小船过河问题的分析与求解方法

小船过河问题的分析与求解方法

濮阳市油田二高（457001） 何春华

小船过河是运动合成和分解中一种非常具有代表性的运动形式，它对学生正确理解合运动、分运动的概念；弄清合运动、分运动之间的等时性、等效性，以及各分运动之间的独立性等，都有着非常高的思维能力要求。因此是学生学习运动合成与分解的一个难点。那么如何正确解决小船渡河问题呢？笔者认为要想学好这个问题，必须理解好三个方面的关系：

（1）运动关系：小船在有一定的河水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对于水的运动（即在静水中船的运动），船的实际运动是合运动。

（2）时间关系：①合运动和分运动的等时性；②当船头与河岸垂直时，渡河时间最短。

（3）位移关系：①合运动和分运动的位移等效关系；②理解在什么情况下位移最小。下面就对以上关系加以分析和应用举例:

例：设一条河的宽度为L ，水流速度为v 1,已知船在静水中的速度为v 2，那么：

（1）怎样渡河时间最短？ （2）若v 2> v 1,怎样渡河位移最小？

（3）若v 2< v 1,怎样渡河位移最小？

解析：（1）如图所示，设船头斜向上游与河岸成任意角θ，

这时船的速度在y 方向的速度分量为v y =v 2sin θ,渡河所需的时间为θsin 2

v L t =可以看出：L 和v 2一定时，t 随sin θ增大而就减小，当θ=900时sin θ=1（最大），所以，船头与河岸垂直时，渡河时间最短，为2

m in v L t =. (2)如图所示，渡河的最小位移即河的宽度，为了使渡河的位移等于L ，必须使船的合速度v 的方向与河岸垂直，即使沿河岸方向的速度分量

∑=0x v ，这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ，根据三角函数关系有0cos 21=-θv v ，即2

1arccos v v =θ。因为1cos 0≤≤θ，

所以只有在v 2> v 1时，船才有可能垂直于河岸过河。 （3）如果水流速度大于船在静水中的航行速度，则不论穿的航

向如何，总要被水冲向下游，如图所示，设船头与河岸成θ角，

合速度与河岸成а角，可以看出：а越大，船漂向下游的距离越

短，以v 1的矢尖为圆心，以v 2为半径画圆，当v 与相切时，а角

最大，根据12cos v v =θ，船头与河岸的夹角应为：1

2arccos v v =θ，此时渡河的最短位移为L v v L s 21cos ==θ。 例2（07启东月考）一艘小艇从河岸A 处出发渡河，小艇保

持与河岸垂直方向行驶，经过10min 到达正对岸下游120m 的C 处，如图所示，如果小艇保

持原来的速度逆水斜向上游于河岸成a 角方向行驶，则经过12.5min 正好到达河正对岸B 处，求：河的宽度d 为多少？

解析：设河水流速为1v ，船速为2v ，船两次运动速度合成如图所示。

依题意有： d=2212sin t a v t v •=-------① S BC =11t v ---------② a v v cos 21=----③ 由①②③式联立可解得：m in /121m v =；m in /202m v =；d=200m.

例3（06 天津模拟）如图所示为一条河流，河水流速为v ,一只船从A 点先后两次渡河到对岸，船在静水中行驶速度为u,第一次船头向着AB 方向行驶，渡河时间为t 1,船的位移为s 1；第二次船头向着AC 方向行驶，渡河时间为t 2，船的位移为s 2,若AB 、AC 与河岸的垂线的夹角相等，则有（ ）。

A ．2121,s s t t <> B.2121,s s t t ><

C.2121,s s t t <=

D.2121,s s t t >=

解析：由题可知，渡河时间由船垂直河岸方向的分

运动决定，由AB 、AC 与河岸的夹角相同可知，两次船垂直河岸的分速度相等，故渡河时间相等，即t 1。=t 2；另船头沿AB 方向时，其合速度1v 方向和船头沿AC 方向时，其合速度2v 方向分别如图所示，对比可知21s s >。故D 正确。

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1 v