第二章第三节拉普拉斯方程 分离变量法

间中没有其他自由电荷分布。
如果我们选择这些导体的表面作为区域V的边界，则 V 内部自由电荷密度ρ＝0，电势所满足的泊松方程化 为比较简单的情形：
0
2
这就是拉普拉斯方程。
注意：求解区域内ρ＝0，产生电场的电荷全部分布 于V 的边界上，他们的作用通过边界条件反映出来。 所以，这类问题可归结为求拉普拉斯方程满足边界 条件的解。
或者
P E 0 rP1 cos

例题： 电容率为 的线性均匀介质球放置于均匀外场 中，求空间的电势分布。
E0
E0
E
解：所求解的空间分为两个区域： 球外区域（真空），电势用 外 表示 ；
球内区域，电势用 内 表示 ；
内
外
由于在这两个区域都没有自由电荷的分布，因此
式中
Pn cos
为勒让德（Legendre）函数
r , ,
如果体系具有轴对称性，则 以对称轴为极轴，电势应方 位角 无关。
r , ,
E0
P

r ,

在轴对称情况下, Laplace方程通解形式简化为


n

bn r
n 1
Pn cos

n0
0
外 r
r R0

内 r
r R0
E 0 P1 cos


n 1 b n
R
n2 0
Pn cos
n 1

Pn cos
n0
0


nc n R 0

n0
P
内

外
E 0 R 0 P1 cos
z
r [0, )
P
0 ,




x
y
0 , 2
z
拉普拉斯方程
0
2


x
y
r , ,
0.
2
球坐标系下，Laplace方程的形式为
1 r
2
r
(r
2
r
)
1
2

r sin
(sin

§4 拉普拉斯方程 分离变量法
本章的基本问题：
电场由电势描述； 电势满足泊松方程+边界条件。 具体的工作： 解泊松方程 只有在界面形状是比轻简单的几何曲面时， 这类问题的解才能以解析形式给出，而且视 具体情况不同而有不同解法。
本节和以下几节我们研究几种求解的解析方法。
一、拉普拉斯方程
在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的． ① 例如： 电容器内部的电场是由作为电极的两个 导体板上所带电荷决定的。 ② 电子光学系统的静电透镜内部，电场是 由分布于电极上的自由电荷决定的。 这些问题的特点是： 自由电荷只出现在一些导体的表面上，在空
)
1
2 2

2 2
r sin
0.
球坐标系下，方程的通解为
( R, , ) (anm R
n n,m
bnm R
n 1
) P (cos ) cos m
m n
(cnm R
n n,m
d nm R
n 1
) P (cos ) sin m
m n
前的系数，得到
c1 R 0
E 0 R0
b1 R
2 0
E0
2 b1 R
3 0

0
c1
解得： b1
0 2 0
E0R ，
3 0
c1
3 0
2 0
E0
E 0 R 0 P1 cos



bn R
n 1 0
Pn cos
内
外
取球心处的电势为零
1）在无穷远处，电场：E E 0
相应地电势
外 E 0 r cos E 0 rP1 cos

外 E 0 r cos E 0 rP1 cos
bn n a n r n 1 r n0


bn R
n 1 0
Pn cos
n0


c n R 0 Pn cos
n

n0
E 0 P1 cos


n 1 b n
R
n2 0
Pn cos
n 1

Pn cos
n0
0


nc n R 0

n0
E 0 R 0 P1 cos


2）在球心 r = 0，电势应为一有限值（零） 因此有：d n 0

内

c n r Pn cos
n

n0
P
内
外
根据上述分析：
内
c
n0

n
r Pn cos
n

外 E 0 rP1 cos


bn r
n 1
Pn cos


bn r
n 1
Pn cos

n0
外
r R0
内
r R0
E 0 R 0 P1 cos


bn R
n 1 0
源自文库
Pn cos
n0


c n R 0 Pn cos
n

n0
内



c n r Pn cos
n

n0
外 E 0 rP1 cos



bn R
n 1 0
Pn cos
n0

0

c n R 0 Pn cos
n

n0
E 0 P1 cos

n 1 b n
R
n2 0
Pn cos
n0


nc n R 0
n 1
Pn cos

n0
比较两式中
P1 cos


一般形式解： 外 因此：
a0 0 a1 E 0
Pn cos

an 0
n
1

外 E 0 rP1 cos

bn r
n 1
Pn cos

n0
内
dn n c n r n 1 Pn cos r n0
② 正确写出边界条件，不能有遗漏。
一、球形边值问题 二、柱形边值问题
E0
一、球形边值问题
讨论内容
1) 处于外电场中的介质球
2) 处于外电场中的理想导体 3) 处于电磁场作用下的球形纳米颗粒 ——金属纳米材料的局域电场增强效应
对于球形边值问题，一般采用球坐标系最为方便； 位置坐标用 r , , 表示
内
2 0
E 0 r cos
r
R0
外 E 0 r cos E 0
0 R0 2 0 r
2
3
cos
r
n 1
cn R0
n 1 b n
R0
n2

0
nc n R 0
n 1
其解为： b n c n 0
n
1
P
内
外
这样整个空间的电势分布为
外 E 0 r cos E 0
3 0
0 R0 2 0 r
2
3
cos
r
R0
bn n a n r n 1 Pn cos r

——（3.3）
式中
Pn cos
为勒让德（Legendre）函数


n
bn n a n r n 1 Pn cos r

an 和 bn 任意常数，其值由边界 条件所决定。 如果所讨论的对称性问题为包括 南极和北极的整个区域，
二、分离变量法
分离变量法就是将场量的函数表达式中不同坐标相 互分离，即将场量分解为单一坐标函数的乘积的形 式，求出通解。然后再根据给定的边界条件求出实 际问题的的解。 不同坐标系中拉氏方程的通解不同。
分离变量法的解题步骤：
① 根据界面的形状选择适当坐标系。 ② 建立坐标系，写出场量所满足的方程，写出通 解。 ③ 写出边界条件和衔接条件(即：不同区域分界面 上的边值关系)。 ④ 根据定解条件，求出通解中的积分常数。 ⑤ 将求出的积分常数代入通解表达式，得到实际 问题的解。 关键步骤：① 充分利用对称性，写出简单的通解。
外 和 内 都满足拉普拉斯方程。
外 0
2
内 0
2
内
外


n
bn n a n r n 1 Pn cos r

在球坐标系中，两个区域电势的通解形式分别为：
外
bn n a n r n 1 r n 1
0
E0

为了保证解的单值性，则 n 只 能取整数或者零。


n
bn n a n r n 1 Pn cos r

在教材附录 II 中列出了勒让德函数的前几项：
P0 cos 1
P1 cos cos
P2 cos P3 cos 1 2 1 2
P 0
P
O
E0 dl
O
x
P

或者
P P 0 E 0 dl O E0 x
P 0 E 0 x
x
O
P

均 匀 电 场
如果选原点处的电势为零电势点，则
P E 0 x E 0 r cos
R d
2
R R2

2 R
R d
2
0
Q1 40 ，
由这些边界条件得
c Q1 40 R1
Q1 R
a0 b ， Q1 40
R
1 3
Q 40

，d
R3
1
其中
1 1
R
1 2
Q
利用这些值，得电势的解
1
Q Q1 40 R ， ( R R3 )


Pn cos

——（3.11）
内
dn n c n r n 1 Pn cos r n 1
——（3.12）
其中an、bn、cn和dn 是待定的系数。
边界条件
1) 在无穷远处；
2) 在球心处；
3) 在介质的分界面
P
内
外
P
n0

0

c n R 0 Pn cos
n

n0
E 0 P1 cos

n 1 b n
R
n2 0
Pn cos
n0


nc n R 0
n 1
Pn cos

n0
比较两式中
Pn cos
n
n
1
前的系数，得到
bn R0
1 a
2 c
b R d R ， ( R R3 ) ， ( R2 R R1 )
边界条件为： （1）内导体接地 2
（2）整个导体球壳为等势体 2
R R1
1
R
0 1
Q
R R3
R R2
（3）球壳带总电荷Q，因而

R R3

1 R
Q1 1 1 2 R R ， ( R2 R R1 ) 40 1
导体球上的感应电荷为
0
R R1

2 R
R d Q1
2
例题：求均匀电场
E0 中的电势分布。
E0
取空间任意一点 O 为坐标原点，该点的电势为0
任意一点处的电势满足
n0
其中cn 、bn是待定的系数。
P
内
外
3）在介质的分界面——球面上，电势的边界条件要 求
外
外 r
r R0
r R0
内
r R0
0

内 r
r R0
内



c n r Pn cos
n

n0
外 E 0 rP1 cos
3 cos 5 cos
2
1
2
3 cos

例题 一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳，带
电荷Q，同心地包围一个半径为R1的导体球（R1 <R2）。使这个导体球接地，求空间各点的电势 和这个导体球的感应电荷。 解：以球心为原点建立球坐标系，导体壳外和壳内 的电势均满足方程 2 0 ，问题具有球对称 性，电势 不依赖于角度θ和φ。设导体壳外 和壳内的电势分别为
此类边值问题的特点： a) 如果在考察的区域内不存在自由电荷；自由 电荷只出现在区域的边界上（以面电荷的形 式）；
b) 区域内的电势满足方程：
0
2
——方程称为拉普拉斯（Laplace）方程
0
2
求解方法：分离变量法 求满足特定边界条件的拉普拉斯方程的解。 区域边界上的电荷将通过边界条件反映出来。