第二章 分离变量法(§2.2,§2.3)

§2.2 有限杆上的热传导定解问题：一均匀细杆，长为l ，两端坐标为l x x == ,0。

杆的侧面绝热，且在端点0=x 处温度为零，而在l x = 处杆的热量自由发散到周围温度为0的介质中。

初始温度为)(x ϕ，求杆上的温度变化情况，即考虑下定解问题：.0 ),(u 0, ,0hu ,0u 0, l,0 ,000222l x x t x ut x x u a t u t lx x ≤≤=>=+∂∂=><<=∂∂-∂∂===ϕ仍用分离变量法求解。

此定解问题的边界条件为第三类边界条件。

类似§2.1中步骤，设)()(),(t T x X t x u =，代入上面的方程可得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⇒-==.0)()(,0)()()()()()( 2''22'22'''x X x X t T a t T x T a x T x X x X βββ从而可得通解x B x A x X ββsin cos )(+=由边界条件知.0)()(,0)0('=+=l hX l X X从而⎪⎩⎪⎨⎧-=⇒=+=.tan 0sin cos ,0h l l h l A βββββ 令αγγαβγ=⇒-==tan 1,hl l上方程的解可以看作曲线γtan 1=y ，αγ=2y 交点的横坐标，显然他们有无穷多个，于是方程有无穷多个根。

用下符号表示其无穷多个正根ΛΛ,,21n γγγ于是得到特征值问题的无穷个特征值1,2,3...)(n ,222==ln nγβ及相应的特征函数x B x X n n n βsin )(=再由方程0)()(22'=+t T a t T β， 可得t a n n n e A t T 22)(β-=，从而我们得到满足边界条件的一组特解x eC t x u n ta n n n ββsin ),(22-=由于方程和边界条件是齐次的，所以∑∞=-=1sin ),(22n n t a n x e C t x u n ββ仍满足此方程和边界条件。

下面研究一下其是否满足初始条件。

)(sin 1x x Cn n nϕβ=∑∞=可以证明}{sin x n β在区域[0,l]上具有正交性，即⎰≠=lm nxdx x 0n m ,0sin sin ββ证明：))((sin cos cos sin ))((2)sin()()sin()( )(2)sin()(2)sin( ))cos()(cos(21sin sin 00=+---=+-+---+=++---=--+-=⎰⎰m n m n m n n m n m m n m n m n m n m n m nm n m n m n m n lm n m n lm n ll l l ll ll dxx x xdx x ββββββββββββββββββββββββββββββββββββ完成。

令⎰=ln n n xdx x L 0 ,sin sin ββ于是，⎰=lnnn xdx x L C 0sin )(1βϕ从而得到定解问题得解⎰∑==∞=-l nnn n n ta n xdxx L C x eC t x u n 01sin )(1,sin ),(22βϕββ。

§2.3 圆域内的二维Laplace 方程的定解问题平面极坐标),(θρ和直角坐标),(y x 的关系是.sin ,cos θρθρ==y x由此可得dydx d dy dx d y x ρθρθθθθρθθρcos sin ,sin cos ,sin cos +-=+=+=即是,cos ,sin ,sin ,cos ρθθθρρθθθρ=∂∂=∂∂-=∂∂=∂∂y y x x由复合函数求导法则，可得,cos sin ,sin cos θρθρθθθρρθρθρθθθρρ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂-∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂y y y x x x 进一步，可得22221)(1θρρρρρ∂∂+∂∂∂∂=∇在此基础上，还可以得到柱坐标系下的Laplace 算符考虑圆域内的稳定问题：⎪⎩⎪⎨⎧=≤+=∇=+., ,0202220222f u y x u y x ρρ 其在极坐标下的表示形式：.20 ),(),(,20 , ,01)(100222πθθθρπθρρθρρρρρ≤≤=≤≤<=∂∂+∂∂∂∂f u uu 因圆域内温度不可能为无限，尤其是在圆盘中心点的温度应该有限，并且)2,( ),(πθρθρ+和表示同一点，故而我们有下约束).2,(),(,),0(πθρθρθ+=+∞<u u u下面用分离变量法求解该问题。

令).()(),(θρθρΦ=R u 代入极坐标下方程可得：,0)()(1)()(1)()('''2''=Φ+Φ+ΦθρρθρρθρR R R,)()()()()('''''2λθθρρρρρ=ΦΦ-=+⇒R R R从而可得常微分方程.0)()(,0'''''2=Φ+Φ=-+θλθλρρR R R由有限性及周期边界条件知)2()(πθθ+Φ=Φ，+∞<|)0(|R从而得定解问题).2()(,0)()(''πθθθλθ+Φ=Φ=Φ+Φ求解：① 0<λ时，通解为θλθλθ---+=ΦBe Ae)(由周期边界条件可得 .0,0==B A 从而0)(≡Φθ，不可取。

②0=λ时，通解为B A +=Φθθ)(由周期边界条件可得,0=A B 任意，说明0=λ为一特征值，相应得特征函数为1)(=Φθ。

③0>λ时，通解为,sin cos )(θλθλθB A +=Φ因以π2为周期，所以有,2n =λ 从而可得特征值1,2,3,...n ,2==n n λ特征函数为,sin cos )(θθθn B n A n n n +=Φ接下来，求特解，并叠加出一般解。

由Euler 方程.0)(0'''2=-⇒=-+R d dR d d R R R λρρρρλρρ 若令dtdd d =ρρ，即ρln =t ，则上方程可写为 .022=-R dt Rd λ 故①0=λ时，通解,ln 00000ρd c t d c R +=+=②2n =λ时，通解为.n n n n nt n nt n n d c e d e c R --+=+=ρρ为保证+∞<|)0(|R ，所以可得Λ,2,1,0 ,0==n d n ，即Λ,2,1,0,==n c R n n n ρ从而，满足齐次方程和周期条件及有限性的解可以表示为级数,)sin cos (2),(1∑∞=++=n n n n n b n a a u θθρθρ最后，为了确定系数，我们利用边界条件可得∑∞=++=1)sin cos (2)(0n n n n n b n a a f θθρθ运用性质n,m ,0cos cos ,0sin sin,0sin cos ,0cos ,0sin 2020202020≠=====⎰⎰⎰⎰⎰πππππmxdx nx mxdx nx nxdx nx nxdx nxdx从而可得.sin )(1,cos )(1,)(1200200200⎰⎰⎰===πππθθθπρθθθπρθθπd n f b d n f a d f a n n n n 因而，我们有⎰∑⎰∑∑∞=∞=∞=-+=++=++=ππθρρπθθρρπθθρθρ2010201010])(cos )(21)[(1])sin sin cos (cos )(21)[(1)sin cos (2),(dtt n t f dt n nt n nt t f n b n a a u n nn nn n n n利用下面的求和公式1|| ,)(cos 21121 )(2121 )(cos 2122)(1)(1<+---=++=-+--∞=-∞=∑∑k kt n k k e e k t n k t in n t in n n nθθθθ所以，.,20 ,)cos(2)(21),(0202020220ρρπθρθρρρρρπθρπ<≤≤+---=⎰dt t t f u称此表达式为圆域内的Poisson 公式，它的作用是把解写成积分形式，便于作理论上的研究。

例题 解下列定解问题：.20 ,cos ),(,20 , ,01)(100222πθθθρπθρρθρρρρρ≤≤=≤≤<=∂∂+∂∂∂∂A u uu 解：利用公式可知，.0 ,)1(,0,01=≠==n n b n a Aa ρ 所以θρρθρcos ),(0A u =。