第二章分离变量法.

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第二章分离变量

解这里所考虑的方程仍是（2.1），所不同的只是在 x＝l 这一端的边界条件不是第一类齐次边界条件 u
u 件 x
x l
x l
0 ，而是第二类齐次边界条
0 。因此，通过分离变量的步骤后，仍得到方程（2.4）与
T (t ) a2T (t ) 0 ， X ( x) X ( x) 0 ，但条件（2.6）应（2.5）
代入条件（2.6）′得
A 0 B cos l 0
由于B≠0，故cosβl＝0，即
(2n 1) (n 0,1, 2,3,) 2l
从而求得了一系列特征值与特征函数。
(2n 1)2 2 n 4l 2
(2n 1) X n ( x) Bn sin x(n 0,1, 2,3,) 2l
的解。这时 l＝10，并给定 a2 10000 （这个数字与弦的材料，张力有关）。
直接应用已经得到的结果公式：
得到
Bn 0
0, n为偶数 1 10 n 2 An x(10 x)sin xdx 3 3 (1 cos n ) 4 5000 0 10 5n 5n3 3 ，当n为奇数
因此，所求的解为
1 (2n 1) x u ( x, t ) 3 sin cos10(2n 1) t 3 5 n0 (2n 1) 10 4

例2 解定解问题
2u 2u a2 2 , 0 x l, t 0 t 2 x u u x 0 0, x l 0, t 0 x u 2 u t 0 x 2lx, t t 0 0, 0 x l
n=1的驻波除两端x=0和x=l外没有其它节点，它的波长2l在所有本征振动中是最长的；相应地，它的频率a/2l在所有本征振动中是最低的。这个驻波叫作基波。n>1的各个驻波分别叫作n次谐波 n次谐波的波长2l/n是基波的1/n，频率na/2l则是基波的n倍。

数-第二章分离变量法作业题

2
(3)
R (0) < ∞
自然边界条件
u (0, θ ) < +∞ R(0)Φ (θ ) = R(0) Φ (θ ) < +∞
求解特征值问题
Φ′′(θ ) + λΦ (θ ) = 0 (1) (2) Φ (0) = Φ (π ) λ < 0时得(1)的通解为Φ(θ ) = C1e λθ + C2 e
B0 , ( n = 0 ) 其通解为 Tn (t ) = a 2 n 2π 2 t l 2 Bn e , ( n = 1, 2, )
由此,就得到原方程满足边界条件的变量分离的非零特解:
C , n = 0 0 un ( x, t ) = X n ( x)Tn (t ) = ( anπ ) 2 - 2 t (nπ )2 C e l cos x, n 2 l C =AB
解: 边界条件是非齐次的.本问题中,方程的自由项与边界条件均与t 无关,所以令 u(x,t)=V(x,t)+W(x)
代入方程及边界条件,有
V 2V 2W = a 2 2 + a 2 2 + A, 0 < x < l , t > 0 x x t V x =0 + W x =0 = 0, V x =l + Wx =l = 0, t > 0 V t =0 + W t =0 = 0, 0 ≤ x ≤ l
l 2 , m = n ≠ 0 l mπ nπ x cos xdx = l m = n = 0 cos ∫0 l l 0 m≠n
nπ x. 由初始条件知 x = u ( x ,0 ) = C 0 + ∑ C n cos l n =1
∞

数理方程第二章分离变量法

解的唯一性
分离变量法得到的解可能不唯一，有时需要额外的条件或参数才能确定唯一解。
数值稳定性
分离变量法在数值实现时可能存在数值稳定性问题，如数值误差的累积和扩散等，需要采取适当的措施进行控制和校正。
06
CATALOGUE
分离变量法的改进与拓展
改进方向一：提高求解精度
数值稳定性
通过改进数值算法，提高求解过程中数值的稳定性，减少误差的传播和累积。
原理推导
01
首先，将偏微分方程中的多个变量分离出来，使方程变为一个关于各个变量的常微分方程。
02
然后，对每个常微分方程分别求解，得到各个变量的解。
最后，将各个变量的解代回原偏微分方程，得到整个问题的解
03 。
原理应用
在物理学中，分离变量法广泛应用于求解具有多个独立变量的偏微分方程，如波动方程、热传导方程等。
高阶近似方法
研究高阶近似方法，以更精确地逼近真实解，提高求解精度。
自适应步长控制
引入自适应步长控制策略，根据解的精度要求动态调整步长，提高求解精度。
改进方向二：拓展应用范围
复杂边界条件
研究如何处理更复杂的边界条件，使得分离变量法能够应用于更广泛的数理方程问题。
多维问题
将分离变量法拓展到多维问题，以解决更复杂的数学模型。
04
CATALOGUE
分离变量法的实例
实例一：一维波动方程的分离变量法
总结词
通过将一维波动方程转化为常微分方程，分离变量法能够简化求解过程。
详细描述
一维波动方程是描述一维波动现象的基本方程，通过分离变量法，我们可以将该方程转化为多个常微分方程，从而逐个求解，得到波动问题的解。
数学表达式

线性偏微分方程的解法-分离变量法

由 2.1.1 中例题（ 1 ）可知，当 f (x,t ) ≡ 0 时，定解问题的本征函数族为
⎨⎧sin ⎩
nπx l
⎬⎫, ⎭
(n
=
1,2,3L)
。
因此，设
∑ u(x, t )
=
∞
Tn (t)sin
n =1
nπx l
将（12）带入（11）中的泛定方程，得
∑∞
⎡ ⎢Tn
（23）
上述定解问题和初始条件是非齐次的，但边界条件是齐次的，可以用上一小节的本征函数发或者冲量定理法继续求解。
另一个函数 v(x,t )，可以用线性函数构造，令
v(x,t) = α (t) + β (t) − α (t) x
l
将（24）式带入（23）式，即可求得ω(x,t )，最终由（22）式可得
= 0,
= u1
0,
x=
l
=
0,
⎪ ⎪⎩u1
t=0
=
ϕ (x ),
u1t t=0 = ψ (x),
（16）
( ) ⎪⎪⎨⎧uu
2 tt
2 x
−
=0
a 2u 2 = 0,
xx = u2
f x,t , x=l = 0,
⎪
⎪⎩u2 t =0 = 0,
u
2 t
t=0 =
0,
（17）
齐次方程（16）可用上一小节分离变量法直接求得，方程（17）泛定方程为非齐次，但初始条件已经转化为齐次。
nπa l
sin
nπx l
=ψ
(x),
(0 < x < l)
（9）式左边是傅里叶正弦级数展开，因此其系数

第二章静电场分离变量法

选择导体表面作为区域V的边界，V内部自由电荷密度ρ＝0 ，泊松方程化为比较简单的拉普拉斯方程。
0
2
它的通解可以用分离变量法求出。剩下的问题归结为：怎样利用边界条件及边值关系确定常数，得到满足边界条件的特解。
一、拉普拉斯方程的适用条件
1、空间 0 ，自由电荷只分布在某些介质（或导体）表面上，将这些表面视为区域边界，可用拉普拉斯方程。 2、在所求区域的介质中若有自由电荷分布，则要求自由电荷分布在真空中产生的势为已知。一般所求区域为分区均匀介质，则不同介质分界面上有束缚面电荷。区域V中电势可表示为两部分的和，即 0 0 为已知自由电荷产生，的电势，不满足 2 0 ，为束缚电荷产生的电势，满足拉普拉斯方程 2 0
Ca 1 r a
r a

C 0 a
C
a
0
(r )
a
0
ln
r a
在导体面上
E (a) er
r
d E e dr
r
a e
0
0
r
[例3]一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳，带
电荷为Q 。同心地包围着一个半径为R1的导体球
1 n
S
1
S
2
S
1
2
2 n
S
一般讨论分界面无自由电荷的情况
四．应用举例
1、两无限大平行导体板，相距为
差为V ，一板接地，求两板间的电势和。
E
l
，两板间电势
解：（1）边界为平面，故应选直角坐标系下板 S 0 ，设为参考点
1
Z

数理方程第二章(1)

特点：方程和边界条件都是线性齐次的. 特点：方程和边界条件都是线性齐次的.
(2.1) (2.2) ( 2.3)
思路：运用叠加原理。先寻找齐次方程(2.1)的满思路：运用叠加原理。先寻找齐次方程(2.1)的满叠加原理 (2.1) 足边界条件(2.2)的足够多个具有简单形式( (2.2)的足够多个具有简单形式足边界条件(2.2)的足够多个具有简单形式(变量被分离)的特解, 分离)的特解, 再对它们作线性组合使得线性组合满足初始条件(2.3) (2.3)。满足初始条件(2.3)。思路的物理背景：乐器发出的声音可以分解成不同思路的物理背景：频率的单音。每种单音在振动时形成正弦曲线，频率的单音。每种单音在振动时形成正弦曲线，其振幅依赖于时间 t ，即每个单音可表示为
∫ ∫
π π
－π
1 ⋅ cos nxdx = ∫ 1⋅ sin nxdx =0, n = 1, 2,L ,
－π
π
－π
cos nx ⋅ sin mxdx = ∫
π
－π
cos nx ⋅ cos mxdx = n ≠ m.
∫
π
－π
sin nx ⋅ sin mxdx =0,
f ( x) 为 [−π , π］上可积的以 2π 为周期的函数。
令 y = e λ x 代入方程有 λ 2 + pλ + q = 0,
−p+ p 2 − 4q − p − p 2 − 4q , λ2 = 2 2
λ1 =
λ 2 + pλ + q = 0
(1) p 2 − 4q > 0 时，y = C1e λ1 x + C 2e λ2 x ; (2) p 2 − 4q = 0 时，y = (C1 + C 2 x )e λ1 x ;

第二章分离变量法2

第三步：求特解，并叠加出一般解
求解了特征值问题后，将每特征值n 代入函数T (t )满足的方程 T ' (t ) 2 a 2T (t ) 0
可得 Tn (t ) Ane
2 2 n at
从而我们得到满足边界条件的一组特解 u n ( x , t ) Cn e
2 2 n a t
2
u t 0 ( x), 0 x l.
分析方程和边界条件都是齐次的，求这样的问题仍用分离变量法求解。
第一步：分离变量
类似§ 2.1中步骤，设u( x, t ) X ( x)T (t )，代入上面的方程可得
X '' ( x) T ' (t ) 2 X ( x) a T (t )

2 (2k 1) Ck u0 sin d l 0 2l
l
举例
2 u u 2 x (0, l ), t 0 t a x 2 , u0 x [0, l ] u ( x, 0) x, l u (0, t ) u x (l , t ) 0, t 0
2 2 a 2 (n 1 (n 1 ) (1)n 2 2 ) u ( x, t ) 2 exp t sin 2 1 2 n 0 (n 2 ) l l
•
tan l
1 令 l , tan hl
上方程的解可以看作曲线y1 tan ，y2 交点的横坐标，如图：
显然它们有无穷多个，于是方程有无穷多个根。这里只取正根 1 , 2 n , 于是得到特征值问题的无穷个特征值 n n2 ( n ) 2 , (n 1,2,3...) l 及相应的特征函数 X n ( x) Bn sin n x

《数理方程》第二章分离变量解法

解：设 u( x, t ) = X ( x)T (t ) 得到
T ′′( t ) X ′′( x ) = = −λ 2 a T (t ) X ( x)
如果
λ >0 则
X "+λX = 0 X ′(0) = 0 X ′(l ) = 0
X ( x ) = C cos λ x + D sin λ x
12
现确定积分常数
第二章定解问题的分离变量解法
1
第一节一维齐次方程、齐次边界条件混合问题的分离变量解法
⎧utt = a 2 u xx , 0 < x < l, t > 0 ⎪ (Ι) ⎨u |x =0 = 0, u |x =l = 0, t≥0 ⎪u | = ϕ ( x), u | = ψ ( x), 0 ≤ x ≤ l t t =0 ⎩ t =0
固有值问题
20
第二步：求固有值 λ 和固有函数 X(x)，以及 T(t)的表达式
n 2π 2 λn = ( n = 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅) l
⎛ nπ a ⎞ Tn′(t ) + ⎜ ⎟ Tn (t ) = 0 ⎝ l ⎠
Tn (t ) = Cn e
这说明，任一时刻弦的形状都是正弦波，其振幅 An sin nπ x 随不同的时间 t 0 而不同。 l
10
nπ x0 • 对任意一点 x , U n ( x0 , t ) = An sin(ωn t + δ n )sin 0 l
这表示在任意一点
x0 处都作简谐振动。
n=4
• 驻波
o
nπ U n ( x, t ) = An sin(ωn t + δ n )sin x l

第二章第三节拉普拉斯方程分离变量法

§4 拉普拉斯方程分离变量法
本章的基本问题：
电场由电势描述；电势满足泊松方程+边界条件。具体的工作：解泊松方程只有在界面形状是比轻简单的几何曲面时，这类问题的解才能以解析形式给出，而且视具体情况不同而有不同解法。
本节和以下几节我们研究几种求解的解析方法。
一、拉普拉斯方程
在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的． ① 电容器内部的电场是由作为电极的两个例如：导体板上所带电荷决定的。 ② 电子光学系统的静电透镜内部，电场是由分布于电极上的自由电荷决定的。这些问题的特点是：自由电荷只出现在一些导体的表面上，在空
E0

0
为了保证解的单值性，则 n 只能取整数或者零。
n b n a r n P cos n 1 n r n
在教材附录 II 中列出了勒让德函数的前几项：
P cos 1 0
P cos cos 1

E P cos 0 1
n 0

n 1 b n P cos
R
n 2 0 n
n 1 nc R cos n 0 P n 0 0n
n 1 b n 1 n E P cos P cos nc R P co 0 1 n 0 n n 2 n n 0
其中cn 、bn是待定的系数。

P
内
外
3）在介质的分界面——球面上，电势的边界条件要求
外r 内 R
0
r R 0
外 0 内 r rR r rR 0
0
n c r cos n P n 内 n 0

第二章分离变量法

为加深理解，下面扼要分析一下级数形式解（2.11）得物理意义。先分析一下级数中每一项的物理意义。分析的方法时：先固定时间t，看看在任一指定时刻波是什么形状；再固定弦上一点，看看该点的振动规律。
把括号内的式子改变一下形式，可得其中，，。
当时间t取定值t0时，得其中是一个定值。这表示再任一时刻，波的形状都是一些正弦曲线，只是它的振幅随时间的改变而改变。
如果将初始条件（2.3）代之以，则相应的定解问题的解为当时，它平均收敛于（2.11）所给的形式解u(x,t)。由于Sn(x,t)既满足方程（2.1）及边界条件（2.2），有近似地满足初始条件（2.3），所以，当n很大时，可以把Sn(x,t)看成是原问题的近似解。所谓近似平均收敛的极限u(x,t)，具有实际意义。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ解，它的主要步骤大体为：
一、首先将偏微分方程的定解问题通过分离变量转化为常微分方程
的定解问题，这对线性齐次偏微分方程来说是可以做到的。
二、确定特征值与特征函数。由于特征函数是要经过叠加的，所以
确定特征函数的方程与条件，当函数经过叠加之后仍旧要满足。当边界
条件是齐次时，求特征函数就是求一个常微分方程满足零边界条件的非
需要指出的是，当φ(x),ψ(x)不满足这里所述的条件时，由（2.11～2.12）所确定的函数u(x,t)不具备古典解的要求，它只能是原定解问题的一个形式解。由实变函数的理论可知，只要φ(x),ψ(x)在 [0,l]上是L2可积的，函数列分别平均收敛[即按L2中的“距离”（范数）收敛]于φ(x),ψ(x)，其中Ck，Dk由（2.12）确定。
从上面的运算过程可以看出，用分离变量法求解定解问题的关键步骤是确定特征函数与运动叠加原理，这些运算之所以能够进行，就是因

数学物理方程-第二章分离变量法

第二章分离变量法分离变量法是求解偏微分方程定解问题最常用的方法之一，它和积分变换法一起统称为Fourier 方法. 分离变量法的本质是把偏微分方程定解问题通过变量分离，转化为一个所谓的特征值问题和一个常微分方程的定解问题，并把原定解问题的解表示成按特征函数展开的级数形式. 本章介绍两个自变量的分离变量法，更多变量的情形放在其他章节中专门讨论.§21 特征值问题⋅2．1.1 矩阵特征值问题在线性代数中，我们已学过线性变换的特征值问题. 设为一阶实矩阵，A n 可视为到自身的线性变换。

该变换的特征值问题（eigenvalue problem ）A n R 即是求方程：，,n Ax x x R λ=∈（1.1）的非零解，其中为待定常数. 如果对某个，问题（1.1）有非零解C λ∈λ，则就称为矩阵的特征值(eigenvalue)，相应的称为矩阵n x R λ∈λA n x R λ∈的特征向量(eigenvector). 一般来讲，特征值问题（1.1）有不多于个相A n 异的特征值和线性无关的特征向量. 但可证明: 任一阶矩阵都有个线性无n n 关的广义特征向量，以此个线性无关的广义特征向量作为的一组新基，矩n n R 阵就能够化为标准型.Jordan 若为一阶实对称矩阵，在线性代数中有一个重要结果，即存在一个正A n 交矩阵使得T ， 1T AT D -=（1.2）其中diag 为实对角阵. 设，为矩阵的第列D =12(,,...,)n λλλ12[ ... ]n T T T T =i T T i 向量，则式（1.2）可写为如下形式(1)i n ≤≤ ，1212 [ ... ][ ... ]n n A T T T T T T D =或, 1.i i i A T T i n λ=≤≤（1.3）上式说明，正交矩阵的每一列都是实对称矩阵的特征向量，并且这T A 个特征向量是相互正交的. 由于此结论在一定意义下具有普遍性，我们以定n 理的形式给出.定理1.1 设为一阶实对称矩阵，考虑以下特征值问题A n ，,n Ax x x R λ=∈则的所有特征值为实数，且存在个特征向量，它们是相互正交的A n ,1i T i n ≤≤（正交性orthogonality ），可做为的一组基（完备性completeness ）.n R 特征值问题在线性问题求解中具有重要的意义，下面举例说明之.为简单起见，在下面两个例子中取为阶非奇异实矩阵，故的所有特A n A 征值非零，并且假设有个线性无关的特征向量相应的特征值为A n ,i T ., 1i i n λ≤≤例1.1 设，求解线性方程组 .n b R ∈Ax b =解由于向量组线性无关，故可做为的一组基. 将按此{1}i T i n ≤≤n R ,x b 组基分别展开为，则等价于11 ,nni i i i i i x x T b bT ====∑∑Ax b =，11nni ii ii i x AT bT ===∑∑或，11nni i ii ii i x T bT λ===∑∑比较上式两边的系数可得i T ，1, 1i i i x b i n λ-=≤≤便是原问题的解.12( ... )n x x x x T =例1.2 设,. 求解非齐次常微0n x R ∈12()((),(),...,()), 0n n f t x t x t x t R t T =∈>分方程组， 0(), (0)dxAx f t x x dt=+=（1.4）其中 . '''12((),(),...,()),0n dx x t x t x t t dtT =>解类似于上例，将按基分别展开为0,,()x x f t {1}i T i n ≤≤ .0111, , ()()nn n i i i ii i i i i x x T x x T f t f t T ======∑∑∑则（1.4）等价于，0111()() +(), (0), 1n n ni i i i i i i i i i i dx t T x t AT f t T x x i n dt =====≤≤∑∑∑或，011()(()()), (0),1nni i i i i i i i i i dx t T x t f t T x x i n dt λ===+=≤≤∑∑比较上式两边的系数可得i T . 0()()(), (0), 1i i i i i i dx t x t f t x x i n dtλ=+=≤≤（1.5）（1.5）是个一阶线性方程的初始值问题，很容易求出其解.请同学们给出解n 的具体表达式.(),1i x t i n ≤≤2.1.2 一个二阶线性微分算子的特征值问题在这一小节，我们讨论在本章常用的一些特征值问题. 代替上节的有限维线性空间和阶实对称矩阵，在这儿要用到线性空间的某个子空间n R n A [0,]C l 和该子空间上的二阶线性微分算子. 一般地取H A在满足齐次边界条件.2{()[0,]()H X x C l X x =∈0,x l =}（1.6）下面我们讨论二阶线性微分算子的特征值问题. 先取边界条件为22d A dx=-，设是的特征函数，即且满足(0)0,()0X X l ==()X x H ∈A ()0X x ≠.()()AX x X x λ=此问题等价于是下面问题的非零解()X x "()()0, 0(0)()0 .X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎨==⎩（1.7）（1.7）便是二阶线性微分算子的特征值问题，即要找出所有使22d A dx=-得该问题有非零解的. 下面求解特征值问题（1.7）.λ首先证明要使（1.7）具有非零解，必须非负.λ设是相应于的一个非零解，用乘（1.7）中的方程，并在)(x X λ)(x X 上积分得[]l ,0，0)()()()("=+x X x X x X x X λ，0)()()( 0 2 0 "=+⎰⎰dx x X dx x X x X llλ.0)())(()()( 0 2 0 2'0'=+-⎰⎰dx x X dx x X x X x X lll λ由于，故有0)()0(==l X X ，2'2 0()(())llX x dx X x dx λ=⎰⎰.'22 0(())()0llX x dxX x dx λ=≥⎰⎰（1.8）当时，方程的通解为. 利用边界条件0λ=0)()("=+x X x X λ12()X x c c x =+可得，即. 因此，不是特征值.0)()0(==l X X 120c c ==()0X x =0λ=当时，方程的通解为0λ>0)()("=+x X x X λ. （1.9x C x C x X λλsin cos )(21+=）利用边界条件确定常数如下0)()0(==l X X 21,C C , ,10C =l C l C λλsin cos 021+=或.0sin 2=l C λ由于要求（1.7）中齐次微分方程的非零解，故不能为零. 故有2C .0sin =l λ，从而有0> ， ,πλn l =1n ≥， .2)(ln n πλ=1n ≥将代入到（1.8）中，并略去任意非零常数得n C C λ,,212C ， .x ln x X n πsin)(=1n ≥故特征值问题（1.7）的解为，， 2(l n n πλ=x ln x X n πsin )(=1n ≥（1.10）注1 特征值问题是分离变量法的理论基础. 上面已求出特征值问题（1.7）的解为. 在高等数学中知道，在一定条件下区间{ sin 1 }n x n lπ≥的任一函数可按特征函数系展开为Fourier 级数. 换言[0 , ]l { sin 1 }n x n lπ≥之，特征函数系是区间上满足一定条件的函数所成无穷维空间的一组基，{ sin 1 }n x n lπ≥[0 , ]l 而且还是该空间上的一组正交基，即有. 特征函0sinsin 0 , ln m x n m l lππ=≠⎰数系的这两个根本性质：正交性和完备性（基），和定理1.1{ sin1 }n x n lπ≥有限维空间中相应结论很相似，只是现在的特征值和特征函数是无穷个. 另n R 外，若改变（1.7）中的边界条件，其相应的特征值和特征函数也会有所变化.如将边界条件变为，则特征值和特征函数分别为(0)0,'()0X X l ==. 2(21)(21)(),()sin ,022n n n n X x x n l lππλ++==≥该特征函数系也具有和特征函数系类似(21){ sin1 }2n x n l π+≥{ sin 1 }n x n lπ≥的性质，既正交性和完备性.此类问题的一般结果便是著名的Sturm—Liouville定理，有兴趣的同学可参阅参考文献.[1][4]-将以上的结果以定理的形式给出.定理1.2 考虑二阶线性微分算子的特征值问题[1],[4]22d A dx=- "()()()()0 , 0 ,(0)0,()0 .k m X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎪⎨==⎪⎩（1.11）其中. 则该问题的特征值非负，且满足0,1k m ≤≤.120......n λλλ≤<<<<→∞相应的特征函数系在上是相互正交的. 且对于任一在区间上1{()}n n X x ≥[0,]l [0,]l 分段光滑的函数，可按特征函数系展开为如下的级数()f x 1{()}n n X x ≥Fourier ，1()()n n n f x f X x ∞==∑其中系数为Fourier .20()(), 1()l nn lnf x Xx dxf n Xx dx =≥⎰⎰为后面需要，下面再求解二阶线性微分算子带有周期边界条件的22d A dx=-特征值问题. 在偏微分方程教材中，习惯上用表示周期函数，即考虑下面()θΦ二阶线性微分算子的周期边值问题22d A dx=- "()()0, () (2), .θλθθθπθθ⎧Φ+Φ=-∞<<+∞⎨Φ=Φ+-∞<<+∞⎩（1.12）可证（1.12）和以下问题等价"''()()0, 02(0) (2), (0) (2).θλθθπππ⎧Φ+Φ=≤≤⎪⎨Φ=ΦΦ=Φ⎪⎩（1.13）和（1.8）的证明相似易得（1.13）中的特征值.当时，0≥λ0λ=, 由周期边界条件可得. 所以为特征函数.12()c c θθΦ=+20c =0()1θΦ=当时，方程通解为0λ>,θλθλθsin cos )(21c c +=Φ求导得.'()c c θΦ=-+由周期边界条件可得112cos(2sin(2c c c c c c ππ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩或1212[1cos(2sin(20sin(2[1cos(20.c c c c ππ⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩（1.14）由于要求非零解，故不能同时为零. 因此，齐次方程组（1.14）的系数矩12,c c 阵行列式必为零，即 .解之可得1cos(20-=，2n n =λ()cos sin .n n n c n d n θθθΦ=+此时对每个正特征值，特征函数有二个，既，. 总结所得2n n =λθn cos θn sin 结果为如下定理.定理1.3 考虑二阶线性微分算子带有周期边界条件的特征值问22d A d θ=-题"''()()0, 02(0) (2), (0) (2).θλθθπππ⎧Φ+Φ=≤≤⎪⎨Φ=ΦΦ=Φ⎪⎩则该问题的特征值和特征函数分别为，.00,λ=0()1;θΦ=2n n =λ(){cos ,sin }, 1n n n n θθθΦ=≥§22 分离变量法⋅本节结合具体定解问题的求解来介绍分离变量法（method of separation of variables ）. 所举例子仅限于一维弦振动方程，一维热传导方程混合问题以及平面上一些特殊区域上的位势方程边值问题. 对高维问题的处理放在其它章节中介绍.以下多数例子均假定定解问题带有齐次边界条件. 否则,可利用边界条件齐次化方法转化之. 我们以弦振动方程的一个定解问题为例介绍分离变量法.2．2.1 弦振动方程定解问题例2.1求解两端固定弦振动方程的混合问题2(,), 0, 0 (2.1)(0,)0, (,)0, 0 (2.2)(,0)(), (,0)(),0. tt xx t u a u f x t x l t u t u l t t u x x u x x x l ϕψ-=<<>==≥==≤≤ (2.3)⎧⎪⎨⎪⎩解分四步求解.第一步导出并求解特征值问题. 即由齐次方程和齐次边界条件，利用变量分离法导出该定解问题的特征值问题并求解.令，并代入到齐次方程中得)()(),(t T x X t x u =,0)()()()(''2''=-t T x X a x X t T 或.''''2()()()()X x T t X x a T t =上式左端是的函数而右端是的函数，要二者相等，只能等于同一常数.x t 令此常数为-，则有λ ，，λ-=)()("x X x X "2()()T t a T t λ=-上面的第一个方程为.0)()("=+x X x X λ利用齐次边界条件（2.2），并结合得0)(≠t T .0)()0(==l X X 由此便得该定解问题的特征值问题为"()()0, 0(0)()0.X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎨==⎩其解为特征值：特征函数： 2() , 1 ;n n n lπλ=≥()sin, 1 .n n X x x n lπ=≥第二步正交分解过程. 即将初值和自由项按特征函数系展成{}1()n n X x ≥Fourier 级数，并将也用特征函数表出.),(t x u {}1()n n X x ≥ ,11()()sinn n n n n n x X x x lπϕϕϕ∞∞====∑∑（2.4）, 11()()sinn n n n n n x X x x lπψψψ∞∞====∑∑（2.5）, 11(,)()()()sinn n n n n n f x t f t X x f t x lπ∞∞====∑∑（2.6）（2.711(,)()()()sinn n n n n n u x t T t X x T t x lπ∞∞====∑∑）这里，和分别为，和的Fourier 系数，具体表示如n ϕn ψ)(t f n )(x ϕ)(x ψ),(t x f 下,02()sin l n n d l l πϕϕααα=⎰,02()sin l n n d l l πψψααα=⎰,02()(,)sin l n n f t f t d l lπααα=⎰而为待定函数.)(t T n 第三步待定系数法. 即先将和的Fourier 级数代入到（2.1）),(t x f ),(t x u 中，导出关于满足的常微分方程. 再利用初值条件（2.3）得出满足)(t T n )(t T n 的初始条件.假设(2.7)中的级数可逐项求导，并将（2.6）和（2.7）代入到（2.1）中得,"2"111()()()()()()nnnnn n n n n T t Xx aT t Xx f t X x ∞∞∞===-=∑∑∑,"2111()()()(())()()nnn nnn n n n n T t Xx aT t Xx f t X x λ∞∞∞===--=∑∑∑ . （2.8"211(()())()()()nn n n n n n n T t a T t X x f t X x λ∞∞==+=∑∑）由于Fourier 展式是唯一的，比较（2.8）两端系数得)(x X n（2.9"2()()(), 1.n n n n T t a T t f t n λ+=≥）在（2.7）中令并结合（2.4）得0=t （2.10()(0)()()n n n n n n x T X x X x ϕϕ∞∞====∑∑）比较（2.10）两端系数得)(x X n(0), 1.n n T n ϕ=≥（2.11）类似地可得'(0), 1.n n T n ψ=≥（2.12）结合（2.9），（2.11）和（2.12）便得出关于满足的二阶常系数非齐)(t T n (1)n ≥次方程初始值问题"2'()()(), 0(0), (0).n n n n n n n n T t a T t f t t T T λϕψ⎧+=>⎪⎨==⎪⎩（2.13）第四步求解关于的定解问题（2.13），并将其结果代入到（2.7）中)(t T n 即可.为简单起见，我们设. 将代入到（2.13）中可得方程的通()0,1n f t n =≥n λ解为， t lan d t l a n c t T n n n ππsin cos)(+=利用初始条件确定常数如下,n n c d.'(0), (0)n n n n nn aT c T d lπϕψ====故有. ()cossin n n n l n a n a T t t t l n a lψππϕπ=+最后将上式代入到（2.7）中便得定解问题（2.1）—（2.3）的解为12(,)()sin cos sin l n n n a n u x t d t xlll lπππϕααα∞==∑⎰ (2.14)012()sin sin sin l n n n a n d t x n a l l l πππψαααπ∞=+∑⎰注1 利用分离变量法求解（2.1）—（2.3），需要假设在（2.7）中可通过无穷求和号逐项求导. 而通过号求导要对无穷级数加某些条件，在这里就∑∑不做专门讨论了. 今后遇到此类问题，我们均假设一切运算是可行的，即对求解过程只作形式上的推导而不考虑对问题应加什么条件. 通常称这样得出的解为形式解. 验证形式解是否为真解的问题，属于偏微分方程正则性理论的范围. 一般地讲，偏微分方程定解问题的解大多数是以无穷级数或含参变量积分形式给出的. 对这两类函数可微性的研究需要较深的数学知识，也有一定的难度，有兴趣的同学可查阅参考文献和. 我们约定：本书只求定解问题的形式解.[1][2]注2 当时，由（2.14）可以看出：两端固定弦振动的解是许多(,)0f x t =简单振动的叠加，当时，对任意的(,)()sinn n n u x t T t x l π=(11)k klx x k n n==≤≤-时刻，，即在振动的过程中有个点永远保持不动，所t (,)0n k u x t =(,)n u x t (1)n +以称这样的振动为驻波,而称为该驻波的节点.显然当k x 时，在这些点上振幅最大，称这些点为驻波的21(11)2k x l k n n+=≤≤-sin 1x =腹点. 因此，求特征函数实际上就是求由偏微分方程及边界条件所构定的系统所固有的一切驻波. 利用由系统本身所确定的简单振动来表示一些复杂的振动，便是分类变量法求解波动问题的物理解释.注3 例2.1的求解方法也叫特征函数法（eigenfunction method ），现已成为固定模式，也具有普适性. 初学者似乎会感到有些繁琐，但随着进一步的学习，同学们就会熟练掌握这一方法. 特征函数法的关键之处是求解偏微分方程定解问题相应的特征值问题，而基本思想就是笛卡尔（Descartes ）坐标系的思想.如在三维空间中，每个向量可由基的线性组合表出，两个向量3R {,,}i j k 111222 , a i b j c k a i b j c kαβ=++=++相等当且仅当在基下两个向量的坐标相等. 既.{,,}i j k121212 , , a a b b c c ===与此相类似，在例2.1求解中也是比较方程或初始条件两边的系数而得()n X x 到（2.13）. 与三维空间相比较，例2.1中特征函数系相当3R { sin1 }n x n lπ≥于3R 中的基，而也就相当于上面的，即定解问题的解{,,}i j k{ T () 1 }n t n ≥111{,,}a b c 关于基函数的坐标. 因此，在具有可数基的无穷维空间中，特{ sin1 }n x n lπ≥征函数法也称为待定系数法.例2.2 设有一均匀细弦，其线密度为. 若端为自由端，端固ρ0x =x l =定.初始速度和初始位移分别为零，并受到垂直于弦线的外力作用，其单位长度所受外力为. 求此弦的振动. sin t ω 解所求定解问题为（2.1521 sin , 0, 0(0,)0, (,)0, 0(,0)0, (,0)0, 0.tt xx x t u a u t x l t u t u l t t u x u x x l ρω-⎧-=<<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩）利用特征函数法求解该问题.情形1 非共振问题，即.22, 0n a n ωλ≠≥ 该定解问题的特征值问题为(2.16)"'()()0, 0(0)0, ()0.X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎪⎨==⎪⎩其解为，， 2(21)()2n n l πλ+=(21)()cos 2n n X x x lπ+=0n ≥将按特征函数展开成Fourier 级数得1sin t ρω-{}0)(≥n n x X , （2.17)11sin ()()n n n t f t X x ωρ∞==∑.021214()sin sin sin sin 2(21)l n n n f t t d t f t l l n ωπααωωρπρ+===+⎰令(,)()()n n n u x t T t X x ∞==∑（2.18）完全类似例2.1的求解过程可得，对于任意满足下面问题0, ()n n T t ≥（2.19"2'()()sin , 0(0)0, (0)0.n n n n n n T t a T t f t t T T λω⎧+=>⎪⎨==⎪⎩）初值问题(2.19)中齐次方程的通解为，12()cos sin n T t c c =+而非齐次方程的一个特解为.22()sin nn n f T t t a ωλω=-因此，（2.19）的通解为. 1222()cos sin sin nn n f T t c c t a ωλω=++-（2.20）由初始条件可确定出120, c c ==最后将所得到的代入到（2.18）中便得（2.15）的解.()n T t 情形2 共振问题，即存在某个使得.0,n ≥22n a ωλ=不妨假设.此时，在情形1中求解所得到的不变.220a ωλ={ T () 1 }n t n ≥当时，要求解以下问题0n = "2000'00()()sin , 0(0)0, (0)0.T t T t f t t T T ωω⎧+=>⎪⎨==⎪⎩（2.21）（2.21）中齐次方程通解为.012()cos sin T t c t c t ωω=+为求得非齐次方程的一个特解，要将（2.21）中方程的自由項换为，而求0i t f e ω以下问题的一个特解"2000()().i t T t T t f e ωω+=令并代入到上面非齐次方程中可得，故有()i t T t Ate ω=02f iA ω=-，00()sin cos 22f t f tT t t i t ωωωω=-取其虚部便得（2.21）中方程的一个特解为. 00()Im(())cos 2f tT t T t t ωω==-结合以上所得结果便可得到（2.21）中方程的通解为，0012()cos sin cos 2f tT t c t c t t ωωωω=+-由初始条件确定出，由此可得01220, 2fc c ω==.0002()sin cos 22f f tT t t t ωωωω=-将代入到（2.18）中便得在共振条件下（2.15）的解为()n T t 000102112(,)()()()()()()(sin cos )cos ()()222 (,)(,) .n n n n n n n n n u x t T t X x T t X x T t X x f f t t t x T t X x l u x t u x t πωωωω∞=∞=∞===+=-+=+∑∑∑可以证明: 是有界的. 而在的表达式中取，则2(,)u x t 1(,)u x t 2k k t πω=中的基本波函数的振幅当逐渐变大时将趋于无穷大，最1(,)u x t cos2x lπ0()k T t k 终要导致弦线在某一时刻断裂，这种现象在物理上称为共振. 注意到在上面求解过程中我们取周期外力的频率等于系统的第一固有频率ω波函数分量上发生共振. 一般地讲，当周期外力的频率很接近或等于系统的ω某个固有频率时，系统都会有共振现象发生，即弦线上一些点的振幅将随着时间的增大而不断变大，导致弦线在某一时刻断裂.2．2.2 热传导方程定解问题例2.3 求解下面热方程定解问题（2.2220, 0, 0 (0,), (,)sin , 0(,0)0, 0.t xx x u a u x l t u t u u l t t t u x x l ω⎧=<<>⎪==≥⎨⎪=≤≤⎩）解利用特征函数法求解(2.22).首先将边界条件齐次化,取，并令，则0(,)sin w x t u x t ω=+w u v -=（2.22）转化为（2.2320cos , 0, 0 (0,)0, (,)0, 0(,0), 0.t xx x v a v x t x l t v t v l t t v x u x l ωω⎧-=-<<>⎪==≥⎨⎪=-≤≤⎩）利用分离变量法可得（2.23）的特征值问题为"()()0, 0(0)0, '()0.X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎨==⎩特征值和特征函数分别为,2(21)()2n n lπλ+=0≥n .(21)()sin 2n n X x x lπ+=0≥n 将，按特征函数展成Fourier 级数(,)cos f x t x t ωω=-0)(u x -=ϕ{}0)(≥n n x X 得， (2.24)cos ()()n n n x t f t X x ωω∞=-=∑,02(21)()(1)cos sin cos 2l n n n f t t d f t l lπωαωααω+=-=⎰其中. 1228(1)(12)n n l f n ωπ+-=+ ， (2.25)00n n n u X ϕ∞=-=∑其中.00042(21)()sin 2(12)l n u n u d l l n πϕααπ-+=-=+⎰令(2.26)(,)()(), n n n v x t T x X x ∞==∑并将（2.26）代入到（2.23）中的方程得,'2"()()()()cos ()nnnnn n n n n T t Xx aT t Xx f tX x ω∞∞∞===-=∑∑∑.'2(()())()cos ()nn nnn n n n T t a T t Xx f tX x λω∞∞==+=∑∑在（2.26）中令并结合（2.25）得0=t .()(0)()()n n n n n n x T X x X x ϕϕ∞∞====∑∑比较上面两式中特征函数的系数便得()n X x（2.27'2()()cos , 0(0).n n n n n n T t a T t f t t T λωϕ⎧+=>⎪⎨=⎪⎩）（2.27）是一阶常系数常微分方程初值问题.齐次方程通解为.t a n n Ce t T λ2)(-=令，并利用待定系数法求特解可得()cos sin n T t A t B t ωω=+ ,2242242()cos sin n n nn n na f f T t t t a a λωωωωλωλ=+++故有（2.2822242242()cos sin n a tn n nn n na f f T t Cet t a a λλωωωωλωλ-=++++）在上式中代得0t =,2242n nn na f C a λϕωλ=++ . 2242n nn na f C a λϕωλ=-+最后将(2.28)代入到(2.26)中便得(2.23)的解为.0(21)(,)()sin2n n n v x t T t x lπ∞=+=∑故（2.21）的解为),(),(),(t x w t x v t x u +=0 (,)sin v x t u x t ω=++其中由（2.28）给出. )(t T n2．2.3 平面上位势方程边值问题考虑矩形域上Poisson 方程边值问题1212(,), , (,)(), (,)(), (,)(), (,)(), .xx yy u u f x y a x b c y d u a y g y u b y g y c y d u x c f x u x d f x a x b +=<<<<⎧⎪==≤≤⎨⎪==≤≤⎩（2.29）我们假设或. 否则，利用边界条件齐次化方法0)()(21==x f x f 0)()(21==y g y g 化非齐次边界条件为齐次边界条件. 当然，也可以利用叠加原理将（2.29）分解为二个问题，其中一个关于具有齐次边界条件，而另一个关于具有齐次边x y 界条件.例2.4 求解Dirichlet 问题（2.300, 02, 0 1 (0,)0, (2,)0, 01(,0)1, (,1)(1), 0 2.xx yy u u x y u y u y y u x u x x x x +=<<<<⎧⎪==≤≤⎨⎪==-≤≤⎩）解令并将其代入到（2.29）中齐次方程得)()(),(y Y x X y x u =,0)()()()(""=+y Y x X y Y x X ,λ-=-=)()()()(""y Y y Y x X x X （2.31"()()0, 0 2(0)0, (2)0.X x X x x X X λ⎧+=<<⎨==⎩）0)()("=-y Y y Y λ（2.32）（2.31）便是（2.30）的特征值问题，其解为，， .2)2(πλn n =x n x X n 2sin)(π=1≥n 将代入到（2.32）中得n λ ，0)()("=-y Y y Y n λ（2.33）该方程有两个线性无关解，. 由于，也是（2.33）的y n e2πy n e2π-2n shy π2n ch y π解且线性无关，故（2.33）通解为.y n ch d y n shc y Y n n n 22)(ππ+=令(2.34)11(,)()()()sin 222n n n n n n n n n u x y X x Y y c shy d ch y x πππ∞∞====+∑∑则满足（2.30）中方程和关于的齐次边界条件. 利用关于的边界条),(y x u x y 件可如下确定，，n c n d ,∑∞==12sin1n n x n d π . （2.35))1(1(22sin12220n n n d n d --=⨯=⎰πααπ）,x n n ch d n shc x x n n n ∑∞=+=-12sin )22()1(πππ . 22))1(1(22)1(416)1(163322ππππππn sh n chn n sh n n c n nnn -------=（2.36）故（2.30）解为（2.371(,)()sin ,222n n n n n n u x y c shy d ch y x πππ∞==+∑）其中，由（2.36）和（2.35）确定.n c n d 对于圆域，扇形域和圆环域上的Poisson 方程边值问题，求解方法和矩形域上的定解问题无本质区别，只是在此时要利用极坐标.同学们自己可验证：令，作自变量变换，则有θρcos =x θρsin =y .θθρρρρρu u u u u yy xx 211++=+令，将其代入到极坐标下的Laplace 方程中得)()(),(θρθρΦ=R u 222330216(1)164(1)(1)sin ,2222n nn n n n n n c sh d ch d n ππππααααπ----+=-=⎰,"'"211()()()()()()0R R R ρθρθρθρρΦ+Φ+Φ=,"'"211(()())()()()0R R R ρρθρθρρ+Φ+Φ=,"'"21()()()1()()R R R ρρθρλθρρ+Φ=-=-Φ故有, （2.380)()("=Φ+Φθλθ）. （2.390)()()('"2=-+ρλρρρρR R R ）方程（2.38）结合一定的边界条件便得相应定解问题的特征值问题,而（2.39）是欧拉（Euler ）方程. 对（2.39）作自变量变换可得s e =ρ ， ,s e =ρρln =s ,'1s dR dR ds R d ds d ρρρ==.2222'''2222211()ss s d R d R ds dR d s R R d ds d ds d ρρρρρ=+=-将以上各式代入到（2.39）得. （2.40''0ss R R λ-=）例2.5 求下面扇形域上Dirichlet 问题（2.4122220, 0, 0, 4(,0)0, 0 2(0,)0, 0 2 (,), 4. xx yy u u x y x y u x x u y y u x y xy x y ⎧+=>>+<⎪=≤≤⎪⎨=≤≤⎪⎪=+=⎩）的有界解.解令，作自变量变换，（2.41）转化为θρcos =x θρsin =y（2.42）2110, 0, 0 2 2(,0)0, (,0, 022(2,)2sin 2, 0.2u u u u u u ρρρθθπθρρρπρρρπθθθ⎧++=<<<<⎪⎪⎪==≤≤⎨⎪⎪=≤≤⎪⎩令代入到（2.42）中的方程，并结合边界条件可得)()(),(θρθρΦ=R u"()()0, 0<</2(0)0, (/2)0.θλθθππ⎧Φ+Φ=⎨Φ=Φ=⎩（2.43）. （2.440)()()('"2=-+ρλρρρρR R R ）（2.43）便是（2.42）的特征值问题.求解特征值问题（2.43）可得，， .224)2/(n n n ==ππλθθn n 2sin )(=Φ1≥n 将代入到（2.44）中，并令作自变量变换可得n λs e =ρ,"240ss R n R -=.2222()ns ns n n n n n n n R c e d e c d ρρρ--=+=+由于是求（2.42）的有界解，故有，即. 从而有∞<)0(R 0=n d .n n n c R 2)(ρρ= 上面求出的对每个都满足（2.42）中的方程和齐(,)()()n n n u R ρθρθ=Φ1n ≥次边界条件，由叠加原理得, （2.45∑∑∞=∞==Φ=1212sin )()(),(n n n n n n n c R u θρθρθρ）也满足（2.42）中的方程和齐次边界条件.为使（2.42）中的非齐次边界条件得以满足，在（2.45）中令得(2,)2sin u θθ=2ρ= ，212sin 22sin 2n n n c n θθ∞==∑（2.46）比较上式两边特征函数的系数得θθn n 2sin )(=Φ ， .112c =1)( 0≠=n c n 将，代入到（2.45）中便得（2.42）的解为1c 1)(≠n c n . θρθρ2sin 21),(2=u 例2.6 求解圆域上Dirichlet 问题2110, 0, 02(,)(), 02.u u u a u a ρρρθθρθπρρθϕθθπ⎧++=<<≤<⎪⎨⎪=≤≤⎩（2.47）解圆域上的函数相当于关于变量具有周期. 令(,)u ρθθ2π并代入到（2.46）中的方程可得)()(),(θρθρΦ=R u（2.48"()()0() (2).θλθθπθ⎧Φ+Φ=⎨Φ=Φ+⎩）. （2.490)()()('"2=-+ρλρρρρR R R ）（2.48）是定解问题（2.47）的特征值问题. 由定理1.3知（2.48）的解为.2, ()cos sin , 0n n n n n c n d n n λθθθ=Φ=+≥将代入到（2.49）中可得(要利用自然边界条件)n λ(0,)u θ<∞,，00)(c R =ρn n n c R ρρ=)(1≥n 利用叠加原理可得（2.47）的如下形式解.∑∞=++=10)sin cos (),(n n n n n d n c c u θθρθρ（2.50）根据边界条件得)(),(θϕθ=a u ,01()(cos sin )n n n n c a c n d n ϕθθθ∞==++∑其中,2001()2c d πϕττπ=⎰,⎰=πτττϕπ20cos )(1d n a c n n .⎰=πτττϕπ20sin )(1d n a d n n 将以上各式代入到（2.50）中便得（2.47）的解为2 2 0 0111(,)()()(()cos cos 2n n u d n d n a ππρρθϕττϕτττθππ∞==+∑⎰⎰ .)sin sin )(12 0 ⎰+πθτττϕπn d n （2.51）注4 利用等式可将（2.51）化为如下形)Re()(cos 1)(1∑∑∞=-∞==-n in n n n e c n c τθτθ式（2.522222201()()(,),22cos()a u d a a πρϕτρθτπρρθτ-=+--⎰）式（2.52）称为圆域上调和函数的Poisson 公式. 在后面学习中还将用其它方法导出它. 注5 在例2.5和例2.6中，如果方程中自由项不为零，若),(θρf 特殊，可用函数代换将自由项化为零而转化齐次方程. 对于一般的),(θρf ，要利用特征函数方法求解.),(θρf 注6 上面例2.3—例2.6几个定解问题的求解思想和主要过程，是伟大的数学家和物理学家Fourier 给出的，详细内容见参考文献. 在这部著名论著[5]中，Fourier 首次利用偏微分方程来研究热问题，并系统地介绍了分离变量法的基本思想和主要步骤. 结合本节所举例子，请同学们小结一下在本章所学过的特征值问题，二阶常系数非齐次常微分方程和欧拉方程的求解方法. 习题二1. 设有如下定解问题2(,), 0, 0 (0,)0, (,)0, 0(,0)(), (,0)(), 0.tt xx x t u a u f x t x l t u t u l t t u x x u x x x l ϕψ⎧-=<<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩利用分离变量法导出该定解问题的特征值问题并求解.2.求解下列特征值问题（1） "''()()0, 0 (0)()0.X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎪⎨==⎪⎩ （2） "()()0, 1 1 (1)0,(1)0X x X x x X X λ⎧+=-<<⎨-==⎩ （3） "()()0, 0 '(0)0, ()0.X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎨==⎩ （4） "()()0, 02 (0)(2), '(0)'(2).X x X x x l X X l X X l λ⎧+=<<⎨==⎩3 考虑下面特征值问题*"()()0, 0 (0)0, '()()0.X x X x x l X X l X l λ⎧+=<<⎨=+=⎩（1）证明一切特征值0.λ>（2）证明不同的特征值对应的特征函数是正交的.（3）求出所有的特征值和相应的特征函数.4．设在区间一阶连续可导且考虑如下特(),()p x q x [0,]l ()0,()0.p x q x >≥征值问题[()()]()()(), 0 (0)0, ()0.d d p x X x q x X x X x x l dx dx X X l λ⎧-+=<<⎪⎨⎪==⎩（1）证明一切特征值0.λ≥（2）证明不同的特征值对应的特征函数是正交的.5．求解下列弦振动方程的定解问题（1）20, 0<, 0(0,)0, (,)0, 0(,0), (,0)0, 0.tt xx x x t u a u x l t u t u l t t u x x u x x l ⎧-=<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩ （2） 20, 0<, 0(0,)0, (,)0, 035(,0)sin , (,0)sin , 0.22tt xx x t u a u x l t u t u l t t u x x u x x x l l l ππ⎧⎪-=<>⎪==≥⎨⎪⎪==≤≤⎩（3） 240, 0<1, 0(0,)0, (1,)0, 0(,0), (,0)0, 0 1.tt xx t u u u x t u t u t t u x x x u x x ⎧-+=<>⎪==≥⎨⎪=-=≤≤⎩（4） 242sin , 0<, 0(0,)0, (,)0, 0(,0)0, (,0)0, 0.tt xx x x t u u u x x t u t u t t u x u x x πππ⎧--=<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩（5） 22, 0, 0 (0,) (,)0, 0(,0)0, (,0), 0.tt xx x t u a u x l t u t u l t t u x u x A x l ⎧-=<<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩6．求解下列热传导方程的定解问题（1） 2cos , 0<, 02(0,)1, (,), 0(,0)0, 0<.t xx x x u a u x t u t u t t u x x ππππ⎧-=<>⎪⎪==≥⎨⎪=<⎪⎩（2） 22, 0<1, 0(0,)0, (1,)0, 0(,0)sin , 0< 1.t xx x u a u u x t u t u t t u x x x π⎧-=<>⎪==≥⎨⎪=<⎩（3） 220, 0<, 0(0,)0, (,)0, 0(,0)(), 0.t xx u a u b u x l t u t u l t t u x x x l ϕ⎧-+=<>⎪==≥⎨⎪=≤≤⎩（4） 2, 0, 0 (0,)0, (,)0, 0(,0)1, 0.t xx x x u a u xt x l t u t u l t t u x x l ⎧-=<<>⎪==≥⎨⎪=≤≤⎩7. 求解下面位势方程定解问题（1） , 0, 0 (,0)0, (,)0, 0(0,)0, (,), 0.xx yy y y u u x x a y b u x u x b x a u y u a y Ay y b +=<<<<⎧⎪==≤≤⎨⎪==≤≤⎩（2）22220, 0, , 4 (,0)0, 02, (,)0, 0(,), 4.xx yy u u y x y x y u x x u x x x u x y x y x y ⎧+=>>+<⎪⎪=≤≤=≤≤⎨⎪=++=⎪⎩（3） 22220, 4 (,)1, 4.xx yy u u x y u x y x x y ⎧+=+<⎪⎨=++=⎪⎩（4） 222222, 1< 4 (,)0, 1 (,), 4.xx yy u u xy x y u x y x y u x y x y x y ⎧+=+<⎪⎪=+=⎨⎪=++=⎪⎩8 设在区间的Fourier 展开式为 *()x ϕ[0,]l 1()sin ,k k k x x c l πϕ∞==∑（6.1）其部分和为求解或证明以下结果.1()sin ,n n k k k x S x c l π==∑（1）设，求.()[0,]x C l ϕ∈20[()()]l n x S x dx ϕ-⎰（2）证明下面贝塞尔（Bessel ）不等式 22012().l k k c x dx l ϕ∞=≤∑⎰（6.2）（3）设，的二阶导数的Fourier 展开式为2()[0,]x C l ϕ∈()x ϕ1''()sin ,n n n x x d l πϕ∞==∑如果，利用分部积分法证明(0)()0l ϕϕ==2, 1,n n d An c n =≥（6.3）其中为正常数.A （4）利用（6.2）和（6.3）证明（6.1）中的三角级数在区间上一致[0,]l 收敛，并且可以逐項求导.9 考虑如下定解问题* 2, 0, 0 (0,)0, (,)0, 0(,0)(), 0.t xx x x u a u x l t u t u l t t u x x x l ϕ⎧=<<>⎪==≥⎨⎪=≤≤⎩（1）给出该定解问题的物理解释.（2）当经过充分长的时间后，导热杆上的温度分布如何？(,)u x t （3）求极限.lim (,)t u x t →+∞10 考虑如下定解问题*2, 0, 0 (0,), (,), 0(,0)(), 0.t xx x u a u x l t u t A u l t B t u x x x l ϕ⎧=<<>⎪==≥⎨⎪=≤≤⎩（1）给出该定解问题的物理解释.（2）求极限.lim (,)t u x t →+∞11 考虑下面定解问题 *20, 0<, 0(0,)(,)0, 0(,0), (,0)0, 0.tt xx t t u u u u x t u t u t t u x x u x x πππ-++=<>⎧⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩（1）解释该定解问题方程中各项的物理意义.（2）推导出问题的特征值问题并求解.（3）写出该问题解的待定表示式并求出表达式中第一特征函数的系数.12 考虑下面定解问题 * (,), 0<, 0(0,)(,)0, 0(,0)(), (,0)(), 0.tt xx x x t u u f x t x t u t u t t u x x u x x x ππϕψπ-=<>⎧⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩（12.1）（1）写出该定解问题的特征值和特征函数 ,(),0.n n X x n λ≥（2）如果，而，求解该定解问题.()0,()0x x ϕψ==(,)f x t t =（3）如果，证明，下面等式(,)0f x t =0τ∀>，222200[(,)(,)][()()]l l t x x u x u x dx x x dx ττψϕ+=+⎰⎰（12.2）成立，解释该等式的物理意义.（4）证明（12.1）的解是唯一的.。

数理方程总复习复习1(第二章分离变量法)

∂u ∂ 2u = a 2 2 + f ( x, t ), 0 < x < l , t > 0, ∂t ∂x ( III ) u x =0 = u1 (t ), u x =l = u2 (t ), t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ l. u t = 0 = ϕ ( x), 特点：非齐次边界
边界条件非齐次，转换为齐次边界条件定解问题选择合适的坐标系非齐次方程，齐次边界条件
非齐次方程，齐次定解条件特征函数法
齐次方程，齐次边界条件分离变量法
第二章、分离变量(fourier级数)法
分离变量法是数学物理方程的基本解法，主要讲：
(1)有限空间的分离变量法(fourier级数法)(本章) (2)无限空间的分离变量法(fourier积分法)(第三章积分变换法) (3) Laplace方程的圆上的定解问题－－在极坐标系下的分离变量法 (4)特征函数法－－在柱坐标系和球坐标系下的分离变量法 (第五、六章)
第三步：将展开式代入方程与初始条件，比较系数得到关于 Tn (t )的常微分方程定解问题，求解确定出Tn (t )。 (Laplace变换法、常数变易法)
方法三、齐次化原理
三、第三种类型定解问题( III )
2 ∂ 2u 2 ∂ u + f ( x, t ), 0 < x < l , t > 0, 2 =a 2 ∂x ∂t ( III ) u x =0 = u1 (t ), u x =l = u2 (t ), t ≥ 0, ∂u u = ψ ( x), 0 ≤ x ≤ l. t = 0 = ϕ ( x ), ∂t t =0
∂V 1 ∂ 2V A −α x − 2 2 = 2 e , 0 < x < l , t > 0, a ∂t a ∂x V x =0 = 0, V x =l = 0, t ≥ 0, V t =0 = 0, 0 ≤ x ≤ l. ∂W 1 ∂ 2W

21直角坐标系的分离变量法

X(a)0 X(b)0
n
n
ba
2
n 0,1,2,
Xn
(x)
cos
n
ba
(x
a)
iii)
X(x)X(x)0
X(a)0 X(b)0
Xnn(x)(nbsin1an2b1)a22(xa)n0,1,2,
iv)
X(x)X(x)0
X(a)0 X(b)0
n
n1 2
ba
2
n0,1,2,
Xn(x)
1）通解u (x ,t)一定满足齐次方程，齐次边条件。
2）令通解满足非齐次初条件，从而求解迭加系数
uut((xx,,00))nn 11CnnlasiDnnnlsixnnlx(x)(x)
u (x ,t) n 1 C nc o sn la t D ns in n la t s in n lx
(
x,
0
)
cos
3 l
x,
ut (x,0) 0
解：设形式解u (x ,t)=X (x) T (t)代入①中方程及边条件
得：XX((0x))0,XX((xl))00 ②
和 T(t)a2T(t)0
③
解本征值问题②
n
Xn
n2
l
cosn x
l
n0,1,2
将n 代入③解T n (t)
n≠0时：
Tn(t)nl a2Tn(t) 0
l
l
课堂练习：长为l的均匀细杆，侧面绝热，左右端分别
与00和1000的物体接触，t＝0时刻，撤去右端物体，设杆右端与外界无热交换，求：杆上各点温度随时间变化？
1.一维空间齐次方程，齐次边条件的定解问题 2.一维空间非齐次方程，齐次边条件的定解问题 3.一维空间非齐次边条件的定解问题 4. 多维空间的定解问题

数理方程第讲

X(x)lX(x)0. (2.5) 6
再利用边界条件(2.2), 由于u(x,t)=X(x)T(t),
X(0)T(t)=0, X(l)T(t)=0. 但T(t)0, 如果T(t)=0, 这种解称为平凡解, 所以
X(0)=X(l)=0
(2.6)
因此, 要求方程(2.1)满足条件(2.2)的变量分离
由于方程(2.13)与边界条件(2.14)都是齐次的,
所以 u (x,t)C n e- n 2 a 2 tsinnx (2 .2 2 )
n 1
仍满足方程与边界条件. 最后考虑u(x,t)能否
n
xd x
0
10
2
5n 3
3
(1 -
cos
n
)
0, 当 n为偶数 ,
4
5n 3
3
,
当
n 为奇数
.
23
因此, 所求的解为 u(x,t)
543n 0(2n1 1)3sin(2n1 01)xcos10(2n1)t
24
解题中常用到的积分表的内容:
xsin
axd
x
1 a2
sin
ax
-
1 a
x
cosax
x
(2.11)
16
u(x,t) un(x,t) n1
n1Cn
cosnat
l
Dn
sinnl at sinnl
x
(2.11)
将初始条件(2.3)代入上式得:
u(x,t)|t0u(x,0)n1Cnsinnlx(x)
u
t t0
Dn
n1
nasinn
ll
x(x)
17
复习高等数学中周期为2l的傅立叶级数: 如果周期为2l的周期函数f(x)为奇函数, 则有

波动方程的分离变量法

C1 0
C2 0
结论： 0 不是本征值.
15
ⅱ.若 0 ,则 X '' x 0 ,则通解为
X x Ax B
利用边界条件：
① X 0 0 ，则 A 0 。
② X l 0 ，则 B 0 。
0 方程只有零解，所以 0 不是
0,t 0u l,t 00
x t

l,t

0
u x,0 xut x,0 x0 x l
其中 x ， x 为已知函数.
6
分析: 方程是齐次方程,边界条件是齐次边界条件, 初始条件是非齐次的.
即本征值
n

n
l
2
,
n 1, 2,3
1

l
2
,
2

2
l
2

无穷多个
相应的本征函数就是
n
X n sin l x
18
这样求得的本征值有无穷多个, 于是将本征值, 本征函数记为
n ，Xn x .
19
第三步：求特解，并叠加出一般解。
本征值.
16
ⅲ.若 0 ,则 X '' x X x 0
特征方程为 2 0
通解为 X x Asin x Bcos x
利用边界条件：
① X 0 0 ，则 B 0
② X l 0 ，则 Asin l 0
17
因为 A 0 ,所以 l n .
3
适用于求解如无界弦的自由横振动问题. 为此,对数理方程的求解还须进一步探索新的方法.其中分离变量法就是求解数理方程的一种最常用的方法.

数学物理第二章-分离变量法

例1 设 b Rn ，求解线性方程组 Ax b.
4
解 A的n个线性无关的特征向量{Ti}(1 i n) 可以作为 Rn
n
n
的一组基。将x，b按此基展开为 x xi Ti ,b bi Ti，则
Ax b 等价于 n
i1
i1
n
xi ATi bi Ti
i1
i1
或
n
n
xi iTi bi Ti
l n ,n 1
n
n
l
2
,n
1
所以，可得
11
Xn (x)
sin
n
l
x, n
1
因此,特征值问题（1）的解为
n
n
l
2
,n
1,
Xn (x)
sin
n
l
x, n
1.
注：
特征值问题是分离变量法的理论基础；
改变边界条件，相应的特征函数系也会改变；
Sturm-Liouville定理：特征函数系的正交性和完备性。
（3）导出 Tn (t)满足的方程，给出通解（傅里叶展开）；
（4）由初始条件确定通解系数.
注2 对齐次问题
u(x,t) 2 l(s)sin( n s)ds cos n a t sin n x
l0 n1
l
l
l
2
l
(s)sin( n
s)ds sin
0
xi0 i ,
n
f (t) fi T (t)6 i.
i 1
i 1
i 1
则原问题等价于 dx Ax f (t), x(0) x0
dt
T T n dxi
i1 dt

第二章-分离变量法-1

T = F (x )
0 ≤ x ≤L ，τ＝ 0 ＝
解：1．分离函数．
假定该问题的解可以分解成空间函数与时间函数的乘积形式
T ( x,τ ) = X ( x )Γ(τ )
代入微分方程及定界条件，转化为个常代入微分方程及定界条件，转化为2个常微分方程——分离方程微分方程分离方程
T ( x,τ ) = X ( x )Γ (τ )
上式所示的解既满足原导热问题的微分方程，上式所示的解既满足原导热问题的微分方程，又满足边界条件，但它不一定满足初始条件。因此，足边界条件，但它不一定满足初始条件。因此，还需将初始条件应用于上式。需将初始条件应用于上式。
F ( x) = ∫
∞
β =0
C ( β )[β cos( β x) + H sin( β x)]dβ
数学描述：数学描述：
h
1
初始时 T=F(x)
1 ∂T ( x,τ ) ∂ 2T ( x,τ ) = a ∂τ ∂x 2
x
0 ＜ x ＜ ∞，τ＞0 ，＞
O
∂T λ − hT = 0 ∂x ∂x
x ＝0 ，τ＞0 ＞
半无限大物体的导热
T = F (x )
0 ≤x ≤L ，τ＝ 0 ＝
解：1．分离函数．
1 d 2 X ( x) 1 d Γ (τ ) = X ( x ) dx 2 a Γ (τ ) d τ
dΓ(τ ) + aβ 2 Γ(τ ) = 0 dτ
1 ∂T ( x,τ ) ∂ 2T ( x,τ ) = a ∂τ ∂x 2
= -β
2
d 2 X ( x) + β 2 X( x) = 0 dx 2
∂X + HX = 0 ∂x

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由初始条件：
u t 0 ( x)

n 1

nx An sin ( x), l
l
2 n A ( ) sin d ; Fourier展开式的系数： n l l 0
ut
t 0 ( x)

n 1

na nx Bn sin ( x). l l
nat nat nx Bn sin ) sin . l l l
l
2 n 2 n B ( ) sin d . A ( ) sin d ; n 初值确定叠加系数： n l n a l l 0 0
由分离变量，波动方程（偏微分方程）变为常微分方程组：
X ' 'X 0;
X (0) 0
和
X (l ) 0.
T ' 'a 2T 0;
(A).
X ' ' X 0; 的解：
X ' 'X 0;
X (0) 0 和 X (l ) 0.
对于某些值，方程的解存在，则称相应的X(x)的解为固有函数。
对于方程 C2 sin l 0，因为X(x)不恒等于零。

超越方程
C2 0 只有 sin l 0
2 2 n l2
n 1,2,3
n x X n ( x) C2 sin l
C2是积分常数
：固有值
nx l
X ' 'X 0;
本征值方程
n 2 2 2 l
-1
将U=X(x)T(t)代入波动方程：
XT ' 'a X ' ' T 0
2
XT ' 'a X ' ' T 0
2

T '' X '' 2 aT X
将U=X(x)T(t)代入边界条件：
X (0)T (t ) 0
和
X (l )T (t ) 0
T(t)为任意值，要使上式成立，则：
一、典型数理方程
1、弦振动方程
2 u ( x, t ) 2 2 a u 2 t
2、热传方程 3、Laplace方程
u 2 2 a u f x, y , z , t t
( )u f ( x, y, z )
许多物理力学问题都可以归结为偏微分方程的定解问题。
u ( x, t ) c (t ) sin x
注：u(x,t)中含变量x的函数与含t的函数的乘积，有变量分离的形式
1
波腹
0.5
每一点绕平衡位置振动 T (t ) 振幅随位置变化 X ( x) 驻波解： u( x, t ) X ( x)T (t ) 这是解的分离变量
波节
2.5 -0.5 5 7.5 10 12.5 15
第二章分离变量法
怎么求解？
建立方程及相应的定解条件，利用几种基本的方法。偏微分方程转化常微分方程
2.1 有界弦的自由振动
2 （泛定方程）波动方程： u a uxx 0 A tt
边界条件： u( x, t ) x0 0 初始条件：
u t 0 ( x)
u( x, t ) xl 0

的值为固有值。
对于分三种情况加以讨论：
(1)
0
X ' 'X 0
X (0) 0

X ( x) C1e
C1 C2 0
x
C2e
x

X (l ) 0

C1e
l
C2e
l
0

C1 C2 0
X x 0
(2) 0
l
2 n Fourier展开式的系数： Bn ( ) sin d . na 0 l
小结
分离变量：u( x, t ) X ( x)T (t ) 边值确定本征值函数：
un ( x, t ) ( An cos
l
XT ' 'a 2 X ' ' T 0
X (0)T (t ) 0 X (l )T (t ) 0
T ' 'a 2T 0;
A、B 是积分常数。
n at n at n x un ( x, t ) ( An cos Bn sin ) sin l l l
n 1,2,3
An=A*C2是积分常数合并, 线性齐次，可采用叠加原理
C.
u( x, t )
n 1

n at n at n x ( An cos Bn sin )sin . l l l
ut
t 0
( x).
定解问题的特点：偏微分方程是线性齐次的，边界条件也是齐次的，求解此类问题可以采用叠加原理。定解问题的方法：
找出偏微分方程满足边界条件的多个特解，再利用它们的线性组合，使满足初始条件。
对于确定的频率，振动过程中有不动的节点，这类振动波为驻波：
1 1 0.5 0.5
X ( x) C1 x C2
X (0) 0 X (l ) 0

C2 0
C1 C2 0

X x 0
(3) 0
X ( x) C1 cos x C2 sin x
X (0) 0
X (l ) 0.
C1 0
C2 sin l 0
X ( x) C2 sin
：特征函数(固有函数)
B.

n 2 2 2 l
：固有值代入T的方程
X ' 'X 0;
X (0) 0
和
X (l ) 0.
n 2 2 a 2 T ' ' T 0; 2 l
n at n at Tn (t ) A cos B sin , l l
X (0) 0
和
X (l ) 0
Clearly
T ' ' (t ) X ' ' ( x) 2 a T (t ) X ( x)
x, t 是相互独立的变量，这个方程的两边互不统属，而各自独立变化。故比值只能为一常数！
T ' ' (t ) X ' ' ( x) 2 a T (t ) X ( x)
3
4
5
6
7
8
4
6
8
-0.5
-0.5
-1
-1
x0
xl
x0
xl
自由
1 0.5
自由
自由
1 0.5
固定
2 -0.5
4
6
8
2.5 -0.5
5
7.5
10
12.5
15
-1
-1
x0
xl
x0
xl
固定
自由
固定
固定
振动过程中不动的点称为节点。振动过程中驻波的振幅达到最大值，称为腹点。
为求定解问题，选择物理模型：乐器发出的声音可以分解为不同频率的单音，每种单音振动时为正弦曲线，其振幅不依赖时间