
ds
o a xxdxb x
(2) 曲线弧由参数方程给出:
y x ((tt)) (t)
弧长元素(弧微分) :
d s(x d )2 (y d )2
2 (t)2 (t)d t
因此所求弧长