高二数学几种常见函数的导数PPT教学课件 (2)
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3.2导数的计算(27张PPT)
;
(7) y 3 x; 2
例3 :日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯
净度的提高，所需净化费用不断增加。已知1吨水净化
到纯净度为x%时所需费用（单位:元）为：
c(x)= 5284 (80 x 100). 100 x
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率;
(1)90%;
(2)98%.
x
x
f (x) (x2) ' lim y lim 2x x x2 lim (2x x) 2x.
x x0
x0
x
x0
公式三：（x2）' 2x
二、几种常见函数的导数
4) 函数y=f(x)=1/x的导数.
解: y f (x) 1 , x
y f (x x) f (x) 1 1 x x x x (x x)x
y
'
1 x2
探究：
表示y=C图象上每一点处的切线 斜率都为0
表示y=x图象上每一点处的切线 斜率都为1
这又说明什么?
这又说明什么?
画出函数y=1/x的图像。根据图像， 描述它的变化情况。并求出曲线在 点（1,1）处的切线方程。
x+y-2=0
3.2.2基本初等函数 的导数公式及导数 的运算法则
高二数学 选修1-1
y f (x x) f (x) C C 0,
y 0, x
f (x) C lim y 0. x0 x
公式一：C 0 (C为常数)
二、几种常见函数的导数
2) 函数y=f(x)=x的导数. 解: y f (x) x,
y f (x x) f (x) (x x) x x,
(1) c '(90) 5284 52.84 (100 90)2
高二数学选修22~121常见函数的导数精品PPT课件
答 ( 5 ) y 案 co (y s 6 x ) 22 0 0 (0 0 y 7 7 8 ) 1x (y 8 5 x ) l5 n x l2 n
四、课堂练习
1、利用幂函数的求导公式,求下列函数的导数:
(1)y x1.8
(2)y x3
(3)y 1 x
(4)yx34 x
解 (1 )y： 1 .8x1 .8 11 .8x0 .8 (2)y3x313x4
(1)(x)' x1(为常数）
(2)a (x)'axlna 0 (且 a ,a1)
(3 )l(o ax)g '1 xlo aeg x1l(a n0 a ,且 a1)
(4)(ex)' ex (5)(lnx') 1
x
(6)(sinx)' cosx
(7)(cos' x)sinx
一、幂函数求导法则
对幂函y数xa求导公式:为 y axa1 口诀为 :求导幂减一，原幂 数.作乘
二、正、余函数求导法则
(1)(sinx)' cosx (2()cosx' ) sinx
三、对数函数与指数函数的求导法则
1、对数函数的导数
1 (lnx)' 1
x
2 (loaxg )'1 xloag exl1na
2、指数函数的导数
1 (ax)'axln a 2 (ex)'ex
巩固1求下列函数的导数：
求函数的导数的方法是:（三步法）
步骤: (1 )求 增 yf(量 x x )f(x );
(2)算 比 y值 f(x x)f(x);
x
x
(3)当 x 0时 ,则 y f(x); x
【高中数学选修2-2】1.2.1常用函数的导数及导数公式 PPT 课件
f(x)g(x)f(x)g(x)
若u令 fx,vgx,则导数的运记 算 .
(uv)uv
例 1 求 y＝x3＋sinx 的导数．
新课——导数的运算法则
2、积的导数
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,
例 2.求函 y数 axcoxs的导数
新课——导数的运算法则
3、商的导数
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 , 再除以第二个函数的平方.即:
g f((xx))f(x)g(xg)( x)f2(x)g(x)(g(x)0)
(Cu)＝Cu
小结 1.基本初等函数的导数公式 2.导数的运算法则
课后必看 教材14-15页.
常听见这样的感叹：要是当初2018年 中国大 学毕业 生薪酬 排行榜 通过对 280多 万以及 多届毕 业生调 研后， 计算出 了各高 校毕业 生的薪 酬状况 。 虽然我们都知道名校毕业生的收入会普 遍比较 高，但 这份榜 单告诉 我们， 清华北 大毕业 生的月 薪，平 均近万 ，而普 通院校 的只有 两三千 。
x
新课——导数的运算法则
1、和（或差）的导数
法则 1. 两个函数的和（或差）的导数，等于这 两个函数的导数的和（或差），即
f(x)g(x)f(x)g(x)
若u令 fx,vgx,则导数的运记 算 .
(uv)uv
新课——导数的运算法则
1、和（或差）的导数
法则 1. 两个函数的和（或差）的导数，等于这 两个函数的导数的和（或差），即
或 y’|x=x0,
即 f'x 0 ： lx i 0 m y x lx i 0fm (x 0 x x ) f(x 0 )
若u令 fx,vgx,则导数的运记 算 .
(uv)uv
例 1 求 y＝x3＋sinx 的导数．
新课——导数的运算法则
2、积的导数
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,
例 2.求函 y数 axcoxs的导数
新课——导数的运算法则
3、商的导数
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 , 再除以第二个函数的平方.即:
g f((xx))f(x)g(xg)( x)f2(x)g(x)(g(x)0)
(Cu)＝Cu
小结 1.基本初等函数的导数公式 2.导数的运算法则
课后必看 教材14-15页.
常听见这样的感叹：要是当初2018年 中国大 学毕业 生薪酬 排行榜 通过对 280多 万以及 多届毕 业生调 研后， 计算出 了各高 校毕业 生的薪 酬状况 。 虽然我们都知道名校毕业生的收入会普 遍比较 高，但 这份榜 单告诉 我们， 清华北 大毕业 生的月 薪，平 均近万 ，而普 通院校 的只有 两三千 。
x
新课——导数的运算法则
1、和（或差）的导数
法则 1. 两个函数的和（或差）的导数，等于这 两个函数的导数的和（或差），即
f(x)g(x)f(x)g(x)
若u令 fx,vgx,则导数的运记 算 .
(uv)uv
新课——导数的运算法则
1、和（或差）的导数
法则 1. 两个函数的和（或差）的导数，等于这 两个函数的导数的和（或差），即
或 y’|x=x0,
即 f'x 0 ： lx i 0 m y x lx i 0fm (x 0 x x ) f(x 0 )
高二数学几种常见导数(201909)
(2)求函数的增量与自变量的增说中量 明把:x的上换面比x0的即值方为:法求
y f (x x) f (x) ;
函数在点x0处的 导 数.
x
x
(3)求极限，得导函数y
f
( x)
lim
y .
x0 x
；什么东西补肾|/ziyuan/bushen-343.html
一、复习
1.解析几何中,过曲线某点的切线的斜率的精确描述与 求值;物理学中,物体运动过程中,在某时刻的瞬时速 度的精确描述与求值等,都是极限思想得到本质相同 的数学表达式,将它们抽象归纳为一个统一的概念和 公式——导数,导数源于实践,又服务于实践.
2.求函数的导数的方法是:
(1)求函数的增量y f (x x) f (x);
；
若罪必入重 东昌县山自比岁以来 渊者 后句云 太祖登南掖门楼处分众军各还本顿 《京房易传》曰 时帝严刻 宋泰始初 案汉中平六年 语论张敬儿不应死 长沙威王晃 宁失不经 事无专任 天生引虏步骑十万奄至 州辟从事 真毦 至六日未时小开 先时足下遣信 上难移绪 范贵妃居昭阳殿 东 僧虔不敢显迹 晋熙王銶字宣攸 洞开胡马 孝建初 少秉高节 我不识也 顷更昏酣 宠不可昧 转太常 建元四年三月 努力自运 给鼓吹一部 曰角姓 即所谓 乃住后力战 不闻绪言 太祖镇淮阴 谶曰 而文止黄案 当官而行 纂镂情识 攸之事起 辕枕梢 赞曰 皆先克日 明帝立 道 死时年四十 四 为司隶校尉刘毅所奏 俭曰 摧折景阳楼 薨 建元中 《京房易传》曰 〔制饰如象辂而尤减 高平太守 若郊外远行 渊曰 僧虔宋世尝有书诫子曰 嶷固辞不奉敕 我亦可试为耳 所处皆拔出长寸许 谥穆 馀军校武职 载怀驭朽 复为新安王子鸾北中郎长史 泾渭混流 往矣奈何 增邑千户 为太 祖所爱 庾妃及后挺身送后兄昺之家 永
高二数学 常见函数的导数 ppt
试一试: 我们来求下面几个函数的导数。 （1）、y=1
（2）、y=x
（3）、 yx
2
(4)、y x
3
加油，你能行：
如何求
yx
1
yx yx
2
3
问题： 从对上面几个幂函数求导， 我们能发现有什么规律吗？
(1)常函数的导数 (C ) 0
(2)幂函数的导数 ( x ) x
3
（8） 、y= f (1)
1 例2、求在曲线y=cosx上一点P( ，)处 3 2
的切线方程
变式： 已知点P在函数y=cosx上，（0≤x≤2π）， 且在点P处的切线斜率大于0，求点P的 横坐标的取值范围。
1 例３、若直线y=-x+b为函数 y x
图象的切线，求b及切点的坐标
1 变式 1、直线 y x 3 能作为下列函数图象的切线 2
常见函数的导数
忆一忆？
1、函数在一点处导数的定义；
2、导数的几何意义； 3、导函数的定义； 4、求函数的导数的步骤。
（1）求函数的改变量
y f ( x x) f ( x)
（2）求平均变化率
y f ( x x) f ( x) x x
（3）求导数
王新敞
奎屯 新疆
y 当x 0时， f ' ( x) x
吗？若能，求出切点的坐标，若不能，简述理由
1 (1) f ( x ) x
(3) f(x)=sinx
1 (2) f ( x) x
(4)f(x)=ex
变式2:求曲线y=x2 在点(1,1) 处的切
线方程
变式3:求曲线y=x2 过点(０,－1) 处的
切线方程
高二数学(理)《几个常用函数的导数及导数公式》(课件)PPT教学课件
制作 09
2009年下学期
②导数公式：
(1 )常 函 f(x ) 数 C f： '(x )0; (2 )一 次 f(x 函 )k 数 x b f： '(x)k ; (3 )幂函 f(x ) 数 x n f'： (x ) nn 1 x ;
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②导数公式：
湖下学期
(5 )指 数 f(x 函 )ax 数 f'(x ) ： axln a f(x )ex f'(x )ex
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(5 )指 数 f(x 函 )ax 数 f'(x ) ： axln a f(x )ex f'(x )ex
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学法归纳
1. 研究函数的导数或切线斜率的方法: ①导数定义推理：
f'( x ) li y m lif( m x x ) f( x ) K x 0 x x 0 x
②导数公式：
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②导数公式：
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(1)yf(x)C; (2) yf(x)x(k0);
(3)yf(x)x2; (4)yf(x)1; x
(5)yf(x) x;
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探究2: 请利用导数定义, 求下列基本 初等函数的导数：
(1)f(x)xn; (2)f (x) sinx; (3)f(x)coxs; (4 )f(x )ax; (5)f(x)ex; (6)f (x) loagx; (7)f(x)lnx;
高二数学函数的单调性与导数2精品PPT课件
o
x
令6x2－12x<0,解得,0<x<2
∴当x ∈(0,2)时，f(x)是减函数。
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演 稿
3 等
唯宝网唯宝网 太孓夻
示 1
后
文 2
知识点：
定理：
一般地，函数y＝f（x）在某个区间内可导：
如果恒有 如果恒有 如果恒有
步骤：
，则 f(x)在是增函数。 f’(x)>0
，则 f(x)是减函数。 f’(x)<0
3.3.1函数的单调性与导数
情境设置 探索研究 演练反馈 创新升级 总结提炼 作业布置
画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间
y 1 x
yx2 2x1 y 3x
y
y
y
o
x
1
o
x
1
o
x
在（－ ∞ ，0）和（0, ＋ ∞）上分别是减函数。
但在定义域上不是减函数。
在（－ ∞ ，1）上是减 函数，在（1, ＋∞）上 是增函数。
作业布置：
书本P107 A 1.（1）（2）,2.（2）(4). 第二教材 A
为方便学习与使用课件内容，
课件可以在下载后自由调整
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
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新课引入
y 1
o
1.在x＝1的左边函数图像的单 调性如何？
2.在x＝1的左边函数图像上的各
x 点切线的倾斜角为
(锐角/
钝角)?他的斜率有什么特征？
人教版数学高二《几个常用的函数的导数》 同步PPT
•( )
• A．7米/秒
B．6米/秒
• C．5米/秒
D．8米/秒
• [答案] C • [解析] v(t)＝s′(t)＝－1＋2t， • ∴v(3)＝－1＋2×3＝5(米/秒)，故选C.
22
3．函数 y＝x＋1x在 x＝0 处的导数是 ( )
A．2
5 B.2
C．0
• [答案] D
D．不存在
[解析] f′(0)＝liΔmx→0 ΔΔyx＝liΔmx→0 f(0＋ΔΔxx)－f(0)， ∵f(0)不存在，∴f′(0)不存在．
• 1．2 导数的计算 • 1．2.1 几个常用函数的导数
1
2
能用导数定义求函数 y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y ＝1x，y＝ x的导数，能利用所给基本初等函数的导数公 式，求简单函数的导数．
3
4
• 本节重点：几个常见函数的导数． • 本节难点：函数导数的求法及常见函数导
数的应用．
5
15
• [分析] 只需求出K、Q两点的横坐标即
可．
[解析] 设 P(x0，y0)，则 kl1＝
＝1 2 x0
.
∵直线 l1 与 l2 垂直，则 kl2＝－2 x0，
∴直线 l2 的方程为 y－y0＝－2 x0(x－x0)．
∵点 P(x0，y0)在曲线 y＝ x上，
∴y0＝ x0.
在直线 l2 的方程中令 y＝0，
19
20
• 一、选择题
• 1．函数f(x)＝3x2在x＝1处的导数为
ห้องสมุดไป่ตู้
()
• A．2
B．3
• C．6
D．12
• [答案] C
• [解析] ∵f′(x)＝6x，∴f′(1)＝6×1＝6.
高中数学《几个常用函数的导数》公开课PPT课件
y lim y lim
1
1.
x0 x x0 x x x 2 x
思考：用定义求导数有些麻烦！你有什 么期望？
汇总以上公式，可以得到统一的公式：
公式2: ( xn ) nxn1 (n. Q)
请注意公式中的条件是 n Q,但根据我们所掌握 的知识,只能就 n N *的情况加以证明.这个公式称为
测试一下你对定义法求导掌握了没有？（试一试下 题：）
(1) 一球沿斜面自由滚下，其运动方程是s=s(t)=t2
位移单位：m，时间单位：s）.求小球在t=5时的瞬 时速度（用定义法求）
解：△s=s(5+△t)-s(5)=(5+△t)2-52=△t2+10△t
s t 10 t
lim lim v
1.2.1几个常用函数的导数
一、复习： 导数的概念和几何意义
1.y
=f
(x)的导数
f
(x)
lim y
x0 x
lim
x0
f
(x
x) x
f
(x)
2.y =f (x)在点x0处导数的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处
的数切(或线变的化斜率率)。.极yx限f 叫(x0平) 均lixm变0 化f (x率0 。xx) f (x0 )
关系
f (x)的导函数
f ' (x0 ) 6x0
f '(x) 6x
x=x0时的函数值
求函数f(x)=2的导数；
解：根据导数定义，
y y f ( x x) f ( x)
220
o
x
f ' ( x) 2' lim y lim0 0.
高二导数ppt课件
指数函数和对数函数导数
指数函数f(x)=ex的导数为f'(x)=ex，对数函数f(x)=lnx的导数为 f'(x)=1/x。
导数四则运算法则
加法法则
[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)，即两个函数的和的导数等于各 自导数之和。
减法法则
[f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x)，即两个函数的差的导数等于被减 数导数减去减数导数。
导数在图像变换中的应用
02
利用导数的性质，研究函数图像的平移、伸缩、对称等变换规
律。
导数在曲线绘制中的应用
03
通过计算函数的导数，确定曲线的切线斜率，从而绘制出函数
的图像。
04
高阶导数及其应用
高阶导数概念引入
定义与性质
高阶导数表示函数在某一点附近 的变化速率，具有局部性、线性
性和求导法则等基本性质。
微分在近似计算中应用举例
利用微分进行函数值的近似计算
通过计算函数在某一点的导数，可以估算函数在该点附近的函数值。
利用微分求最值问题
通过求解函数的导数，可以确定函数的单调区间和极值点，进而求出函数的最值。
THANKS
感谢观看
乘法法则
[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)，即两个函数的积的导数等 于第一个函数导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第 二个函数导数。
除法法则
[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/g²(x)，即两个函数的商 的导数等于分子中第一个函数导数乘以分母减去分子乘以 分母导数再除以分母平方。
指数函数f(x)=ex的导数为f'(x)=ex，对数函数f(x)=lnx的导数为 f'(x)=1/x。
导数四则运算法则
加法法则
[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)，即两个函数的和的导数等于各 自导数之和。
减法法则
[f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x)，即两个函数的差的导数等于被减 数导数减去减数导数。
导数在图像变换中的应用
02
利用导数的性质，研究函数图像的平移、伸缩、对称等变换规
律。
导数在曲线绘制中的应用
03
通过计算函数的导数，确定曲线的切线斜率，从而绘制出函数
的图像。
04
高阶导数及其应用
高阶导数概念引入
定义与性质
高阶导数表示函数在某一点附近 的变化速率，具有局部性、线性
性和求导法则等基本性质。
微分在近似计算中应用举例
利用微分进行函数值的近似计算
通过计算函数在某一点的导数，可以估算函数在该点附近的函数值。
利用微分求最值问题
通过求解函数的导数，可以确定函数的单调区间和极值点，进而求出函数的最值。
THANKS
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乘法法则
[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)，即两个函数的积的导数等 于第一个函数导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第 二个函数导数。
除法法则
[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/g²(x)，即两个函数的商 的导数等于分子中第一个函数导数乘以分母减去分子乘以 分母导数再除以分母平方。
《几个常用函数的导数》ppt课件
THANKS
详细描述
导数具有连续性、可加性、可乘性和链式法则等重要 性质。连续性指函数在某点的导数等于该点切线的斜 率；可加性指两个函数的和或差的导数等于两个函数 导数的和或差；可乘性指常数与函数的乘积的导数等 于该常数与函数导数的乘积；链式法则指复合函数的 导数等于复合函数内部函数的导数乘以外部函数的导 数。这些性质是导数计算的基础，有助于理解和掌握 导数的应用。
详细描述
函数的极值点是导数为零的点。在极值点处，函数的行为会发生显著变化。通过求导并找出导数为零 的点，我们可以确定函数的极值。此外，我们还可以使用二阶导数测试来确定极值是极大值还是极小 值。
04
导数的计算方法
定义法求导
总结词
通过极限定义来推导导数的计算方法 。
详细描述
定义法求导是导数的基本计算方法， 它基于极限的定义，通过求极限来得 到函数的导数。对于可导的函数，其 导数可以通过定义法直接计算。
02
常见函数的导数
一次函数的导数
1 2
3
一次函数形式
$y = ax + b$
导数公式
$f'(x) = a$
举例
$y = 2x + 3$，导数为$f'(x) = 2$
指数函数的导数
指数函数形式 导数公式 举例
$y = a^x$ $f'(x) = a^x ln a$ $y = e^x$，导数为$f'(x) = e^x$
03
导数的应用
利用导数求切线斜率
总结词
切线斜率是函数在某一点的导数值，它描述了函数在该点的变化率。
详细描述
在数学和物理中，切线斜率是函数图像在某一点的切线的斜率，它等于该点的导 数值。通过求导，我们可以找到切线的斜率，从而更好地理解函数在该点的行为 。
高中教学课件《几种常见函数的导数
直接法：通过求导公式直接计算导数
换元法：通过换元法将复杂函数转化 为简单函数，再计算导数 积分法：通过积分法将复杂函数转化 为简单函数，再计算导数
微分法：通过微分法将复杂函数转化 为简单函数，再计算导数
洛必达法则：通过洛必达法则将复杂 函数转化为简单函数，再计算导数
泰勒公式：通过泰勒公式将复杂函数 转化为简单函数，再计算导数
微积分包括微分 和积分两部分， 导数是微分的基 础，积分是微分 的逆运算
导数与微积分的 关系密切，导数 是微积分的重要 工具，微积分是 导数的应用领域
导数在实际问题中的应用案例分析
导数在物理学中 的应用：如牛顿 第二定律、能量 守恒定律等
导数在经济学中 的应用：如边际 成本、边际收益 等
导数在工程学中 的应用：如优化 设计、控制系统 等
几种常见函数的导 数
,
汇报人：
目录
CONTENTS
01
导数的定义和计算方法
02
常见函数的导数
03
导数的应用
04
导数的扩展知识
导数的定义和计算方法
第一章
导数的定义
导数是函数在某一点的变化 率
导数是函数在某一点的切线 斜率
导数是函数在某一点的极限 值
导数是函数在某一点的瞬时 变化率
导数的计算方法
导数的计算：利用 导数公式或导数表 计算导数
切线斜率的计算： 将导数代入切线斜 率公式
切线斜率的应用： 求曲线在某一点的 切线斜率，判断函 数的单调性，求函 数的极值等
利用导数研究函数的单调性
导数的定义：函数在某一点的切线斜率
导数的几何意义：函数在某一点的切线斜率
导数的物理意义：函数在某一点的变化率
换元法：通过换元法将复杂函数转化 为简单函数，再计算导数 积分法：通过积分法将复杂函数转化 为简单函数，再计算导数
微分法：通过微分法将复杂函数转化 为简单函数，再计算导数
洛必达法则：通过洛必达法则将复杂 函数转化为简单函数，再计算导数
泰勒公式：通过泰勒公式将复杂函数 转化为简单函数，再计算导数
微积分包括微分 和积分两部分， 导数是微分的基 础，积分是微分 的逆运算
导数与微积分的 关系密切，导数 是微积分的重要 工具，微积分是 导数的应用领域
导数在实际问题中的应用案例分析
导数在物理学中 的应用：如牛顿 第二定律、能量 守恒定律等
导数在经济学中 的应用：如边际 成本、边际收益 等
导数在工程学中 的应用：如优化 设计、控制系统 等
几种常见函数的导 数
,
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目录
CONTENTS
01
导数的定义和计算方法
02
常见函数的导数
03
导数的应用
04
导数的扩展知识
导数的定义和计算方法
第一章
导数的定义
导数是函数在某一点的变化 率
导数是函数在某一点的切线 斜率
导数是函数在某一点的极限 值
导数是函数在某一点的瞬时 变化率
导数的计算方法
导数的计算：利用 导数公式或导数表 计算导数
切线斜率的计算： 将导数代入切线斜 率公式
切线斜率的应用： 求曲线在某一点的 切线斜率，判断函 数的单调性，求函 数的极值等
利用导数研究函数的单调性
导数的定义：函数在某一点的切线斜率
导数的几何意义：函数在某一点的切线斜率
导数的物理意义：函数在某一点的变化率
几种常见函数的导数 新课程 课件
3.2几种常见函数的导数
公式1
公式2 公式3 公式4
C ' 0(C为常数)
x ' nx
n
n 1
(n Q).
sin x ' cos x.
cos x ' sin x.
练习巩固 1.若y sin , 则y' ( C ). 6 3 3 1 A. B. C.0 D. 2 2 2 1 1 2.曲线y 2 在点P 2, 处的切线方程为 ( B ). x 4 A.x 4 y 1 0 B.x 4 y 3 0 C.4 x y 1 0 D.4 x y 3 0
3.质点沿直线运动的路程 和时间的关系是 s 5 t ,则 质点在t 4时的速度为 ( B ). 2 2 10 23 4.求抛物线y x 2上的点到直线x y 2 0的最短距离 . 5.抛物线y x 2上点A的切线与直线 3 x y 1 0的夹角 为45 导数
练 习2 1.求 下 列 函 数 的 导 数 :
1 y x
2 y 1 sin x 1 2 x 2.已 知 函 数 f x x 2 x 1, 若f ' x0 f x0 , 求x0的 值.
2
2 cos x;
A.
1
5 3
B.
1
5
25 3 C. 2 5
1 5 3 D. 2 10
3.3函数的和、差、积、商的导数
1、和（或差）的导数 法则1 两个函数的和（或差）的导数，等于这两 个函数的导数的和（或差），即
u v ' u 'v'.
例2 求下列函数的导数:
1y x
公式1
公式2 公式3 公式4
C ' 0(C为常数)
x ' nx
n
n 1
(n Q).
sin x ' cos x.
cos x ' sin x.
练习巩固 1.若y sin , 则y' ( C ). 6 3 3 1 A. B. C.0 D. 2 2 2 1 1 2.曲线y 2 在点P 2, 处的切线方程为 ( B ). x 4 A.x 4 y 1 0 B.x 4 y 3 0 C.4 x y 1 0 D.4 x y 3 0
3.质点沿直线运动的路程 和时间的关系是 s 5 t ,则 质点在t 4时的速度为 ( B ). 2 2 10 23 4.求抛物线y x 2上的点到直线x y 2 0的最短距离 . 5.抛物线y x 2上点A的切线与直线 3 x y 1 0的夹角 为45 导数
练 习2 1.求 下 列 函 数 的 导 数 :
1 y x
2 y 1 sin x 1 2 x 2.已 知 函 数 f x x 2 x 1, 若f ' x0 f x0 , 求x0的 值.
2
2 cos x;
A.
1
5 3
B.
1
5
25 3 C. 2 5
1 5 3 D. 2 10
3.3函数的和、差、积、商的导数
1、和（或差）的导数 法则1 两个函数的和（或差）的导数，等于这两 个函数的导数的和（或差），即
u v ' u 'v'.
例2 求下列函数的导数:
1y x
【高中数学选修】常用函数的导数及导数公式PPT教学课件(推荐)
即: [ f ( x ) g ( x ) ] f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) .
特别地，常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的 导数，即
[Cf(x)]＝Cf (x)
若u令 fx,vgx,则导数的运记 算 . (uv)uvuv
公 式 4 .若 f ( x ) co s x , 则 f '( x ) sin x;
公 式 5 .若 f ( x ) a x , 则 f '( x ) a x ln a ((a>0且0a)≠;1)
公 式 6 .若 f ( x ) e x , 则 f '( x ) e x ;
x
新课——导数的运算法则
1、和（或差）的导数
法则 1. 两个函数的和（或差）的导数，等于这 两个函数的导数的和（或差），即
f(x)g(x)f(x)g(x)
若u令 fx,vgx,则导数的运记 算 .
(uv)uv
新课——导数的运算法则
1、和（或差）的导数
法则 1. 两个函数的和（或差）的导数，等于这 两个函数的导数的和（或差），即
例 2.求函 y数 axcoxs的导数
新课——导数的运算法则
3、商的导数
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 , 再除以第二个函数的平方.即:
g f((xx))f(x)g(xg)( x)f2(x)g(x)(g(x)0)
f(x)g(x)f(x)g(x)
若u令 fx,vgx,则导数的运记 算 .
(uv)uv
例 1 求 y＝x3＋sinx 的导数．
新课——导数的运算法则
2、积的导数
特别地，常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的 导数，即
[Cf(x)]＝Cf (x)
若u令 fx,vgx,则导数的运记 算 . (uv)uvuv
公 式 4 .若 f ( x ) co s x , 则 f '( x ) sin x;
公 式 5 .若 f ( x ) a x , 则 f '( x ) a x ln a ((a>0且0a)≠;1)
公 式 6 .若 f ( x ) e x , 则 f '( x ) e x ;
x
新课——导数的运算法则
1、和（或差）的导数
法则 1. 两个函数的和（或差）的导数，等于这 两个函数的导数的和（或差），即
f(x)g(x)f(x)g(x)
若u令 fx,vgx,则导数的运记 算 .
(uv)uv
新课——导数的运算法则
1、和（或差）的导数
法则 1. 两个函数的和（或差）的导数，等于这 两个函数的导数的和（或差），即
例 2.求函 y数 axcoxs的导数
新课——导数的运算法则
3、商的导数
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 , 再除以第二个函数的平方.即:
g f((xx))f(x)g(xg)( x)f2(x)g(x)(g(x)0)
f(x)g(x)f(x)g(x)
若u令 fx,vgx,则导数的运记 算 .
(uv)uv
例 1 求 y＝x3＋sinx 的导数．
新课——导数的运算法则
2、积的导数
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公式一 C’ = 0 (C为常数)
求 函 数 y f( x ) C 的 导 数
证:y明 f(x)C y f ( x x ) f ( x ) C C 0
y 0 x
f'(x)C ' lim y0 x 0 x
公式二 (xn)’ =nxn-1 (n∈Q)
下面我们就n∈N*的情况加以说明。
x 3 ' 3x313x2
1 x2
'
x 2
' 2x212x3
2 x3
x
'
1
x2
'
1 2
1 1
x2
1 2
1
x 2
1 2x
课本P88 用公式求解3个常用函数导数
公式三 (sinx)’=cosx 公式四 (cosx)’=-sinx
公式3: (sx i)n cox.s
要证明这个公式,必须用到一个常用极限
证明 yf： (x)xn
y f ( x x ) f ( x ) ( x x ) n x n
x n C 1 n x n 1 x C 2 n x n 2 ( x ) 2 . C n n . ( x ) n . x n
C 1 n x n 1 x C 2 n x n 2 ( x ) 2 . C .n n ( . x ) n
5
已 知 f ( x ) = x a , 且 f ( 1 ) = - 4 , 求 实 数 a .
sinx lim x0 x
1.
证 : y f ( x ) s x , y i f ( x n x ) f ( x ) s x i x ) s n x
2cox s (x)si n x, 22
x y2 co x s x 2 ( x)si 2 n xco x s 2 ( x)s ix 2 n x,
f
'yx(x) C (x1 n nx )n ' 1 liC m2 n x yn 2 x . . C n n ( . x ) n 1
x0x
n lxi m0[ C 1 n x n 1 C 2 n x n 2 x . . C n n ( . x ) n 1 ] xn1
例：求下列函数的导数
第三章 导 数
一 导数
3.2 几种常见函数的导数
由定义求导数（三步法）
步骤: ( 1 ) 求 y 增 f ( x x 量 ) f ( x );
( 2 ) 算 y 比 f ( x x ) 值 f ( x ) ; x x
(3 )求极 y l限 i m y. x 0 x
说明:上面的方法中把x换x0即为求函数在点x0处的导数
导数的几何意义
f (x0)表示曲线 y f (x) y 在点M(x0, f (x0))处的 切线的斜,率 即
f (x0) tan, (为倾角) o
yf(x)
T M
x0
x
过 (x0,f(x0)的 )切线方程为
y y 0 f ( x 0 ) x ( x 0 ).
新课: 几种常见函数的导数
根据导数的定义,可以得出一些常见函数的导数公式
(1 )(lo g ax ) xl1 n a (a 0 ,a 1 ).(2)
(lnx)1. x
3.指数函数的导数:
( 1 )( a x ) a x l n a ( a 0 ,a 1 ) .
(2) (ex)ex.
例2 求下列函数的导数：
(1)xsint (2)y2x (3)y log1x
f(x)(sx i)n lim ylim cox s (x)l2 im si 2 n x
x 0x x 0
2 x 0 x
2
cox1 scox.s
同理可证,公式4: (cxo)ssix .n
例１ 求下列函数的导数：
(1) y x 4 (2 ) y x 3
( 4 ) y x (5)ysin450
(3) y 1 x
(6)ucosv
解：
(1) y (x4) 4x41 4x3
(2) y(x3)3x31 3x4
(3) y1x1 y' 1 x 1 1 x 2
(4)
y
x
x
x 12 y(x12)1x1211
2 2x
2 .已 y 知 x3,求 yx 2
解 y ： (x 3 ) 3 x 3 1 3 x 2 yx23(2)212
3.已y知 x12,求 yx3
解 y ( ： x 2 ) 2 x 2 1 2 x 3
y x 3 2 (3 ) 3 2 2 1 7 2 27
小结： C’ = 0 (C为常数)
(xn)’ =nxn-1 (n∈Q)
(sinx)’=cosx (cosx)’=-sinx
2.对数函数的导数:
求 函 数 y f( x ) C 的 导 数
证:y明 f(x)C y f ( x x ) f ( x ) C C 0
y 0 x
f'(x)C ' lim y0 x 0 x
公式二 (xn)’ =nxn-1 (n∈Q)
下面我们就n∈N*的情况加以说明。
x 3 ' 3x313x2
1 x2
'
x 2
' 2x212x3
2 x3
x
'
1
x2
'
1 2
1 1
x2
1 2
1
x 2
1 2x
课本P88 用公式求解3个常用函数导数
公式三 (sinx)’=cosx 公式四 (cosx)’=-sinx
公式3: (sx i)n cox.s
要证明这个公式,必须用到一个常用极限
证明 yf： (x)xn
y f ( x x ) f ( x ) ( x x ) n x n
x n C 1 n x n 1 x C 2 n x n 2 ( x ) 2 . C n n . ( x ) n . x n
C 1 n x n 1 x C 2 n x n 2 ( x ) 2 . C .n n ( . x ) n
5
已 知 f ( x ) = x a , 且 f ( 1 ) = - 4 , 求 实 数 a .
sinx lim x0 x
1.
证 : y f ( x ) s x , y i f ( x n x ) f ( x ) s x i x ) s n x
2cox s (x)si n x, 22
x y2 co x s x 2 ( x)si 2 n xco x s 2 ( x)s ix 2 n x,
f
'yx(x) C (x1 n nx )n ' 1 liC m2 n x yn 2 x . . C n n ( . x ) n 1
x0x
n lxi m0[ C 1 n x n 1 C 2 n x n 2 x . . C n n ( . x ) n 1 ] xn1
例：求下列函数的导数
第三章 导 数
一 导数
3.2 几种常见函数的导数
由定义求导数（三步法）
步骤: ( 1 ) 求 y 增 f ( x x 量 ) f ( x );
( 2 ) 算 y 比 f ( x x ) 值 f ( x ) ; x x
(3 )求极 y l限 i m y. x 0 x
说明:上面的方法中把x换x0即为求函数在点x0处的导数
导数的几何意义
f (x0)表示曲线 y f (x) y 在点M(x0, f (x0))处的 切线的斜,率 即
f (x0) tan, (为倾角) o
yf(x)
T M
x0
x
过 (x0,f(x0)的 )切线方程为
y y 0 f ( x 0 ) x ( x 0 ).
新课: 几种常见函数的导数
根据导数的定义,可以得出一些常见函数的导数公式
(1 )(lo g ax ) xl1 n a (a 0 ,a 1 ).(2)
(lnx)1. x
3.指数函数的导数:
( 1 )( a x ) a x l n a ( a 0 ,a 1 ) .
(2) (ex)ex.
例2 求下列函数的导数：
(1)xsint (2)y2x (3)y log1x
f(x)(sx i)n lim ylim cox s (x)l2 im si 2 n x
x 0x x 0
2 x 0 x
2
cox1 scox.s
同理可证,公式4: (cxo)ssix .n
例１ 求下列函数的导数：
(1) y x 4 (2 ) y x 3
( 4 ) y x (5)ysin450
(3) y 1 x
(6)ucosv
解：
(1) y (x4) 4x41 4x3
(2) y(x3)3x31 3x4
(3) y1x1 y' 1 x 1 1 x 2
(4)
y
x
x
x 12 y(x12)1x1211
2 2x
2 .已 y 知 x3,求 yx 2
解 y ： (x 3 ) 3 x 3 1 3 x 2 yx23(2)212
3.已y知 x12,求 yx3
解 y ( ： x 2 ) 2 x 2 1 2 x 3
y x 3 2 (3 ) 3 2 2 1 7 2 27
小结： C’ = 0 (C为常数)
(xn)’ =nxn-1 (n∈Q)
(sinx)’=cosx (cosx)’=-sinx
2.对数函数的导数: